Tema 2: Dinámica. Fuerzas

Juan Carlos Maroto

Unidad I: Mecánica Newtoniana

Grado en Física

Tema 2: Dinámica. Fuerzas

Tema 2: DINÁMICA

1. Introducción

2. Leyes de Newton.

2.1. Primera ley de newton. Ley de inercia.

2.2. Segunda ley de newton. Definición de fuerza

2.3. Tercera ley de newton. Ley de acción - reacción

3. Sistemas de Referencia Inercial. Fuerzas ficticias.

4. Fuerzas de Rozamiento.

4.1. Rozamiento estático

4.2. Rozamiento dinámico

4.3. Rozamiento rodadura

4.4. Coeficientes de rozamiento

4.5. Rozamiento viscoso

Indice

DINÁMICA

estudia son FUERZAS a menudo identificables con ecuaciones del movimiento física clásica INTERACCIONES de la partícula para escribir uno de los objetivos de LEYES DE LA DINÁMICA enuncia capaces de predecir principio de la inercia ecuación

fundamental principio deacción-reacción son 1ª ley TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL justifica movimiento planetario campo gravitatorio explica fuerza de rozamiento tensiones en cuerdas fuerza elástica fuerza centrípeta

tienen especial interés

choques o colisiones CANTIDAD DE MOVIMIENTO su estudio se basa en la conservación si son casi instantánea s 2ª ley 3ª ley GALILEO NEWTON física relativista EINSTEIN su variación en el tiempo conduce a

Fundamentos….

Para un sistema físico, la dinámica newtoniana trata de establecer la relación entrefuerzas, ytorquescon las variables vectoriales de aceleración, velocidad y posición. Trata de ofrecer una modelización matemática vectorial de la relación entre fuerzas y aceleraciones.

Esas variables cumplen la normas algebraicas relativas a un espacio vectorial. Obviamente los espacios vectoriales no son iguales. El espacio vectorial de posiciones tiene magnitudes de metros y puede relacionarse con el“espacio”habitual como entorno tridimensional.

Sin embargo, el espacio vectorial de velocidades o aceleraciones no tienen ese sentido en el espacio geométrico habitual. Sus magnitudes ya no son metros.

Sistema de referencia.

….

La Mecánica Newtoniana precisa de un sistema de referencia establecido y consensuado entre los observadores. El sistema de referencia puede moverse a velocidad constante (nula entre ellas) pero no puede tener aceleración; en ese caso la mecánica newtoniana falla…

Los sistemas de referencia que cumplen esa condición ( sin aceleración) se denominan sistemas inerciales. Si tienen aceleración se llaman no-inerciales.

Dos observadores con sistemas de referencia inerciales distintos tienen fácil la transformación de sus variables y mediciones.

Aproximación del punto material.

Los cuerpos bajo estudio se consideran sin dimensiones a efectos de la descripción de su movimiento. Esta aproximación depende de las condiciones del problema y de las variables de estudio. Para algunas descripciones se puede suponer un punto material, pero el mismo cuerpo puede tratarse con sus dimensiones para otros cálculos.

DINÁMICA: parte de la Mecánica que estudia la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas de este movimiento (fuerzas).

En el capítulo de cinemática, la descripción del movimiento de una partícula se basó en un estudio sobre todo geométrico. No se cuestionaba que es lo que causaba el movimiento de la partícula.

Concepto de FUERZA:

✓ Fuerza →interacción entre objetos: objetos que interaccionan ejercen fuerzas entre sí.

✓ Fuerzas son vectores

✓ Fuerzas de contacto: normal, tensión, rozamiento.

✓ Fuerzas a distancia: peso (gravedad), eléctrica, magnética.

Concepto de MASA:

✓ Masa : propiedad intrínseca de un cuerpo que mide su resistencia a la aceleración.

✓ La unidad de masa es el kg.

✓ El movimiento de una masa es el resultado de su interacción con otras masas o

campos.

✓ PARTICULA LIBRE: Una partícula libre es aquella que no está sujeta a interacción alguna.

