Primer Año
INDICE
Razones y Proporciones ……… 03
Reparto Proporcional ………. 15
Porcentaje ……… 24
Asuntos Comerciales ………. 36
Promedios ………..……… 45
Magnitudes Proporcionales ……….. 57
Interés Simple ………. 70
Misceláneas ………. 80
I
MPRESIONES YF
OTOCOPIADOV.L.E.B.
T
ELF.:
540–0814
/
98503121
D
PTO.
DEP
UBLICACIONES6 - 2 = 4
Valor de la Razon 2° Término (consecuente)
1° Término (antecedente)
Z
+TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES
I) Razón o Relación.-
Es el resultado de la composición que se establece entre las cantidades dadas. Dicha comparación se puede dar de dos formas:
1) Hallando en cuanto excede una cantidad respecto de otra (por medio de la resta). Ejem: 6-2 = 4 2) Hallando en cuanto contiene una cantidad a otra (por medio de la división). Ejem: 6/2 = 3 Por lo tanto decimos que una razón puede ser: Aritmética o por diferencia, o Geometría o por cociente. Razón Aritmética o por Diferencia.-
Es la diferencia que se da entre 2 cantidades. Como su operación básica es la sustracción o resta, La Razón Aritmética se puede dar de 2 formas: separando las cantidades por el signo de la sustracción ( - ) o por medio de un punto ( . ) Ejem.:
* Se lee : “6 excede a 2 en 4” ; “6 es mayor que 2 en 4” ; “2 es menor que 6 en 4”, etc. Propiedades de la Razón Aritmética.-
Son las mismas propiedades que en la resta o sustracción.
1) Si al antecedente de la R.A. se le suma o resta una cantidad, entonces el valor de la Razón quedará aumentado o disminuido en dicha cantidad, respectivamente. Ejem.:
3 5 7 9 1 4 2 1 6 ) ( 3 4 2 3 6 4 2 6 Si
2) Si el consecuente de la R.A. quedase aumentado o disminuido en cierta cantidad, entonces el valor de la Razón quedara disminuido, en el primer caso, o aumentado, en el 2do caso, en dicha cantidad. Ejm.:
3 3 5 1 1 4 ) 1 2 ( 6 ) ( 1 4 ) 1 2 ( 6 4 2 6 Si
3) Si al antecedente y al consecuente de una R.A. Se le suma o se le resta una misma cantidad, entonces el valor de la Razón no se verá afectado (permanecerá constante).
Ejm: 4 )1 2 ( 1 6 ) ( 4 ) 1 2 ( 1 6 4 2 6 Si 1 5 3 7
Razón Geométrica o por Cociente.-
Es la Razón que se establece por medio del cociente que se obtiene al dividir 2 cantidades. Se pueden representar de 2 modos: en forma de fracción o por medio de 2 puntos, signo de la división (a/b ó ) Ejem:
6 : 2 = 3 Valor de la Razon 2° Término (consecuente) 1° Término (antecedente)
Z
+ 6/2 = 3* Se lee “6 contiene a 2 en 3” ; “ 6 contiene 3 veces a 2” ; “2 esta incluido en 6, 3 veces” etc. Propiedades de la Razón Geométrica.-
Son las mismas propiedades que en las fracciones.
A Ambos Términos o se les suma o se les resta la misma cantidad
1) Si el antecedente de la R.G. , queda multiplicada o dividida por una cantidad, el valor de la Razón quedará también multiplicado o dividido por la misma cantidad, respectivamente.
Ejem.: 1 2 15 30 3 : 3 2:3 6 ) ( 5 . 3 2.5 6 3 2 6 Si
2) Si el consecuente de un R.G. queda multiplicado o dividido, por una cantidad entonces el valor de la Razón quedará dividido, en el 1er caso; o multiplicado, en el 2do caso, por esa misma cantidad. Ejm:
6 1 1 6 2 : 3 2 : 26 ) ( 3 . 3 3 . 26 3 2 6 Si
3) Si el antecedente ya la consecuente de una R.G. se les multiplica o se les divide por una misma cantidad, entonces el valor de la Razón permanecerá constante. Ejm.
3 5 : 2:5 6 ) ( 3 4 . 2.4 6 3 2 6 Si 5 / 6 5 / 2 24 8 II) PROPORCIONES.-
Son igualdades que se establecen entre 2 Razones de la misma clase. Las proporciones pueden ser: 1) Proporciones Aritméticas o Equidiferencia: Es la igualdad que se establece entre 2 Razones
Aritméticas, Una Equidiferencia se escribe de 2 formas siguientes :a – b = c – d (v) a . b :: c . d ; a ; b ; d Z+
* Términos de una P.A:
;c= antecedentes b;d= consecuentes a;d= t. extremos b;c= t. medios - b = c - d a
1°miembro 2°miembro a Se lee "a es a bcomo c es a d"
aA
* Propiedad Fundamental: “En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios”.
Si a – b = c – d es P.A. a + d = c + b. Ejm: 8 – 6 = 11 – 9 9 + 8 = 11 + 6 17 = 17 * Clases de Equidiferencias:
1) E. Directa: Es aquella cuyos Términos medios no son iguales Forma General: a – b = c – d Ejm.. 9 – 7 = 8 – 6
Donde : * d : 4ta diferencial respecto a “a” ; “b” ; “c”
* a ; b ; c : 3era diferencial o Tercia Diferencial, respecto de “a” ; “b” ; “c” (abc d).
2) E. Contínua: Es aquella cuyos Términos medios son iguales. Forma General: a – b = b – c Ejm.. 11 – 8 = 8 – 5
Donde : * b : Media diferencial respecto de “a” ; “b” ; “c” * a ; c : 3era ó Tercia diferencial, respecto a “a” ; “b” ; “c” (abc).
Obs.: Media Diferencial o Aritmética
2c a b
2) Proporciones Geométricas o Equicocientes: Son las igualdades que se establecen entre 2 Razones geométricas. Una Proporción geométrica se puede representar de 2 maneras : a : b :: c : d (v) (a/b)= (c/d). * Términos de una P.G:
;c= Antecedentes b;d= Consecuentes a;d= T. extremos b;c= T. Medios : b :: c : d a 1°miembro 2°miembro a
Z
+ Se lee “a es a b como c es a d”
* Propiedad Fundamental: “En todo equicociente el producto de los extremos es igual al producto de los medios”. 306 306 51 . 6 57 . 18 1751 6 18 : Ejm ;. G . P una es d c b a bc ad d c ba Si * Clases de Equicocientes:
3) E. Discreta: aquella cuyos Términos medios no son iguales 10 : 2 = 125 : 25
Forma General: a : b :: c : d
Donde : * d : 4ta proporcional respecto de a “a” ; “b” ; “c”
* a ; b ; c : 3era o tercia proporcional, respecto de “a” ; “b” y “c” (abcd). 4) E. Contínua: aquella cuyos Términos medios son iguales .Ejm.: 32 : 16 :: 16 : 8
Forma General: a : b :: b : c
Donde : * b : Media proporcional respecto de “a” ; “b” ; “c” * a ; c : 3era o Tercia proporcional, respecto a “a” ; “b” y “c” (abc).
Obs.: Media Proporcional o Geométricas b a.c Transformaciones de Proporciones Geométricas.-
Una P.G. puede sufrir hasta 8 transformaciones distintas y legitimas entre sí (una transformación es legitima cuando su propiedad fundamental permanece constante en valor numérico).
