Estudiando2pruebaresuelto030

Preparación de 2ª Solemne Función exponencial y logarítmica Problema 3

Sea ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = x x x f 1 1 log )

( demostrar que _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = + xy y x f y f x f 1 ) ( ) ( Desarrollo

Primero analizaremos la función que tenemos como objetivo:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + xy y x xy y x xy y x f 1 1 1 1 log 1

Como ya se sabe a lo que se debe llegar es mucho más fácil resolver el ejercicio. Comenzamos como nos pide el ejercicio:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = + y y x x y f x f 1 1 log 1 1 log ) ( ) (

Ahora ocupamos una de las propiedades de los logaritmos la cual nos dice que:

( )

a b b

a+log =log ⋅

log

Al aplicar esto a nuestro ejercicio tenemos que:

(

)

(

)

(

(

)

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = + y y x x y y x x y f x f 1 1 1 1 log 1 1 log 1 1 log ) ( ) (

Al realizar el producto de estos binomios tenemos que:

(

)

(

)

(

(

)

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ − + xy y x xy y x y y x x 1 1 log 1 1 1 1 log

Ordenando un poco estos términos obtenemos lo siguiente:

Ahora debemos recordar el objetivo de este ejercicio el cual es llegar a lo siguiente:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ + −

+ + +

xy y x

xy y x

1 1

1 1 log

Por lo tanto aplicaremos el siguiente paso:

(

)

(

)

xy y x

xy y x

xy y x xy

xy y x xy

y x xy

y x xy

+ + −

+ + + =

+ + − +

+ + + + = + − +

+ + +

1 1

1 1

1 1

1 1 1

1

Ahora tenemos que aplicando el logaritmo:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ + −

+ + + ⇒

+ + −

+ + +

xy y x

xy y x

xy y x

xy y x

1 1

1 1 log 1

1 1 1

La cual es la solución lo que implica que:

(

)

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ + −

+ + + =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − +

+ + +

xy y x f xy

y x

xy y x

y x xy

y x xy

1 1

1 1 1 log 1

1 log

∴Q.E.D.

Problema 4

Si akb=1 demostrar que

(

logakb

) (

⋅ logbak

)

=1 Desarrollo

Para poder resolver este ejercicio tenemos que observar claramente en los datos del problema:

Lo ideal es siempre en cada ejercicio de logaritmos dejar expresado todo bajo una misma variable:

Tenemos que si:

a kb

akb=1⇒ = 1 ∧

Aplicando en los logaritmos:

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

a

kb _a

a

1 log

log ∧

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

b

ak _b

b

1 log log

Ahora sabemos que por definición de logaritmos estos resultados se pueden deducir de la siguiente forma:

Si sabemos que:

a

a−1= 1 ∧

b b−1=1

Tenemos que el resultado de los logaritmos se reduce a:

(

log

)

log 1⎟=

( )

−1 ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

a

kb a

a ∧

(

)

( )

1

1 log

log ⎟= −

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ =

b

ak b

b

Por lo tanto finalmente tenemos que:

(

log

) (

log

)

log 1 log 1⎟=

( ) ( )

−1⋅ −1 =1 ⎠

⎞ ⎜

⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ = ⋅

b a

ak

kb b a b

a

Problema 5

Demostrar que 2log

(

1

)

1 1

log 2

2 2

− − =

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ +

− −

x x x

x x x

a a

Desarrollo:

Para poder resolver este ejercicio debemos aplicar una de las propiedades de los logaritmos la cual es:

b c

bc _a

a log

log =

Para que sea fácil de resolver este ejercicio simplemente aplicaremos el neutro multiplicativo:

(

)

(

)

(

(

)

)

⎟⎟_⎠

⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− −

− − ⋅ + +

− − =

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ +

− −

1 1 1

1 log

1 1 log

2 2 2

2 2

2

x x

x x x

x x x x

x x x

a a

Ahora tenemos que aplicar el producto de binomio donde claramente en el denominador se da una suma por su diferencia:

(

)

(

)

(

)

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ −

− − =

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− −

− −

1 1 log

1 1

log _{2 2}

2 2 2

2

2 2

x x

x x x

x x x

a a

Ahora simplemente tenemos que:

(

)

(

)

(

)

(

2

)

2

2 2

2 2 2

2

2 2

1 log

1 1 log

1 1

log _⎟⎟= − −

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ −

− − =

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− −

− −

x x x

x x x x

x x x

a a

a

Y donde por propiedad tenemos que finalmente que:

(

1

)

2log

(

1

)

log 2

2

2− = − −

− x x x

x a

a

Problema 6

Sean ( ) log

( )

log

(

1

)

2 1

2 + −

= x x

x

f y g(x)=4−xencuentre el valor de m tal que:

(

)( )

₁ 2

m

x x x f

g ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ο

Desarrollo

Como primer paso será el de reducir la función f(x), pero hay que observar que las bases son distintas, por lo tanto, hay que realizar un pequeño cambio de base donde finalmente obtenemos que:

( )

(

)

( )