Antes de Galileo, la mayoría de los “filósofos” pensaban que era necesaria alguna influencia o “fuerza” para mantener a un cuerpo en movimiento (v=cte).

Se creía que el “estado natural” de un cuerpo era el del reposo. Por ejemplo, para que un cuerpo se

moviese sobre una línea recta con velocidad constante, creían que algún agente externo tenía que estar

empujándolo sin cesar ya que, si no fuese así, el cuerpo “naturalmente” dejaría de moverse.

Coloquemos un cuerpo de prueba, por ejemplo un bloque, en un plano horizontal rígido. Si el bloque se desliza por el plano, notamos que se va frenando gradualmente hasta detenerse. Luego necesitamos una fuerza

para mantener la velocidad constante….

En realidad… se requiere de una fuerza externa para “cambiar la velocidad de un cuerpo” (aceleración) pero “no es necesaria fuerza externa alguna” para conservar la velocidad.

Galileo Galilei 1564-1642

“No se necesita ninguna fuerza neta para mantener un cuerpo en movimiento a velocidad constante” (Galileo)

ALGUNOS TIPOS DE FUERZAS

❖ Peso

✓ Es una fuerza (gravedad) que actúa a distancia. Es proporcional a la masa, así que la aceleración

es independiente de la masa. La fuerza es = mg.

❖ Fuerzas de contacto

✓ Fuerza normal– perpendicular a la superficie de contacto.

✓ Fuerza de fricción– paralela a la superficie de contacto.

✓ En detalle se deben a las fuerzas entre las moléculas de los materiales.

❖ Tensión en una Cuerda

✓ Una cuerda siempre tira, nunca empuja.

✓ Siempre hay fuerzas sobre la cuerda en ambos extremos y, por la tercera ley, la cuerda hace

fuerza en ambos extremos.

✓ Si se toma la masa de la cuerda como despreciable así que la fuerza neta es cero y, por tanto, las

magnitudes de las fuerzas en los extremos son iguales. En otras palabras, la cuerda esencialmente lo que hace es transmitir la fuerza de un extremo al otro.

2.1. PRIMERA LEY DE NEWTON. LEY DE INERCIA.

2. LEYES DE NEWTON

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento uniforme a menos que sobre él actúe una fuerza externa.

Sus tres leyes del movimiento fueron presentadas por primera vez en 1686 en su: PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA

Newton formuló su primera ley, con estas palabras: “Todo cuerpo persiste en su

estado de reposo, o de movimiento uniforme en una línea recta, a menos que se vea

obligado a cambiar dicho estado por las fuerzas que actúen sobre él”.

Isaac Newton 1642-1727

✓ La inercia de un objeto es la tendencia a mantener

su estado de movimiento.

2.1.1.- MOMENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA

Supóngase una partícula de masa

m

que se

mueve con velocidad. Se define el momento

lineal de esta partícula como un vector (

p

) que

resulta del producto de su masa y su velocidad.

p

=

mv

Unidades: [

p

]= Kg·m/s.

2.1. PRIMERA LEY DE NEWTON. LEY DE INERCIA.

n n n

Total

p

p

p

m

v

m

v

m

v

p



=



+



+

···

+



=



+



+

···

+



2. LEYES DE NEWTON

2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON. DEFINICIÓN DE FUERZA

La aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección que la fuerza externa que actúa sobre él. Es proporcional a la fuerza externa neta e inversamente proporcional a la masa del cuerpo:

Ԧ

𝐹

_{𝑛𝑒𝑡𝑎}

= 𝑚 Ԧ

𝑎

dt

p

d

F





=

v

dt

dm

a

m

v

dt

dm

dt

v

d

m

dt

v

m

d

dt

p

d

F















+

=

+

=

=

=

(

)

Si es un sistema con masa no constante:

La fuerzaes un vector proporcional a la aceleración que produce en un cuerpo.

1 Newton (N) : es la fuerza necesaria para producir una aceleración de 1m/s2 _{en un cuerpo de 1 kg.}

En realidad la 2ª ley se extiende a:

La fuerza neta sobre un cuerpo es la suma

2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON. DEFINICIÓN DE FUERZA

Para una sistema de masa

m

constante

a

m

F

cte

m

si

=





=



✓ La masa es una propiedad interna del objeto. A igualdad de fuerza neta, cuanta más masa, menor aceleración.

