Sea la proporción Geométrica: ; d c
ba sus variaciones legítimas serán. ; ba d c ) 4 ; a b c d ) 3 ; a c b d ) 2 ; d b c a ) 1 ; c d a b ) 8 y ; b d a c ) 7 ; c a d b ) 6 ; d c b a ) 5 Ejm: la proporción ; 8 16
1632 puede escribirse de 8 modos: ; 168 32 16 ) 4 ; 16 32 8 16 ) 3 ; 32 16 168 ) 2 ; 8 16 16 32 ) 1 ; 168 32 16 ) 8 ; 1632 8 16 ) 7 ; 32 16 168 ) 6 ; 8 16 16 32 ) 5
Obs.: Cuando la Progresión Geométrica es continua, las formas distintas serán 4 : todas legítimas. Comparación de Proporciones Geométricas.-
Multiplicando antecedentes y consecuentes
1) Si 2 proporciones geométricas tienen razón común, las otras 2 Razones formarán proporción geométrica . Ejm.: 10 5 4 2 2 1 10 5 ) ( 2 1 4 2
2) Si 2 proporciones geométricas tiene antecedentes iguales, los consecuentes formarán proporción geométrica. Ejm.: 124 6 2 3 4 12 ) ( 3 2 6 123 41 ) ( 6 3 2 1
3) Si 2 proporciones geométricas tienen consecuentes iguales, los antecedentes formarán proporción geométrica. Ejm.: 84 56 10872 12 84 8 56 ) ( 12 108 8 72
4) El producto que se obtiene al multiplicar, término a término, distintas proporciones geométricas da lugar a una proporción geométrica. Ejm:
96 . 54 864 . 6 : que por . G . P una es 86496 546 ; 86496 128 x 186 x 4 2 ) ( 546 3 2 x 9 3 x 21 128 3 2 ; 186 9 3 ; 4 2 2 1
5) Con los 4 Términos de 2 productos iguales se puede formar una proporción geométrica. Ejm.: 6 x 3 = 2 x 9
6 2 9 3
Propiedades de las Proporciones Geométricas.-
Sea la proporción ; d c b a se cumple: d c d c b a b a d c b a Si ) 7 d b c a d b c a d c b a Si ) 6 d b d b c a c a d c b a Si ) 5 d c d c b a b a d c b a Si ) 4 d c ba d b c a d c b a Si ) 3 c d c a b a d c b a Si ) 2 d d c b b a d c b a Si ) 1
Operaciones con las Proporciones Geométricas.-
k k k k d c b a d c b a Si ) 5 d c b a d c b a Si ) 4 ) cte ( R k / d/k c k / b/k a d c b a Si ) 3 ) cte ( R dk ck bk ak d c b a Si ) 2 k R k d k c k b k a d c b a Si ) 1
Serie de Razones Equivalentes (S.R.E.).-
Son las igualdades que se establecen entre los grupos de proporciones que poseen la misma constante de Razón. Puede ser de 2 formas:
Siendo:
R = el valor de la Razón K = constante (k Z +)
1) S.R.E. Aritméticas: Si la igualdad se establece entre 2 o más proporciones aritméticas. Ejm: 8 – 5 = 7 – 4 = 11 – 8 = 6 – 3 =...
18 – 15 = 15 – 12 = 12 – 9 = 9 – 6 =...
2) S.R.E. Geométricas: Si la igualdad se establece entre 2 ó más proporciones geométricas. Ejm: ...k(cte). e d d c c b b a Propiedades de las S.R.E.G:
(*) n RAZONES " N " ) K ( ... bcdeabcd...Z ) cte ( K Z ... ed d c c b b a Si Se Cumple : akn;bk(n1) ;ck(n2) ;...;Zk Donde: K = Cte. De proporcionalidad (kZ+) a = 1° antecedente
N = # Total de Razones geométricas
=
Ultimo consecuente. (*) k ... f d ba c e ... Z k Z ... f e d c b a Si (*) pp pp pp pp kp ... e d b Z ... e c a k Z ... f e d c ba Si PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Dos números son entre sí como 7 es a 13, si elmenor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el valor de los 2 números. Rpta.-
2) Dos números son entre sí como 5 a 8 ; si la suma de sus cuadrados es 712 y su diferencia es 6 2 ¿Cuál es el número menor?
Rpta.-
3) La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Hallar el mayor de los números.
Rpta.-
4) En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. si los términos de la primera razón suman 40. Hallar la suma de los consecuentes de dicha proporción.
Rpta.-
5) En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los 4 términos de la proporción es 2601.
Rpta.-
6) En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión?
Rpta.-
7) Tenemos dos terrenos: 1 terreno rectangular y el otro en forma cuadrada. Si uno de los lados del primero es al lado del menor del segundo es como 3 es a 2 ¿En que relación están sus perímetros, si sus áreas son iguales? Rpta.-
8) Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Hallar la suma de los términos de dicha proporción. Rpta.-
9) Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360. Hallar la suma de los 3 números.
Rpta.-
10) ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5?
Rpta.-
11) Hallar la Razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24 Rpta.-
12) En una serie de tres Razones geométricas contiguas e iguales la suma de los antecedentes es 147 y la suma de las tres Razones es 9/5.Hallar la suma de los consecuentes.
Rpta.-
13) En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganara Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros?
Rpta.-
14) Tenemos 3 números enteros A; B y C Tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11 Si la diferencia entre A y C es 36 ¿Cuál es el mayor de esos 2 números?
Rpta.-
15) Si el valor de la Razón aritmética y geométrica de 2 números es 5 ¿Cuál es la suma de dichos números?
Rpta.-
16) Se tiene la siguiente serie de Razones geométricas equivalentes: 10c 7 b 5 a
Hallar la suma de los antecedentes. Rpta.-
17) La ciudad de Belfast esta dividida en 2 bandos a raíz de la invasión anglo estadounidense a Irak, los que están a favor y los que están en contra de la reyerta, respectivamente; de manera tal que la población de los primeros y la población de los segundos están en la relación de 7 a 3. Si de uno de los bandos se pasan al otro unas 60 personas, la razón de las poblaciones que están a favor y en contra de la guerra, respectivamente se invierte ¿Cuál es la población total de la ciudad?
Rpta.-
18) Tres números naturales A; B y C, Son tales que A es a B como 4 es a 5 y B y C están en razón de 10 a 11 .Si se cumple que A – C = 36 ¿Cuál es le mayor de los números entre A y C?
Rpta.-
19) En un club social se lleva a cabo una reunión donde asisten unas 400 personas entre Hombres y Mujeres, asistiendo por cada 3 de los primeros; 2 de los segundos. Si a cabo de 2 horas la relación entre hombres y mujeres es de 2 a 1 ¿Cuántas parejas se retiraron?
Rpta.-
20) La media Aritmética de 2 números A y B es 12. Si se establece una proporción continua con estos números, la cual tiene razón igual a 3/5; la diferencia que se dará entre los términos extremos será:
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Si (a+b)/(a-b)=2,6 y si a y b son los menores enteros, la Razón entre las razones aritméticas y geométricas de dichos números será: a) 12, b) 22, c) 3,2
d) 42, e) N.A
2) La suma de los términos de una proporción geométrica discreta es 320 y la relación entre la suma de antecedentes y la suma de consecuentes es como 7 es a 1 ¿Cuál es la suma de los consecuentes y la Razón de la proporción?
a) 92 b) 47 c) 41 d) 74 e) 54
3) Si A es la cuarta proporcional de 5/6 ; ¼ y 2/3 y B es tercera proporcional de 1/8 y 1/6 ¿Cuál es la tercera proporcional de B y A?
a) 5/23 b) 2/49 c) 1/48 d) 8/49 e) 9/50
4) En una proporción de Razón igual a ¾ el producto de los consecuentes es 880. Si los antecedentes están en la misma Razón de 5 a 11 Hallar la suma de los términos de dicha proporción.
a) 112 b) 84 c) 336 d) 224 e) 504
5) En una proporción de Razón menor a la unidad, la tercera proporcional es 24. Si la Razón aritmética de los términos extremos es igual a 18 ¿Cuánto vale la media proporcional? a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
6) La razón de 2 números es la misma que ¼ y 1/3 ; y los 2/3 del producto de esos dos números es 1152 luego, la diferencia que existe entre los 2 números es:
a) 12 b) 24 c) 36 a) 48 a) N.A
7) La diferencia que se efectúa a 2 números enteros y el cociente de esos números están en la misma razón como el número menor (de los nombrados) es a 10. La menor semisuma de dichos números será:
a) 10 b) 9,8 c) 9,5 d) 9,2 e) 8
8) Con los datos a continuación: i) (a/b)=(c/d)=(e/f) ii) a + c + e = 72 iii) b + d + f = 32 Hallar: ab cd ef a) 36 b) 15 c) 48 d) 24 e) 30 9) Si se cumple: mps : Hallar K R nqr ; k s r q p n m 2 2 2 a) k b) k/R c) R/k d) 1 e) R
10) En una proporción donde cada uno de los 3 términos es el cuádruple al término inmediato (los términos que cumplen son el 1° ; 2° y 3°) la suma de los 4 términos es 340. ¿Cuál es el término menor? a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 11) Si 64 FHKEGJ y KJ H G F E Hallar el cociente de la suma de los cuadrados de los antecedentes y la suma de los cuadrados de los consecuentes de la serie mostrada.
a) 4 b)16 c) 8 d) 64 e) 4096
12) En un concurso de baile el número de hombres y el números de mujeres están en la misma relación que 5 y 4 , pero en un instante determinado del concurso el número de hombres que bailan es al número de hombres que bailan es al número de número de hombres que no bailan como 5 es 3, por tanto, el número de mujeres que no bailan es al número de hombres que no bailan como: a) 25/7 b) 5/8 c) 25/12
d) 7/25 e) 7/15
13) Tres números a ; b y c son proporcionales a 9 ; 12 y 65. Si la cuarta proporcional de a ; b y c es 520. ¿Cuál es la tercera proporcional de a y b?
a) 24 b) 45 c) 96 d) 27 e) 32
14) Si (p/q) = (r/t) = k , Hallar el valor de:
t q t q r q 2 t p2 2 2 ; en función de k. a) k b) 2k c) k2 d) (Kl.) 2 e) Kl.
