Optimización multiobjetiva del diseño de redes de distribución de agua utilizando Algoritmo Evolutivo

Optimización multiobjetiva del diseño de redes de distribución

de agua utilizando Algoritmo Evolutivo

Max Duarte

Universidad Nacional de Asunción, Facultad de Ingeniería.,

San Lorenzo, Paraguay

[email protected]

Darío Alviso

Universidad Nacional de Asunción, Facultad de Ingeniería.,

San Lorenzo, Paraguay

[email protected]

Benjamín Barán

Universidad Nacional de Asunción, Facultad Politécnica.,

San Lorenzo, Paraguay

[email protected]

Pedro Gardel

Universidad Nacional de Asunción, Centro Nacional de Computación.,

San Lorenzo, Paraguay

[email protected]

Abstract

This work implements an innovative evolutionary algorithm approach to optimize the multiobjective water distribution system design. The main idea is to design a water distribution system considering not only the demand for a given point in time, but also projected water demands for different times in the future. This way, instead of the traditional methods that predefine the utility time desired for the network, a whole compromise set of solutions considering different utility periods may be calculated before decision makers decide which alternative best fit their interest. This way, the problem is reformulated as a multiobjective optimization that simultaneously tries to minimize network cost and the pressure height deviation at the nodes (considering the desired pressure height at each node), while maximizing the utility service time. To solve this new formulation of the problem, the Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA), a well known second generation evolutionary algorithm, was implemented. In order to validate the proposed method, the Hanoi water distribution network, a very well known instance, was used. Experimental results confirm the efficiency of the proposed method.

Keywords: Water distribution network, multiobjective optimization, Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA). Resumen

El presente artículo utiliza un novedoso enfoque evolutivo en el diseño multiobjetivo de redes de distribución de agua. La idea principal del trabajo consiste en diseñar la red de distribución de agua para atender demandas conocidas crecientes en el tiempo y no solo para una condición estática de diseño, como lo hacen los algoritmos clásicos. Así, se busca la optimización del diseño de redes para varias proyecciones de la demanda en el tiempo, en vez del método tradicional que predetermina el tiempo de utilidad de la red. En este nuevo contexto, los objetivos a optimizar por este trabajo son la minimización del costo del sistema, la maximización del tiempo de uso de la red y la minimización de la desviación promedio de las alturas de presión en los nodos, respecto a valores de servicio predeterminados. Para resolver el problema en cuestión, se implemento el Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA), un reconocido algoritmo evolutivo de segunda generación. Para evaluar el método propuesto se seleccionó una instancia ampliamente utilizada en la literatura especializada, la Red de Hanoi. Resultados experimentales validan la eficiencia del método propuesto.

Palabras clave: Red de distribución de agua, optimización multiobjetivo, Strength Pareto Evolutionary Algorithm

1 Introducción

El objetivo global de proveer agua potable a la mayor cantidad de habitantes como factor determinante en una mejor calidad de vida, ha llevado a la utilización de modernos métodos de optimización en el diseño de las redes de distribución de agua. La decisión óptima de una inversión para las infraestructuras de agua, ya sea en su implementación, expansión, adición o rehabilitación, debe ser revisada en un escenario de demanda conflictiva del capital y las características propias del servicio de provisión de agua [28].

Tradicionalmente, los problemas de optimización eran resueltos principalmente utilizando técnicas de optimización lineal y no-lineal mono-objetivo. Estas técnicas de optimización tradicionales normalmente asumen que la función a optimizar (función objetivo) es conocida analíticamente y que tiene un único valor óptimo [25]. Con la creciente urbanización y la demanda de los consumidores, la mayoría de los sistemas de distribución de agua y las programaciones de bombeo se han vuelto progresivamente más complejos. Consecuentemente, los cálculos simples van dando lugar a métodos computacionales cada vez más complejos. Los principales métodos utilizados anteriormente eran la programación lineal [3], la programación dinámica [20, 31], la programación de flujo de redes [26] y la programación no-lineal [17, 21, 22].

En la práctica, sin embargo, hay muchos problemas que no pueden ser descritos analíticamente y muchas funciones objetivos tienen múltiples extremos. En estos casos, es necesario proponer un problema de optimización multi-extremo (global) (Global Optimization Problem - GOP) donde los métodos tradicionales de optimización no son aplicables, y otras soluciones deben ser investigadas. Uno de los intentos para resolver GOPs, que se ha vuelto popular en las décadas pasadas, es el uso de los llamados Algoritmos Genéticos (Genetic Algorithms - GAs) [11, 19]. Existe un número considerable de publicaciones en este sentido [2, 8, 23]. Por otra parte, varios trabajos fueros desarrollados basados en Algoritmos Genéticos para la optimización del costo en redes de distribución de agua [5, 9, 10, 15, 16, 18, 25, 28, 30, 33, 24]. Así mismo, la Optimización por Colonia de Hormigas (Ant Colony Optimization - ACO) ha sido utilizada con el mismo objetivo [32].

Más recientemente, el problema de diseño de redes de distribución de agua fue replanteado teniendo como objetivo la minimización del costo y reconsiderando las restricciones de alturas y/o confiabilidad del sistema como nuevos objetivos operacionales, lo que convierte al problema en cuestión en un problema multiobjetivo [6, 7, 12, 13, 14]. El presente trabajo está organizado de la siguiente forma: en la sección 2 se describe formalmente la optimización multiobjetiva. Seguidamente en la tercera sección se plantea el problema de diseño de redes de transmisión de agua y se presentan los objetivos a ser optimizados; la sección 4 expone el método general de resolución empleado: el Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA) para describir seguidamente las modificaciones implementadas en el método propuesto. La sección 5 muestra la instancia de prueba utilizada como paradigma: la Red de Hanoi, y analiza los resultados experimentales obtenidos en este trabajo. La sección 6 resume las conclusiones del trabajo y finalmente en la sección séptima se sugieren posibles trabajos futuros.

