a+h f(a + h) f(a) + hf (a)

4.1. ¾Qué problemas nos faltan por resolver?

A lo largo deltema 3 hemos avanzado muho en el estudiodelomportamiento de una

funión. Hemosenontradopropiedadesde

y(x)

on lasquepodemos ontarsi

y(x)

admite límite en un punto

x

=

a

; otras propiedades si

f

(x)

es ontinua; nuevas propiedades si además, la funión está denida en un dominio de la forma

[a, b]

; y por último, muha informaión sobre

y(x)

siesderivable.

No obstante, hay que reordar que ada vez que hemos ido exigiendo más ondiiones

(hipótesis) a

y(x)

. Exigir unanueva hipótesissupone limitar elonjunto de funionesa las quesepuede apliarun oneptoó unteorema. Por ejemplo,no podemos estudiarómose

omporta

y(x)

empleando

y

′

(x)

siantesno nosaseguramos deque

y(x)

esderivable.

Ejeriio 4.1 Elabora un esquema en elque aparezan los resultados más importantes que

hemos estudiado aera del estudio de funiones. El esquema debe mostrar laramente que

uanto más potente es elonepto, más propiedades se umplen, pero también supone más

ondiiones o hipótesis.

Veamos a ontinuaión unresumende los problemasque habrá queabordar.

4.1.1. Máximos y mínimos loales

z_1

z_2

Figura4.1: Máximoymínimo

Es importante identiar los puntos donde se produe un ambio en el reimiento de

lafunión(ver lagura 4.1). Lafunión

y(x)

puede representar, porejemplo, unaorriente elétria, la presión de una aldera, ó el beneio de una empresa. En todos los asos nos

interesará averiguar en qué zonas del dominio de

x

,

y(x)

ree ó deree yen qué puntos hayunambio en elomportamiento óun valormáximo ó mínimoloal.

4.1.2. Conavidad haia arriba y haia abajo

Figura4.2: Conavidad yonvexidad

Ver lagura 4.2: ¾Qué diferenia hayentre estos dosomportamientos de

y(x)

?. ¾Qué propiedades de

y(x)

están asoiadas a unoyotro?

4.1.3. Aproximaión de funiones

a

a+h

Figura4.3: Aproximaiónde unafunión

Reordemosqueladerivadanosproporionaunmedioparaalulardeformaaproximada

valoresdefuniones(ver lagura 4.3). Setrata delaaproximaión mediante ladiferenial;

para

h

próximoa

0

:

f

(a

+

h)

_≈

f

(a) +

hf

′

(a)

Sin embargo, esta aproximaión puede ser insuiente si

h

es relativamente grande. Podemos pensar en alular la aproximaión alulando ladiferenial en otro punto

b

más próximoalpunto

a+h

(verlagura4.4),peroparaelloesneesarioonoerelvalorde

y

′

(b)

,

on lo ualde nuevo tenemos el problemade alularel valor de una funión, ahora

y

′

(x)

. ¾No existiráun modo de aproximar elvalor de

y(x)

en laseranías de

a

, peroonoiendo sólo datosde

y(x)

en

x

=

a

?.

a

a+h

Figura4.4: Varias derivadas

4.2. Extremos loales

Enelapartado4.1.1yahablamosdelaimportaniadeonoerdóndeunafuniónalanza

su máximo valor. Observalos ejemplos delas guras4.5y4.6:

a

b

m

M

Figura 4.5:Mínimo ymáximo enlos extremos

En lagura 4.5,

y(x)

alanza su mínimovalor en

x

=

a

ysu máximovalor en

x

=

b

. En lagura 4.6,

y(x)

alanza su máximo valor en

x

=

b

peronotiene mínimo en

[a, b]

.

¾Bajoquéondiionespodemos asegurarque

y(x)

alanza sumáximo ysumínimo en elintervalo

[a, b]

?.ElTeoremadeWeierstrassnosindiaqueessuiente(perononeesario) que

y(x)

sea ontinua en

[a, b]

. ( Ver Tema 3apartado 12.3).

Ejeriio 4.2 Para las siguientes funiones, estudiar si es posible apliar el Teorema de

Figura4.6:Máximo en

x

=

b

peronohaymínimo

y(x) = 1 +

x

2

x

_∈

[

₋

1,

2]

y(x) =

(

1 +

x

2

si

x

∈

[

−

1,

0)

∪

(0,

2]

3

si

x

= 0

y(x) =

x

2

_{+ 1}

_x

_∈

₍

₋

_1,

₂₎

Veamos otro ejemplo(gura4.7):

M

b

a

m

z

z

1

2

Figura4.7: Máximoymínimo loales

y(z)

alanza su máximo ysu mínimo en

[a, b]

:

m

=

y(b)

,

M

=

y(a)

. Pero en

[a, b]

hay dos puntos

z

1

y

z

2

donde

y(z)

tiene un omportamiento espeial. No es en

z

1

donde

y(z)

alanza el mínimo valor posible en el intervalo

[a, b]

, pero

y(z

1

)

sí es el mínimo valor que

y(z)

alanza en laseranías de

z

1

. Vamos aesribir de modo formalestapropiedad:

∃

δ >

0

_|

y(z

1

)

≤

y(z)

∀

z

∈

(z

1

−

δ, z

1

+

δ)

Reordemos quealintervalo

(z

1

−

δ, z

1

+

δ)

lollamamos entornode

z

1

. Del mismo modo:

∃

ǫ >

0

_|

y(z

2

)

≥

y(z)

∀

z

∈

(z

2

−

ǫ, z

2

+

ǫ)

#

#

#

#

#

z

1

−

δ

z

1

z

1

+

δ

z

2

−

ǫ z

2

z

2

+

ǫ

Figura4.8: Comportamiento loal

Comportamiento global de

y(z)

en todoeldominio

[a, b]

:

∀

z

_∈

[a, b], y(z)

_≤

y(a)

máximoabsoluto en

a

∀

z

_∈

[a, b], y(z)

_≥

y(a)

mínimoabsoluto en

b

Comportamiento loal de

y(z)

enlas eraníasde

z

1

y

z

2

(ver lagura 4.8):

∃

δ >

0

_|

y(z

1

)

≤

y(z)

∀

z

∈

(z

1

−

δ, z

1

+

δ)

y(z)

presenta unmínimo loalen

z

1

∃

ǫ >

0

_|

y(z

2

)

≥

y(z)

∀

z

∈

(z

2

−

ǫ, z

2

+

ǫ)

y(z)

presenta un máximo loalen

z

2

Enontrar los máximos y mínimos loales (a los que vamos a llamar extremos loales)

es importante porque son puntos en los que se produen pios en la utuaión de una

magnitud, por ejemplouna orriente elétria.