15) Calcular: 250 i n u 16 I N U J 33 33 33 Si ( U/u ) = ( N/n ) = ( I/i ) = 2/5 a) 8/125 b) 16/625 c) 2/25 d) 72/625 e) 9/71
TEMA: REPARTO PROPORCIONAL
Concepto.-
Es una regla en la cual a ciertas cantidades se les puede repartir en forma directa o inversamente proporcional a otras cantidades, las cuales reciben el nombre de “factores de proporcionalidad ”, de tal manera que todas estas formas una serie de Razones iguales.
Notación.-
Repartir un número entero “N” en partes proporcionales a “q”; “r”; “s”; ....; “z”
Sean “a” “b” “c” ;...; “” las partes del número “N” proporcionales a “q” ; “r” ; “s” ;...; “z” tal que : a + b + c +...+ = N. a (dp) q; b (dp) r ; c (dp) s ;...; (dp) k z .... s c r b q a z Donde: k = constante de proporcionalidad (k Q+)
Obs.: la operación del Reparto es análoga para el Reparto inverso. Regla Práctica.-
Al número “N” se le dividen en números proporcionales a los índices “a” “b” “c”. Denominaremos “x” a la parte de “N” que es proporcional a “a” ; “y” a la parte proporcional “b” y “z” a la parte proporcional “c”, respectivamente, de manera tal que: 1) x + y + z = N ; 2) x y z ; y 3) a b c. Los puntos 2) y 3) permiten formar con las cantidades y con los índices de proporcionalidad una serie de Razones geométricas equivalentes. Si x y z () a b c c z by ax
Aplicando una de las propiedades de las Razones geométricas :
cz c b a z y x ; b y c b a z y x ; a x c b a z y x c z b y a x Pero : x + y + z = N c b a cN Z ; c b a bN y ; c b a aN x Clases de Reparto.-
I) Reparto Proporcional Simple (RPS).-
1) Reparto Proporcional Directo Simple o Directamente Proporcional: Se establece cuando parte que pertenece a una cantidad es directamente proporcional con cada índice de proporcionalidad. Presenta 3 casos: (*) De un Número entero a otro Número entero.- Se usa la Regla práctica para cada caso.
Ejm.: Reparto de 18 en 2 Números proporcionales a 2 y 4.
Reparto Proporcional R.P. Simple R.P. Compuesto Regla de Compañía Directo Inverso Simple Compuesta
*
*
*
X = 2 (18) x = 6 ; y = 4 (18) y =12
6 6 Los Números del Reparto son : 6 y 12.
(*) De un Número entero a un Número Racional: Se homogenizan los índices fraccionarios y se aplica la forma general para cada parte considerando únicamente a los numeradores de cada fracción. Ejm.: Repartir 154 en partes directamente proporcionales a 2/3; ¼ ; 1/5; 1/6.
Reduciendo esas fracciones al Mínimo Común Denominador: 2/3 ; ¼ ; 1/5 ; 1/6 ; 40/60 ; 15/60 ; 12/60 ; 10/60 .
Prescindimos el Denominador Común (60), se aplica la Regla práctica para cada caso:
10 12 15 40 ) 154 ( 10 u ; 10 12 15 40 ) 154 ( 12 z ; 10 12 15 40 ) 154 ( 15 y ; 10 12 15 40 ) 154 ( 40 x x = 80 ; y = 30 ; z =24 ; u = 20
(*) De un Número entero a un Número Real: Se consideran los casos entre los números enteros y el caso entre el número entero y el número racional.
Regla General: Se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los índices de Proporcionalidad y se divide por la suma de estos últimos.
Ejem.: Repartir 150 en partes directamente proporcionales a 5 ; 6 y 9. 5 , 67 9 6 59(150) z ; 45 9 6 56(150) y ; 5 , 37 9 6 55(150) x x = 37,5 ; y= 45 ; z = 67,5
2) Reparto Proporcional Simple Inverso o Inversamente Proporcional:
Se establece cuando cada parte es inversamente proporcional con cada índice de inversión (índice de las magnitudes inversamente proporcionales). Presenta 3 casos:
(*) De un número entero a otro número entero. (*) De un número entero a otro número Racional. (*) De un número entero a otro número Real.
En los casos se invierten los números dados y se reparte el número que se quiere dividir en partes que son directamente proporcionales a los índices de inversión de los números ya inversos.
Ejem.: Repartir 240 en partes inversamente proporcionales a a ; 6 ; 8.
Invirtiendo los índices de inversión : 1/5 ; 1/6 ; 1/8 homogenizando: 24/120 ; 20/120 ; 15/20. (120 = mínimo Común Denominador).
Aplicando uno de los casos del Reparto Simple Directo (Reparto entre Números enteros): Si x + y + z = 240 59 1 59 21 59 37 ;y 81 ;z 61 97 x 59 1 61 z ; 5921 81 y ; 59 37 97 x 15 20 2415(240) z ; 15 20 2420(240) y ; 15 20 2424(240) x
II) Reparto Proporcional Compuesto (RPC).-
Es aquel donde una cantidad es dividida en partes que son directamente proporcionales a otras cantidades (índices de proporcionalidad) y, a su vez pueden ser directas o inversamente proporcionales a otras cantidades (índices de inversión).
Ejem.:
170 = x + y + z = ; multiplicamos los índices directamente proporcionales a 170 por las inversas de los índices inversamente proporcionales a 170.
170 = x + y + z () x = (dp) 4 . ½ x (dp) 2 y = (dp) 5 . ¼ y (dp) 5/4 z = (dp) 6 . 1/6 z (dp) 1
Reduciendo los nuevos índices a su mínimo común Denominador:
X (dp) 2 x (dp) 8/4 ; y (dp) 5/4 y (dp) 5/4; z (dp) 1 z (dp) 4/4 Repartiendo 170 en partes directamente proporcionales a 8 ; 5; 4: 40 z ; 50 y ; 80 x 40 17(4) 170 z ; 50 17(5) 170 y ; 80 17(8) 170 x
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) ¿Cuál será la medida de cada uno de los ángulos de un romboide, si estos son proporcionales a 1 ; 4 ; 5 ; 8 ; respectivamente?
Rpta.-
2) Alexa ha repartido cierta cantidad de dinero entre sus tres sobrinos, en partes que son directamente proporcionales a los números 4 ; 5 y 7. Si el tercero ha recibido 42 soles más que el primero ¿Qué cantidad de dinero repartió?
Rpta.-
3) Repartir a 1560 en 3 partes tales que la primera de ellas sea a la tercera como 7 es a 3 y que la primera y la segunda están en la misma relación que los números 5 y 4 .
Rpta.-
4) Un comerciante repartió una suma de dinero entre sus tres hermanos ; de 10 , 12 y 14 años respectivamente. Si el Reparto fue inversamente proporcional a las edades, siendo el de mayor edad el que recibe 420 soles. ¿Cuál es la suma que repartió?
Rpta.-
5) Si se divide 23520 en partes D.P. a las raíces cuadradas de 75, 12 y 25 e I.P. a las raíces cuadradas de 27;12 y 75 respectivamente. La mayor parte es:
Rpta.-
6) Las edades que tienen 5 primos en 2° grado por vía carnal son números enteros consecutivos, si se reparte una cantidad cierta de dinero entre ellos en forma directamente proporcional a sus edades; si al menor le corresponde la mitad de lo que le toca al mayor y el tercero le toca treinta y un soles con veinte céntimos ¿Cuánto le corresponderá al quinto?
