Geometría Euclidiana
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Segunda edición, mayo de 2006.
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Impreso en Medellín, Colombia. Imagen de la portada
Fotografía del mural El hombre ante los grandes descubrimientos de la física (1968-1969). Obra del artista Pedro Nel Gómez ubicada en la Biblioteca Central de la Universidad de Antioquia.
Pedro Nel Gómez nació el 4 de julio de 1899 en Anorí, municipio del nordeste antioqueño, tierra de selvas y montañas, recorrida por caudalosos ríos auríferos. Hace parte de la galería de los principales artistas colombianos del siglo XX y fue el más importante artista antioqueño hasta las décadas del 60 y el 70, cuando las vanguardias artísticas locales y nacionales se consolidaron, alcanzando una obra consistente, de trascendencia para el arte nacional y de aceptación internacional.
La importancia del maestro se puede definir tanto por sus aportes al desarrollo de la cultura, como por su contribución al desarrollo del arte nacional. Ambas facetas derivan de una personalidad forjada en la disciplina del trabajo y el estudio, en medio de las limitaciones propias de su época. Logró conquistar una visión propia del país y de la cultura, que encuentra en el arte el medio más idóneo para su expresión. http://www.pedronelgomez.org/maestro.htm
Quiero agradecer a mi señora Ángela María y a mis hijos Santiago y Juan David por el tiempo que me han permitido quitarles y por su apoyo constante. Igualmente quiero agradecer al personal integrante del Proyecto Ude@ y a los estudiantes monitores, pues sin su esfuerzo y profesionalismo no hubiera sido posible este trabajo.
Autor
Acerca del
autor
José Rodolfo Londoño Santamaría
El profesor José Rodolfo Londoño es Ingeniero Mecánico de la Universi-dad de Antioquia. Ha realizado diplomaturas, entre ellas «Docencia Univer-sitaria» y «Metodología de la Enseñanza de las Matemáticas», en la Uni-versidad de Medellín. Actualmente es profesor titular de la UniUni-versidad de Antioquia y profesor de cátedra en la Universidad de Medellín y en la Escuela de Ingeniería de Antioquia.
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Cómo usar este libro
Como estudiante del programa Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación, para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería.
La Universidad de Antioquia, a tra-vés del programa Ude@, ha puesto a su disposición contenidos acadé-micos en diferentes medios con el fin de facilitarle el aprendizaje me-diante las tecnologías de informáti-ca y telecomuniinformáti-caciones clásiinformáti-cas y modernas: Radio Televisión Impresos Web Multimedia Videoconferencias
En el modelo Ude@ los conocimientos son aportados por cada medio en igualdad de importancia y con las fortalezas propias de cada uno de ellos, pero el texto desempeña un papel fundamental en el aprendizaje ya que es el que más diversidad ofrece en términos de funcionalidad y cantidad de contenidos. El texto Ude@ no sólo permite analizar con más detalle y profundidad los contenidos de cada curso, sino que facilita en mayor medida la realización de ejercicios, tareas y autoevaluaciones.
La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica.
La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos (sesiones de clase). Al empezar cada capítulo se encuentra un “Contenido breve” en la columna externa, que incluye una lista del número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, un índice temático del contenido, objetivos específicos, preguntas básicas y una introducción, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase.
El texto Ude@
Estructura del texto Ude@
El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (radio, televisión, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de este enlace está dada por los iconos Ude@.
Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráficos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios. El espacio gráfico de cada página del texto está dividido en dos columnas: en la interior, más ancha, podrá observar todo lo relaciona-do con el desarrollo del contenirelaciona-do y las correspondientes figuras (gráficas, fotos, etc.), mientras que en la exterior encontrará las llamadas a otros medios. Estas llamadas permiten que haya interrelación y retroalimentación entre los mismos.
Los iconos de radio, televisión, multimedia, mapa conceptual, videoconferencia o web le indicarán la ruta a seguir. Por ello es importante que sepa que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso, también hay material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se repite sino que se complementa.
Los iconos y la interrelación de medios
El mapa conceptual
Es importante que durante su proceso de aprendizaje se pregunte cons-tantemente si de verdad comprendió el significado de los términos y su
uso. Una buena manera de comprobarlo es explicándole el concepto a otra persona. No dude en solicitar ayuda a su tutor.
Antes de iniciar el estudio de un capítulo lea el contenido breve y la presentación.
Las preguntas básicas de cada módulo le ayudarán a valorar la comprensión de los nuevos conceptos presentados y de la temática tratada a lo largo del mismo.
El estudio de los ejemplos intercalados en los bloques de texto y la solución de los ejercicios incrementarán sus habilidades en la solución de problemas reales.
Tome apuntes, plantéese preguntas y trate de resolverlas.
Sugerencias para el estudiante Ude@
Al comienzo del texto Ude@ usted encontrará un mapa conceptual del curso, que lo orientará en el universo temático de la disciplina. Esta herra-mienta pedagógica hace posible la integración conceptual, jerárquica y funcional, en forma gráfica y espacial, de todos los contenidos.