Ahoranuestroproblemaes:¾ómoidentiar esosextremosloales?.Losgráos

ante-rioresnossugierenunaonjetura:si

y(x)

esderivable,PARECEqueenlosextremosloales setiene

y

′

= 0

, ¾seráverdad?.Observaelejemplo delagura 4.9: Paree queen losextremosloales

z

1

,

z

2

latangente eshorizontal:

y

′

(z

1

) =

y

′

(z

2

) = 0

.

z

2

z

1

Figura4.9: Tangentes horizontales

Pero½uidado!para apliarestasupuestapropiedad, debemos ontaron lahipótesisde

derivabilidad. Enelejemplode lagura 4.10 noexiste

y

′

(z

1

)

.

z

1

Figura4.10: No existeladerivada en

z

1

Ahoravamosa demostrar lapropiedad:

Teorema 4.1 Si

y(x)

es derivable en

x

=

c

y existe un extremo en este punto, entones

y

′

(c) = 0

.

Demostraión

Supongamos por ejemplo que

y(x)

alanza un mínimo loal en

x

=

c

. Si se trata de un máximo,el razonamiento essimilar. Como

y(x)

esderivable, existe

y

′

(c) = l´ım

h

→

0

y(c

+

h)

₋

y(c)

h

yomo

y(c)

esmínimo loal, si tomamos

h

lobastante próximoa

0

, setendrá:

y(c

+

h)

_≥

y(c)

_⇒



















si

h >

0

⇒

y(c

+

h)

₋

y(c)

h

≥

0

⇒

y

′

(c)

_≥

0

si

h <

0

⇒

y(c

+

h)

₋

y(c)

h

≤

0

⇒

y

′

(c)

_≤

0

⇒

y

′

(c) = 0

Ejeriio 4.3 Si

y(x)

admite un extremo loal en

x

=

c

, ¾debe ser

y(x)

derivable en ese punto?. Si

y

′

(c) = 0

, ¾neesariamente

y(x)

presenta un extremo loal en

x

=

c

?.

4.3. ¾Es nulo el valor de la veloidad en algún momento?

Si

y(x)

representa elmovimiento de unobjeto, lafuerza apliada aun móvil, la tempe-ratura enun horno, et.,nosinteresaonoer enqué instantes laveloidadde

y

respetoa

x

es

0

. Además,en esospuntostambiénsabemos que puede existirunextremo loal.

Nuestro problemaes: ¾dadauna funiónderivable, ¾bajoqué ondiiones podemos

ase-gurarque existe

c

talque

y

′

(c) = 0

?. Veamos algunos ejemplos:

a

b

a

z

1

z

2

b

y

′

(x)

>

0

_∀

x

_∃

z

1

, z

2

|

y

′

(z

1

) =

y

′

(z

2

) = 0

a

z

1

z

2

b

a

z

b

y

′

(z

1

) =

y

′

(z

2

) = 0;

y(a) =

y(b)

y

′

(z) = 0;

y(a) =

y(b)

Pareequelaondiión

y(a) =

y(b)

essuiente (perono neesaria)paragarantizarque existe

c

talque

y

′

(c) = 0, c

_∈

[a, b]

. ¾Será iertaesta propiedad engeneral?.En efeto,esta propiedad seonoe omoTeorema deRolle.

Teorema 4.2 ( de Rolle) Para garantizar que existe

c

∈

(a, b)

tal que

y

′

(c) = 0

, es suiente on que

y(x)

sea ontinua en

[a, b]

, derivable en

(a, b)

y que

f

(a) =

f

(b)

.

Demostraión asoa a b x f(x) aso b a b x f(x) aso a b x f(x)

Figura4.11: Teorema deRolle

Si la funión esonstante en

[a, b]

, (ver el aso a de la gura 4.11), lademostraión es inmediata pues

f

′

Si lafunión no esonstante tomará valores distintos de

f

(a) =

f(b)

. Supongamos que toma valores mayores que

f

(a)

(la demostraión sería similar si onsideráramos que toma valoresmenores),(ver elasob delagura 4.11).

Como

f

(x)

es ontinua en el intervalo errado

[a, b]

, por el teorema de Weierstrass,

f

(x)

tiene un máximo

M

yunmínimo

m

. Si elmáximo

M

6

=

f

(a)

, seumple:

∃

c

_∈

(a, b)

_|

f

(c) =

M

_∧

f

(x)

_≤

M

_∀

x

_∈

[a, b]

_⇒

c

esunmáximo loal

⇒

f

′

(c) = 0

4.4. El Teorema del Valor Medio

Unamioneroestáirulandoporunaarreterauyaveloidadmáximaesde

70

Km/h

. Cuando ve a lo lejos un ohe patrulla de la Ertzaintza en el arén, redue su veloidad

de modo que alpasar a la altura delohe, su veloidad es de

65

Km/h

. Cuando elohe patrullasepierdedevista,elamioneroaumenta suveloidad.Unoskilómetrosdespués,ve

otroohepatrulla,tambiénestaionadoenelarén.El amionerohaelamismaoperaión:

redue su veloidad de modo que al pasar a la altura de los ertzainas, su veloidad es de

68

Km/h

. Sin embargo, elagente leordena quesedetenga. Agente.- Buenos días.¾Puedo ver su doumentaión?.

Camionero.- Claro. ¾Ourre algo, agente?.

Agente.- Ourre que ha irulado Ud. a una veloidad superior a la permitida en este

tramo,que esde

70

Km/h

.

Camionero.- No esposible.Mi veloidadha sidosiempre inferiora

70

Km/h

.

Agente.- El ohepatrullasituado

6

Km

atrás,noshainformadoqueUd.pasóasu altura hae

4

minutos.

Camionero.- Peromi veloidadera menorde

70

Km/h

, meauerdo perfetamente. Agente.- Eso no importa. Sé que ha irulado a veloidad superior a

70

Km/h

en algún

momento porque en otroaso noesposiblereorrer los

6

Km

en

4

minutos. Camionero.- ¾Por quéno?.

Agente.- Porque reorrer

6

Km

en

4

minutos, signia llevar una veloidad media de

90

Km/h

. Enalgún momento hairulado Ud.a

90

Km/h

. El razonamiento del agente paree impeable.¾Será orreto?.

Podemos enuniar elproblema así:

Dada una funión

y(x)

denida en

[a, b]

, se trata de averiguar si siempre existe, al menos, unpunto

z

∈

[a, b]

enel que la veloidad oinideon la veloidad media.

Como hablamos de veloidad en un punto

z

, ya estamos exigiendo derivabilidad en

(a, b)

, ypor tanto ontinuidad. Vamos aenuniar elproblemade modo riguroso:

Dada

y(x)

ontinua en

[a, b]

, derivable en

(a, b)

, ¾

∃

z

∈

(a, b)

|

y

′

(z) =

y(b)

−

y(a)

b

₋

a

? Observa lassiguientes gráas (gura4.12)

a

z

b

a

a

b

z

z

1

2

Figura4.12: Punto medio

Paree serquefáilmente onstruiremos elpunto

z

. Este eselproedimiento:

1. Trazamos elsegmento queune los puntosde oordenadas

(a, y(a)),

(b, y(b))

. La pen-diente

m

de este segmento espreisamente la veloidad mediade

y(x)

enelintervalo

[a, b]

:

m

=

y(b)

−

y(a)

b

₋

a

2. Trazamos una reta paralela a ese segmento, y que sea tangente a la urva (puede

haber unao varias soluiones), omo en elejemplode lagura (4.12).