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− +

= − +

=

2 1 log

1 log log

1 log log

) (

2 2 2

2 1 2

x x

x x

x f

Lo cual es igual a:

( )

(

)

( )

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− =

− −

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− +

=

1 log 1 log log

2 1 log

1 log log

)

( _{2 2 2}

2 2 2

x x x

x x

x x

f

Ahora analizaremos el dominio, el recorrido y el grafico de esta función:

Para analizar el dominio sabemos que el argumento del logaritmo debe ser siempre mayor que cero por lo tanto tenemos que:

0 1> − x

x

Al aplicar la tabla de inecuaciones tenemos que:

Además esto se puede verificar a través de un pequeño grafico:

Figura 1

Ahora para poder encontrar el recorrido simplemente analizaremos la función inversa:

Se sabe que el dominio de la función inversa es el recorrido de la función normal por lo tanto tenemos que:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− =

=

1 log

)

( ₂

x x y

x f

Al aplicar una base dos tenemos que:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− =

⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

−

= log 1

2

2

2 2 2 / 1

log x

x y

x x y

Simplemente despejando tenemos que:

1 2

2 ) ( 1 2

2 ) ( 1

2 1

− = ∴

− = =

⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

−

= −

x x

y y y

x f y

f x x

x

Por lo que tenemos que el dominio de la función inversa o el recorrido de la función normal es:

Ahora al aplicar la función compuesta tenemos por definición que:

(

gοf

)( )

x =g(f(x))

Por lo aplicado en nuestro ejercicio tenemos que:

(

)( )

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− ₌

= ( ) log2 1 4

4 x

x x

f

x f gο

Para poder aplicar la siguiente propiedad:

b

a

logab

=

Tenemos que claramente la base de la potencia debe ser igual a la base del logaritmo por lo tanto tenemos que:

2 2

1 log 1 log 2 1

log ₁

1 2

2 4

2 2 2

2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− = =

=

− ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− −

−

x x x

x

x x x

x x

x

Es necesario que para aplicar esta propiedad el logaritmo no debe estar multiplicado bajo ninguna constante. Es por eso que se tuvo que subir la constante como potencia en el logaritmo.

Por ultimo haciendo una igualdad tenemos que:

2 2

1 1

m

x x x

x

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

Lo que implica finalmente que el resultado final es:

4 2

2 1

1 2 2

= ⇒ = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

m m x

x x

x

m

Problema 7

Sean ( ) log

(

1

)

2log9

(

1

)

2

3 − − −

= x x

x

f y 1

3 1 )

( ⎟ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

x

x

g encuentre :

( )( )

gof x

( )( )

fog x

Desarrollo

Sabemos que siempre que se presente un logaritmo tenemos que reducir la función pero antes debemos igualar las bases antes de agrupar:

(

)

(

)

(

)

(

)

9 log

1 log 2 1 log

1 log 2 1 log

) (

3 3 2

3 9

2 3

− −

− =

− −

−

= x x x x

x f

Aplicando el logaritmo tenemos que:

(

)

(

)

(

₍

) (

₎

)

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− + ⋅ − =

− −

− =

1 1 1 log

1 log 1 log

)

( ₃ 2 _{3 3}

x x x x

x x

f

Simplificando finalmente obtenemos que:

(

1

)

log

)

(x = 3 x+ f

Ahora para encontrar el dominio simplemente sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero, por lo tanto:

Si x+1>0⇒x>−1

Tenemos que el dominio es:

Analizaremos esto con un pequeño grafico:

Figura 2

Para poder analizar el recorrido simplemente encontraremos la función inversa si es que existe:

(

1

)

3 1

log )

(x = y= 3 x+ ⇒ =x+

f y

Ahora simplemente despejando tenemos que:

) ( 1 3 1

3 1

x f

x x

y− = ⇒ − = −

Sabemos que si calculamos el dominio de la función inversa será lo mismo que calcular el recorrido de la función normal por lo tanto tenemos que:

REC: todos los números ℜ

Para encontrar la función compuesta

( )( )

gof x tenemos que primero aplicamos la definición la cual es:

( )( )

1

3 1 )) ( (

) (

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

x f

Ahora aplicamos la función compuesta tenemos que:

( )

( ) _{( )}

1 3

1 3

1 3

1 )) (

( 1 log3 1 log3 1 1

) (

− =

− =

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= − x+ x+ −

x f

x f g

En el paso anterior se aplico la siguiente propiedad

b

a

logab

=

Es necesario que para aplicar esta propiedad el logaritmo no debe estar multiplicado bajo ninguna constante. Es por eso que se tuvo que subir la constante como potencia en el logaritmo.

Ahora siguiendo con el ejercicio tenemos que:

( )

₍

₎

(

)

1

1 1 1 1 1

3log3 1 1 1 −

+ = − + =

− −

+ −

x x

x

(

)

( )( )

gof x x

x + =

− = − + =

1 1 1 1 1

El cual es el resultado de

( )( )

gof x .

