U N A-U CR-IT CR-U N ED-MEP-MICIT
PRIMERA ELIMINATORIA
NACIONAL
NIVEL A
(7
◦- 8
◦)
Estimado estudiante:
La Comisi´on de las Olimpiadas Costarricenses de Matem´atica 2010 le saluda y le da la m´as cordial bienvenida a la Primera Eliminatoria Nacional, de estas justas acad´emicas y le desea los mayores ´exitos.
La prueba consta de un total de 25 preguntas de selecci´on ´unica, ponderadas con un valor de 2 puntos cada respuesta correcta.
Para conocer del resultado de la prueba, puede consultar luego de dos semanas de realizada esta eli-minatoria, a la siguiente direcci´on electr´onica:
www.cidse.itcr.ac.cr/olimpiadas/
INSTRUCCIONES GENERALES
• Debe trabajar en forma individual.
• Las respuestas a las preguntas que se le formulan, deben ser consignadas ´
UNICAMENTE en la hoja de respuestas que se le ha entregado.
• Los dibujos que aparecen en la prueba no est´an hechos a escala.
• El formulario de preguntas es suyo, por lo que puede realizar en ´el todas las anotaciones, c´alculos o dibujos que le sean necesarios para resolver satisfacto-riamente la prueba.
• No se permite el uso de hojas adicionales.
SIMBOLOG´IA
AB segmento de extremosAyB ]ABC≈]DEF congruencia de ´angulos
AB medida del segmentoAB 4ABC∼=4DEF congruencia de tri´angulos
−−→
AB rayo de extremoAy que contiene aB ABC ↔DEF correspondencia respectiva entre puntos
←→
AB recta que contiene los puntosAyB 4ABC∼ 4DEF semejanza de tri´angulos
]ABC ´angulo de rayos−BA−→yBC−−→ AB∼=CD congruencia de segmentos
m]ABC medida del ´anguloABC AB÷ arco de extremosAyB
4ABC tri´angulo de v´erticesA,B,C m÷AB medida del arcoAB÷
ABCD cuadril´atero de v´erticesA,B,C,D (ABC) ´area del tri´anguloABC
k paralelismo (ABCD) ´area del cuadril´ateroABCD
1. Javier quiere sacar un par de calce-tines de un caj´on, en el que hay 10 medias blancas, 12 verdes, 4 rojas y 2 azules. ¿Cu´al es el m´ınimo n´umero de medias que debe sacar (sin ver) para asegurar que tendr´a un par del mismo color?
a) 4
b) 5
c) 8
d) 28
2. En una fiesta cada uno de los asisten-tes le dio la mano una vez a cada uno de los otros participantes. Si se sabe que en total hubo 190 estrechadas de manos, se puede asegurar que el n´ ume-ro de personas que llegaume-ron a la fiesta fue el siguiente:
a) 17
3. El residuo al dividir 72010 − 9 por 5, corresponde a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
4. En la siguiente figura se muestra el cuadrado ABCD de lado 4 cm. Si O
es el punto medio deDC,Res el punto medio deAO,T es tal que 3T B = AT,
P es el punto medio de OT.
A T B
C O
D
R P
Entonces el ´area en cent´ımetros cua-drados de la parte sombreada corres-ponde a:
a) 12 b) 1
c) 2
5. Un grupo de 10 boxeadores decide realizar un campeonato de forma tal que el boxeador que pierda una pelea queda eliminado y es campe´on aquel que gane todos sus combates. Enton-ces el menor n´umero de peleas que podr´ıan llevarse a cabo para determi-nar al campe´on del torneo corresponde a:
a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
6. Un conejo da 5 saltos en el mismo tiempo en el que un perro que lo persi-gue da 4, pero 8 saltos del perro equi-valen en distancia a 11 saltos del cone-jo. Si el conejo le lleva 66 saltos de ven-taja, ¿cu´antos saltos tendr´a que dar el perro para alcanzar al conejo?
a) 467
7. En la siguiente figura se muestra un pent´agono cuyos lados tienen todos la misma medida.
El n´umero de tri´angulos is´osceles cu-yos v´ertices est´an sobre la circunferen-cia es el siguiente:
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
8. Si 100 obreros tardan 120 d´ıas en cons-truir un edificio de dos pisos, ¿cu´antos d´ıas tardar´an 150 obreros en construir uno de cinco pisos?