Rpta.-
7) Antonio reparte una cantidad de manera tal que cada una de las partes recibe el doble que la anterior, siendo hecho el reparto entre 4 personas, la diferencia que se establece entre la cuarta y la primera parte es s/. 120 mayor que la diferencia entre la tercera y la segunda. Hallar la menor de las partes en que se repartió dicha cantidad.
Rpta.-
8) Se reparte el número 2480 en 3 parte que sean directamente proporcionales a los números m3 ; m2 y m, si la menor de dichas partes es 80 ¿Cuál será la parte mayor? Rpta.-
9) Cuando un hombre va a almorzar a un restaurante y le atienden una mujer y un hombre, le da doble propina a la mujer que al hombre, y si le atienden el hombre y un muchacho, le da doble propina al hombre que al muchacho. Si un día le atienden el hombre, la mujer y el muchacho y da 70 centavos de propina ¿Cuánto debe recibir cada uno? Rpta.-
10) Juan Carlos ha repartido cierta cantidad de dinero entre sus amigos: Abelardo, Benjamín y Claudio, de modo tal que las partes que estos reciben son respectivamente proporcionales a 4 ; 5 ; y 6. Si la parte que le corresponde a Abelardo es 20 soles, ¿Cuáles son las partes que le corresponden a Benjamín y a Claudio, respectivamente?
Rpta.-
11) Un padre dispone en su testamento que está su fortuna constituida por una casa que esta valuada en s/. 48 mil dos y dos automóviles valuados en s/. 1500 cada uno que sea repartida entre sus hijos (3) de tal manera que el hijo mayor tenga 8 partes de la herencia, el mediano 6 y el menor de ellos; 3 ¿Cuánto le corresponderá al segundo?
Rpta.-
12) Tres hermanos adquieren una propiedad en 85 mil soles y, algunos meses después, la venden en 100 mil soles. Si las partes que impusieron son proporcionales a los números 3 ; 4 y 8. ¿Cuánto ganó cada uno?
Rpta.-
13) Se reparte 24 en 3 partes directamente proporcionales a 2 ; 4 y 6 ¿Cuáles son dichas partes? Dar como respuesta la mayor.
14) En el Planeamiento de Presupuesto General de la República para el año 2004, en concordancia con la política descentralizadora por parte del gobierno, se ha dispuesto hacer el reparto de modo directamente proporcional con las necesidades básicas de cada Región. Si se consideran solo tres Regiones, por la política gubernamental mencionada, notaremos que el reparto del Presupuesto es directamente proporcional a los números: n, n2 y n3. Si la región con menor presupuesto recibe 500 soles ¿Cuánto recibirá el segundo? Rpta.-
15) Dividir 95 en 3 partes de modo tal que la primera parte es a la segunda parte como 4 es a 3 y que la segunda parte es a la tercera como 6 es a 5. Dar como respuesta la diferencia entre la parte mayor y la parte menor.
Rpta.-
16) Un amigo de mi hermano reparte 238 bolas entre cuatro muchachos en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 2 ; 5 y 8 años respectivamente, como recompensa por sus buenas conductas ¿Cuántas bolas recibirá cada uno? Dar como respuesta la suma de las cantidades del primero y del tercero.
Rpta.-
17) Un campesino cajamarquino tiene unas 275 aves entre gallos, gallinas y palomas. El número de gallinas es al de gallos como 7 es a 3 y el número de palomas es al de gallinas como 5 es a 2 ¿Cuántas aves de cada especie tiene?
Rpta.-
18) Se establece un reparto de dinero entre 3 personas, en forma directamente proporcional a sus edades, las cuales son 3 números enteros. Luego se reparte la misma cantidad de dinero, pero de modo inversamente proporcional a la misma 3 cantidades. Luego la segunda persona recibe en el segundo reparto:
Rpta.-
19) Tres vecinos de la urbanización Mayorazgo deciden pintar las fachadas de sus casas siendo el costo total de 1369 soles. La extensión de la fachada del primero es los 3/5 del tercero, y la del segundo es los 7/2 de la del primero. Si el gasto se reparte en forma directamente proporcional a la extensión de las fachadas ¿Cuánto le ha correspondido abonar al tercero?
Rpta.-
20) La Señora Carmen Rosa Ugarteche al fallecer legó una herencia de s/. 14 400 para repartirla proporcionalmente a las edades de sus hijos: Mauricio, Charles y Jaime Estuardo. La edad de Jaime Estuardo es el doble de la de Mauricio y a Charles le correspondió s/. 4200. Si la suma de las edades de estas 3 personas es 72 años. ¿Cuál es la edad de Jaime Estuardo?
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Kelvin, Manolo y William disponían de un terreno,siendo las partes que les correspondían a cada a cada uno respectivamente proporcionales a 2,5 ; 1,5 y 2. Si Kelvin vende unos 200m2de un terreno
a Manolo ambos tendrían terrenos iguales ¿Cuál es el área del sector del terreno que le correspondía a William?
a) 1000 b)800 c)600 d) 400 e)200
2) Si se reparten s/. 270 entre 3 personas de modo que la parte correspondiente a la segunda persona sea los 2/3 de la parte correspondiente a la primera persona y además la parte correspondiente a la tercera persona es igual a la semisuma de las otras dos partes ¿Qué parte le corresponde a la segunda persona?
a) s/.90 b) s/. 18 c) s/.108 d) s/. 84 e) s./ 72
3) Al repartir s/. 720 en forma directamente proporcional a m ; n ; 3n ; 9n ; 27n ;... 3zn; el
menor valor fue 18 ¿Cuál será el valor de “z”? a) 2 b)3 c)4
d) 5 e) 6
4) Alberto reparte cierta cantidad de dinero entre sus 3 hijos en forma directamente proporcional a los números mn; nm; nn; de tal manera que los dos primeros recibirán 228 y 339 dólares respectivamente ¿Cuál es la cantidad que se repartió ?
a) $/.1450 b) S/.995 c) $/. 1045 d) S/.1304,5 e) $/. 1215
5) Dividimos una cantidad en 3 partes que son directamente proporcionales a tres números, de modo tal que éstos llegan a ser: 13200 ; 33000 y 52800 Si el reparto se efectúa en forma inversamente proporcional a los mismo tres números ¿Cuál sería la segunda parte?
a) 35000 b) 3300 c)15000 d) 24000 e) 60000
6) Se divide 2210 en cuatro números tales que el segundo y el tercero estén en la misma relación que 7 y 11, el tercero y el cuarto están en la misma relación que los números 4 y “m” y la primera es a la segunda como 3 es a 5. Si el cuarto número es 1100 ¿Cuál es el valor de “m”? a) 11 b) 12 c) 8
d) 44 e) 33
7) Se reparte una cantidad en 3 partes de tal manera que éstas sean proporcionales a los números 3 ; 5 y 8. Si la tercera parte es mayor que la segunda parte en 78 unidades ¿Cuál fue la cantidad total que se repartió?
a) 426 b) 328 c) 416 d) 461 e) 248
8) Se reparte un cierto número en dos cantidades, las cuales son directamente proporcionales a los números 3 y 5. Si la segunda parte es mayor en
42 unidades mas que la primera parte.¿Cuál es el número que se repartió?
a) 168 b) 172 c) 194 d) 186 e) N.A
9) Abelardo reparte s/205 entre sus 3 mejores amigos, de tal manera que la primera recibe tanta cantidad de la segunda como 2 es 5; y el segundo recibe las ¾ partes del tercero. ¿Cuánto recibió la primera de esas 3 personas?
a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 90
10) Tres muchachos tienen s/. 80 el primero; s/. 40, el segundo y s/. 30 el tercero. Convienen entregar entre todos 30 soles a los pobres, contribuyendo cada uno en función a lo que tienen ¿Cuánto pondrá cada uno? Dar como respuesta lo que pone el segundo. a) 18 soles b) 16 soles
c) 10 soles d) 6 soles d) 8 soles
11) En un colegio hay 130 alumnos, de los cuales hay cuádruple número de estadounidenses que de españoles y doble número de cubanos que de estadounidenses ¿Cuántos españoles hay en el colegio?
