P
ROGRAMA DE
E
STUDIOS
:
CÁLCULO VECTORIAL
P
ROTOCOLO
Fechas Mes/año Clave Semestre 30
Elaboración 07/2004 Nivel Licenciatura
X
Maestría Doctorado Doctor ado
Aprobación Ciclo Integración Básico X Superior
Aplicación Colegio H. y C.S. C. y T. X C. y H.
Plan de estudios del que forma parte: Ciclo Básico del Colegio de Ciencia y
Tecnología
Propósito(s) general(es)
Al término de este curso el estudiante:
Manejará y dominará los métodos básicos del cálculo vectorial y visualizará a este como una herramienta que le
permitirá adquirir un esquema lógico de razonamiento a nivel vectorial, a través del estudio de curvas y superficies en
el espacio, y de los conceptos de diferenciabilidad e integrabilidad para campos escalares y campos vectoriales; lo
anterior servirá para plantearse modelos bidimensionales y tridimensionales que tienen que ver con los procesos
tecnológicos.
Carácter
Modalidad
Horas de estudio semestral (16 semanas)
Indispensable X
Seminario
Taller
Con
Docente
Teóricas
32 Autónomas
Teóricas
16
Curso
X Curso-taller
Prácticas
64
Prácticas
16
Optativa *
Laboratorio
Clínica
Carga horaria semanal:
______6 x 16 = 96______
Carga horaria
semestral:
Asignaturas Previas
Asignaturas Posteriores:
Álgebra y Geometría Analítica, Cálculo Diferencial,
Cálculo Integral.
Ecuaciones Diferenciales, Estadística y Probabilidad,
Análisis Numérico y las propias de Ingeniería.
Requerimientos
para cursar la
asignatura
Conocimientos y habilidades: Elementos básicos de álgebra, geometría analítica y cálculo.
Perfil deseable
del profesor:
Formación matemática a nivel licenciatura o posgrado.
Academia responsable del programa:
Diseñador (es):
Matemáticas
Aquellas en las que se ofrece la posibilidad de cursar una de las asignaturas, para cubrir un requisito INDISPENSABLE será
considerada INDISPENSABLE.
Introducción
El cálculo vectorial es una herramienta poderosa que permite modelar matemáticamente en áreas del
conocimiento como física, química, ingeniería etc, y cuenta con aplicaciones a la industria. Así, en la formación
del ingeniero, es de gran importancia tratar con modelos funcionales en los cuales el valor de una cantidad
depende de dos o más valores; esto es así, ya que el espacio ambiente en el que vivimos (universo) ha sido
modelado por representaciones tridimensionales espaciales y de mayor dimensión.
En la materia de cálculo vectorial el estudiante desarrollará habilidades para analizar, inferir, abstraer y
generalizar y trabajará los conocimientos necesarios para visualizar el cálculo como una herramienta poderosa
que le permitirá abordar materias posteriores como ecuaciones diferenciales, estadística y probabilidad etc, y le
permitirá ir conformando un pensamiento científico en su forma de razonar y actuar para su futuro quehacer
profesional. De esta forma, al término del curso de cálculo vectorial el estudiante podrá realizar las operaciones
básicas entre vectores y su interpretación geométrica, comprenderá el concepto de función entre espacios
euclidianos, sus operaciones, gráficas y las nociones de límite, continuidad y diferenciabilidad (derivada
direccional, derivada parcial, gradiente, jacobiana, divergencia, rotacional etc). El estudiante podrá obtener el
desarrollo de Taylor para campos escalares en la vecindad de un punto y encontrará los máximos, mínimos y
puntos silla. También utilizará los multiplicadores de Lagrange. Conocerá los conceptos de integral múltiple,
integral de línea y superficie. Aprenderá, discutirá y aplicará los teoremas de Green, Gauss y Stokes a la física,
geometría e ingeniería Todos estos conocimientos le aportarán al estudiante las herramientas necesarias para
poder abordar el estudio y la interpretación de los fenómenos de interés desde la perspectiva científica y
tecnológica.
La materia será abordada a través de clases teóricas activas en las que el estudiante planteará preguntas y
definirá estrategias de aprendizaje que lleven a despejar sus dudas a través de la resolución de problemas
diversos y propios de la carrera que esta cursando. Se fortalecerá el trabajo en grupo y el papel del profesor será
de orientador de las discusiones de los problemas planteados.
Propósitos generales
Al término de este curso el estudiante:
Manejará y dominará los métodos básicos del cálculo vectorial y visualizará a este como una herramienta que le permitirá
adquirir un esquema lógico de razonamiento a nivel vectorial, a través del estudio de curvas y superficies en el espacio, y
de los conceptos de diferenciabilidad e integrabilidad para campos escalares y vectoriales; lo anterior para plantearse
modelos bidimensionales y tridimensionales que tienen que ver con los procesos tecnológicos
Nombre del programa de estudios:
Cálculo Vectorial.