3. La absisa

z

∈

(a, b)

donde se traza esa reta tangente, es un punto que umple la ondiión

y

′

(z) =

y(b)

−

y(a)

b

₋

a

Ahora vamos a demostrarlode formarigurosa:

Trazamos lareta seante por

(a, y(a)),

(b, y(b))

, que tienede euaión:

u(x) =

y(b)

−

y(a)

b

₋

a

(x

−

a) +

y(a)

Estamosbusando unpunto

z

talque

u

′

(z) =

y

′

(z)

(ambasretasparalelas): ¾

∃

z

∈

(a, b)

tal que

u

′

(z)

₋

y

′

(z) = 0

? Estudiemoslafunión diferenia:

h(x) =

u(x)

₋

y(x)

¾

∃

z

talque

h

′

(z) = 0

?

Reordemos que tenemos un teorema que habla de un punto

z

tal que

h

′

(z) = 0

: el Teorema de Rolle.Veamos si

h(z)

umple todaslas hipótesis:

1.

h(x)

estádenida en

[a, b]

porque

u(x)

e

y(x)

loestán.

2.

h(x)

esontinua en

[a, b]

yderivableen

(a, b)

porque

u(x)

e

y(x)

loson. 3.

h(a) =

u(a)

−

y(a) =

y(a)

−

y(a) = 0

h(b) =

u(b)

₋

y(b) =

y(b)

₋

y(b) = 0

Por lotanto según elteoremade Rolle:

∃

z

_∈

(a, b)

_|

h

′

(z) = 0

_⇔

y

′

(z) =

u

′

(z) =

y(b)

−

y(a)

b

₋

a

Si volvemos a nuestro amionero:

[a, b] = [0,

4]

; enel quela funión

E(t) =

espaio reorrido, esontinua y derivable. Estas propiedadespodemos asumirlasomohipótesisfísiamente razonables, ¾eresapazde

expliar por qué?.

E(0) = 0

Km

,

E(4) = 6

Km

Luego

∃

z

∈

[0,

4]

talque

y

′

(z) =

6

−

0

4/60

= 90

Km/h

El amionero no selibra de lamulta. Esteresultado sellamaTeorema del valor medio.

Ejeriio 4.4 Enuentra la fórmula de la sanión de tráo. Es deir, si un vehíulo

reorre

D Km

en

m

minutos en una vía donde la limitaión de veloidad es de

v Km/h

, ¾uándo pueden los agentesestar seguros deque elvehíulo harebasado la veloidad

v

?.

4.5. Creimiento y dereimiento

Si

y

′

(x)

>

0

_∀

x

_∈

(a, b)

, entones

y(x)

esreiente en

(a, b)

; delmismo modo

y

′

(x)

<

0

_∀

x

_∈

(a, b)

india

y(x)

dereiente en

(a, b)

. Se trata de un resultado que ya utilizamos en elapítuloanterior, perono lodemostramos.Gráamente esmuylaro:

a

b

a

a

b

α

y

′

(x)

>

0

_⇔

tan

α >

0

y

′

(x)

<

0

_⇔

tan

α <

0

CRECIENTE DECRECIENTE

Ahora, utilizando el Teorema delvalor medio, podemos demostrar este resultado. Pero

¾porquéusarelTeoremadelvalormedio?.Vamosaesribirdemaneraformalloquesignia

a

x

1

x

2

b

y(x

1

)

y(x

2

)

Figura4.13: Funiónreiente

y(x)

reiente en

(a, b)

⇔ ∀

x

1

, x

2

∈

(a, b), x

1

< x

2

⇒

y(x

1

)

< y(x

2

)

Utilizamos elteorema delvalormedio porque este teoremaestablee una relaiónentre

y(x

1

), y(x

2

), y

′

(z), z

∈

(x

1

, x

2

)

Apliandoelteorema en

[x

1

, x

2

]

:

∃

z

_∈

(x

1

, x

2

)

|

y

′

(z) =

y(x

2

)

−

y(x

1

)

x

2

−

x

1

Como

y

′

(x)

>

0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

y

′

(z)

>

0

_⇒

y(x

2

)

−

y(x

1

)

x

2

−

x

1

>

0

x

1

<x

2

⇒

y(x

2

)

> y(x

1

)

Por tanto,

y(x)

es reiente en

(a, b)

. Ejeriio 4.5 Demostrar que si

y

′

(x)

<

0

_∀

x

_∈

(a, b)

entones

y(x)

es dereiente en

(a, b)

.

Ejeriio 4.6 Sabemosque :

y

′

(x)

>

0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

y(x)

reiente en

(a, b)

y

′

(x)

<

0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

y(x)

dereiente en

(a, b)

Ahora la pregunta es: Si el dominio no es un intervalo de la forma

(a, b)

, ¾siguen siendo iertos esos dos resultados?.

Observa lo versátil que es el teorema del valor medio: Ha servido para sanionar al

amioneroypara demostrarlarelaiónqueexisteentreelreimiento de

y(x)

e

y

′

(x)

.Pues bien, todavía podemos saarleaún mas rendimiento.

Veamosómo demostrar unpar de resultados más quesonmuyintuitivos:

1. Si

y

′

(x) = 0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

y(x)

esonstante en

(a, b)

Yasabíamos que

y(x) =

cte

⇒

y

′

a

b

(

)

Figura4.14: Derivada nula

Teorema 4.3 Deirque

y

′

(x) = 0

en

(a, b)

esequivalenteadeirque

y(x)

esonstante en

(a, b)

(ver la gura 4.14).

Demostraión

Tomamos un

x

∈

(a, b)

ualquiera. Apliamos el Teorema del valor medio en

[x, b]

: Existe un

z

∈

(x, b)

queumple:

y

′

(z) =

y(b)

−

y(x)

b

₋

x

;

omo

y

′

(x) = 0

_⇒

y

′

(z) = 0;

por tanto

y(x) =

y(b)

∀

x

∈

(a, b)

2. Si dos funiones tienen lamisma derivada, entones se diferenian en una onstante

(ver la gura 4.15): Teorema 4.4 Si

y

′

(x) =

v

′

(x)

_∀

x

_∈

(a, b),

_∃

C

_∈

R

_|

_{y(x) =}

_{v(x) +}

_C

Demostraión

k

y(x)

v(x)

Figura4.15: Derivadasiguales

y

′

(x) =

v

′

(x)

_⇒

y

′

(x)

₋

v

′

(x) = 0

_⇒

y(x)

₋

v(x)

′

= 0

Apliandoelresultado anterior:

Ejeriio 4.7 Deforma similar a lo propuesto enel ejeriio 4.6: sienvez deun dominio

de la forma

(a, b)

, se trata de un dominio diferente

D

, ¾siguen siendo válidas esas dos propiedades?.

