Presentacion cap2-1

(1)

L´

ogica matem´

atica I

L´ogica de proposiciones

Jonatan Gom´ez Perdomo, Ph.D. [email protected] Arles Rodr´ıguez, Ph.D.(c)

[email protected] Camilo Cubides, Ph.D.(c)

Grupo de investigaci´on en vida artificial – Research Group on Artificial Life – (Alife) Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas e Industrial

(2)

Agenda

1 L´ogica proposicional

Proposiciones

El lenguaje de la l´ogica proposicional L´exico

Sintaxis Sem´antica

Precedencia de conectivos l´ogicos

Interpretaciones y clasificación de las fórmulas lógicas Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias

Tablas de verdad

(3)

Agenda

1 L´ogica proposicional Proposiciones

Tablas de verdad

Argumentación y leyes lógicas Equivalencias lógicas

(4)

Proposiciones I

Definici´on

Unaproposici´on cerradao simplemente proposici´ones un juicio,

afirmaci´on o enunciado el cual se puede calificar comoverdaderoo falso, pero no ambos simult´aneamente.

No es necesario saber de antemano s´ı es verdadero o falso.

Pero con certeza el enunciado debe poseer alg´un valor fijo que lo califique.

No debe haber incertidumbre acerca de s´ı se posee un valor que lo califique.

Una proposici´on consta b´asicamente de tres partes:

(5)

Proposiciones II

Ejemplos

Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones

p: El jugador est´a en la casilla [2,2].

q: El archipi´elago de San Andr´es, Providencia y Santa Catalina pertenece a Colombia.

r: El perro corre velozmente por la pradera jugando con la pelota azul y verde.

s: 2 + 26= 4. t: √3125 = 5.

u: Existe vida alienigena inteligente. v: El universo tiene una longitud infinita. w: Est´a lloviendo.

(6)

Proposiciones III

Ejemplos

Los siguientes enunciados son ejemplos que no son proposiciones

¿Vamos ma˜nana a cine?; ¿Hacemos quiz?. (interrogaciones) ¡Ah, cu´anta mentira hay en esos argumentos!; ¡No te vayas!. (exclamaciones, deseos)

No te aprendas la tablas de memoria; No te metas con ese muchacho; C´allate. (consejos, mandatos)

El lindo y hermoso perro de Mar´ıa Antonieta; El ronroneo de los gatos. (no son afirmaciones que puedan valorarse)

(7)

Agenda

Proposiciones

El lenguaje de la l´ogica proposicional

L´exico Sintaxis Sem´antica

Tablas de verdad

(8)

Agenda

Proposiciones

Tablas de verdad

(9)

L´

exico I

En la lógica proposicional, el léxico esta definido por tres elementos: los s´ımbolos o letras proposicionales, los conectivos lógicos y los paréntesis.

Definici´on

El l´exico de la l´ogica proposicional se compone de tres tipos de lexemas:

s´ımbolos y/o letras proposicionales: ⊥,>,p,q,r,s,t,p0,p1, . . .

conectivos l´ogicos: ¬,∨,∧,→,↔

(10)

L´

exico II

El s´ımbolo proposicional⊥ (que se lee “bottom”) es usado para

representar una proposici´on gen´erica que su significado es siempre falso1, mientras que >(que se lee “top”) es usado para representar una

proposici´on gen´erica que su significado es siempreverdadero2.

Las letras proposicionales p,q,r,s,t,p0,p1, . . .son usadas para representar

(11)

L´

exico III

Los conectivos lógicosson operadores lógicos que permiten formar frases que se llamanproposiciones compuestas ofórmulas lógicasa partir de s´ımbolos y/o letras proposicionales.

En la definición más común de la lógica proposicional clásica, estos operadores son:

La negaci´on: es un operador unario prefijo que se representa mediante el s´ımbolo (¬), que se lee “no”.

La disyunci´on: es un operador binario infijo que se representa mediante el s´ımbolo (∨), que se lee “o”.

(12)

L´

exico IV

El condicional: o implicaci´ones un operador binario infijo que se

representa mediante el s´ımbolo (→), que se lee “entonces” o “implica”. A el primer operando del operador condicional se le suele llamar elantecedentede la implicaci´on y a el segundo operador se le suele llamar elconsecuentede la implicaci´on.

