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Factorización de polinomios

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Academic year: 2021

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Cajón de Ciencias

Factorización de polinomios

Una vez que sabemos cómo utilizar Ruffini para la división de polinomios, seremos capaces de dar el siguiente paso: la factorización de polinomios. (Si no tienes claro cómo se hace Ruffini, consulta el archivo que te explica cómo hacerlo).

¿Qué es factorizar un polinomio? Es transformar - dentro de lo posible - el polinomio original en una serie de binomios del tipo (x + a) que se multiplican entre sí. Por ejemplo, el polinomio P(x) = x2 - 2x +1 se puede descomponer como (x-1)(x-1).

Para factorizar un polinomio cualquiera, usamos el método de Ruffini, sólo que en esta ocasión no sabemos cuánto vale el número a. Tendremos que probar varios hasta que encontremos un número que nos dé resto cero.

Por ejemplo, vamos a factorizar el polinomio P(x) = x3 + x2 - 9x - 9.

1 1 -9 -9

?

Resto = 0

Aunque no sepamos qué número es el que nos dará de resto cero, no vamos a probar totalmente al azar. Puedes tener la seguirdad de que si hay algun número que cumple esa condición, va a ser un divisor del último coeficiente del polinomio (en este caso, sólo probaremos con 1, -1, 3 y -3). Si probamos un número y no nos da resto cero, borramos y empezamos desde el principio con otro de los “sospechosos”.

a) Probamos con el -1 y obtenemos:

1 1 -9 -9

-1 -1 0 9

1 0 -9 0

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b) No nos quedamos aquí. El polinomio que nos ha dado como solución, lo seguimos operando con Ruffini. Probamos con +3:

1 1 -9 -9

-1 -1 0 9

1 0 -9 0

3 3 9

1 3 0

c) Y repetimos una vez más, hasta que el polinomio no dé más de sí:

1 1 -9 -9

-1 -1 0 9

1 0 -9 0

3 3 9

1 3 0

-3 -3

1 0

d) Nuestro polinomio factorizado quedaría así:

(x3 + x2 - 9x - 9) = (x+1) (x-3) (x+3)

Lo que hemos hecho ha sido colocar como a para cada factor la correspondiente solución de Ruffini cambiada de signo.

Observa que:

1. En principio, deben salir tantos binomios (x+a) como grado tenga el polinomio.

2. Si todos los coeficientes del polinomio que estás factorizando son positivos, no pruebes soluciones positivas, porque será imposible que te den un resto igual a cero.

3. Si mientras factorizas pruebas un número y no te da resto cero, no te molestes en volver a probarlo después: si antes no fue solución, no lo va a ser nunca.

4. Sin embargo, un número que ha valido como solución, puede volver a servir. Es decir, un polinomio puede tener una factorización, por ejemplo, de (x-1)(x-1)(x-1)(x-1).

5. Si al llegar a un punto no ha servido ninguno de los números “sospechosos” (recuerda, los divisores del último coeficiente), el polinomio no se puede factorizar más. Por ejemplo, al factorizar el polinomio P(x) = x4 + x3 - x2 + x -2:

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1 1 -1 1 -2

1 1 2 1 2

1 2 1 2 0

-2 -2 0 -2

1 0 1 0

Este último polinomio (x2 + 1) no se puede descomponer, por lo que la factorización de P(x) será:

(x4 + x3 - x2 + x -2) = (x-1) (x+2) (x2 + 1)

Para qué sirve todo esto:

Factorizar polinomios tiene unas cuantas utilidades, que no son ninguna tontería:

En primer lugar, el método es el equivalente a la descomposición de números en factores primos (sólo que para polinomios). La descomposición en factores primos servía para calcular denominadores comunes; la factorización de polinomios, por lo tanto, sirve para hallar denominadores comunes cuando estos están formados por polinomios.

En segundo lugar, nos permitirá simplificar más fácilmente los polinomios (o ecuaciones) en las que numerador y denominador sean polinomios. Si al factorizar arriba y abajo vemos que hay soluciones comunes, estas se podrán simplificar.

En tercer lugar, nos permite hallar soluciones a ecuaciones de cualquier grado (siempre y cuando puedan factorizarse con Ruffini). Si nos dan la ecuación de tercer grado

x3 + x2 - 9x - 9 = 0 Simplemente factorizamos el polinomio, con lo que tendremos:

(x+1) (x-3) (x+3) = 0

Si esos tres factores multiplicados dan cero, las soluciones serán los números que hagan que cada uno de ellos valga cero (es decir, -1, 3 y -3, que eran, precisamente, las soluciones de Ruffini).

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