4.6. El Teorema de Taylor

Vamos areordar dosproblemasimportantes quetodavía nohemos resuelto:

1. Reonoimiento de máximos y mínimos loales: Sabemos que si

y(x)

es derivable en el punto

x

=

a

y además

y(x)

presenta un extremo loal en ese punto, entones, neesariamente

y

′

(a) = 0

. Ahora bien, la ondiión

y

′

(a) = 0

no garantiza que

y(x)

tengaun extremo en

x

=

a

. Es deir,puede sueder que

y

′

(a) = 0

pero queno exista extremo en ese punto. Esto ourre, por ejemplo, on

y

=

x

3

en

a

= 0

(ver la gura 4.16). Figura4.16: Funión

y

=

x

3

y(x) =

x

3

_⇒

y

′

(x) = 3x

2

, y

′

(0) = 0

perono hay extremo.

Asípues,nuestroproblemaes:¾Quéondiionesdebeumplir

y(x)

parapoderasegurar quepresenta unextremo en

x

=

a

?.

2. Conavidad yonvexidad (ver lagura 4.17).

Figura4.17: Funiones ónavasy onvexas

Laspreguntasson:¾Esútilsabersi

y(x)

esónavahaiaarribaóónavahaiaabajo? ¾ómopodemos reonoer ambostiposde omportamiento?.

Ambosproblemaspareennotenerrelaiónentresí,sinembargo,lasoluiónparaambos

tiene su origen en la misma idea. Veamos en que onsiste esa idea: Ambos problemas se

reeren a una propiedad loalde

y(x)

, es deir, alestudio del omportamiento de

y(x)

en un entorno delpunto

x

=

a

. En lagura 4.18seobserva:

b

c

d

a

Figura4.18: Diversaspropiedades

Es onvexaen unentorno de

x

=

a

Posee extremosloales en

x

=

b

yen

x

=

c

Es ónavaen un entorno de

x

=

d

Pues bien, la idea es: Vamos a fabriarnos otra funión

z(x)

, que sea muy senilla de manejar, de modo que

z(x)

esté muy próxima a lafunión

y(x)

en las eranías del punto

x

=

a

.

a

z(x)

y(x)

Figura 4.19: Funiones próximas

Si

z(x)

está muy próxima a

y(x)

, el omportamiento loal de ambas deberá ser muy pareido.Enelejemplodelagura4.19ambastienenunextremo en

x

=

a

ysononvexas.

Labúsqueda de

z(x)

nosabrenuevas preguntas:

1. ¾Quétipo de funiónserá

z(x)

?. Debeser senilla de manejaryde evaluar. 2. ¾Cómo onseguiremosque

z(x)

estépróximaa

y(x)

?.

La respuesta a la primera pregunta es:

z(x)

será un polinomio. Los polinomios son funiones ontinuas, derivables, fáiles de evaluar, de derivar, de integrar, de representar

gráamente,

. . .

Enuantoalasegundapregunta,veamosunejemploquenospuedeayudar aentender ómoonstruiremos

z(x)

:

Supongamosque

y(x) = e

x

yquedeseamosfabriarunpolinomio

z(x)

queestépróximo a

y(x)

en laseranías delpunto

a

= 0

. Podemos empezarporlaaproximaión mediante la diferenial(reta tangente), que esunpolinomio de grado1:

z(x) =

y(a) +

y

′

(a)(x

₋

a)

, o bienhaiendo

x

−

a

=

h,

z(a

+

h) =

y(a) +

y

′

(a)

_·

h

, si

h

estápróximoa

0

tenemos

z(a

+

h)

≈

y(a

+

h)

. Como

a

= 0, y

′

(0) = 1 :

z(h) = 1 +

h

ó

x

y

y=e^x

z(x)

Figura 4.20:Aproximaiónprimerade

y

= e

x

z(x) = 1 +

x

(ver lagura 4.20).

z(x)

e

y(x)

tienen en omún dospropiedades: Pasan por elmismo punto:

z(0) =

y(0) = 1

Tienenlamisma tangente en esepunto:

z

′

(0) =

y

′

(0) = 1

Ahora vamos a onstruir un polinomio

P

2

(x)

que oinida en el punto

a

= 0

on

y(x)

hasta lasegundaderivada (ver lagura 4.21):

P

2

(x) =

1

2

x

2

₊

_x

_{+ 1}

óhasta latereraderivada:

P

3

(x) =

1

6

x

3

₊

1

2

x

x

y

y=e^x

P_1

P_2

P_2

P_3

P_3

Figura4.21: Aproximaiones de distintosórdenes

Así pues,a medida quemásderivadasen

x

=

a

oinidanpara ambasfuniones, paree quemás próximas están almenos en las eranías delpunto

x

=

a

. Veamos ómoalular, en general,elpolinomio: gradon=1:

P

1

(x) =

y(a) +

y

′

(a)(x

₋

a)

gradon=2:

P

2

(x) =

1

2

(x

−

a)

2

+

P

1

(x)

gradon=3:

P

3

(x) =

1

6

(x

−

a)

3

+

P

2

(x)

. . . gradon:

P

n

(x) =

1

n

!

(x

−

a)

n

+

P

n

−

₁

(x)

P

n

(x) =

y(a) +

y

′

(a)(x

−

a) +

y

′′

(a)

2!

(x

−

a)

2

₊

y

′′′

(a)

3!

(x

−

a)

3

₊

· · ·

+

y

(

n

(a)

n!

(x

−

a)

n

Este polinomio sellamaPolinomiode Taylor de grado

n

. O bien,tomando

h

=

x

−

a

P

n

(a

+

h) =

y(a) +

y

′

(a)

·

h

+

y

′′

(a)

2!

·

h

2

₊

y

′′′

(a)

3!

·

h

3

₊

· · ·

+

y

(

n

(a)

n!

·

h

n

Cuanto más próximoesté

h

de

0

, máserano estará

P

n

(a

+

h)

de

y(a

+

h)

.

Cuanto más nos alejamos del punto

x

=

a

, mayor será la distania entre

P

n

(a

+

h)

e

y(a

+

h)

(ver lagura 4.22).

En general no es posible onoer la distania que hay entre el valor exato

y(a

+

h)

y laaproximaión

P

n

(a

+

h)

. Sin embargo,tenemos unteorema, llamadoTeorema de Taylor,

a

y(x)

P(x)

a+h

errorea

Figura4.22: Deterioro de laaproximaión

quenospuede dar muhainformaión aera de omo degrande es

y(a

+

h)

−

P

n

(a

+

h)

. Veamos quedieeste teorema:

TeoremadeTaylor:Siaproximamoselvalor

y(a

+

h)

medianteelpolinomiodeTaylor de grado

n

,

P

n

(a

+

h)

, entones ladiferenia entre ambos valoresel iguala:

y(a

+

h)

₋

P

n

(a

+

h) =

y

(

n

+1

_(z)

(n

+ 1)!

h

n

₊₁

donde

z

es unnúmero en general desonoido, pero delque sólo sabemos quese enuentra en elintervalo

(a, a

+

h)

(ó

(a

+

h, a)

si

h <

0

).