Para poder encontrar el valor de la función compuesta

( )( )

fog x debemos aplicar los mismos pasos anteriores: primero debemos usar la definición de función compuesta la cual nos dice que:

( )( )

fog x = f(g(x))=log₃

(

g(x)+1

)

Aplicado esto en nuestro ejercicio tenemos que:

( )( )

fog x f g x

(

g x

)

x ⎟x

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + =

=

3 1 log 1 1 3 1 log 1 ) ( log )) (

( _{3 3 3}

Si aplicamos la definición de las potencias y los logaritmos obtenemos que:

x x

x

x ⎟= =− =−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ −

3 log 3

log 3

1

log_{3 3} 1 ₃

Problema 8

La ley de enfriamiento de Newton señala que la rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. La ley de Newton es útil para demostrar que, en ciertas condiciones, la temperatura T ( en ºC ) de un objeto en un tiempo t ( en horas ) esta dada por

t

e

T =75⋅ −2 expresar t como una función de T Desarrollo

Para poder resolver estos ejercicios solo debemos aplicar el logaritmo natural. Ya que es la única forma de poder bajar el exponente y como la base es “e” solo podemos aplicar logaritmo natural ya que este esta en base exponencial.

t

e T =75⋅ −2 Al aplicar logaritmo natural tenemos que:

(

t

)

e T ln75 2

ln = ⋅ −

De aquí en adelante solo se aplican las propiedades de los logaritmos:

( )

t

e T ln 75 ln 2

ln = + −

( ) ( )

t e

T ln 75 2 ln

ln = −

Pero como sabemos que lne=1 tenemos finalmente que:

( )

75 2 (1) ln

lnT = − t⋅

Desde aquí solo se resuelva por propiedades:

( )

T

t ln 75 ln

2 = −

( )

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =

T T

t ln 75 ln 75

2 1

Lo cual nos da que el tiempo t en función de la temperatura T esta dado por:

( )

_⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

T T

Problema 9

Un físico encuentra que una sustancia radiactiva desconocida registra 2000 conteos por minuto en un contador Geiger, diez días después la sustancia registra 1500 conteos por minuto. Mediante el calculo integral, se puede demostrar que al cabo de t días la cantidad de material radioactivo y por lo tanto el numero de conteos por minuto N(t), es directamente proporcional a ect para alguna constante c. Determinar la vida media de la sustancia.

Desarrollo

Sabemos que como N(t) es directamente proporcional a ect tenemos que la función esta dada de la siguiente manera:

ct

e N t N( )= ₀

Donde claramente no sabemos si la constante c es positiva o negativa. Obsérvese en el ejercicio que a medida que pasan los días los conteos van disminuyendo por lo tanto tenemos que la constante debe ser negativa. Resultado que comprobaremos mas adelante.

Un dato importante del ejercicio es que cuando comienza la investigación los conteos son de 2000 por minuto. Esto quiere decir que en un instante t=0 los conteos son de 2000 o mejor aun si hablamos para las funciones tenemos que: N(0)=2000.

2000 )

0

( =N₀ec⋅(0)= N

Esto quiere decir que:

2000 0 = N

Por lo tanto nuestra función ahora queda reducida de la siguiente forma:

ct

e t

N( )=2000⋅

Ahora observe que el otro dato que nos entrega el ejercicio es que cuando pasan 10 días tenemos 1500 conteos por minuto, es decir, para t=10 tenemos que N(10)=1500. Por lo tanto aplicando esto en nuestra formula tenemos que:

1500 2000

) 10

( = ⋅ec(10)= N

Aplicando logaritmo natural tenemos que:

4 3 ln ln ) ( 10 4 3 2000 1500 )

10

( = = ⇒ =

e c ec

2 10 88 . 2 10

4 3 ln

− × − = = c

Donde efectivamente la constante c es negativa ya que indica el decrecimiento de la función. Por lo tanto nuestra función queda expresada de la siguiente manera:

t e

t

N( )=2000⋅ −2.88×10−2

Ahora para encontrar la vida media simplemente tenemos que:

Para un determinado tiempo la cantidad de conteos que se obtiene será la mitad con respecto a la inicial, por lo tanto tenemos que:

Para un N(t)= 1000 = 2000⋅e−2.88×10−2t

Es decir que cuando t=¿?⇒N(t)=1000 por lo que simplemente lo anterior es la aplicación en formula de lo ya propuesto.

Realizando las distintitas operaciones tenemos que:

Paso 1: Agrupar términos:

t

e 2.8810 2 2000

1000= ⋅ − × −

t t

e e 2.88102 2.8810 2

2 1 2000

1000 _{− ×} − _{− ×} −

= ⇒ =

Pasó 2: Aplicar logaritmo natural:

e t

e t 2.88 10 ln

2 1 ln 2

1 = −2.88×10−2 ⇒ =− × −2⋅ ⋅

24 10

88 . 2

2 1 ln

2 = ⇒ = ×

− − t t

Limites y Continuidad

10. Calcular los siguientes límites:

Problema A:

3 2 1 lim

3 2

3 −

− −

→ _x

x x

Desarrollo:

Para poder resolver este ejercicio primero debemos aplicar el limite, analizar de que tipo es.