Capítulo 1: Algunos métodos de demostración
Capítulo 2: Elementos básicos de la geometría
Capítulo 3: Triángulo Capítulo 4: Cuadriláteros Módulo 1 Historia de la geometría 21 Módulo 2 La demostración 25 Módulo 3 Leyes 29 Módulo 4 Métodos de demostración 35 Módulo 5 Condicionales 41 Módulo 6 La refutación 45 Módulo 7 Postulados 53 Módulo 8 Segmentos 63 Módulo 9 Ángulos 73 Módulo 10 Polígonos 89 Módulo 11 Congruencia de triángulos 105 Módulo 12 Desigualdades 129 Módulo 13
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Módulo 16
Propiedades de cuadriláteros 181 Módulo 17
Rectas y puntos notables 197
Capítulo 5: Circunferencia Módulo 18
Generalidades de la circunferencia 225
Módulo 19
Arcos y ángulos 237
Capítulo 6: Relaciones métricas Módulo 20 Segmentos proporcionales 271 Módulo 21 Semejanza de triángulos 287 Módulo 22 Relaciones métricas 299 Módulo 23
Relaciones métricas en la circunferencia 317
Capítulo 7: Áreas Módulo 24
Áreas básicas 351
Módulo 25
Relaciones entre áreas 373
Módulo 26 Áreas sombreadas 383 Capítulo 8: Construcciones Módulo 27 Construcciones elementales 409 Módulo 28 Construcciones geométricas 419 Módulo 29 Construcción de triángulos 427 Módulo 30 Construcciones generales 437
El presente libro surgió de una invitación hecha por el inge-niero electrónico Guillermo Ospina, coordinador general del Proyecto Ude@, para que sirviera como guía del curso
Geo-metría Euclidiana en el programa de Ingeniería de
Teleco-municaciones de la Universidad de Antioquia. Por este moti-vo, no se trata de un estudio exhaustivo de la geometría sino de la presentación de unos temas básicos y elementales acor-des con el programa oficial de un curso presencial.
Con el contenido del texto se ha intentado proporcionar al futuro ingeniero unos conocimientos que le sean útiles en su trabajo y que le desarrollen la habilidad de manejarlos con buen criterio, razón por la cual el proceso demostrativo que se les da a algunos teoremas, y la solución de algunos ejer-cicios, es variada y no permite que el estudiante se sienta «encasillado» con una sola metodología. Los ejercicios plan-teados son muy racionales y están al alcance del alumno para que pueda resolverlos y mejore su creatividad, con la teoría expuesta.
En algunos módulos se presentan, en la parte correspon-diente a los ejercicios, preguntas de falso y verdadero con el fin de que el estudiante refuerce los conceptos teóricos. Tam-bién se presentan ejercicios con figuras, en las que se pro-porcionan la hipótesis (los datos dados) y la tesis (lo que se va a demostrar) para que se familiarice con ellas y pueda identificar fácilmente una y otra. Igualmente, se dan algunos ejercicios literales para que vaya aprendiendo a construir la figura correspondiente e identifique tanto los datos como lo que se pide demostrar. Las autoevaluaciones que van al final de cada capítulo tienen la misma metodología, pero a medida que se avanza en ese proceso van desapareciendo las figu-ras, hasta llegar a enunciarse problemas que ni siquiera con-tienen letras. Con esto último se busca que el estudiante idee símbolos propios, construya la figura adecuada y re-suelva el problema planteado.
En el capítulo 1 se presenta en forma muy resumida una reseña histórica de la geometría y las leyes de los números reales, junto con las leyes de inferencia lógica que permiten
mostrar algunos métodos de demostración. En el 2 se estu-dian conceptos básicos que hacen posible establecer teore-mas y probleteore-mas que están relacionados con la medida y la congruencia de segmentos y ángulos. En el 3 se hace una presentación inicial de la geometría del triángulo –generali-dades, criterios de congruencia, relaciones entre sus ele-mentos (desigualdades)–. En el 4 se analizan la perpendicularidad, el paralelismo, los cuadriláteros y los ángulos entre rectas y en polígonos, y se continúa con la geometría del triángulo (puntos y rectas notables). En el 5 se presentan los elementos de la circunferencia y el círculo, junto con las posiciones relativas, se analizan las propieda-des de arcos y cuerdas y se da la forma de hallar la medida de los ángulos relacionados con la circunferencia. En el 6 se continúa con la geometría del triángulo y se analizan la se-mejanza y las relaciones métricas en él, en la circunferencia y en los polígonos regulares. En el 7 se presentan las fórmulas de áreas de las figuras planas, se establecen relaciones en-tre las áreas de triángulos que tienen alguna propiedad y se calculan áreas sombreadas. En el último capítulo (8), que se presenta más a nivel de consulta que de estudio, se exponen nociones sobre construcciones básicas, lugares geométricos sencillos, construcciones básicas de triángulos y algunas construcciones de triángulos dados algunos de sus elemen-tos.