a) 50 b) 10 c) 90 d) 40 e) 80
12) Se ha comprado 2 automóviles de $ 3400 y se han pagado en razón directa a la velocidad que puedan desarrollar, que es proporcional a los números 60 y 70, y en razón inversa a su tiempo de servicio que es de 3 y 5 años, respectivamente ¿Cuánto se ha pagado por cada uno? Dar como respuesta la diferencia entre estos.
a) 900 b) 800 c) 700 d) 600 e) 500
13) Tres cuadrillas de Obreros han realizado un trabajo por el que se ha pagado s/. 516 .La primera cuadrilla constaba de 10 Hombres y se trabajó durante 12 días; la segunda, de 6 hombres, trabajó 8 días y la tercera, de 5 hombres, trabajó por 18 días.¿Cuánto debe recibir la tercera cuadrilla?
a) 96 soles b) 240 c) 276 d) 180 e) 336
14) Se reparte 26 en dos partes proporcionales a 3 y 4 e inversamente proporcional a 6 y 5. ¿Cuál es la parte mayor?
a) 12 b) 10 c) 16 d) 13 e) 11
15) Repartir 95 en 2 partes D.P. a 0,4 y 0,6 e I.P. a 1,4 y 2 ½. Dar como respuesta la diferencia entre ellos.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
TEMA: PORCENTAJE
Introducción.-
La expresión “... por ciento” es derivada de la expresión latina “...per centum”, apareciendo en las principales obras de aritmética en la Italia del siglo XV y su signo (%) fue fruto de una sucesiva mutilación a través de los tiempos, de la abreviatura de 100 (cto); apareciendo éste en un libro de comercio y ciencias mercantiles en el año 1685.
Definición.-
El tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cien partes en las cuales se divide una cierta cantidad. Por ejemplo, si decimos que el 10% de 100 es igual a 10; es por que éste se sustenta en el hecho de que al número 100 se le dividen en 100 partes regulares (perfectamente iguales), de manera tal que se consideran de dichas partes a unas diez. Las partes que se pueden considerar respecto de una determinada cantidad pueden ser tanto como fraccionarias.
Notación: Si a% de b es igual a c : (b) c 100a c b % a
Ejemplo: Hallar el 7 por ciento de 81 : .81 5,67 1007
81 %
7
Propiedades del Tanto Por Ciento.-
1) Toda cantidad representa el 100% de sí misma. N= 100% N .
2) Los porcentajes de diferentes cantidades se pueden sumar o restar de modo algebraico, es decir, solamente se pueden operar porcentajes que operen a una misma cantidad %N + %N - %N =(++)N; .
Donde: ;; Q+
43% M + 27%M – 15%M = 55%M
Relación Entre La Teoría del Porcentaje y Las Fracciones.-
Las variaciones porcentuales (cambios que experimenta una determinada cantidad, con respecto de su valor original) se pueden expresar como una fracción en la cual el numerador es aquélla cantidad a operar y el denominador es el número respecto al cual se de ha ser la repartición (en el tanto por ciento, el indicador equivale a 100, por ejemplo).
Para convertir una determinada fracción a porcentaje, basta con multiplicar dicha fracción con el número al cual se ha de repartir dicha fracción. Ejemplo :
(*) Convertir 1/5 a tanto por ciento : 1/5 (100) = 20% se lee : “veinte por ciento”. (*) Convertir 4/9 a tanto por 27 : 4/9 (27) = 12 “doce por veintisiete”.
(*) Convertir 95% a fracción : (95/100) = 19/20 (*) Convertir 3 por 10 a fracción : 3 por 10 3/10
Obs.
* Tanto por Cuanto: Si en un inicio decimos que el tanto por ciento de cierta cantidad era una ó mas de las partes (las cien) en que se pueden dividir dicha cantidad; al tanto por cuanto se le define como una o
varias partes que se toman en cuenta de un número determinado de partes en las cuales se puede dividir una determinada cantidad.
Notación: Si el a por b de c es igual a d: (c) d
ba ; donde b 100. Hallar el 3 por 5 de 75: (75) 45
5
3
* Tanto por mil: De manera análoga a las definiciones del tanto por cuanto y del tanto por ciento, podremos concluir que el tanto por mil es cada una de las mil partes en que se divide una cantidad.
Notación: Si el a por 1000 de b es igual a c: (b) c 1000
a ; donde b 100.
Hallar el tanto por mil (el 25 por mil) de 2300: (2300) 57,5 100025
* Tanto por ciento del tanto por ciento: Se denomina así al cálculo del porcentaje sobre otro porcentaje - y así, sucesivamente – de cierta cantidad. Ejemplo :
Hallar el 30% del 40% del 60% de 3100 : (30/100)(40/100)(60/100)(3100) = 223,2 Operaciones Sucesivas del Tanto Por Ciento .-
En asuntos relacionados con el porcentaje pueden presentarse casos que involucren un aumento o disminución de cierta cantidad que se manifiesta por medio de un porcentaje sobre la cantidad indicada. Por ejemplo:
Si un individuo contaba con una cuenta de ahorros de 80 000 nuevos soles en el Banco Santander – Central Hispano (BSCH) y cuando llega a dicho banco decide extraer todos sus ahorros – los ochenta mil nuevos soles, y recibe cien mil soles en vez de los ochenta mil nuevos soles iniciales, entonces estaría recibiendo un incremento de veinte mil soles, es decir, Recibe un incremento del 25% (veinticinco por ciento) de total de su cuenta de ahorros.
Casos Particulares:
1) Si realizo dos aumentos sucesivos del M% y del N% , el incremento único será: 100 N x M N M AU
donde: Au =Aumento ó incremento Único
2) Si realizo dos descuentos sucesivos del M% y del N% , el descuento único será:
100 N x M N M DU . Du =Descuento Único Ejemplo:
* Juan Carlos compro 10 Kg. de Azúcar y lo vende haciendo dos incrementos sucesivos del 30% y del 40% sobre el precio de venta. Hallar el incremento Único que se estableció en la venta del Azúcar.
Sean los incrementos del 30% y del 40% : AU=30+40+30.40/100= 82 (AU) El incremento único será del 82%
* Alexander, jefe del personal de la Fabrica D’onofrio, tiene encomendado reducir el sueldo básico de sus empleados. Si llega a establecer dos descuentos del 40% y del 25%, el descuento único será:
El Descuento único será el 55% Obs.
Las relaciones para incrementos y descuentos indicadas anteriormente, solo cumplen para dos incrementos y dos descuentos sucesivos, respectivamente. Para conocer el incremento o descuento sucesivo que se establece cuando se da una serie de incrementos o descuentos sucesivos, respectivamente, se produce la relación a continuación mencionada:
% 100 100 ) C 100 )( B 100 )( A 100 ( AU n1 Ejemplo:
1) Se producen dos incrementos sucesivos de 30 y 40%.Hallar el incremento Único:
100 182 100 100)(140) 130 ( A 100 100 ) 40 100 )( 30 100 ( AU 2 1 U
El Incremento Único : 82%
% 100 100 ) C 100 )( B 100 )( A 100 ( DU n 1 Ejemplo:
1) Se producen dos descuentos sucesivos del 40% y del 25%.Hallar el descuento Único:
100 45 100 100)(75) 60 ( D 100 100 ) 25 100 )( 40 100 ( DU 2 1 U
El Descuento Único : -55% (la cantidad se redujo en 55%) El Signo ( - ) es indicador del descuento (dcto).
A ; B ; C = Aumento Sucesivos. n = Cantidad Total de Incrementos Au = Incremento Único A ; B ; C = Descuento Sucesivos n = Cantidad Total de descuentos Du = Descuento único
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Un agricultor del Valle del Colca compro unacierta cantidad de trigo. Vendió las dos terceras partes de este con un beneficio del 10% y la mitad del resto del trigo a precio de costo. Si cuando la venta llego a su fin, el agricultor obtuvo el equivalente a la inversión ¿Cuál fue el porcentaje total de pérdida ocurrido en la venta? Rpta.-
2) Para hacer unos mil lápices se requieren unos 50 kilogramos de madera, del cual se pierde un 8% en la fabricación; de un lápiz se pierde por el uso aproximadamente un 20 por ciento. Si se reuniesen las cantidades perdidas por el uso de unos mil lápices y se destinaran como materia de reciclaje ¿Cuántos lápices se llegarían a hacer? Rpta.-
3) En un tonel de la Taberna Queirolo que contiene una cantidad indeterminada de vino tinto, se adicionan aproximadamente unos 480 litros de agua. Después de
cierto período de tiempo se extrae el 20 por ciento de dicha mezcla entre el vino y el agua y se reemplaza éste por agua; resultando luego que la cantidad de vino que se obtiene de la nueva mezcla constituye el 16 por ciento del total de la mezcla. Calcular la cantidad total de vino – inicial – que tenía el tonel.