( )

( )

0

0

3

3

2

8

3

3

2

1

3

lim

3

3 2

3

−

=

−

=

−

−

−

→

x

Como tenemos que el resultado es

0

0

esto quiere decir que debemos aplicar algunas

transformaciones para poder resolver este ejercicio.

Como ya se identifico el tipo de problema presentado, se recomienda siempre eliminar los factores racionales dentro del límite.

(

)

(

)

_⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ _{− + − +} ⎥⎦

⎤ ⎢⎣

⎡ _{− + − +}

⋅ −

− − →

4 1 2

1

4 1 2

1

3 2 1 lim

3 2 2

3 2

3 2 2

3 2 3 2

3

x x

x x

x x

x

Obsérvese que lo se busca el completar la ya conocida diferencia de cubos la cual se expresa de la siguiente manera:

) )(

( 2 2

3 3

b ab a b a b

a − = − + +

Aplicando esto a nuestro limites obtenemos lo siguiente:

(

)

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ − +

− −

−

→

4 1 2

1 1 3

9 lim

3 2 2

3 2 2

3

x x

x x

x

Ahora simplemente separamos la diferencia de cuadrados obtenida en el numerador lo que implica finalmente que nuestro limite queda reducido a:

(

)

(

1

)

2 1 4

) 3 ( lim

4 1 2

1 1 3

) 3 ( ) 3 ( lim

3 2 2

3 2 3 3 2

2 3 2 3

+ − +

− + =

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ − +

− −

+ ⋅ −

→ →

x x

x x

x x

x x

Ahora solo nos falta volver a aplicar el limite planteado para comprobar que no haya indeterminación.

(

)

2

1 4 1 ) 3 ( 2 1 ) 3 ( ) 3 3 ( 3 2 2 3 2 = + − + − +

Lo cual demuestra que el limite no se indetermina por lo tanto tenemos que finalmente el resultado del limite es:

2 1 3 2 1 lim 3 2

3 − =

− − → _x x x Problema B: 1 2 1 3 lim 1 − − + → _x x x x Desarrollo:

Primero que todo se debe aplicar el limite para poder analizar de que tipo es:

0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 3 lim 1 2 1 3 lim 1

1 − =

− + = − − + → → x x _x x x

Como el limite es indeterminado se aplican operaciones para poder alterar el resultado y llegar a una solución real.

Como en el caso anterior se menciono que lo ideal es eliminar los factores racionales, entonces siempre debemos completar a través de sumas por diferencias o simplemente diferencias de cubos.

x x x x x x x

x _{3 1 2}

2 1 3 1 2 1 3 lim

1 + +

+ + ⋅ − − + →

Como se busco completar la suma por diferencia se obtiene que:

(

)

(

x

(

)

) (

x

)

x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x _{1 3 1 2}

4 1 1 lim 2 1 3 1 4 1 3 lim 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 lim 1 2 1

1 − ⋅ + +

+ ⋅ − = + + ⋅ − − + = + + + + ⋅ − − + → → →

Inmediatamente se factorizo el producto de binomio obtenido. Ahora simplificando y finalmente aplicando el limite se obtiene que:

(

)

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = + + + ⋅ − = + + + ⋅ − → ₄ 5 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 4 1 1 2 1 3 4 1 1 lim

1 _{x x}

x

Problema C:

(

x x

)

x→∞ +1−

lim

Desarrollo

Como en todos los ejercicios debemos primero que todo aplicar los limites para poder comprobar si estos se indeterminan o no.

(

+ −

)

=

(

∞+ − ∞

)

=∞ ∞

→ ∞

→ 1 lim 1

lim

x

x x x

El resultado es infinito por lo que debemos aplicar alguna transformación para poder obtener un resultado real. Acá solo multiplicaremos para obtener una suma por su diferencia.

(

) (

₍

)

₎

₍

₎

x x

x x

x x

x x

x

x + + = + +

+ + ⋅ − +

∞ → ∞

→ ₁

1 lim

1 1 1

lim

Ahora recordando que lim1 =0 ∞ → _x

x esto ya que a medida que voy aumentando el valor de

“x” va disminuyendo su resultado final, aproximándose cada vez mas a cero pero nunca siendo cero, de ahí la aplicación del limite. Analizaremos lo dicho anteriormente a través de un pequeño grafico:

Acá se ve claramente que a medida que aumenta el valor de x disminuye la imagen.

por lo tanto tenemos finalmente que:

(

)

0

1 1

lim =

+ + ∞

→ _{x x}

Problema D

3 3 10 lim

+ ∞ →

x x

x

Desarrollo

Primero revisaremos cual es el resultado al aplicar el limite directamente:

∞ ∞ = + ∞

∞ = + ∞

→ 3 3 3 3

10 10

lim x

x

x

Claramente el limite es indeterminado por lo que debemos aplicar una pequeña factorización para poder resolver el ejercicio.