Una uestión importante: para poder alular el polinomio de Taylor de grado n de

y(x)

enelpunto

x

=

a

,esneesarioqueexistan

y(a), y

′

(a),

_{· · ·}

, y

(

n

(a)

.Si,además,queremos usarelTeoremadeTaylor,debeserderivablehastaorden

n

+ 1

yestaderivadaserontinua.

a

Figura 4.23: Funiónno derivable

Para lafuniónde lagura 4.23no podemosalular ni siquiera

P

1

(x)

en

a

= 0

porque no existe

y

′

(a)

Veamos otro ejemplo:

y(x) =

(

e

x

x

_≤

0

1

2

x

2

+

x

+ 1

x >

0

Se trata dealular elpolinomio deTaylor delmayor ordenposible.

Si

x <

0

⇒

y

′

(x) = e

x

Si

x >

0

⇒

y

′

(x) =

x

+ 1

y

′

(0

−

) = e

0

= 1;

y

′

(0

+

) = 0 + 1 = 1;

y(0

+

) =

y(0

−

) = 1

_⇒

ontinua en

x

= 0

Por tanto, existe

y

′

(0) = 1

Si

x <

0

⇒

y

′′

(x) = e

x

Si

x >

0

⇒

y

′′

(x) = 1

y

′′

(0

−

) = e

0

= 1;

y

′′

(0

+

) = 1;

y

′

(x)

ontinua en

x

= 0

Por tanto, existe

y

′′

(0) = 1

Si

x <

0

⇒

y

′′′

(x) = e

x

Si

x >

0

⇒

y

′′′

(x) = 0

y

′′′

(0

−

) = e

0

= 1;

y

′′′

(0

+

) = 0;

y

′′

(x)

ontinua en

x

= 0

pero noderivableen

x

= 0

Por tanto, noexiste

y

′′′

(0)

. Así pues, sóloes posiblealular

P

1

(x)

y

P

2

(x) :

P

1

(x) =

y(0) +

y

′

(0)x

= 1 +

x

P

2

(x) =

P

1

(x) +

y

′′

(0)

x

2

2

=

1

2

x

2

+

x

+ 1

No podemos apliar el Teorema de Taylor para

n

= 2

porque neesitaríamos que existiera

y

′′′

(0)

. Lo apliamos para

n

= 1

y

h <

0

:

∃

z

_∈

(h,

0)

_|

y(h) = 1 +

h

+

y

′′

(z)

2

h

2

⇔ ∃

z

_∈

(h,

0)

_|

e

h

= 1 +

h

+

h

2

2

e

z

(4.1)

(siapliamoselTeoremadeTaylorpara

h >

0

,noobtenemosningunainformaiónadiional) Enesteaso,podemosademásdeterminarelvalorde

z

,apartirdelaexpresiónanterior:

z

= ln

2(e

h

−

1

₋

h)

h

2

Perovemosqueestaformadealular

z

esmásompliadaquealularelvalorexatodela funión

e

h

. Normalmente nonosinteresa (o noesposible)onoerel valor de

z

sino aotar elerror. Veamos qué signiaesto:

Supongamos que deseamos usar la expresión (4.1) para alular aproximadamente el

valorde

e

−

₀

.

₀₁

; así pues, tomaremos

h

= 0.

01

:

e

−

₀

.

01

_{= 1}

−

0.

01 +

(

−

0.

01)

2

2

e

z

z

_∈

(

₋

0.

01,

0)

Si tomamos omovaloraproximado de

e

−

0

.

01

1

₋

0.

01 = 0.

99

, entones ERROR

=

(0.

01)

2

2

e

z

<

(0.

01)

2

2

= 0.

00005

Como

z

esdesonoido(sólosabemosqueseenuentraenelintervalo

(

−

0.

01,

0)

)nopodemos evaluar elerror,perosí podemos dar unaaotaión delmismo.Como

z

∈

(

−

0.

01,

0),

e

z

<

e

0

= 1

.

Si ahora vamos aalular

e

−

₅

tomamos(4.1) on

h

=

−

5

:

∃

z

_∈

(

₋

5,

0)

_|

e

−

5

= 1

₋

5 +

25

2

e

z

⇔ ∃

z

_∈

(

₋

5,

0)

_|

e

−

5

=

₋

4 + 12.

5 e

z

Nuestraaproximaiónes

P

1

(5) =

−

4

, yelerror ometidoesexatamente ERROR

= 12.

5 e

z

<

12.

5

_·

1 = 12.

5

(Como

z

∈

(

−

5,

0),

e

z

<

e

0

= 1

)

Por lo tanto nuestra aproximaión es

e

−

₅

≈ −

4

on un error menor que 12.5. Algo ha debidoirmalporque

e

x

>

0,

_∀

x

.Siomparamos estaaproximaiónonelvalorexatohasta tres dígitos, resulta

e

−

₅

≈

0.

006

½ nuestra aproximaión es malísima ! ¾qué ha ourrido?. Quehemostomadounvalorde

h

muygrande,noshemosalejadomuho(relativamente)del punto

a

= 0

. Obtenemos pues,que

P

1

(x)

no nosproporionauna aproximaiónválidapara alular elvalor de

e

−

₅

.

Ejeriio 4.8 Calular los polinomios de Taylor de mayor grado

P

2

(x), P

3

(x), P

4

(x),

· · ·

, hasta obtener una aproximaión on tres dígitos deimales exatos. Calula una ota del

error ometido para alular

y

= e

x

.

4.7. Cómo reonoer un extremo loal

Sabemos que la ondiión que debe umplir

y(x)

para que tenga un máximo loal en

x

=

a

es(ver lagura 4.24):

y(a

+

h)

_≤

y(a)

para

h

losuientemente próximo a

0.

a

a−h

(

a+h

)

Figura4.24: Extremoloal

Sihaemos

x

=

a+h

,enelteoremadeTaylornosapareenambostérminos

y(a+h), y(a)

. Supongamosque

y(x)

umplelasondiionesneesariasparaquesepuedaapliarelTeorema de Taylorpara

n

= 1

:

∃

z

_∈

(a

₋

h, a

+

h)

_|

y(a

+

h) =

y(a) +

y

′

(a)h

+

1

2

y

′′

(z)h

2

Pero sabemos quesi

y(x)

presenta un máximo relativo en

x

=

a

, neesariamente

y

′

(a) = 0

. Por tanto:

y(a

+

h)

₋

y(a) =

1

2

y

′′

(z)h

2

,

z

_∈

(a

₋

h, a

+

h)

a

z a+h

)

(

a−h

Figura4.25: Signode

y(a

+

h)

−

y(a)

Así pues, si se umple que

y

′

(a) = 0

(ondiión neesaria), el signo de

y(a

+

h)

−

y(a)

estárelaionado on elsigno de

y

′′

(z)

enun entorno delpunto

a

(ver lagura 4.25).Como además seumple que

1

2

h

2

>

0,

∀

h

6

= 0

, tenemos: signo

(y(a

+

h)

−

y(a)) =

signo

(y

′′

(z))

z

esunvalordesonoido,delquesólosabemosqueseenuentraen

(a

−

h, a

+

h)

,¾podemos saber uálesel signode

y

′′

(z)

?. Sí,a ondiiónde onoerelsigno de

y

′′

(a)

:

Reordemos el teorema: Si

v(x)

esuna funión ontinua en

x

=

a

y

v(a)

6

= 0

, entones

v(x)

tiene elmismo signoque

v(a)

en uniertoentorno de

a

.