1
.
EL ESPACIO EUCLIDIANO
ℝ
n.
No. de sesiones
: 8
Horas programadas
: 12
Propósitos.
El estudiante conocerá las operaciones básicas de suma de vectores en ℝn y multiplicación de un vector en ℝn por un escalar en
ℝ; así como, las propiedades que satisfacen estas operaciones. Podrá representar geométricamente a los vectores en ℝ2 y ℝ3, conocerá las aplicaciones a la geometría y a la física. Se familiarizará con los conceptos de producto punto estándar y norma euclidiana en ℝn; conocerá las propiedades y la relación que existe entre estos dos conceptos. Manejará el concepto de producto vectorial en ℝ3 y sus aplicaciones a la mecánica y al electromagnetismo, conocerá la regla de la mano derecha y podrá relacionar este concepto con el producto punto para obtener los conceptos de triple producto escalar y vectorial. El estudiante recordará conceptos del álgebra lineal que serán de utilidad aquí. Manejará los conceptos de combinación lineal, dependencia e independencia y base estándar de vectores en ℝn.
Temas y subtemas
1.1
.
Definición del espacio euclidiano n-dimensional
ℝ
n.
1.2
.
Norma y producto punto de vectores en
ℝ
n.
1.3
.
Producto vectorial en
ℝ
3.
1.4
.
Base canónica de vectores en
ℝ
n.
2. FUNCIONES ENTRE LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS
ℝ
n.No. de sesiones
: 8
Horas programadas
: 12
Propósitos.
El estudiante conocerá y trabajará la definición de función vectorial de variable real, también denominada curva. Aprenderá a dibujar las imágenes de estas funciones en ℝ2 y ℝ3. Conocerá las operaciones que se pueden definir entre ellas: (suma, producto punto, producto vectorial, producto escalar etc). Conocerá la definición de campo escalar y verá un buen número de ejemplos. Para poder dibujar las gráficas de campos escalares de ℝ2 en ℝ y de ℝ3 en ℝ, el estudiante deberá conocer los conceptos de conjuntos de nivel (curvas y superficies de nivel) y gráfica de un campo escalar. Conocerá las operaciones que se pueden definir entre campos escalares y trabajará con ellas. El estudiante conocerá la definición de campo vectorial y trabajará con diversos ejemplos de campos vectoriales. Dibujará la imagen de campos vectoriales de ℝ2 en ℝ2 y de ℝ3 y ℝ3 y conocerá las operaciones entre ellos.
Temas y subtemas
2.1
.
Funciones vectoriales de variable real (curvas).
2.2
.
Funciones reales de variable vectorial (campos escalares).
3.
LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ENTRE LOS ESPACIOS
EUCLIDIANOS
ℝ
nNo. de sesiones
: 8
Horas programadas
: 12
Propósitos.
El estudiante conocerá los conceptos de límite y continuidad para funciones vectoriales de variable real, funciones reales de variable vectorial y funciones vectoriales de variable vectorial y sus propiedades. Trabajará sobre un número significativo de ejemplos y ejercicios relacionados con estos conceptos.
Temas y subtemas
3.1
.
Límite y continuidad de curvas.
3.2
.
Límite y continuidad de campos escalares.
3.3
.
Límite y continuidad de campos vectoriales.
4.
DIFERENCIABILIDAD
DE
FUNCIONES
ENTRE
LOS
ESPACIOS
EUCLIDIANOS
ℝ
n.
No. de sesiones
: 8
Horas programadas
: 12
Propósitos.
El estudiante conocerá la definición de derivada de una función vectorial de variable real y su interpretación geométrica y física. Se familiarizará con las propiedades de funciones diferenciables. Verá la generalización de la regla de la cadena que aprendió en cálculo diferencial y el concepto de longitud de arco de una curva. Conocerá los conceptos de derivada direccional, derivada parcial y gradiente. Trabajará con sus propiedades y con la interpretación geométrica y física. Discutirá la diferencia entre los conceptos de diferenciabilidad y derivabilidad de campos escalares. Conocerá y manejará la regla de la cadena para funciones reales de variable vectorial. Comenzará haciendo una revisión de los conceptos de matriz y determinante de matrices cuadradas. Trabajará los conceptos de jacobiana, divergencia y rotacional de campos vectoriales, y sus propiedades. También conocerá en este caso la regla de la cadena para campos vectoriales..El estudiante comprenderá y discutirá el teorema de Taylor. Trabajará con la formula de Taylor para campos escalares de ℝ2 en ℝ. Conocerá el concepto de extremo (máximo, mínimo) de campos escalares, discutirá las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos y trabajará con los criterios prácticos para la determinación de extremos. Cuando el caso lo amerite, (condiciones de restricción) resolverá problemas utilizando el método de multiplicadores de Lagrange.