El bicondicional: o equivalencia odoble implicaci´on es un operador binario infijo que se representa mediante el s´ımbolo (↔), que se lee “si y s´olo si”.

(13)

Agenda

Proposiciones

L´exico

Sintaxis

Sem´antica

Tablas de verdad

(14)

Sintaxis I

(15)

Sintaxis II

Definici´on

La gramática de la lógica proposicional se define recursivamente en términos de fórmulas bien formadas (fbf), as´ı:

i) Si p es un s´ımbolo o letra proposicional, entoncesp es una fbf.

ii) Si f es fbf entonces¬(f) es una fbf.

iii) Si f1 yf2 son fbfs entonces: (f1∨f2), (f1∧f2), (f1 →f2) y (f1↔f2)

(16)

Sintaxis III

Ejemplo

Las siguientes secuencias de s´ımbolos son f´ormulas bien formadas:

f1: (p∨ ¬(q))↔(r∧s)

f2: ¬ (r→q)∧ ¬((q ↔s))

Ejemplo

Las siguientes secuencias de s´ımbolos no son f´ormulas bien formadas:

f1: (∧ p)¬(r∧s)

(17)

Agenda

Proposiciones

L´exico Sintaxis

Sem´antica

Tablas de verdad

(18)

Sem´

antica I

En el lenguaje de la lógica proposicional, a diferencia del español u otro lenguaje natural, la semántica es fácil de definir ya que los posibles sentidos que tiene una frase son solamente dos (verdadero yfalso) y las frases que se pueden construir se definen de manera recursiva (fórmulas bien formadas).

Definici´on

(19)

Sem´

antica II

Si f es un fbf definida solamente por un s´ımbolo o letra proposicional, el significado de la f´ormulaf es el mismo significado del s´ımbolo o letra proposicional.

ξ(>) ξ(⊥) ξ(p)

V F significado de la proposici´onp

Si f es una fbf, entonces:

ξ(f) ξ ¬(f)

V F

(20)

Sem´

antica III

Si f1 yf2 son fbfs, entonces:

ξ(f1) ξ(f2) ξ (f1∨f2)

ξ (f1∧f2)

ξ (f1→f2)

ξ (f1 ↔f2)

V V V V V V

V F V F F F

F V V F V F

(21)

Sem´

antica IV

Ejemplo

Suponga que ξ(p) =F, ξ(q) =F, ξ(r) =V, entonces el significado (valor de verdad) de la f´ormula bien formada

f: ¬ ¬(p)→q

∧ (r ↔q)∨ ¬(⊥)

(22)

Sem´

antica V

Ejemplo (continuaci´on)

ξ(p) ξ(q) ξ(r) ξ ¬(p)

ξ (r ↔q)

ξ ¬(⊥)

ξ ¬(p)→q

F F V V F V F

ξ (r ↔q)∨ ¬(⊥)

ξ ¬(p)→q

∧ (r ↔q)∨ ¬(⊥)

V F

ξ ¬ ¬(p)→q

∧ (r↔q)∨ ¬(⊥)

(23)

Agenda

Proposiciones

Tablas de verdad

(24)

Precedencia de conectivos l´

ogicos I

Uno de las principales limitaciones de las f´ormulas bien formadas es el uso excesivo de los par´entesis, los cuales, en muchos casos, son redundantes.

Para evitar este uso excesivo de paréntesis (sin que esto implique que toda fórmula pueda ser escrita sin paréntesis), a los conectores lógicos se les asigna una prioridad que determina de manera exacta el orden en que los paréntesis se deben asumir si no se escriben.

(25)

Precedencia de conectivos l´

ogicos II

Las prioridades asignadas a los operadores se pueden observar en la tabla 1. Cuando en la fórmula aparece el mismo operador varias veces y no se puede determinar a cuál se le deben asignar los paréntesis primero, se asignan los paréntesis de izquierda a derecha.