Observandola gura 4.26, omo

v(a)

>

0,

∃

h >

0

|

v(x)

>

0

∀

x

∈

(a

+

h, a

−

h)

a

(

a−h

a+h

)

v(a)

Figura4.26: Entornode

x

=

a

por lotanto,si

y

′′

(x)

esontinua: signo

(y(a

+

h)

−

y(a)) =

signo

(y

′′

(a))

para

h

lobastante próximo a

0

luego:

Si

y

′′

(a)

>

0

_⇒

y(a

+

h)

> y(a)

para

h

lo bastante próximo a

0

⇒

mínimoloal. Si

y

′′

Así pues, ya tenemos una ondiión suiente para que

y(x)

presente un extremo en el punto

x

=

a

. Ahorabien, hayque teneren uenta lashipótesisque debe umplir

y(x)

para queeste resultado puedaapliarse.

Ejeriio 4.9 Enuniareste riterio de reonoimiento de máximos ymínimos loales,

te-niendo muho uidado en indiarlas ondiiones que debe umplir

y(x)

. Desgraiadamente, este riterio no es apliable en un aso:

y

′′

(a) = 0

. En este aso no podemosdeir nadadelsignode

y

′′

(z)

. Por ejemplo

y(x) =

x

3

enelpunto

a

= 0

,

y

′′

(0) = 0

, no puede apliarse elriterio.

Lasoluión esutilizar elteorema deTaylorpara

n

= 2

:

∃

z

_∈

(a

₋

h, a

+

h)

_|

y(a

+

h)

₋

y(a) =

1

6

y

′′′

(z)h

3

yproediendo de modoidéntio,para valoresde

h

losuientemente próximos a

0

: signo

(y(a

+

h)

−

y(a)) =

signo

(y

′′′

(z)h

3

)

observa que ahora el signo de

h

es importante porque signo(

h

3

_{) =}

signo(

h

); así pues, si

y

′′′

(a)

₆

= 0

e

y

′′′

(x)

esontinua:

signo

(y(a

+

h)

−

y(a)) =

signo

(h

·

y

′′′

(a))

_⇒

(

si

h >

0

⇒

signo

(y(a

+

h)

−

y(a)) =

signo

(y

′′′

(a))

si

h <

0

⇒

signo

(y(a

+

h)

−

y(a))

6

=

signo

(y

′′′

(a))

Supongamospor ejemploque

y

′′′

(a)

>

0

:

(

y(a

+

h)

> y(a)

para

h >

0

y(a

+

h)

< y(a)

para

h <

0

a

Figura4.27: Nohayextremo

½En estas ondiiones no puede haber extremo!. Así pues, si

y

′

(a) =

y

′′

(a) = 0

pero

y

′′′

(a)

>

0

, entones

y(x)

NOpresenta ni máximo nimínimo loalen

x

=

a

. (Estoleourre a

y

=

x

3

Ejeriio 4.10 Demuestra que tampoo existe extremo en

x

=

a

si

y

′′′

(a)

<

0

. Enunia este riterio prestando muha atenión a las ondiiones que debe umplir

y(x)

para que se pueda apliar.

¾Yquéourresitambién

y

′′′

(a) = 0

?Puesusaremoselvalorde

y

v

(a)

.¾Ysi

y

v

(a) = 0

?. Usaremos

y

v

(a)

yasísuesivamente. Engeneral, supongamos que

y

′

(a) =

y

′′

(a) =

_{· · ·}

=

y

(

n

(a) = 0

pero

y

(

n

₊₁

(a)

₆

= 0

, siendo

y

(

n

₊₁

(x)

ontinua. ¾Cómo podemos reonoer siexiste unextremo loal?.

Ejeriio 4.11 Enuniar y demostrar el riterio general para reonoimiento de extremos.

Tendremos uidado a la hora de indiar las ondiiones que debe umplir

y(x)

para que pueda apliarse este riterio.

AYUDA: Estudiar los diferentes asos que se dan uando

y

(

n

₊₁

(a)

>

0

,

y

(

n

₊₁

(a)

<

0

, para

n

par y

n

impar.

4.8. Cómo reonoer la onavidad/onvexidad

Hemosaprendido a reonoer uándo unafunión derivable esreiente o dereiente:

Si

v

′

(x)

>

0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

v(x)

esreiente en

(a, b)

. Si

v

′

(x)

<

0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

v(x)

esdereiente en

(a, b)

. Peroreordandotambiénque

v

′

(x)

eslaveloidadde

v

respetoa

x

,podemosaveriguar siesta veloidad esreiente o dereiente:

Si

v

′′

(x)

>

0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

v

′

(x)

es reiente en

(a, b)

⇒

la veloidad es reiente en

(a, b)

(o lo que eslo mismo, la aeleraión en el intervalo

(a, b)

espositiva).

Si

v

′′

(x)

<

0

_∀

x

_∈

(a, b)

_⇒

v

′

(x)

_⇒

la veloidad es dereiente en

(a, b)

(aeleraiónnegativa en

(a, b)

).

De auerdo, pero ¾qué aspeto tiene la gráa de una funión

v(x)

(derivable hasta orden2) talque su veloidadesreiente odereiente?.¾Somos apaesde reonoeresta

propiedad sólo onver lagráade

v(x)

?.

Se tratadeunnuevoproblemaqueinvolura a

v(x)

y

v

′′

(x)

.¾Quéteoremausamospara resolverlo?. El Teorema de Taylor,por supuesto.Vamos aapliarlo para

n

= 1

:

∃

z

_∈

(a

₋

h, a

+

h)

_|

v(a

+

h) =

v(a) +

v

′

(a)

_·

h

+

1

2

v

′′

(z)

_·

h

2

Pero reuerda que

v(a) +

v

′

(a)

_·

h

eslaordenada, en elpunto

a

+

h

de laretatangente en elpunto

x

=

a

(ver la gráa4.28).Por lotanto,ladiferenia

fun.

z

}|

{

v(a

+

h)

₋

tangente

z

}|

{

(v(a) +

v

′

(a)

_·

h) =

1

2

v

′′

(z)

_·

h

2

a

h

v ( a

)

v ( a + h

)

a + h

v(a

₎₊

hv'(

a

)

Figura4.28: Estudio de laonavidad

nosindiasilagráade

v

quedaporenimaopordebajodelagráadelaretatangente: Si

v(a

+

h)

−

v(a)

−

v

′

(a)

_·

h >

0

_⇒

lagráade

v(x)

quedaporenima delagráade lareta tangente; si

v(a

+

h)

−

v(a)

−

v

′

(a)

_·

h <

0

, loontrario, latangente por enima. Pero:

signo

v(a

+

h)

−

v(a)

−

v

′

(a)

_·

h

=

signo

1

2

h

2

_·

_v

′′

(z)

=

signo

v

′′

(z)

ysi

v

′′

(x)

esontinua, sabemosque para valores de

h

lobastante próximos a

0

:

signo

(v

′′

(z)) =

signo

(v

′′

(a))

. Por tanto: Si

v

′′

(a)

>

0

_⇒

laveloidadde

v(x)

esreienteenunentornode

x

= 0

yesosignia que la reta tangente a

v(x)

queda por debajo de la urva. ¾Qué aspeto tiene una urva

v(x)

queumpla esta ondiión?(ver lagráa 4.28).

a

a

Figura4.29: Conavidad haia arriba

v

′′

(a)

>

0

signiaque

v(x)

esónavahaiaarribaenunentornode

x

=

a

½½ónava haia arriba signia veloidad reiente !!. Ya sabemos ómo reonoeren la gráa

de

v(x)

laszonas dondelaveloidadde

v

respetoa

x

esreiente.