Temas y subtemas
4.1. Diferenciabilidad de curvas.
4.2. Diferenciabilidad de campos escalares.
4.3. Diferenciabilidad de campos vectoriales.
5.
LA INTEGRAL MÚLTIPLE.
No. de sesiones
: 8
Horas programadas
: 12
Propósitos.
El estudiante conocerá las definiciones de integral múltiple e integral iterada de campos escalares y sus propiedades. Discutirá y comprenderá teoremas tales como el teorema de Fubini y el teorema del valor medio para integrales múltiples. Trabajará con el concepto de región elemental en ℝ2 y ℝ3, y se familiarizará con la clasificación de este tipo de conjuntos. También discutirá regiones más generales (unión de regiones elementales etc). Adquirirá y comprenderá el contenido del teorema del cambio de variable para integrales múltiples y lo aplicará para el caso de los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Consolidará los conceptos anteriores, trabajando sobre un cierto número de ejemplos y ejercicios.
Temas y subtemas
5.1. Integrales dobles y triples.
5.2. El teorema del cambio de variable.
6.
INTEGRALES DE LÍNEA.
No. de sesiones
: 8
Horas programadas
: 12
Propósitos.
El estudiante conocerá las definiciones de integral de trayectoria e integral de línea y sus propiedades. Trabajará con las diversas aplicaciones que tienen estas integrales en física y geometría (valor promedio de un campo escalar a lo largo de una trayectoria, masa de un alambre de un cierto material, trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo material, relación de la corriente eléctrica con sus efectos magnéticos –ley de Ampe’re - etc). Conocerá, discutirá y comprenderá el contenido del teorema de Green y lo aplicará para calcular integrales de línea difíciles de realizar. También obtendrá áreas de regiones en ℝ2.
Temas y subtemas
6.1. Integrales de trayectoria (integrales de campos escalares).
6.2. Integrales de línea (integrales de campos vectoriales).
7,
INTEGRALES DE SUPERFICIE.
No. de sesiones
: 12
Horas programadas
: 18
Propósitos.
El estudiante conocerá las definiciones de superficie regular, plano tangente a una superficie regular, orientación de una superficie regular e integrales de superficie de 1a y 2a especie, y trabajará con un buen número de ejemplos y ejercicios con aplicaciones a la física, geometría e ingeniería (masa de una superficie cuando se conoce la función de densidad de una superficie, promedio de un campo escalar sobre una superficie, cantidad de flujo que pasa a través de una superficie dada, área de una superficie, longitud de arco de una curva sobre una superficie etc).El estudiante conocerá, discutirá y comprenderá dos de los teoremas más importantes del cálculo vectorial. Trabajará con campos incompresibles, irrotacionales y solenoidales. Verá el significado que estos resultados tienen en física, geometría (electromagnetismo, fluidos, gravitación, etc) e ingeniería.
Temas y subtemas
7.1. Integrales de superficie de 1a especie (integrales de campos escalares).
7.2. Integrales de superficie de 2a especie (integrales de campos vectoriales).
Metodología:
Las actividades desarrolladas en el curso de cálculo vectorial como son clases teóricas y sesiones de
resolución de problemas tendrán como objetivo que el estudiante constantemente se plantee preguntas y las
discuta; que desarrolle estrategias de aprendizaje y obtenga recursos que le permitan investigar y analizar tanto
la información obtenida en clase como la obtenida en la resolución de problemas. Que trate de entender las
ideas claves involucradas en cálculo vectorial así como las definiciones y los teoremas que forman parte
importante de los diferentes temas que conforman esta materia y los analice desde distintas perspectivas. Que
reflexione sobre el uso de la información obtenida pensando en que ello desempeñará un papel importante en la
búsqueda del conocimiento. El profesor a su vez deberá propiciar la conformación de grupos de trabajo donde el
estudiante socialice el estudio del material involucrado de cálculo vectorial. En estos grupos, la discusión
deberá ser una actividad central; también proporcionará información y preparara actividades que ayuden a
mejorar la disciplina por parte de los estudiantes.
De esta forma, las clases se dividirán en clases teóricas, sesiones de ejercicios y laboratorio de cómputo.