Conectivo Prioridad Significado

(,) 1 m´as alta

¬ 2 alta

∧,∨ 3 media

→,↔ 4 baja

(26)

Precedencia de conectivos l´

ogicos III

Ejemplo

La f´ormulap →q↔r∨(s∧p) representa la fbf (p →q)↔ r∨(s∧p)

, ya que completando par´entesis:

i) p →q↔r∨(s ∧p)

ii) p →q↔ r∨(s∧p) (∨prioridad 3)

iii) (p→q)↔ r∨(s∧p) (→ m´as a la izquierda prioridad 4)

(27)

Agenda

Proposiciones

Interpretaciones y clasificación de las fórmulas lógicas

Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias Tablas de verdad

(28)

Interpretaci´

on I

Definici´on

Dada una f´ormulaf yθf su respectiva colecci´on de letras proposicionales,

unainterpretaci´ondeθf es una asignaci´on de valores de verdad a cada una

de las letras proposicionales de la colecci´on θf.

Ejemplo

Sea θf ={q,r,s}la colecci´on de letras proposicionales de una f´ormula f.

(29)

Interpretaci´

on II

Proposici´on

Si una colecci´onθf tiene n letras proposicionales, entoncesθ tiene en total

2n interpretaciones diferentes.

Nota

(30)

Interpretaci´

on III

Ejemplo

Las interpretaciones posibles de la colecci´on de letras proposicionales θf ={p,q,r}, entoncesθf tiene ocho (23 = 8) interpretaciones:

ξ(p) ξ(q) ξ(r)

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

(31)

Agenda

Proposiciones

Tablas de verdad

(32)

Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias I

Definici´on

Una fórmula f se dicetautolog´ıa si para cualquier interpretación de su colección de letras proposicionales, su significado (valor de verdad) es V, se dice contradicciónsi para cualquier interpretación su significado esF y se dice contingenciasi no es tautolog´ıa ni contradicción.

Ejemplo

Determinar el tipo (tautolog´ıa, contingencia o contradicci´on) de cada una de las siguientes f´ormulas:

(33)

Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias II

Soluci´on

Si f =p∨q ↔q∨p entoncesθf ={p,q}

p q p∨q q∨p p∨q ↔q∨p

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F F V

(34)

Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias III

Soluci´on

Si f =p∧ ¬p entoncesθf ={p}

p ¬p p∧ ¬p

V F F

F V F

(35)

Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias IV

Soluci´on

Si f =p∧(q∨r) entoncesθf ={p,q,r}

p q r q∨r p∧(q∨r)

V V V V V

V V F V V

V F V V V

V F F F F

F V V V F

F V F V F

F F V V F

F F F F F

(36)

Agenda

Proposiciones

Interpretaciones y clasificación de las fórmulas lógicas

Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias

Tablas de verdad

(37)

Tablas de verdad

(38)

Agenda

Proposiciones

Tablas de verdad

Argumentaci´on y leyes l´ogicas

(39)

Leyes

En la lógica proposicional clásica, una ley lógica es unaequivalencia o implicaciónentre fórmulas lógicas. Tal equivalencia o implicación lógica debe ser verdadera para cualquier interpretación de las letras

proposicionales que conforman las fórmulas relacionadas por la equivalencia (debe ser tautolog´ıa). Las más famosas leyes lógicas son: Modus Ponen,Modus Tollen,Inconsistencia,Doble negación,

(40)

Agenda

Proposiciones

Tablas de verdad

(41)

Equivalencias l´

ogicas I

Argumentaci´on l´ogica directa I

Ejemplo

A continuaci´on se presenta un argumento directo para demostrar el siguiente teorema.

Teorema

Sea n un n´umero entero, si n es impar, entonces n2 _{es impar.}

Demostraci´on.

Si n es impar, entonces n se puede escribir en la forman = 2m+ 1, con m en los enteros; as´ı quen2 = (2m+ 1)2 = 4m2+ 4m+ 1 =

(42)

Equivalencias l´

ogicas II

Argumentaci´on l´ogica directa II

Teorema

Sea n un n´umero entero, si n2 es impar, entonces n es impar.

Demostraci´on.

¿?

Para demostrar el anterior teorema, un argumento directo es muy complicado, por lo que una estrategia m´as eficiente es utilizar un

(43)

Equivalencias l´

ogicas II

Argumentaci´on l´ogica directa II

Teorema

Demostraci´on.

