Fuerzas en un plano

Mecánica Vectorial

Cap. 2

Juan Manuel Rodriguez Prieto

Estática de partícula

Primero aprenderemos a sustituir dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula por una fuerza que tenga el mismo efecto que ellas. Esta equivalente es la resultante de las fuerzas originales.

Derivaremos las relaciones que existen entre distintas fuerzas que actuan sobre una partícula en un estado de equilibrio y la usaremos para determinar algunas de las fuerzas presentes sobre dicha partícula.

Fuerzas en un plano

•  Una fuerza representa la acción de un cuerpo

sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicación, su magnitud, su dirección y sentido.

•  Las fuerzas sobre una partícula tienen el mismo

Ley del paralelogramo

•  Dos fuerzas P y Q que actúan sobre una

partícula A, pueden sustituirse por una sola

fuerza resultante R que produce el mismo efecto sobre la partícula.    

P

Ley del paralelogramo

•  Dos fuerzas P y Q que actúan sobre una

partícula A, pueden sustituirse por una sola

fuerza resultante R que produce el mismo efecto sobre la partícula.

P

Q A

Ley del paralelogramo (Cantidades físicas)

Cantidades que poseen magnitud y dirección se suman usando la ley del paralelogramo

Ejemplo:

•  Fuerzas

•  Desplazamientos

•  Velocidades

•  Aceleraciones

•  Momentos

Ley del paralelogramo

Debido a que el paralelogramo construido con los vectores P y Q no depende del orden en que se

seleccionen P y Q, se concluye que la adición de vectores es conmutativa, escrita así

Ley del triangulo

La suma de P y Q puede encontrarse colocando la cola de Q en la punta de P y uniendo la punta de Q y la cola de P.

Q

A

P

Suma de tres vectores (P,Q,S)

La suma de P,Q y S se obtendrá sumando primero los vectores P y Q y agregando el vector S al

vector P+Q.

De igual manera, la suma de cualquier numero de vectores se puede obtener aplicando repetidamente la ley del triangulo a pares sucesivos de vectores,

Descomposición de una fuerza en sus componentes

Descomposición de una fuerza en sus componentes

(Dos casos de interés)

1. Una de las dos componentes se conoce (P). La segunda componente, Q , se obtiene aplicando la regla del triangulo y uniendo la punta de P a la punta de F; la magnitud, la dirección y el sentido de Q se determinan gráficamente o por trigonometría. Una vez que Q se ha determinado, ambas componentes deben aplicarse en

A. _{P Q}

Descomposición de una fuerza en sus componentes

(Dos casos de interés)

2. Cuando se conoce la línea de acción de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene aplicando la ley del paralelogramo y trazando líneas, por la punta de F, paralelas a la línea de acción dadas. De esa forma obtenemos las dos componentes bien definidas P y Q, que pueden determinarse gráficamente o por trigonometría.

P

Descomposición de una fuerza en sus componentes

Se pueden sumar y restar fuerzas usando un sistema de coordenadas cartesiano

F_R = FRx F_Ry ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

F_x = F_ix

i=1

n

∑

F_Ry = F_jy

j=1

n

∑

La magnitud de la fuerza resultante la podemos calcular u s a n d o e l t e o r e m a d e Pitágoras

F_R = F_Rx2 +F_Ry2

La dirección de la fuerza se puede determinar usando trigonometría

Ejemplo 1

(Solución)

F₁

F₂

F_R

F₁

F₂

Ejemplo 2

(Solución)

F_1x = F₁sin(30º )=250sin(30º )

F1y= F1cos(30º )=250 cos(30º )

F2x= F2 sin(45º )=375sin(45º )

F2y=−F2 cos(45º )=−375 cos(45º )

F_Rx=250sin(30º )+375sin(45º )=125+265,16=390,16 F_Ry=250 cos(30º )−375 cos(45º )=216,50−265,16=−48,66

Ejemplo 3

(Solución)

F1x= F1 cos(60º )=600 cos(60º )=300lb F_1y= F₁sin(60º )=600sin(60º )=519,61lb

F2x =−T sin(θ)