=

=

=



=

=









ma

f

ma

f

ma

f

a

m

f

F







Es una ecuación vectorial: representa varias ecuaciones algebraicas, una por cada componente. Expresada en componentes (p.ej. cartesianas):

2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON. DEFINICIÓN DE FUERZA

De nuevo es una ecuación vectorial → una ecuación para cada componente.

Si la fuerza neta tiene una componente nula pero no otra, entonces el momento total no se conserva pero se conserva la componente del momento a lo largo del eje para el cual la componente de la fuerza es cero.

Condiciones: Dos cuerpos sin fuerza externa neta, F_{neta, ext}= 0 . Solo existen fuerzas entre ellos:

F

, F

1 , 2 2 , 1 2 1 2 1 2 1 , 0 0 ( ) 0: F F t p t p p p p p P cte P F_totalext            − =    − =    − =  = +  → =  → =  =

Si la fuerza externa resultante sobre un cuerpo es cero el momento lineal total del cuerpo permanece constante. final inicial total

p

cte

p

p

F



=

0





=

:



=



p

p

cte

p

F

si

p

p

cte

p

F

si

p

p

cte

p

F

si

:

0

:

0

:

0

=

=



=

=

=



=

=

=



=

2.2.1.- CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

CASO: DOS MASAS AISLADAS

1 2 2

1→

=

−

F

F





2.3. TERCERA LEY DE NEWTON. LEY DE ACCIÓN - REACCIÓN

Si el cuerpo ejerce una fuerza sobre el cuerpo B, éste ejerce una fuerza igual, pero de sentido opuesto, sobre el cuerpo A. Por cada acción hay una reacción igual y de signo opuesto.

FUERZAS DE ACCIÓN Y REACCIÓN

✓ La interacción entre cualquiera dos objetos es mutua. El segundo le hace fuerza al primero y el primero le hace fuerza al segundo. Las dos fuerzas tienen:

1ºigual magnitud 2ºdirecciones opuestas.

✓ Las fuerzas vienen en pares pero las dos fuerzas no actúan sobre el mismo objeto.

✓ Acción y reacción nunca se cancelan una a la otra, pues están aplicadas en cuerpos distintos.

✓ La fuerza que es reacción a otra fuerza, siempre es una fuerza del mismo tipo. Por ejemplo, gravedad con gravedad, normal con normal.

✓ Cualquiera de las dos fuerzas puede ser “la acción” y cualquiera “la reacción”.

F

1

F

2

“RECETA” PARA RESOLVER PROBLEMAS

✓ Reconocer todos los “objetos” que interesa estudiar en el problema.

✓ Aislar cada objeto de estudio y definir su diagrama del cuerpo libre (DCL).

✓ Identificar y dibujar todas las fuerzas que actúan sobre cada objeto (peso, normal, tensión, rozamiento)

✓ Definir un sistema de referencia: establecer el sistema de coordenadas que sea más útil y encontrar las componentes de las fuerzas

✓ Escribir la 2ª Ley de Newton por separado para cada componente.

✓ Indicar la dirección de la aceleración (no es una fuerza!!). Usar la información de a.

✓ Identificar la información que tenemos de la aceleración. Muchas veces sabemos que la

aceleración es cero. Otras veces sabemos la dirección de la aceleración aunque no sepamos la magnitud.

✓ ¿Tengo suficientes ecuaciones para encontrar todas las incógnitas? Si no, debo analizar otro objeto siguiendo el procedimiento ya descrito. Al hacer esto, usar la tercera ley la cuál me relaciona las magnitudes de las diferentes fuerzas actuando sobre diferentes objetos.

✓ Resolver el sistema de ecuaciones para determinar la variable que me ha pedido el problema.