3 3 3

3 3

3 3

3 3 ₁₀

1 1 lim 10 1 lim ) 10 1 ( lim 10 lim

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

+ =

+ ⋅ = + =

+ →∞ →∞ →∞

∞ →

Obsérvese que el último limite es fácil de resolver lo cual nos queda que:

1 10 1

1 lim

3 3

=

∞ + ∞ →

x

Por lo que finalmente tenemos que:

1 10 lim

3 3+ = ∞

→ _x

x

x

Problema E:

x x x

x x

+ + ∞ →

lim

Desarrollo:

Acá como en los ejercicios anteriores debemos aplicar el limite como primer paso para analizar que tipo de limite es:

∞ ∞ = ∞ + ∞ + ∞

∞ =

+ + ∞ →

x x x

x x

lim

Para el desarrollo del ejercicio solo factorizaremos en el numerador y en el denominador esto ya tanto en el numerador como en el denominador los términos de mayor potencia son iguales por lo tanto el resultado del limite nos queda:

0 1 1 1

1 lim

1 1 1 lim

lim

3 3

= +

+ =

+ + ⋅ =

+

+ →∞ →∞

∞ →

x x x

x x

x

x x x

x

x x

x

Acá ya se aplico el limite directamente y también se factorizo a como lo ya antes mencionado. Ahora la factorización del denominador se realizo mediante los siguientes pasos:

Paso 1

) 1 1 ( )

1 1 ( 1

1

3 2

2

x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x ⎟ = + + ⋅ = + ⋅ + = + ⋅ +

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + +

Paso 2

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ + ⋅ = +

⋅ + = +

⋅

+ 2 (1 1₃) (1 1₃) 1 (1 1₃)

x x x

x x x x x

x x x

Paso 3

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ + ⋅ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ +

⋅ 1 (1 1₃) 1 (1 1₃)

x x x

x x

x

Problema F:

1 1 lim ₂

3 1 +

+ − → _x

x

x

Desarrollo:

Sabemos que siempre debemos aplicar el limite al comenzar un ejercicio para ver que tipo de limite es. por lo tanto tenemos que:

0 2 0 1 ) 1 (

1 ) 1 ( 1 1

lim ₂

3 2

3

1 − + = =

+ − = + + − → _x

x

Como en este caso el limite no se indetermina simplemente tenemos que el resultado del limite es: 0 1 1 lim ₂ 3 1 + =

+ − → _x x x Problema G 3 3 2 ) 1 ( lim a x a x a x a x − + ⋅ + − → Desarrollo:

Eliminando el paréntesis y aplicando el limite tenemos que:

0 0 ) 1 ( ) 1 (

lim _{3 3}

2 2 3 3 2 3 3 2 = − − + − = − + ⋅ + − = − + ⋅ + −

→ _{a a}

a a a a a a a a a a a x a x a x a x

El limite es indeterminado por lo que debemos realizar algún método para poder obtener un resultado real.

) ( ) ( ) ( ) ( lim lim ) 1 (

lim _{3 3 2 2}

2 3 3 2 a ax x a x a x a x x a x a x ax x a x a x a x a x a x a

x − ⋅ + +

− + − ⋅ = − + − − = − + ⋅ + − → → →

La factorización es el camino mas rápido en el denominador solo se ocupo la forma de la diferencia de cubos y en el numerador solo se busca el producto de dos binomios.

) ( ) 1 ( lim ) ( ) ( ) 1 ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) (

lim _{2 2 2 2 2 2}

a ax x x a ax x a x x a x a ax x a x a x a x x a x a x a

x + +

− = + + ⋅ − − ⋅ − = + + ⋅ − − + − ⋅ → → →

Una vez reducido se vuelve aplicar el limite obteniéndose lo siguiente:

2 2 2 2 2 2 3 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( lim a a a a a a a ax x x a x − = + + − = + + − →

Como este resultado no es indeterminado quiere decir que hemos llegado a la solución final. Problema H: 3 8 ₂ 8 lim − − → _x x x Desarrollo:

Como se había ya mencionado el primer paso a realizar es aplicar la el limite para poder analizar si existe indeterminación o no.

Como el resultado es cero y no existe indeterminación este resultado se transforma en nuestro resultado final.

Problema I

x x

x − −

+ −

→ _{1 5}

5 3 lim

4

Desarrollo:

Aplicando el limite a la función primitiva tenemos que:

0 0 1 1 3 3 1 1 9 3 4 5 1 4 5 3 5 1 5 3 lim

4 − =

− = − − = − − + − = − − + − → _x x x

Obtenemos un resultado indeterminado por lo tanto debemos aplicar algunos de los procesos ya antes vistos.