¿?

Para demostrar el anterior teorema, un argumento directo es muy complicado, por lo que una estrategia m´as eficiente es utilizar un

(44)

Equivalencias l´

ogicas III

Definici´on

Seanf1 yf2 dos f´ormulas, se dice quef1 esl´ogicamente equivalentea f2,

(f1⇔f2) si y solamente si la f´ormula

f1 ↔f2

(45)

Equivalencias l´

ogicas IV

Ejemplo

Las f´ormulas f1=¬(α∧β) yf2 =¬α∨ ¬β son l´ogicamente equivalentes,

es decir, ¬(α∧β)⇔ ¬α∨ ¬β, para cualesquiera f´ormulas α yβ. Para esto, se debe demostrar que¬(α∧β)↔ ¬α∨ ¬β es una tautolog´ıa; como se aprecia en la siguiente tabla

α β α∧β ¬(α∧β) ¬α ¬β ¬α∨ ¬β ¬(α∧β)↔ ¬α∨ ¬β

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

como se observa, f1↔f2 es una tautolog´ıa, por lo tanto,f1 yf2 son

(46)

Equivalencias l´

ogicas V

Las equivalencias l´ogicas m´as conocidas se presentan en las siguientes tablas

Equivalencia Nombre

α∨ ¬α⇔ > Tercio exclu´ıdo

α∧ ¬α⇔ ⊥ Contradicci´on

α∨ ⊥ ⇔α

Identidad

α∧ > ⇔α α∨ > ⇔ >

Dominaci´on

α∧ ⊥ ⇔ ⊥

α∨α⇔α

Idempotencia

α∧α⇔α

(47)

Equivalencias l´

ogicas VI

Equivalencia Nombre

α∨β⇔β∨α

Conmutativas

α∧β⇔β∧α α↔β⇔β ↔α

(α∧β)∧γ⇔α∧(β∧γ)

Asociativas (α∨β)∨γ⇔α∨(β∨γ)

α∨(β∧γ)⇔(α∨β)∧(α∨γ)

Distributivas

α∧(β∨γ)⇔(α∧β)∨(α∧γ)

α→(β→γ)⇔(α→β)→(α→γ)

¬(α∧β)⇔ ¬α∨ ¬β

De Morgan

¬(α∨β)⇔ ¬α∧ ¬β

α→β⇔ ¬β → ¬α Contrarrec´ıproca

α↔β⇔(α→β)∧(β →α) Material

(48)

Equivalencias l´

ogicas VII

Argumentaci´on l´ogica indirecta por la contrarrec´ıproca I

Teorema

Demostraci´on.

Aplicando la equivalencia contrarrec´ıproca

α→β ⇔ ¬β → ¬α

con

(49)

Equivalencias l´

ogicas VIII

Argumentaci´on l´ogica indirecta por la contrarrec´ıproca II

Demostraci´on (conti.)

Por lo tanto demostrar el anterior teorema es equivalente a demostrar que

si n es par, entonces n2 es par

para esto, obs´ervese que sin es par, entoncesn se puede escribir en la forma n= 2m, conm en los enteros; as´ı quen2 = (2m)2 = 4m2 =

(50)

Equivalencias l´

ogicas XI

De los teoremas anteriores se tiene que para que n2 _{sea impar es necesario}

que n sea impar, y de forma similar para que n sea impar es necesario que n2 sea impar. Esto se expresa como que para quen2 sea impar es raz´on necesaria y suficiente que n sea impar, de donde ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas y se puede enunciar el siguiente teorema bidireccional general.

Teorema

Sea n un n´umero entero, n2 es impar, si y s´olo si n es impar.

(51)

Agenda

Proposiciones

Tablas de verdad

Argumentaci´on y leyes l´ogicas

Equivalencias l´ogicas

(52)

Implicaciones l´

ogicas I

En algunos casos no es necesario exigir que dos f´ormulas sean

equivalentes, tal vez sea útil exigir que en una dirección de la equivalencia la fórmula del consecuente sea verdadera cuando la fórmula del

(53)

Implicaciones l´

ogicas II

Argumentaci´on matem´atica

Ejemplo

A continuaci´on se presenta un argumento directo para demostrar el siguiente teorema.