Del mismomodo,laonavidad haia abajo está relaionada on eldereimiento de

laveloidad de

v(x)

.

Laretatangentequedaporenimadelagráa:esónavahaiaabajo(verlagráa

a

a

Figura4.30: Conavidad haiaabajo (onvexidad)

Ejeriio 4.12 Demostrar que

v

′′

(a)

<

0

, india que

v(x)

es ónava haia abajoen un entornode

x

=

a

.

Nota: En algunos libros se llama onvexa a la urva que es ónava haia abajo,

y se llama ónava a la que es ónava haia arriba, por lo que nosotros usaremos

indistintamente ambasdeniiones.

Veamos un ejemplo. Supongamos que estamos llenando de agua un depósito esfério

(ver lagráa4.31).Setratadeestudiarómovaríalaaltura

h

quealanzaelaguaenada instante.

h

h ( t )

R

2 R

Figura 4.31:Depósito esfério

Vamos a llamar

R

al radio de laesfera (ver la gráa4.31). El enuniado no die nada delmodo en quese vierteel agua,por lo quevamosa suponeromo hipótesisque elritmo

de vertido es onstante; en onseuenia

h(t)

será una funión ontinua; paree razonable pensarque

h(t)

serátambiénderivable,aunquehabráquedemostrarlo.Además

0

≤

h

≤

2R

, y

h(t)

esreiente porque

h

estáaumentandoontinuamente.¾Cómoserálagráade

h(t)

?. Vamos atrazar algunas en lagura 4.32:

¾Será alguna deestasgráas laque realmente sigue lafunión

h(t)

?: Observemos quela veloidad de

h

(

h

′

(t) =

dh/dt

) vadisminuyendo hasta que

h

vale

R

(lamitad de la esfera)(ver la gráa 4.33).A partir de ese punto, laveloidadde

h

irá aumentando hastaquelaesfera sellene. Asípues, sin haeroperaión alguna,sabemos:

t

t

1

2 R

h ( t )

t

t

1

2 R

h ( t )

t

t

1

2 R

h ( t )

t

t

1

2 R

h ( t )

Figura4.32: Posibles gráas de

h(t)

h ( t )

R

R

Figura4.33: Llenadode laesfera

1.

h

′

(t)

>

0

_∀

h

_∈

(0,

2R)

(ya que

h

esreiente) 2.

h

′

dereiente si

h

∈

(0, R)

⇒

h

′′

<

0

_⇒

h

ónava haiaabajo

∀

h

∈

(0, R)

3.

h

′

reiente si

h

∈

(R,

2R)

⇒

h

′′

>

0

_⇒

h

ónava haiaarriba

∀

h

∈

(R,

2R)

h ( t )

0

R

2 R

t

1

2 t

1

Figura4.34: Funión

h(t)

¾Y qué ourre en el instante

t

1

en el que

h

=

R

, es deir uando se ha llenado medio depósito?(ver lagráa4.34).En

t

1

tiene lugarunambioenelreimiento delaveloidad de

h

: la veloidad pasa de dereiente a reiente. Gráamente se distingue este punto porquetiene lugaren élunambio enlaonavidad,en esteejemplo

h

pasade serónava haia abajo a ónava haia arriba. Se die que

h(t)

presenta una inexión en el punto

t

1

(ver lagráa 4.35).

C ó n c a v a

C o n v e x a

x

0

x

0

C ó n c a v a C o n v e x a

Figura4.35: Puntosde inexión

Ahoravamosarealizarotrotipodeestudio,elanalítio,alqueestarásmás

aostumbra-do:

h

Figura4.36: Funión volumen

El volumen

V

(t)

en ada instante se relaiona on laaltura del modo siguiente (ver la gráa4.36):

V

=

π

3

h

2

_(3R

₋

_h)

(4.2)

Se tratadel volumen delasquete esfério.

Observa que si

h

= 2R

⇒

V

=

4

3

πR

3

₌

volumen de la esfera ompleta. Si suponemos

omohipótesisqueentraaguaaveloidadonstante,signiaque

dV

dt

=

k >

0

;porejemplo,

k

podríavaler

17

litros/minuto; derivamos laeuaión (4.2) respetode

t

:

V

′

=

π

3

2hh

′

(3R

₋

h)

₋

h

2

h

′

=

πhh

′

(2R

₋

h) =

k

_⇒

h

′

=

k

πh(2R

₋

h)

Como

h <

2R

⇒

h

′

>

0

_⇒

h(t)

essiempre reiente.

4.9. DESARROLLO ENSERIEDE

Y

(X)

155 Veamos ahorael signode

h

′′

:

h

′′

(t) =

d

dt

k

πh(2R

₋

h)

=

k

π

2(h

₋

R)

h

2

_(2R

₋

_h)

2

·

dh

dt

=

2k

2

(h

₋

R)

π

2

_h

3

_(2R

₋

_h)

3

donde elúnio fatorqueambiade signoes

h

−

R

. Por tanto: Si

h < R

⇒

h

′′

<

0

_⇒

h

onvexa

⇔

h

′

(t)

es dereiente en

(0, R)

⇔

veloidad de

h

dereiente en

(0, R)

Si

h > R

⇒

h

′′

>

0

_⇒

h

ónava

⇔

h

′

(t)

es reiente en

(R,

2R)

⇔

veloidad de

h

reiente en

(R,

2R)

h

′′

ambiade onavidad alpasarpor

h

=

R

⇒

presenta una inexiónen elinstante en que

h

=

R

. Observamos, además,que

h

′′

= 0

para

h

=

R

.

Hemosvistoómo elsignode

y

′′

(a)

está relaionado onlaonavidad de

y(x)

:

y

′′

(a)

>

0

_⇒

y(x)

ónava haiaarriba en unentorno de

a

y

′′

(a)

<

0

_⇒

y(x)

ónava haiaabajo en unentornode

a

Además,si

y

′′

(x)

ambiade signouando

x

=

a

,tendremosun punto deinexiónen

x

=

a

. Deauerdo pero, ¾quépasasi

y

′′

(a) = 0

?.Usaremos el Teorema de Taylorpara

n

= 2

:

∃

z

_∈

(a

₋

h, a

+

h)

_|

y(a

+

h) =

y(a) +

y

′

(a)

h

+

y

′′′

(z)

h

3

6

Si

y

′′′

(a)

₆

= 0

_⇒

y

′′′

(z)

₆

= 0

para

h

lo suientemente próximo a

0

. Si también

y

′′′

(a) = 0

, emplearemos

y

v

(a)

, et.