a) 300
b) 400
c) 240
9. Al efectuar (301 + 302 + 303 + ... + 325)−(1 + 2 + 3 +...+ 25) se obtiene el siguiente resultado:
a) 25
b) 2500
c) 5000
d) 7500
10. Seak ∈ N, y seam = (2k)(2k+1)(2k+ 2), entonces se puede afirmar que m es divisible por el siguiente n´umero:
a) 5
b) 9
c) 12
d) 16
11. La suma de cinco n´umeros naturales consecutivos es 2010. El resultado que se obtiene al sumar todos los d´ıgitos de esos cinco n´umeros es el siguiente:
a) 25
12. La suma de los d´ıgitos compuestos del n´umero 102010−77 corresponde a:
a) 18072
b) 18081
c) 18090
d) 18099
13. En el trapecio P QRS, P QkSR y
SR = 2P Q. M es el punto medio de
P Q, N es el punto medio de QR y
L es un punto en el lado SR tal que
LR = 3LS. Si P Q = 1 cm, entonces la raz´on entre el ´area de 4LM N y el ´
area del trapecio P QRS es la siguien-te:
S
P M Q
N
L R
a) 1 2
b) √2 3
c) 2 3
14. En la figura, ABCD es un paralelo-gramo de ´area 1, y AT = T P = P B2 .
A T P B
D O C
Entonces el ´area en cent´ımetros cua-drados de la parte sombreada corres-ponde a:
a) 13 b) 14 c) 16
d) 18
15. Alberto decidi´o repartir 35 canicas en-tre sus amigos. Si dos amigos no pue-den tener la misma cantidad de cani-cas ¿cu´al es la m´axima cantidad de amigos a la que Alberto le puede re-partir sus canicas?
a) 6
16. Si consideramos la ecuaci´onx+ay = b, con x, y, a, b ∈ N, y adem´as sabemos que a es par y b es impar, entonces se puede afirmar que
a) x es par
b) x es impar
c) y es par
d) y es impar
17. En la siguiente figura la medida del∠α
es 40◦
β
α θ
Si la raz´on entre la medida de los ´ angu-los α y β es 78, entonces θ+β equivale a:
18. En un zool´ogico hay jirafas y avestru-ces. Si en total se contabilizan 30 ojos y 44 patas, ¿cu´antas avestruces hay?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
19. Dado un n´umero de la forma 759a8593 y divisible por 11. Entonces el valor del d´ıgito a corresponde a:
a) 0
b) 9
c) 7
d) 2
20. El producto de las edades de Mario y Eric es 510, adem´as, Mario es 13 a˜nos mayor que Eric. Entonces Eric tiene la siguiente edad:
a) 15 a˜nos
21. Dado un n´umero natural de tres ci-fras de la forma abc, en donde a, b y
c son los d´ıgitos de las centenas, dece-nas y unidades respectivamente. En-tonces al efectuar la multiplicaci´on de (abc)·7·11·13 se obtiene con certeza un n´umero de la forma:
a) aabbcc
b) abcabc
c) abbcca
d) cbacba
22. Don Genaro ten´ıa una mula. Un d´ıa alguien le pregunt´o por la edad del ani-mal. A lo que ´el contest´o: -En cuatro a˜nos ser´a tres veces mayor de lo que era hace cuatro a˜nos.
Entonces la edad actual de la mula de Don Genaro corresponde a:
a) 2 a˜nos
b) 4 a˜nos
c) 6 a˜nos
23. A la hora de la merienda en una escuela, se reunen la ni˜na de apellido Blanco, el ni˜no de apellido Rojo y el ni˜no de apellido Amarillo; uno de los ni˜nos llevaba camiseta blanca, otro camiseta roja y el otro camiseta amarilla pero no necesariamente en ese orden.
Es curioso -dijo el ni˜no de camise-ta roja- nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras camisetas, pero en ninguno de los casos nuestro apellido corresponde con el color de nuestra camiseta.
Tienes raz´on -dijo la ni˜na Blanco.
¿De qu´e color es la camiseta del ni˜no Amarillo, del ni˜no Rojo y de la ni˜na Blanco, respectivamente?
a) blanca, roja y amarilla
b) roja, amarilla y blanca
c) amarilla, blanca y roja
24. Se dise˜na una baldosa recortando cua-drantes de c´ırculo de cada v´ertice de un cuadrado de lado 12, tal como se muestra en la figura 1, donde el radio de los cuadrantes del c´ırculo es igual a un tercio del lado del cuadrado. Se co-locan tres de estas baldosas en la fila como se muestra en la figura 2.
↑
12
↓
f igura 1
f igura 2
Entonces el per´ımetro de la figura que se forma corresponde a:
a) 24π+ 48cm
b) 24π+ 32cm
c) 48π+ 32cm
25. Seis bolsas contienen 18, 19, 21, 23, 25, y 34 fichas respectivamente. Cinco de las bolsas contienen fichas azules, la otra contiene fichas rojas. Juan to-ma tres bolsas, y Jorge toto-ma dos. Solo se qued´o la bolsa con las fichas rojas. Si Juan obtuvo el doble de fichas que Jorge, ¿cu´antas fichas rojas hay?
a) 19
b) 21
c) 23