Rpta.-
4) Un comerciante del Campo Ferial de Mesa Redonda decide vender un objeto aumentando su precio en un 20 por ciento. Al cabo de unos días rebaja ese precio en un 10 por ciento, pero siete días después aumenta nuevamente, el nuevo precio es un 25 por ciento; mas el día siguiente decide rebajar este último precio a un 80 por ciento. Indicar si el comerciante gana o pierde e indicar cuanto es ese porcentaje. Rpta.-
5) Se ha estimado que una mezcladora de concreto de la Empresa Constructora Graña y Montero S.A. sufre una depreciación de diez por ciento por cada año de uso respecto al precio que tenía al comenzar cada año. Si cuatro años después el precio de la mezcladora estuvo especificado en trece mil ciento veintidós nuevos soles, indicar el costo original de la mezcladora en cuestión.
Rpta.-
6) En la competencia preliminar del Vigésimo Octavo Campeonato Mundial de Tiro, uno de los participantes logra convertir unos diez y siete blancos consecutivos ¿Cuántos debe fallar para que su rendimiento sea del ochenta y cinco por ciento?
Rpta.-
7) José Ignacio vende un equipo de cocina ganando por dicha venta el veinte por ciento del precio con el cual se dio aquella venta; de ésta, entrega el veinte por ciento a Carmelo por sus Servicios prestados y, de lo restante, utilizó posteriormente el diez por ciento para pagar el transporte del equipo de cocina hacia el domicilio del nuevo propietario, obteniendo así una ganancia neta de ciento cuarenta y cuatro soles ¿Cuál fue el precio de costo del equipo de cocina?
Rpta.-
8) Un Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Nacional del Callao compra sillas a s/.32 cada una para el centro de Producción de su Facultad. Una vez allí, anuncia la venta de dichas sillas a S soles, de modo tal que cuando realice un descuento del 20% a sus cliente potenciales, pueda ganar el 20% sobre venta Calcular el valor de “S”
Rpta.-
9) Doce obreros de construcción Civil – quienes poseen el mismo rendimiento se comprometen a realizar una obra para el Fondo Mi Vivienda en, aproximadamente, quince días. Cuando dichos obreros avanzaron la mitad de la obra, por disposición de la Empresa Constructora, ocho de esos obreros son bruscamente despedidos. Si la Empresa Constructora es conciente de que la segunda etapa de la obra – lo que falta por construir – requiere el doble del esfuerzo realizado para construir lo ya avanzado; Calcular el rendimiento que deben tener los cinco nuevos obreros – coincidentemente también de Construcción Civil – respecto al rendimiento de los primeros, que se han de contratar, de tal manera que la obra en ejecución se termine en el plazo establecido.
Rpta.-
10) A Elizabeth; al comprar una blusa, deberían hacerle un descuento del 20% mientras que a Esmeralda, al comprar un pantalón deberían haberle descontado el 10% del costo del pantalón. Él por la premura llega a equivocarse, de tal manera que Elizabeth debe pagar s/.2 más y Esmeralda, s/. 5 menos – el vendedor hace el descuento al revés – Hallar la diferencia de las cantidades que pagaron Esmeralda y Elizabeth. Rpta.-
11) Se le encomendó a una Empresa, por encargo del Gobierno Central, realizar el mantenimiento de una carretera en la Selva Alta del departamento de la Libertad, la cual quedo dañada por las lluvias incesantes que se producían en dicha región.
Para llevar a cabo el mantenimiento de dicha carretera, se tuvo que extraer tierra cavando una zanja; luego la tierra sufrió un esponjamiento del 30% y ; después; un asentamiento del 20%. Si el cavado duró unos 28 días ¿ Cuánto tiempo hubiera durado el cavado si el esponjamiento fuera del 40%?
Rpta.-
12) En la Librería Lau Chun se tiene una oferta en la venta de los libros. Cada Libro cuesta s/.3; pero si las ventas superan los s/.24, habría un descuento del 24%. Además, para ventas por encima de los 60 soles, el descuento sería del 38% y para ventas mayores a los 138 soles, el descuento sería del 85%. En la Librería Época, para venta de libros en el mismo intervalo los descuentos son , respectivamente; de 3% ; 5% y del 8%. Una persona, en su primera compra obtuvo un descuento del 24% ; en la segunda 38% y en la tercera 85% y observó que si su compra la hubiera realizado en la otra tienda hubiera gastado s/.143,1 más. Si el número de libros que compró es el menor posible, hallar el número total de dichos libros. Rpta.-
13) Se han mezclado tres sustancias químicas cuyos precios son proporcionales a 1;5 y 12 ; de tal manera que se usa un 20% más de la segunda sustancia respecto de la primera y de la tercera un 40%, más que la segunda; si se sabe que el precio por kilogramo de la mezcla es mayor en s/.27 que la diferencia de los precios de las dos primeras sustancias.
Calcular si gana o pierde; si al vender un precio fijo, aumentando su costo en 60% y en la venta hace dos descuentos sucesivos del 25%(Indicar, además, las cantidades)
Rpta.-
14) Roberto desea adquirir cierto producto, cuando solicita un descuento, la vendedora le hace uno del 20% más el 30% de su precio. Entonces, el descuento que se hace ¿es del 50%?
Rpta.-
15) Si el precio de un par de guantes luego de habérsele hecho dos descuentos sucesivos del 10% y del 30% es de unos sesenta y tres soles ¿Cuál es el precio que tenían los guantes antes de producirse dicho descuento?
Rpta.-
16) En cierta Empresa el sueldo mínimo es de s/. 250 y el máximo es de s/.300. Se sabe, además, que veinte empleados ganan, por lo menos, s/. 290 soles pero menos de s/. 300. Sesenta y ocho empleados ganan, por lo menos, s/. 270 ; 135 empleados ganan por lo menos s/.260 y el resto
de empleados ganan menos de unos 260 soles, siendo éstos últimos el 10% del total ¿Cuántos empleados ganan menos de s/.270?
Rpta.-
17) Gerard compra una pieza de tela, al por menor, que vende de la siguiente manera: S/.8 con un beneficio de 60 soles el metro y lo restante con 40 soles de beneficio por metro. La ganancia total por la venta es de s/.6300, el cual representa el 15% del precio de compra. ¿Cuál es la longitud de la pieza y el precio de compra? Dar como respuesta el cuadrado de las sumas de las cifras de los resultados
Rpta.-
18) Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 20%. Resulta que el área aumenta en 176m2.
Calcular la longitud inicial del cuadrado. Rpta.-
19) Un estudiante de la Facultad de Letras y Ciencias Humanas de la Cuatricentenaria Universidad Nacional Mayor de San Marcos lee durante una semana el 60% de un libro más 20 páginas. En la segunda semana lee el 10% de lo que falta y en la tercera semana lee las noventa páginas restantes.¿cuántas páginas tiene dicho libro? Rpta.-
20) En la Fiesta de Cachimbos de la Universidad Real, Pontificia y Mayor de San Francisco Javier de Chuquisaca, en Bolivia, el total de chicas que salen a bailar lo hacen con el 6% del total de chicos. Además, Iván Ferrer – uno de los cachimbos – observo que si hubieran 20 chicas más, el número de personas que bailan respecto de las que no bailan estarían en la relación de 2 a 1 ¿Cuantos cachimbos varones que asistieron a dicha fiesta no están bailando?