Ejeriio 4.13 La misma tarea que en el ejeriio 4.11, pero ahora hay que enuniar el

riterio general para reonoer uándo una funión

y(x)

es ónava haia arriba/abajo en un entornode

x

=

a

y ómo puede reonoerse que en

x

=

a

existe un punto deinexión.

4.9. Desarrollo en serie de

y

(

x

)

Entemasanterioreshemosutilizadolasexpresionesdelasfuniones

e

x

,

sen

x,

cos

x

omo una sumainnita de potenias de

x

. En onreto:

e

x

=

∞

X

n

=0

x

n

n!

∀

x

∈

R

sen

x

=

∞

X

n

=0

(

₋

1)

n

x

2

n

₊₁

(2n

+ 1)!

∀

x

∈

R

cos

x

=

∞

X

n

=0

(

₋

1)

n

x

2

n

(2n)!

∀

x

∈

R

Pues bien, estos desarrollos en serie están basados también en el Teorema de Taylor; si

suponemos que

y(x)

esderivable hastaun ordenualquiera

n

+ 1

:

∃

z

_∈

(a

₋

h, a+h)

_|

y(a+h) =

y(a)+y

′

(a)

_·

h+

1

2

y

′′

(a)

_·

h

2

+

_{· · ·}

+y

(

n

(a)

h

n

n!

+y

(

n

+1

_(z)

h

n

+1

(n

+ 1)!

siahorasuponemos queelresto sehae máspróximo aeroa medidaque

n

ree,esdeir, si:

l´ım

n

→∞

y

(

n

₊₁

(z)

(n

+ 1)!

= 0

entones:

l´ım

n

→∞

y(a+h) = l´ım

n

→∞

y(a) +

y

′

(a)

_·

h

+

_{· · ·}

+

y

n

(a)

n!

·

h

n

+ l´ım

n

→∞

y

(

n

+1

_(z)h

n

(n

+ 1)!

⇔

y(a+h) =

∞

X

n

=0

y

(

n

(a)h

n

n!

llamando

x

=

a

+

h

nosqueda:

y(x) =

∞

X

n

=0

y

(

n

(a)(x

₋

a)

n

n!

(4.3)

La expresión (4.3) se llama desarrollo en serie de Taylor de

y(x)

en el punto

x

=

a

. Es importanteentenderqueparaqueunafunión

y(x)

puedadesarrollarseenseriedepotenias de Taylor,esneesario queumpla doshipótesis:

1. Derivablehasta unorden

n

ualquiera. 2.

l´ım

n

→∞

y

(

n

(z)h

n

n!

= 0

z

∈

(a

−

h, a

+

h)

Veamos un ejemplo:Desarrollar en seriede potenias

y

= e

x

en

a

= 0

: 1. Existe

y

(

n

(x)

_∀

n

_∈

N

_,

siendo

y

(

n

(x) = e

x

2.

y

(

n

(z)h

n

n!

=

e

z

h

n

n!

;

n

l´ım

→∞

e

z

h

n

n!

= 0

∀

z

∈

R

Luego seumplen las hipótesis.

e

x

=

∞

X

n

₌₀

x

n

n!

Observa quéresultados tan importantes están basados en el Teorema de Taylor, por lo

E n c o n t r a r l o s

e x t r e m o s r e l a t i v o s

A p r o x i m a c i ó n d e f u n c i o n e s

m e d i a n t e p o l i n o m i o s

D e s a r r o l l o d e

u n f u n c i ó n e n

s e r i e d e p o t e n c i a s

A n a l i z a r l a c o n c a v i d a d

y c o n v e x i d a d

T E O R E M A

d e

T A Y L O R

Figura4.37: Apliaionesdel Teorema de Taylor

Sin embargo, esta versatilidadtambién tieneun oste:esmuyexigente.Para alularel

polinomio de Taylor

p

n

(x)

,

y(x)

debe ser derivable hasta orden

n

. Y para desarrollar

y(x)

en seriede potenias, debeexistir

y

(

n

(x)

_∀

n

_∈

N

.

¾Y qué podemos haer si nos enontramos on una funión

y(x)

que ni siquiera es ontinua?.

Existen varias teorías matemátias que pueden apliarse en estos asos. Una de ellas,

lasSeriesdeFourier,lasestudiaremos másadelante, peroaúnhayquetrabajarmuhopara

entenderde quése trata.

4.10. El Teorema del punto jo

En el apartado 2.8.2, hablamosde un importante teorema, llamado Teorema del punto

jo,quenospermite asegurarlaexisteniade soluión para laeuaión:

x

=

y(x)

(4.4)

¾Y por qué es interesante una soluión de la euaión (4.4)?. Pues resulta que muhas

euaiones deltipo

sepueden esribir de laforma (4.4). Entones, resolviendo (4.4) enontramos una soluión

de (4.5).

Veamos un ejemplo: Supongamos quedebemos resolver laeuaión:

x

3

_{+ 4x}

2

₋

_{10 = 0}

;

en esteaso, tenemosla euaión delaforma (4.5),siendo

g(x) =

x

3

+ 4x

2

₋

10

(4.6)

Ahoraveamos varias formasde deesribir (4.6) de laforma (4.4):

1.

4x

2

_{= 10}

₋

_x

3

_⇒

_x

₌

_±

1

2

(10

−

x

3

)

1

2

2.

x

=

x

+

x

3

_{+ 4x}

2

₋

₁₀

3.

x

=

10

4 +

x

1

2

4.

x

=

x

−

x

3

+ 4x

2

₋

10

3x

2

_{+ 8x}

La soluión deualquiera de losasos nosproporiona la soluiónde (4.6). Vamosa dar el

enuniadoompleto delTeorema delpunto jo:

Teorema 4.5 Si

y(x)

es ontinua en

[a, b]

, y además

y(x)

∈

[a, b]

, entones la euaión

x

=

y(x)

tiene al menos una soluiónen

[a, b]

a

a

b

b

y = x

x

1

x

1

x

2

x

2

Figura 4.38:Dos puntos jos

En el ejemplo de la gura 4.38,

∀

x

∈

[a, b]

seumple

y(x)

∈

[a, b]

. Además existen dos puntos jos

x

1

, x

2

:

x

1

=

y(x

1

),

x

2

=

y(x

2

)

¾Y uándo podemos asegurarqueelpunto jo esúnio?.El Teorema delpunto jonos

da lasondiiones suientes para queestoourra:

Si existe

y

′

(x)

en

(a, b)

yexiste unaonstante

k

talque

0

< k <

1

on

|

y

′

(x)

_{| ≤}

k

_∀

x

_∈

(a, b)

, entones el puntojo en

[a, b]

es únio.