F2y= T cos(θ)

FRx=300−T sin(θ)=0

F_Ry=519,6+T cos(θ)=1200

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

519,6+300ctg(θ)=1200 300

680, 38=tan(θ)

θ =23, 73º

300−T sin(23, 73º )=0

Vectores en 3D

Sistema coordenado derecho

Un sistema coordenado rectangular es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en la dirección del eje z positivo, cuando los dedos de la mano derecha se curvan alrededor de este eje y están dirigidos del eje

x positivo hacia el eje y

Vectores en 3D

Sistema coordenado derecho

Cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos dividir el ve c t o r e n c o m p o n e n t e s c o m o A=A’+Az y luego A’=Ax+Ay. Al combinar estas ecuaciones, para eliminar A’ se representa mediante la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares.

Vectores en 3D

Vectores unitarios cartesianos

Vectores en 3D

Representación de un vector cartesiano Las tres componentes de A actúan en las

direcciones positivas i, j y k, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como

Vectores en 3D

Magnitud de un vector cartesiano A partir del triángulo rectángulo azul

y del triángulo rectángulo sombreado

Al combinar estas ecuaciones se obtiene

A = A x 2 + A y 2 + A z 2

(

)

A = A'2+ A

z

2

(

)

A' = A

x

2 + _A

y

2

Vectores en 3D

Dirección de un vector cartesiano

La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados

medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos. Cada uno de estos ángulos estará entre 0 y 180º .

Los ángulos directores coordenados se determinan como sigue

cos(α) = Ax

A cos(β) =

A_y

A cos(γ ) =

A_z

Vectores en 3D

Dirección de un vector cartesiano

Una manera fácil de obtener estos cosenos directores es formar un vector unitario u_A

en la dirección de A

las componentes i, j, k de u_A representan los cosenos directores de A

si sólo se conocen dos de los ángulos coordenados, el tercer ángulo puede encontrarse con la siguiente ecuación

Finalmente A puede expresarse de la siguiente manera

u_A = Ax A i +

A_y

A j +

A_z

A k

u_A = cos(α)i + cos(β)j+ cos(γ )k

cos(α)2 + cos(β)2 + cos(γ )2 = 1

Vectores en 3D

Dirección de un vector cartesiano

A_z = A cos(φ)

A' = A sin(φ)

A_x = A' cos(θ) = A sin(φ)cos(θ) A_y = A' sin(θ) = A sin(φ)sin(θ)

Por lo tanto, A escrito en forma de vector cartesiano se convierte en

Vectores en 3D

Suma de vectores cartesianos

A = A_xi + A_yj+ A_zk

B = B_xi + B_yj+ B_zk

F_R = ∑ F_xi + ∑F_yj+ ∑ F_zk

Para un sistema de fuerzas la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes y puede escribirse como

Vectores 3D Vector posición

Vectores 3D Vector posición

En el caso más general, el vector de posición puede estar dirigido desde el punto A hasta el punto B en el espacio. Por la suma vectorial de cabeza a cola y con la regla del

triangulo se requiere que

Despejando r y expresando r_A y r_B en forma cartesiana se obtiene

r_A + r = r_B

Vectores 3D

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea

F = F (xB − xA)i + (yB − yA)j+ (zB − zA) r

r = (x_B − x_A)2 + (y_B − y_A)2 + (z_B − z_A)2

Vectores 3D

Vectores 3D

Vectores 3D

Vectores 3D

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea

Vectores 3D

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea

Vectores 3D

Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea

Vectores 3D

Vectores 3D Producto punto

En estática usamos el producto punto para: •  localizar el ángulo entre dos líneas

•  calcular las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea

El producto punto de los vectores A y B, que se escribe A.B, y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo entre sus colas

Ai B = A B cos(θ)

Vectores 3D Producto punto

Vectores 3D Producto punto

Vectores 3D Producto punto

Vectores 3D Producto punto

Vectores 3D Producto punto