Las clases teóricas comenzaran con una exposición del profesor en la cual se introducirán los conceptos
necesarios vía el uso de ejemplos, los cuales serán tomados de diversas disciplinas haciendo énfasis en las
interpretaciones intuitiva y geométrica. Será recomendable que el alumno lea previamente el material a exponer
en clase por el profesor para una mejor comprensión de éste. En las sesiones de resolución de problemas, los
alumnos plantearán, discutirán y resolverán problemas. El trabajo extra-clase consistirá de series de ejercicios y
lecturas de determinados libros referentes al material que se este tratando en ese momento. Finalmente, dado
que las nuevas tecnologías computacionales abren todo un universo de posibilidades en el ámbito de la
docencia, y como las matemáticas están en la base del desarrollo tecnológico, se hace imprescindible el uso de
software para la visualización de las funciones y la resolución de problemas. Los programas matemáticos
recomendados por su eficiencia y fácil manejo son: MATLAB, MAPLE Y MATHEMATICA.
Evaluación de aprendizajes:
Siguiendo el espíritu del modelo educativo de la UACM, se hará una evaluación continua e integral del
alumno contemplando contenidos que involucren concepto, aptitud y procedimiento. Las evaluaciones serán:
Evaluación Diagnóstica
.
Será necesario evaluar al alumno al inicio del curso para detectar si éste cuenta con los conocimientos
que se requieren como prerrequisitos de la materia de cálculo vectorial. Estos prerrequisitos son: Un dominio
aceptable de los conocimientos y técnicas de álgebra, cálculo diferencial y cálculo integral; así como tambien
conocimientos de álgebra lineal.
Evaluaciones Formativas
.
Estas comprenderán:
Exámenes parciales escritos (3 o4 a lo largo del semestre).
Tareas que pueden ser series de problemas a resolver o practicas que se tengan que hacer utilizando
algún programa especifico de computadora.
Lecturas de libros o artículos tanto de investigación como de divulgación.
Evaluación de Certificación
.
El estudiante certificará la materia de cálculo vectorial si demuestra tener
Un dominio conveniente de la teoría.
Capacidad para desenvolverse de manera óptima con el manejo de los conceptos y resultados.
Habilidad para plantear y resolver problemas utilizando: límites, continuidad, diferenciabilidad e
integrabilidad de funciones vectoriales.
Intuición para interpretar los resultados obtenidos.
Bibliografía:
Textos Básicos
1.- Marsden, J. E. y Tromba, A. J.: Cálculo Vectorial. 5ª edición. Editorial Pearson Addison-Wesley, 2004.
(Excelente texto introductorio de nivel intermedio que hace énfasis en el enfoque geométrico del cálculo vectorial con diversas aplicaciones al electromagnetismo y a la física de fluidos. Prácticamente cubre todos los temas del programa de cálculo vectorial). 2.- Pita, C.: Cálculo Vectorial. Editorial Prentice-Hall 1995.
(Texto introductorio de nivel intermedio que trabaja muy detalladamente los ejemplos y algunas demostraciones de teoremas. Cubre completamente todos los temas del programa de cálculo vectorial).
3.- Stewart, J.: Cálculo Multivariable. Trascendentes Tempranas. 4ª edición. Editorial Thomson 2002.
(Texto introductorio de fácil lectura que incluye un gran número de ejemplos trabajados en detalle e incorpora un número impresionante de ejercicios, algunos de ellos interesantes. Cubre todos los temas del programa de cálculo vectorial).
Bibliografía Complementaria.
1.- Hildebrand, F. B.: Advanced Calculus for applications. 2ª edición. Editorial prentice-Hall, 1976.
(Texto de nivel ligeramente superior al nivel intermedio. El material de interés para este curso esta contenido en los capítulos 6 y 7 en los cuales el autor hace un manejo riguroso de la notación vectorial.)
2.- Kreyszing, E.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería volumen 1. 3er edición. Editorial Limusa, 1982.
(Texto de nivel intermedio. Los capítulos 7 y 8 cubren de manera general todos los temas del programa de cálculo vectorial.) 3.- Lang, S.: Calculus of several variables. Editorial Addison-Wesley 1973.
(Texto introductorio excelentemente escrito de nivel intermedio. Básicamente cubre todos los temas del programa de cálculo vectorial). 4.- O’Neil. P. V.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Volumen 1, 3ra edición. Editorial CECSA 1994.
(Texto de nivel intermedio. El material de interés se localiza en el capítulo 11 y cubre el primer tema del programa de cálculo vectorial). 5.- O’Neil. P. V.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Volumen 2, 3ra edición. Editorial CECSA 1994.
(Texto de nivel intermedio. Los capítulos 15 y 16 cubren la parte de cálculo diferencial vectorial y cálculo integral vectorial. El autor hace énfasis en las aplicaciones a la física ya la ingeniería).