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) En una reunión del Club Regatas Lima se observa que el número de mujeres esta en relación de 1 a 2 con el número de hombres, luego se retiran el 35% de los hombres y llegan unas 90 mujeres resultando que los hombres y mujeres están en relación de 1 a 1. Calcular el número de personas que habría al principio de la reunión.
a) 800 b) 850 c) 900 d) 950 e) 1000
2) Se tiene un recipiente de vidrio lleno de Ron, del cual se extrae el 20% y se reemplaza con agua; luego de lo obtenido se extraer el 25% y se reemplaza con agua, de modo tal que la diferencia entre los volúmenes de Ron y de agua es de 32 litros ¿Cuál es el volumen inicial del recipiente?
a) 120 b) 140 c) 160 d) 180 e) 200
3) Un litro de mezcla esta formado por 75% de alcohol y 25% de agua, por lo cual pesa unos 960 gramos, sabiendo que un litro de agua pesa 1000 gramos. Determinar el peso, en gramos, de un litro de la mezcla que tiene 15% de Alcohol y 85% de Agua (no considerar la contracción de la mezcla).
a) 995 b) 992 c) 987 d) 974 e) 968
4) Un vendedor de manzanas compra unos 152kg de ellas a s/. 1,50 cada Kg. Después de lograr vender 82kga s/. 1,80 cada Kg.; guarda el resto por varios años, de modo tal que se llega a malograr aproximadamente el 30%. Calcular el precio al cual se debe vender el Kg. de lo que queda para que se pueda obtener un total de s/. 42,1 soles de ganancia.
a) 3 soles b) 2,9 c) 2,6 d) 2,5 e) 2
5) En una tienda a los clientes les hacen dos descuentos del 10% y del 20%, de modo tal que llegan a ganar el 40%. Si un artículo se compra en s/ 36¿Cuál es el precio que debe fijarse para concretar su venta?
a) s/.40 b) s/.60 c) s/.56 d) s/.70 e) s/.58
6) Una Fabrica de Útiles para escritorio produce lápices, cuyo costo se distribuye de la siguiente manera: 60% en materia prima 30% en mano de obra y el resto en gastos generales ; de modo tal que en la venta obtiene como ganancia el equivalente al 20% del precio costo. Debido a una variación de precios, sus costos aumentaron de la siguiente manera: 50% en materia prima, 40% en mano de obra y sus gastos generales en un 20%. Si
ahora su ganancia neta sería del 30% del costo; calcular el tanto por ciento de los lápices, respecto al precio original de estos (Calcular el nuevo porcentaje en que se aumenta el precio de venta de los lápices) a) 56% b) 45% c) 53%
d) 80% e) 70%
7) El departamento de Servicio Social del Servicio Nacional para el Adiestramiento para el Trabaja Industrial (SENATI) rebaja las pensiones a aquellos estudiantes que cuentan con bajos recursos económicos en un 30 por ciento y aumenta en un 40 por ciento al resto de alumnado. Si el monto total de las pensiones de la totalidad de alumnos del SENATI queda disminuido en un 10 por ciento.¿Qué porcentaje de las pensiones – el total – representa lo pagado por los estudiantes de bajos recursos económicos? a) 38% b) 22% c) 60%
d) 70% e) 55,5%
8) Carlos razona de la siguiente manera:”para poder cancelar mi deuda con Jusep me prestaré dinero de Lucy con la cual mi deuda con ella aumenta en un 40%; pero si le llegase a pagar 420 mil soles, mi deuda con Jusep llegaría al 70% por pagarle. ”¿Cuánto es la deuda que tiene Carlos con Jusep?
a) 100 mil b) 200 c) 300 d) 400 e) 500
9) Dos recipientes “k” y “M” contienen ayahuasca, el recipiente “k” está lleno la mitad; el recipiente “M” , en un tercio de su volumen, así que se completan con agua el contenido de ambos recipientes (sus capacidades); la mezcla que se origina se vierte en el recipiente “N”. Si se sabe que las relaciones entre las capacidades de K y M es como 1 es a 2 ; determinar el porcentaje de ayahuasca que contiene la mezcla en el recipiente “N”.
a) 54% b) 61% c) 39% d) 71% e) 36%
10) Andrei acude a una tienda de electrodomésticos y compra cierto artículo por el precio de s/. 697 ; luego de unos 5 años regresa a la misma tienda y compra el mismo artículo pagando ahora 900% del precio anterior. Si el letrero del artículo decía descuento del 23,5% más el 18% indicando dos descuentos sucesivos ¿Cuál fue el precio de lista del segundo artículo comprado? a) 10 mil b) 50 mil c) 40 mil
d) 38 mil e) 5 mil
11) En una Industria se confeccionaran mil artículos de ropa: el 60% de ellos fueron
fabricados por la maquina “A” y lo restante por la maquina “B” .Si conocemos que el 5% de lo fabricado por “A” es material defectuoso y el 4% de lo fabricado por “B” cumple dicha condición. Hallar la cantidad total de artículos de ropa defectuosos.
a) 50 b) 91 c) 45 d) 46 e) 39
12) Si a un número se le incrementa el 20% y a la nueva cantidad se le reduce el 20%¿Qué se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial? a) Aumenta 10% b) Disminuye 10% c) Disminuye 42 d) Disminuye 8 e) No varía
13) Giovanni le dice a Anderson :“entre tu dinero y el mío hacemos 1125 soles; si hubiera recibido 30% menos de lo que te corresponde, nuestras cantidades serían iguales si es que yo recibiera 20% menos.” ¿Cuánto tiene cada uno?. a) G : s/. 425 ; A : s/. 700 b) G : s/. 400 ; A : s/. 725 c) G : s/. 525 ; A : s/. 600 d) G : s/. 440 ; A : s/. 685 e) G : s/. 340 ; A : s/. 785
14) Al sueldo de un empleador de la Empresa Backus y Johnston S.A se le hace un incremento del 20% al comenzar el año y; en el mes de Julio recibe un incremento del 10% sobre el total. Calcular el porcentaje de su sueldo – que percibirá en Agosto con respecto a su sueldo percibido el año anterior.
a) 128% b) 130% c) 103% d) 125% e) 132%
15) ¿En que tanto por ciento aumentará el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 20% y la longitud del radio de la base aumenta en 25%?
a) 10% b) 25% c) 15% d) 30% e) 20%
TEMA: ASUNTOS COMERCIALES
Introducción.-
Una Transacción comercial es el intercambio de bienes y servicios a cambio de dinero que se establece entre dos ó mas personas, de manera que la persona que vende dicho bien o dicho servicio puede obtener – como consecuencia de la transacción – un beneficio o una pérdida de su patrimonio.
Para poder enfrentar distintas situaciones relacionadas con los asuntos comerciales, es fundamental y suficiente el correcto conocimiento de la definición de porcentaje; aunque también es necesario conocer las definiciones de las relaciones financieras dadas a continuación:
1) Precio de Venta (Pv): es aquel con el cual se cotiza un determinado artículo. Ejem: si en el mercado observamos que el kilo de Azúcar cuesta s/.1,50 entonces decimos que s/.1,50 es el precio de venta del azúcar.
2) Precio de Costo ó de Compra(Pc) : es aquel con el cual se adquiere un determinado artículo para su posterior uso. Así por ejemplo, si compramos un costal de 10 kilos de arroz a 12 soles, es decir, s/. 1,20 por cada kilo de arroz, decimos que 12 es el precio de costo por que ese fue el precio establecido para poder adquirir dicho producto.
3) Precio Fijado, de Catálogo ó Precio de Lista (Pl) : es el precio determinado en una lista o catálogo de diversas compañías o establecimientos comerciales. Ejemplo: Los precios de una determinada marca de zapatillas de vestir en una tienda de ropa.
4) Ganancia, Beneficio, Renta o Utilidad (G) es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio mayor de lo que costo originalmente. Ejemplo: Si un televisor se compra a 200 dólares y luego se vende a 300 dólares, hablamos de una utilidad de 100 dólares.
5) Pérdida (P) : es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio menor que lo que costo originalmente. Ejemplo: Si se compra un televisor a 300 dólares y se vende en 250 dólares, hablamos de una pérdida de 50 dólares.
6) Descuento (dcto;D) : Pago de un documento no vencido, al cual se le redujo el costo – en una cantidad acordada por ambas partes – como interés del dinero.
Obs.:
1) Se determina al precio de venta como la suma del precio de costo y la ganancia. Pv = Pc + G ; donde Pv Pc
2) Se determina al precio de costo como la suma del precio de venta y la pérdida. Pc = Pv + P ; donde Pv Pc
3) Se define al precio de lista como la suma del precio de venta y el descuento. PL = Pv + D ; donde Pv PL Además : Siempre te Generalmen ) PL (f D ; ) Pc (f P ; ) Pc (f G
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Un trabajador de una cadena de electrodomésticosrealiza una venta de un sistema “Home Tealther” obteniendo, aproximadamente, el 24% de la utilidad cuando concreta la venta de los 3/5 del total de la mercadería; pero al vender el 40% restante llegó a perder el 25% de su costo. Si al culminar la jornada la venta total de la mercadería fue de seiscientos veintiséis mil cuatrocientos nuevos soles (s/. 626400). Hallar el importe de la compra de la mercadería. Rpta.-
2) Un comerciante del Mercado Mayorista de Ceres compra harina a 15 soles el saco; ganándose al vender 33 1/3% del costo. Calcular el precio con el cual se vendió la harina si cada saco tiene capacidad para unos 100 kilos (por cada kilo).