Diagramas del cuerpo libre (DCL):

Polea sin masa. Cuerda inextensible sin masa. Para m₁>m₂encontrar la aceleración de los bloques y la tensión en la cuerda

2.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejemplo 1: Diagramas del cuerpo libre (DCL). Polea sin masa (1DIM)

Hay tres “objetos”: el bloque, la mesa y la tierra.

• Sobre el bloque actúan dos fuerzas, la gravedad (w) y la fuerza normal ( Fn) que hace

la mesa. El bloque permanece en reposo, o sea, esas dos fuerzas se cancelan.

• El bloque hace una fuerza sobre la tierra (w´).

• El bloque hace una fuerza sobre la mesa (Fn´). Fíjate que esta fuerza no es la fuerza de

gravedad. Si el paquete no se mueve (como en este caso), es igual a la fuerza de

gravedad, pero, bajo otras circunstancias, no.

2.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejemplo 2, Bloque sobre una mesa

• La situación física. Dado

F

y las masas, hay dos incógnitas: la aceleración y

la fuerza entre A y B (

F

=

F

por tercera ley)

• Los dos “diagramas de fuerzas”:

EJEMPLO 3: DCL DE DOS OBJETOS (1 DIM)

(sin rozamiento…) B A ap

m

m

F

a

+

=

F

-F

=m

a

F

=m

a

• Resolviendo el par de ecuaciones:

F

=(m

m

)a

ap B A B BA F m m m F + = 2.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

“RECETA” PARA RESOLVER PROBLEMAS EN TRAYECTORIAS CURVAS

✓ Reconocer la trayectoria curva del “objeto” que interesa estudiar en el problema.

✓ Aislar ese objeto de estudio y definir su diagrama del cuerpo libre (DCL).

✓ Indicar el sentido de las aceleraciones centrípeta y tangencial (si la hay) (no son fuerzas!!).

✓ Identificar y dibujar todas las fuerzas que actúan sobre cada objeto (peso, normal, tensión, rozamiento). No poner fuerza centrifuga (ni centrípeta), solo fueras reales.

✓ Expresar las ecuaciones en los ejes normal (centrípeta) y tangencial (además de eje vertical).

✓ Identificar la información que tenemos de la aceleración. Muchas veces sabemos la aceleración centrípeta (con v). Otras veces sabemos si hay o no aceleración tangencial (o aceleración vertical).

෍ 𝐹_𝑐 = 𝑚𝑎_𝑐 = 𝑚𝑣 2 𝑅 ; ෍ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 = 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 2.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EJEMPLO 4: TENSIONES







=

=

cos

cos





T

F

T

F

0

=



F

mg

F

=











=

=





sen

T

F

sen

T

F

0

cos

cos



−

T



=

T

mg

sen

T

sen

T

₁



₁

+

₂



₂

=

Ty Tc EJEMPLO 5: ROTACIÓN



Tsen

T

=

R

v

m

ma

F

=

=



0

0

→

−

=

=



F

T

mg

)

tan(

cos







Rg

v

mg

T

R

v

m

Tsen

=











=

=



cos

T

T

=

EJEMPLO 6: PLANO INCLINADO

(sin rozamiento…)

w= mg

• El hecho de que la aceleración no depende de la masa es típico de la gravedad.

• La fuerza normal sí depende de la masa igual que el peso depende de la masa.

Las ecuaciones:

x)

0 + mg sin θ = ma



a = g sin θ

y)

Fn – mg cos θ = 0



Fn = mg cos θ

Las componentes del peso:

F

= mg sen θ

F

=– mg cos θ

• Hay dos fuerzas: peso (gravedad) y normal. • El sistema de coordenadas más útil tiene “x” a

lo largo del plano.

• En ese sistema las componentes de a son (a,0). • Dados m, θ, hay dos incógnitas: a, Fn.

(observa los vectores de aceleración dibujados aparte de las fuerzas)

EJEMPLO 7: DOS OBJETOS A ANALIZAR

Las fuerzas dibujadas en la situación física. Mejor hacer DCL´s: Bloque S:

•En x)

T=Ma

•En y)

N-F

=0



N=Mg

Bloque H:

•En y)

T-F

=ma



T-mg=-ma

• Dados m, M, tenemos dos

incógnitas (aparte de N) que son a y T.