Teorema

Sean m y n n´umeros enteros, si m es par y n es par, entonces m+n es par.

Demostraci´on.

Si m es par yn es par, entoncesmyn se pueden escribir en la forma m= 2k1 yn= 2k2, conk1 yk2 en los enteros; as´ı quem+n=

2k1+ 2k2= 2(k1+k2) = 2k, dondek =k1+k2 es un entero. De lo

(54)

Implicaciones l´

ogicas III

Argumentaci´on matem´atica

Obs´ervese que en el teorema anterior el consecuente (m+n es par) es verdadero cuando el antecedente (m es par y n es par) es verdadero.

Ahora, para el enunciado que se obtiene cuando se toma el teorema en direcci´on rec´ıproca,

Si m+n es par, entonces, m es par y n es par.

(55)

Implicaciones l´

ogicas IV

Definici´on

Cuando una fórmula (llamada conclusión) se cumple siempre que una colección de fórmulas (llamadas premisas) se cumplan simultáneamente, se dice que las premisas implican la conclusion. Formalmente esto se expresa de la siguiente manera.

Definici´on

Sea Γ ={f1,f2, . . . ,fn} una colecci´on de f´ormulas (premisas) y g una

fórmula (conclusión), se dice que Γimplica lógicamente ag (Γ⇒g), si y solamente si

(f1∧f2∧ · · · ∧fn)→g

(56)

Implicaciones l´

ogicas V

Ejemplo

Las premisas Γ ={¬β, α→β}implican l´ogicamente a g =¬α, para esto es necesario que la f´ormula ¬β∧(α→β)

→ ¬α sea una tautolog´ıa, como se aprecia en la siguiente tabla

α β ¬β α →β ¬β∧(α→β) ¬α ¬β∧(α→β) → ¬α

V V F V F F V

V F V F F F V

F V F V F V V

F F V V V V V

(57)

Implicaciones l´

ogicas VI

Las implicaciones l´ogicas m´as conocidas se presentan en las siguientes tablas

Implicaci´on Nombre

{α, β} ⇒(α∧β) Combinaci´on

{α, β} ⇒α Ley de simplificaci´on

{α, β} ⇒β Variante de la ley de simplificaci´on

{α} ⇒(α∨β) Ley de adici´on

{β} ⇒(α∨β) Variante de la adici´on

{α, α→β} ⇒β Modus Ponendo Ponens (Modus ponens)

{¬β, α→β} ⇒ ¬α Modus Tollendo Tollens (Modus tollens)

{α→β, β→γ} ⇒(α→γ)

Silogismos hipot´eticos

(58)

Implicaciones l´

ogicas VII

Implicaci´on Nombre

{¬α, α∨β} ⇒β

Silogismos disyuntivos

{α,¬α∨ ¬β} ⇒ ¬β

{¬β, α∨β} ⇒α Variante de los silogismos

{β,¬α∨ ¬β} ⇒ ¬α disyuntivos

{α→β,¬α→β} ⇒β Ley de casos

{α↔β} ⇒(α→β) Eliminaci´on de equivalencia

{α↔β} ⇒(β→α) Variante de eliminaci´on de equivalencia

{β→α, α→β} ⇒(α↔β) Introducci´on de la equivalencia

{α,¬α} ⇒β Ley de inconsistencia

{α→β, γ→τ, α∨γ} ⇒(β∨τ)

Dilemas constructivos

(59)

Implicaciones l´

ogicas VIII

Argumentaci´on mediante implicaciones l´ogicas

Dado un triángulo4ABC. Si el 4ABC no tiene todos sus ángulos iguales; y, si el 4ABC tiene todos sus lados iguales (es equilátero),

entonces todos los ´angulos internos del4ABC son iguales. De lo anterior, se puede concluir que el 4ABC no es equil´atero.

El argumento anterior se puede justificar usando una implicaci´on l´ogica de la siguiente manera:

β= El 4ABC tiene todos sus ´angulos internos iguales

α= El 4ABC tiene todos sus lados iguales

usando la implicaci´on l´ogica Modus tollens {¬β, α→β} ⇒ ¬α

se concluye