Rpta.-
3) Claudia Ángela decide incursionar en el negocio de la compra y venta de dólares americanos, de tal modo que tenía previsto obtener de beneficio aproximadamente el 20% de la cantidad que invirtió; pero cuando llega al Jirón Ocoña , en pleno Centro Histórico de Lima – La Catedral de los Cambistas – se da con la sorpresa que debe vender sus dólares americanos al 75% del precio de venta original, que era, precisamente, el precio que estimo para obtener ese anhelado 20 por ciento. Hallar el tanto por ciento de la ganancia de la venta que llega a obtener. Rpta.-
4) Un comerciante del Emporio Comercial “Los Informales” de Pachacutec decide vender un determinado artículo de modo tal que obtiene aproximadamente el veinte por ciento del precio de costo como utilidad y, con dicha ganancia decidió comprar otro artículo para tiempo después, venderlo para ganar así el 25% del precio de venta. Hallar la relación en la que se han de encontrar los precios de venta de ambos artículos.
Rpta.-
5) Un vendedor de la tienda de Electrodomésticos “CARSA” decide aplicar a la línea de electrodomésticos tres descuentos sucesivos el 20%; 25% y 20% de manera tal que el nuevo precio de venta llega a sufrir, luego, tres incrementos sucesivos del 20%; 25% y del 20% de manera tal que el nuevo precio de venta es diferente del precio de venta original en 204 nuevos soles ¿Cuál fue el precio de venta original?.
Rpta.-
6) Para la construcción de la nueva sede de la Biblioteca Central “Pedro Zuler” en la ciudad Universitaria de la Cuatricentenaria Universidad Nacional Mayor de San Marcos se compraron ladrillos a 160 nuevos el millar. Si en cierta parte del edificio fueron necesarios unos trescientos sesenta ladrillos, los cuales representaron el 0,3% del total de ladrillos que compraron. Hallar la cantidad que se invirtió en la compra de los ladrillos.
Rpta.-
7) En la Pontificia Universidad Javeriana de Colombia, en el departamento general de Servicio Social decide rebajar las pensiones de enseñanza a aquellos estudiantes de escasos recursos económicos a un 80% e incrementa en un 30% al los alumnos. Si por esta política el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10 por ciento ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión universitaria pagada por aquellos estudiantes que no se vieron afectados por dicha reducción ?.
Rpta.-
8) Un objeto encontrado en el Transatlántico “Titanic” está valuado, según una famosísima casa de antigüedades de Liverpool, en Inglaterra, en 17 mil 280 libras esterlinas. Si dicha casa de antigüedades decidiera realizar un concurso en la cual, entre los valiosísimos objetos, se pusiera en subasta pública al objeto encontrado en el Titanic ¿Cuál sería su precio base sabiendo que si al venderlo se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y del 20%, de modo tal que la casa de antigüedades logre ganar el 10 por ciento del 20 por ciento del precio original?
Rpta.-
9) Waldir Sáenz tiene cierta cantidad de dinero, si el primer día decide gastar el 43% de su sueldo como jugador estelar de ese equipazo de PlayStation llamado Alianza Lima; Calcular el porcentaje de lo que le queda a “Wally” que debería gastar el segundo día – en juergas y trampas – para que le quede aproximadamente el 28,5% del dinero que cobro originalmente.
Rpta.-
10) Un comerciante de la tienda de electrodomésticos “LA CURACAO” tiene unas tres computadoras PENTIUM IV marca Compaq, logrando vender dos de ellas en 360 dólares americanos cada una de ellas, logrando así obtener un beneficio económico – en
una de ellas – del 20 por 70 de su costo y perdiendo en la venta de la segunda computadora el 20 por 100 del precio de venta. Si la tercera computadora le costo el 10 por ciento de la primera más el 80 por ciento de la segunda ¿Qué porcentaje de ganancia o pérdida debe obtener el comerciante de “LA CURACAO” para que en la venta total el beneficio y la pérdida sea nula?
Rpta.-
11) El mismo comerciante que vendió las computadoras en el problema anterior de está guía efectúa la venta del 40 por ciento de los artículos que compró de la tienda de electrodomésticos “RIPLEY MAX” de tal modo que obtiene una utilidad del 40 por ciento del precio de costo; vende además el 20 por ciento de lo restante perdiendo el 20 por ciento; luego la cuarta parte de lo que llega a tener la regalará a uno de sus hermanos y lo restante lo vendió al mismo precio de costo (sin ganar ni perder). Si en toda la venta obtiene un beneficio de s/. 480 ¿Cuántos artículos compra si cada uno de estos costaba 10 nuevos soles? Rpta.-
12) Dos automóviles cuestan juntos unos trescientos mil dólares americanos (US$) el primero se devalúa en 10 por ciento de su costo inicial cada año, mientras que el segundo automóvil se devalúa – económicamente hablando – en 12 por ciento al año. Si un año después el primer automóvil se devalúo económicamente unos 9 mil 600 dólares americanos menos que el segundo. Hallar el precio del automóvil más barato.
Rpta.-
13) En una fábrica de confección textil de la ciudad de Puerto Ordaz, en la República Bolivariana de Venezuela, los costos de producción se reparten del siguiente modo: el treinta por ciento del total se invierte en mano de obra y el diez por ciento restante se reparte en gastos generales, de modo tal que el 60% de la producción total se distribuye en la adquisición de materia prima; así los productos que confeccionan la fabrica los vende obteniendo el 20 por ciento del costo. Como consecuencia de la crisis que asola a Venezuela en el ámbito económico se da una variación de precios tal que sus costos se incrementaron de la siguiente manera: 50% del total se deriva a la materia prima (hilos, tejidos, entre otras), 40% del costo total se deriva a la mano de obra y los gastos generales sufren, en consecuencia, un incremento del diez por ciento respecto. Si las ganancias reportadas llegan a ser el 30% del costo. Hallar el tanto por ciento en que se incrementa el precio de venta de los artículos de confección que produce la fabrica antes mencionada.
Rpta.-
14) Al vender un determinado artículo se hacen descuentos sucesivos del 10% y 20% pero aún se gana el 20%. Hallar el costo de dicho artículo si
sabemos que al fijar en un inicio su precio el costo se da un incremento de 500 nuevos soles.
Rpta.-
15) Sobre el precio de venta de un artículo se rebajo el 20% del 30 % y aún quedará un margen de ganancia del 40% del costo.
Hallar el precio de venta que se dijo si el precio de costo fue s/. 94 000
Rpta.-
16) En una oferta un comerciante disminuye el precio de un artículo en 25%, por tal motivo la demanda aumenta en un 60%¿En que porcentaje varía la recaudación?
Rpta.-
17) Si compro un libro para, después de leerlo, lo vendo obteniendo 20% de utilidad – haciendo previo descuento de 20% - ; Hallar el porcentaje que se debe rebajar el precio inicialmente fijado para que pueda obtenerse el 14% del precio de costo.
Rpta.-
18) Mi hermano vende a su amigo el usurero un artefacto al que descuenta el 10%; pero antes de concretarse la venta cambia de idea y le recarga el 10%; pero finalmente vuelve a efectuar el descuento del 10% de manera tal que se llega a pagar 8910 nuevos pesos. Hallar el precio original.
Rpta.-
19) Mi hermano desea promocionar las ventas de “Cartago Representaciones S.A.C.” ofreciendo para la ocasión un descuento del 20%; pero como en realidad no quiere rebajar el precio, debe entonces hacerles un incremento previo a estos ¿En que porcentaje lo hará?
Rpta.-
20) Xiomara ha vendido su camioneta Mitsubishi Montero obteniendo el 60% de la venta como utilidad. SI lo hubiera vendido ganando 60% del costo habría perdido 11340 soles. Hallar el costo inicial de la camioneta.