• Sustituyendo por T y resolviendo en a, encontramos:

mg

m

M

M

T

g

m

M

m

a

+

=

+

=

Polea sin masa.

Cuerda inextensible sin masa. (sin rozamiento…)

EJEMPLO 8: PERALTE



sen

F

F

=

Se tiene que cumplir:

R

v

m

ma

F

=

=



mg

F

=



)

tan(

cos







Rg

v

mg

F

R

v

m

sen

F



=









=

=



cos

F

F

=

3. Sistemas de referencia inerciales . fuerzas ficticias

Sistema de referencia inercial : conjunto de coordenadas que se mueve a velocidad constante. Ley de conservación del momento lineal : si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo en nula, su momento lineal se conserva. →Una partícula libre se mueve con velocidad constante.

LEY DE INERCIA: “Existen ciertos sistemas de

referencia (llamadas inerciales), respecto de los cuales una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante (incluida la velocidad 0).

EJEMPLO 1: FUERZA CENTRÍFUGA.

Una masa puntual m unida a una cuerda, rotando con velocidad constante, en una trayectoria circular horizontal.

✓ Desde un observador en reposo O (inercial), no existen fuerzas ficticias. “Ve” la tensión de la cuerda y una

aceleración centrípeta (hacia el centro de la circunferencia)

✓ Desde un observador Q subido a la masa y moviéndose en la trayectoria circular (no inercial): la masa no se mueve, pero “ve” una fuerza ficticia: fuerza centrifuga, = masa del objeto por la aceleración del sistema cambiada de sentido (signo): f_centrifuga=-m·a_n

✓ En los dos casos las ecuaciones finales son iguales. Pero en uno (O) se considera una aceleración mientras que en el no-inercial (Q) aparece una fuerza ficticia.

r

v

m

ma

T

=

=

ma

f

=

−

0

0

=

−

=

−

=

+

r

v

m

T

ma

T

f

T

EJEMPLO 2: ASCENSOR. Dirección de la aceleración

✓ El diagrama de fuerzas es el mismo en todas las etapas del movimiento:

F_n – m g = m a  F_n = m g + m a

(sist. no-inerc, Ascensor: F_n – mg +f_ficticia=0 : Fn – mg – ma=0)

✓ La diferencia estriba en que la aceleración es diferente en cada etapa. • Subiendo acelerado : a > 0 • Subiendo constante : a = 0 • Subiendo decelerado : a < 0 • Bajando acelerado : a < 0 • Bajando constante : a = 0 • Bajando decelerado : a > 0

✓ Así que el peso aparente cambia durante el movimiento!!!

4. FUERZAS DE ROZAMIENTO

Objetos deslizándose sobre superficies:

Fuerza Normal → fuerza perpendicular a una

superficie que se opone a su deformación.

Fuerza de rozamiento → fuerza paralela a una

superficie que se opone al movimiento de un cuerpo sobre ella.

Puntos de contacto microscópicos

La fuerza de fricción se debe a la naturaleza de las dos superficies: a causa de su aspereza, solo se

establece contacto en pocos puntos, como se muestra en la vista

ampliada de la superficie en la figura.

Fuerzas de rozamiento: son de origen electromagnético debidas a interacciones entre las moléculas de cada objeto.

mg N, fuerza normal F, fuerza aplicada f, fuerza de rozamiento

N

f

f



=



✓Rozamiento estático (e, s): se opone a la resultante del resto de

fuerzas presentes en el objeto. Como no hay desplazamiento, a priori no se sabe su dirección ni sentido.

4.1. ROZAMIENTO ESTÁTICO

N

f





Experimentalmente se encuentra que, con buena aproximación, tanto f_e,max

como f_dson proporcionales a la fuerza normal que actúa sobre el bloque.

Experimentalmente se encuentra que, con buena aproximación,

f_e,maxes proporcional a la fuerza normal que actúa sobre el bloque. La constante de proporcionalidad adimensional es el coeficiente de rozamiento estático, _e.