Ahora procederemos a racionalizar ambos factores tanto el numerador como el denominador:

(

)

(

)

⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⋅ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⋅ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⋅ − − + − → → → _x x x x x x x x x x x x x x x x

x _{3 5}

5 1 4 4 lim 5 3 5 1 4 4 lim 5 1 5 1 5 3 5 3 5 1 5 3 lim 4 4 4

Donde tenemos que:

(

)

(

)

( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⋅ − − − → → _x x x x x x x

x _{3 5}

5 1 1 lim 5 3 5 1 4 4 lim 4 4

Ahora solo nos queda aplicar el limite a la nueva función obtenida:

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = ⋅ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⋅ − − − → → ₃ 1 1 6 2 1 4 5 3 4 5 1 1 5 3 5 1 1 lim 5 3 5 1 4 4 lim 4 4 _x x x x x x x x

Problema J:

x

x _x

x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− + → ₃

2 lim

0

Desarrollo:

Primero que todo antes de realizar cualquier conclusión debemos aplicar el limite a la función principal. Obteniendo el siguiente resultado:

1 3 2 0

3 0 2 3

2 lim

0 0

0 ⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− + →

x

x _x

x

Como el resultado no es indeterminado simplemente la solución final es la ya planteada.

Problema K:

x

x _x

x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ ∞

→ ₁

lim

Desarrollo:

Analizando el limite de la función principal tenemos que:

∞ ∞

∞

→ ⎟_⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∞ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ ∞

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+1 1

lim

x

x _x

x

Lo cual claramente es indeterminado por lo tanto haremos uso de la factorización para resolver este ejercicio.

( )

( )

( )

_{( )}

1 1

1 1 1

1 1 lim 1

1 1 lim

1

lim =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∞ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅

⋅ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ →∞ →∞

∞ →

x x

x x x

x

x x

x

nótese que en esta parte no se tomado en cuenta el exponente ya que debemos aplicar un limite especial el cual es:

1 1 1

lim e

x

x

x ⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞

Esto es fácil de ver gracias a un pequeño grafico:

Observe que a medida que la variable “x” aumenta el valor de la variable “y” tiende a “e”

Ahora el paso a seguir es transformar el limite principal como se plantea en el limite especial para ello recurrimos a la suma cero, lo cual queda transformado de la siguiente forma: x x x x _x x x x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ ∞

→ ₁ lim 1 ₁ 1

lim

Al aplicar la respectiva suma se obtiene lo siguiente:

(*)

x

x x

x _{x x}

x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + + ∞ → ∞ → ₁ 1 1 lim 1 1 1 lim

Ahora obsérvese que en limite especial lim 1 1 e1 x

x

x ⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞

→ el factor del denominador es

igual al del exponente por lo tanto debemos hacer el siguiente paso. Bebemos transformar el factor del exponente en (*) igual que en su denominador por lo tanto tenemos que: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∞ → ∞ → _⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ) 1 ( 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim x x x x x

x _{x x}

De esta manera se obtiene que:

e x

x

x ⎟⎟=

Ahora solo nos falta analizar el exponente el cual queda expresado de la siguiente manera:

1 )

1 ( lim

1

lim

− + −

∞

→

=

=

→∞ ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ −

e

e

e

x

x

x

x x

x

El cual es el resultado final.

Problema L

x e eax bx

x

− →0 lim Desarrollo:

Como debemos aplicar el limite como primera forma de solución tenemos que:

0 0 0

1 1 )

0 ( lim

) 0 ( ) 0 (

0 =

− = − = − →

b a bx ax

x

e e x

e e

Lo cual es claramente indeterminado. Para la solución de este ejercicio debemos aplicar un limite especial el cual es:

1 1 lim

0 =

−

→ _x

ex

x

El cual analizaremos con un pequeño grafico

Observe que claramente en este limite especial el valor del exponente debe ser igual al del denominador por lo que aplicaremos el neutro multiplicativo y el neutro aditivo al limite de la función principal:

x e

eax bx

x

− + − →

1 1 lim

(

( ) ( )

)

lim ( ) lim ( )

lim f x g x f x g x

a x a

x a

x→ + = → + →

Por lo que nuestro problema queda planteado de la siguiente forma:

x e x e x e e bx x ax x bx ax x 1 lim 1 lim 1 1 lim 0 0 0 − − − = − + − → → →

Ahora como el valor de la constante que acompaña al exponente debe ser igual a la que acompaña al denominador haremos uso del neutro multiplicativo lo cual implica que nuestro problema queda modificada a:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = − − − = − + − → → → → → _b b x e a a x e x e x e x e e bx x ax x bx x ax x bx ax x 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 lim 0 0 0 0 0

Si aplicamos la multiplicación respectiva tenemos que: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − → → ₁ 1 lim 1 1 lim 0 0 b bx e a ax e bx x ax x

Ahora recordando la definición del limite especial lim 1 1

0 =

−

→ _x

ex

x tenemos que:

b a b a b bx e a ax e bx x ax

x ⎟⎠= ⋅ − ⋅ = −

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − →

→ ₁ (1) ( ) (1) ( )

1 lim 1 1 lim 0 0

El cual es el resultado final.

Problema M x ex x 1 lim 0 − → Desarrollo:

Sabemos con anterioridad que el resultado es uno pero para calcular este limite aplicaremos limites especiales visto anteriormente de manera que quede demostrado que este limite especial si se cumple.