En la figura se ve un bloque sobre una mesa horizontal. Si aplicamos al bloque una fuerza horizontal externa Fque actúa hacia la derecha, el bloque permaneceen reposo si Fno es muy grande.

La fuerza que contrarresta y que impide que el bloque se mueva, actúa hacia la izquierda y se conoce como la fuerza de rozamiento estática En tanto el bloque permanece en reposo f_e=F. Por lo tanto si F aumenta fe también lo hace. Análogamente si F disminuye fe también se reduce.

mg N F f_e en reposo > F

Si aumentamos la magnitud de F, como el la figura, el bloque termina por deslizarse. Cuando el bloque está a punto de deslizar, la fuerza de rozamiento estática alcanza un máximo, como se muestra en la figura.

N

f

=



✓Rozamiento dinámico (cinético) (k,d): siempre se opone al sentido de desplazamiento relativo entre las superficies.

4.2. ROZAMIENTO DINÁMICO

> F

• Cuando F es mayor que fe,max, el bloque se desplaza y acelera hacia la derecha. Una vez que el bloque está en movimiento, la fuerza de rozamiento se hace menor que fe,max. A la fuerza de fricción de un objeto en movimiento le llamamos fuerza de rozamiento dinámica fd,.

• La fuerza no equilibrada en la dirección x, F-fd , produce una aceleración hacia la derecha.

• Si F=fd , el bloque se desplaza hacia la derecha con velocidad constante. Si se retira la fuerza aplicada, entonces la fuerza de fricción fd , que actúa hacia la izquierda acelera el bloque en la dirección de –x y termina por detenerlo.

Experimentalmente f_des proporcional a la fuerza normal que actúa sobre el bloque. La constante de proporcionalidad adimensional es el coeficiente de rozamiento dinámico, _d.

mg N F f_d movimiento a 4. FUERZAS DE ROZAMIENTO F f_k F f_{e, max} F f_e F f_e en reposo

N

f

_rod

=



_r

✓Rozamiento de rodadura: (rueda rígida, indeformable) si se rueda sin deslizar, el punto de contacto está en reposo. El rozamiento es estático y su sentido no se sabe.

• μ_res el coeficiente de rozamiento de rodadura. Depende de la superficie de contacto y de la composición de la rueda y el suelo. Son uno o dos ordenes de magnitud menores que los coeficientes de rozamiento cinéticos

• μ_rcaucho /hormigón: 0.01-0.02 • μ_racero /acero: 0.001-0.002

rod

f



zona de contacto. La fuerza de rozamiento se opone al movimiento.

4.4. COEFICIENTES DE ROZAMIENTO

✓ Los valores de _ey _d dependen de la naturaleza de las superficies y por lo general _d es menor que _e.

✓ Los coeficientes de fricción son casi independientes del área de contacto entre las superficies. 4. FUERZAS DE ROZAMIENTO c

f



N

f

=



Acero sobre acero 0.7 0.6 Latón sobre acero 0.5 0.4 Cobre sobre hierro fundido 1.1 0.3 Vidrio sobre vidrio 0.9 0.4 Teflón sobre teflón 0.04 0.04 Teflón sobre acero 0.04 0.04 Caucho sobre hormigón (seco) 1.0 0.80 Caucho sobre hormigón (húmedo) 0.30 0.25

Cuando un cuerpo se mueve en un fluido (agua, aire, etc.) la fuerza de rozamiento (viscoso) o fuerza de arrastre se opone al movimiento. Este rozamiento viscoso depende de la forma del objeto, de las propiedades del fluido, y es proporcional a una potencia (n=1 ó 2) de la velocidad del objeto.

n

arr

b

v

f

=

La velocidad de los cuerpos sometidos a este tipo de fuerzas llegan a una velocidad limite.

EJEMPLO: FUERZA ROZAMIENTO.

Bloque de masa m deslizando en un plano inclinado con

coeficiente de rozamiento dinámico k. Calcular la aceleración del bloque.

0

cos

=

=

−

=

−

ma

mg

F

y

ma

mgsen

F

x











g

cos

gsen

a

_x

=

−

+

_K









=

=

−







cos

mg

F

y

ma

mgsen

F

x