Conocemos que:

e x

x

x ⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → 1 1 lim

Ahora aplicaremos un cambio de variable el se aplica de la siguiente manera:

u x x

Donde “u” es una variable arbitraria pero este cambio de variables también afecta al limite por lo tanto el limite de la variable arbitraria se define de la siguiente manera:

x u

x a u

1 lim lim

∞ →

→ =

Como sabemos que u a

x u a

x→∞ =0∧lim→ =

1

lim tenemos que a=0 por lo tanto el cambio de variable queda expresado de la siguiente manera:

(

u

)

e x

x

u u

u x

x x

u ⎟⎠ = + =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒

=

→ ∞

→ ∞

→ →

1

0

0 lim1

1 1 lim 1

lim

lim

Por lo que hemos encontrado otro limite especial el cual es:

(

u

)

u e

u→ + =

1 01

lim gráficamente esta función se expresa de la siguiente manera:

Ahora trabajaremos con este nuevo limite especial:

(

1

)

1 ln

lim

1

0 + =

→ u

u u

Aplicando definiciones básicas de los reales tenemos la siguiente igualdad:

(

)

1

1

1 ln

1

lim ₁

0 =

+ →

u u

u

Y además aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos que:

(

)

ln

(

1

)

limln

(

1

)

1 1

lim 1

ln 1 lim

0 0

1

0 = + = + =

+ → →

→ _u

u

u u

u u u u

1 ln ln 1

1= ⇒ = + ⇒ = +

− u e u e u

ev v v ∴v=lnu+1

Esto solo aplicando algunas operaciones con logaritmos pero además debemos cambiar los limites de la nueva variable lo cual nos queda:

0 1

lim 1 lim

0 ⇒ = ∴ =

= −

→

→ e u e a

a

u v

a

v

Por lo tanto tenemos finalmente que:

(

)

lim 1 1

1 ln lim lim

1 lim

0 0

0

0 =

− =

+ ⇒

= −

→ →

→

→ _v

e u

u u

e

v

v u

u v

v

El cual era el resultado que se manejaba por lo que finalmente tenemos que:

. . . 1 1 lim

0 _v QED

ev

v = ∴

− →

Problema N:

x

x _x

x sen +

→ ⎟_⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ 1

0 2 lim

Desarrollo:

Al aplicar el limite en la función principal tenemos que:

1 0

1 1

0 ₀

0 0

) 0 ( 2 2

lim ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

→

sen x

x

sen x

x

Lo cual nos da un resultado indeterminado por lo que debemos aplicar algún método para modificar el limite. Para ello aplicaremos un limite especial el cual es:

(*) lim

( )

1

0 =

→ _x

x sen

x

Ahora para poder resolver este ejercicio aplicaremos este limite especial donde se debe observar que la constante que multiplica al argumento de la función trigonometría en (*) debe ser igual a la constante que multiplica al denominador.

Por lo tanto usando lo antes ya mencionado tenemos que:

x x

x x

x _x

x sen x

x

sen + +

→ +

→ ⎟_⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ 1 1

0 1

0 ₂

2 2

lim 2

lim

Solo se ocupa el neutro multiplicativo para poder modificar de la siguiente manera:

( )

2 2 2

2 lim 2

2 2

lim 2

lim 1

1 0

1 1 0

1

0 ⎟⎠ ⋅ =

⎞ ⎜

⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

→ + +

→ +

→

x x

x x x

x x

x _x

x sen x

x sen x

x sen

El cual es un resultado real y representa la solución final.

11.- Demuestre que:

(

)

1 1 ln lim

0 =

+

→ _x

x

x

Desarrollo:

Para realizar la demostración haremos uso de un limite especial ya conocido el cual es:

e u

u

u ⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ →

1 1

lim

Ahora para poder modificar este limite usaremos un pequeño cambio de variable el cual es:

x u u

Pero además tenemos que

u x

u x

1 lim lim

0 →∞

→ = por lo tanto la función principal queda modificada de la siguiente manera:

Si

(

x

)

e

u u

x x

x u

u u

x ⎟⎠ = + =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒

=

→ ∞

→ ∞

→ →

1

0

0 lim1

1 1 lim 1

lim

lim

Ahora si aplicamos el logaritmo natural tenemos claramente que:

(

x

)

e

(

x

)

x e

x x

x 1 ln lim1 ln

lim

1

0 1

0 ⎟⎠=

⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

⇒ = +

→

→

Donde solo queda aplicar algunas propiedades de los logaritmos :

(

1

)

1

lim

ln

(

1

)

1

lim

ln

1

0 1

0

⎟

⎠

=

⇒

+

=

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

→

→ x x

x

x

x

x

finalmente

(

)

. . . 1 1

ln lim

0 _x QED

x

x = ∴

+ →

12.- Hallar a y b tales que:

(

)

0

1 1 lim

2

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − +

+ ∞

→ _x ax b

x x

Desarrollo:

Debemos observar que nuestra variable tiende a infinito y por lo tanto como el resultado es cero, esto quiere decir que la mayor potencia en la variable del numerador debe ser menor que la mayor potencia de la variable del denominador por lo tanto tenemos que:

(

)

(

) (

)

0

1

1 1

lim 1

1 lim

2 2

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+

+ ⋅ + − + =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − +

+

∞ → ∞

→ _x

x b ax x

b ax x

x

x

x

Al eliminar los paréntesis tenemos que:

0 1

1 lim

2 2

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+

− − − − + ∞

→ _x

b bx ax ax x

x

1 0

2

2− = ⇒ =

a ax

x

Y además

b a bx

ax− = ⇒ =−

− 0

De esta forma obtenemos finalmente que:

0 1 2 lim 1

1 1

lim

2 2

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+

+ + − − + ∴

∞ → ∞

→ _{x x}

x x x x

x

x

De esta tenemos que los valores de “a” y “b” son:

1

=

a y b=−1

13.- Encuentre si es que existe el valor de “a” tal que:

4

2 3

4 lim ₂

2

= + −

−

→ _{x x}

x

a x

Desarrollo:

Trataremos de factorizar parte de los polinomios por lo tanto queda que:

(

) (

)

(

) (

)

4

1 2

2 2

lim 2 3

4

lim ₂

2

= − ⋅ −

− ⋅ + =

+ −

−

→

→ _{x x}

x x

x x

x

a x a

x

Al simplificar, evaluar y identificar las respectivas restricciones tenemos que:

4 1 2

= − + a a

Donde a≠1

Al resolver la ecuación tenemos que:

4 4

2= −

+ a

a a 3 6=

a

=

2

Por lo tanto el valor de a debe ser igual a 2 para que:

4 2 3

4 lim ₂

2

= + −

−

→ _{x x}

x

15.- Dada la función:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

≥ → + −

< < − → +

≤ → +

=

1 8

1 1 4 3

1 1

) (

3 2 2

x x

x x

x b x x f

Encuentre los valores de a y b para que f(x) sea continua en x=−1.¿ es continua en

1

=

x ? y graficar.

Desarrollo:

Para analizar la continuidad en x=−1 usaremos la definición la cual nos dice que:

) ( lim ) (

lim f x f x

a x a

x→ − = → +

Por lo tanto al aplicar esto en nuestra función tenemos que

4 3 lim 1

lim 2

1 2

1− + = →−+ + −

→ _x b x x

x

Entonces al aplicar el limite obtenemos que:

7 1+b=

Lo que implica finalmente que el valor de b es igual a 6.

Ahora para analizar la continuidad en x=1 volvemos aplicar la definición por lo tanto tenemos que:

) ( lim ) (

lim f x f x

a x a

x→ − = → +

Esto implica que:

8 lim

4 3

lim 3

1 2

1− + = →+− +

→ x x x

x

Al aplicar el limite tenemos que:

7

7= ∴ es continua en x=1.

16.- Estudie la continuidad, Grafique y encuentre los limites para x→∞+ y x→∞−

de la función:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> → + −

≤ ≤ →

< → =

2 4

2 1

2

1 2

) (

2

x x x

x x x

f

x

Desarrollo:

Para estudiar la continuidad de la función tenemos que se debe cumplir que:

) ( lim ) (

lim f x f x

a x a

x→ − = → +

Por lo tanto tenemos que:

2 lim 2

lim

1 1− →+

→ =x

x

x

Aplicando el limite nos queda que:

2

2= ∴ es continua en x=1

Ahora analizamos la continuidad en x=2

) ( lim ) (

lim f x f x

a x a

x→ − = → +

Lo que implica que x x x

xlim2 lim 4

2 2 2− = → +− +

→ por lo tanto tenemos que:

4

• recordemos que una función no es reparable cuando los limites laterales no son iguales.

La grafica de la función queda de la siguiente forma:

por lo tanto solo por el grafico podemos determinar que:

0

)

(

lim

₋

=

∞

→

f

x

x y que

−∞

=

+ ∞

→

(

)

lim

f

x

x

17.- Determine los valores de a y b para que la función:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> → −

≤ ≤ − → +

− < → + =

1 2

3

1 2

3

2 2

) (

2

x x x

x b

ax

x a x x f

Sea continua en ℜ

Desarrollo:

Aplicamos primero que todo la definición de continuidad y tenemos que:

) ( lim ) (

lim f x f x

a x a

x→ − → +

=

Por lo que aplicado al ejercicio tenemos lo siguiente:

Para x=−2

b ax a

x

x x

+ =

+ ₊

− _→−

−

→ 2 lim 3

lim

2 2

Lo que implica que −2+2a=−6a+b⇒−2=−8a+b por lo tanto tenemos nuestra primera ecuación la cual es :

b a+

− = −2 8

ahora para x=1

x x b

ax x x

2 3 lim 3

lim 2

1 1

− =

+ ₊

− _→

→

Aplicando el limite tenemos que:

1 3a+b=

Obteniendo nuestra ultima ecuación:

Ahora resolviendo el sistema tenemos que las soluciones son

11 3 =

a y

11 2 =

b .