2 Problemas de Optimización Multiobjetivo.

Un problema de optimización multiobjetivo (Multiobjective Optimization Problem - MOP) [27], incluye a un conjunto de n variables de decisión, k funciones objetivos y m restricciones. Las funciones objetivos y las restricciones son funciones de las variables de decisión. Esto puede ser expresado según:

Optimizar y=F(x)=(f₁(x),f₂(x),...,f_k(x)) sujeto a e(x)=(e1(x),e2(x),...,em(x))≥0 donde Y X k 2 1 n 2 ∈ = ∈ = ) y , ,... y , (y ) x , ,... x , (x1 y x (1)

donde x es conocido como el vector de decisión, siendo y el vector objetivo. X denota el espacio de decisión mientras que el espacio objetivo está representado por Y. El conjunto de restricciones e(x) ≥ 0 determina el conjunto de soluciones factibles Xf y su correspondiente conjunto Yf de vectores objetivo posibles.

El problema de optimización con un solo objetivo (Single Optimization Problem - SOP) consiste en hallar la x que tenga el “mejor valor” de F(x). Dentro del contexto multiobjetivo puede ocurrir que al compararse dos soluciones ninguna sea mejor que la otra considerando todos los objetivos. En consecuencia, para comparar soluciones en un contexto multiobjetivo se utiliza el concepto de dominancia Pareto [27]. Así, se considera que una solución, u, domina a otra, v, denotado como u f v, si u es mejor o igual a v en todos los objetivos y estrictamente mejor en al menos un objetivo. Así, u es mejor que v en un contexto multiobjetivo cuando lo domina. Si u no domina a v, ni v domina a u, se considera que u y v son vectores no comparables, lo que se denota por u ~ v. El conjunto de soluciones factibles que no son dominadas por ninguna solución de Xf, y que son no comparables entre si, se conoce como conjunto Pareto (CP). El

conjunto imagen del conjunto Pareto se denomina frente Pareto (FP), o sea, FP = F(CP). El conjunto Pareto está constituido por las mejores soluciones de compromiso de un problema multiobjetivo y es el resultado ideal de un algoritmo de optimización multiobjetivo (Multiobjective Optimization Algorithm - MOA) [27].

3 Planteamiento del problema.

En este trabajo, el problema de optimización del diseño de redes de distribución de agua se encara como un problema multiobjetivo con un objetivo tradicional como es el costo del sistema, un objetivo adicional que permite definir la proyección de demanda en el tiempo que un sistema puede satisfacer y por último una tradicional restricción operativa considerada aquí como tercer objetivo. Para hallar el costo del sistema se consideran solo las tuberías principales, sin tenerse en cuenta a los accesorios.

3.1 Formulación Matemática.

Para el presente trabajo se han realizado las siguientes consideraciones:

• Se analizan sólo las demandas máximas en los nodos, por ser esta la condición más desfavorable. • Los costos de las tuberías se asumen independientes a la ubicación.

• La configuración física de la red (topología) está previamente determinada. • La tasa de crecimiento anual de la demanda en cada nodo es constante y conocida. • No se admiten tuberías en serie o en paralelo.

• Los reservorios alimentan plenamente la demanda total en la hora pico. De esta manera se definieron los siguientes objetivos:

3.1.1.

Mínimo costo del sistema.

La descripción de este objetivo corresponde al objetivo que utiliza el enfoque tradicional de optimización del diseño de redes, siendo su formulación:

( )

∑

= = NT i i i 1 ₁cD L f min (2)

donde: es el costo del sistema de tuberías; NT es el número de tuberías de la red y es el costo por unidad de longitud de la tubería i-ésima con diámetro y longitud . La función se mide en unidades monetarias.

1

f c

( )

Di

i

D Li f1

3.1.2.

Máximo tiempo de utilidad de la red.

Usualmente las demandas de agua en los nodos se estiman para un determinado tiempo, al que llamamos tiempo de utilidad de la red. Seguidamente se elabora un diseño de la red de distribución de agua que satisfaga las condiciones de consumo para dicha demanda (en el tiempo previamente seleccionado). En contrapartida, el presente trabajo propone que dicho tiempo de utilidad de la red de distribución de agua sea maximizado, en lugar de ser considerado como un dato definido a priori. Así, se pretende obtener para varios tiempos de utilidad posibles, diversas soluciones de compromiso que faciliten la toma de decisión de los responsables por el proyecto. Este objetivo se expresa matemáticamente como:

) T( f

max 2 =α D (3)

donde: f2 representa el tiempo de utilidad T de la red y se mide usualmente en años, mientras que α representa un factor de conversión, si corresponde.

3.1.3.

Mínima desviación promedio de altura.

El objetivo de esta función objetivo es obtener una solución donde las alturas de presión en los nodos estén lo más próximas posible al punto de operación previamente establecido. La función se expresa como:

NN H H_k *_k 3

∑

= − = NN 1 k f min (4)

donde es el promedio de las desviaciones de altura de presión con respecto a un valor deseado en metros; es la altura de presión medida en el nodo k y es la altura deseada en el nodo k. NN representa el número de nodos del sistema. 3 f H_k * k H

3.2 Formulación como problema multiobjetivo.

El problema hasta aquí descrito formalmente se plantea como:

( )

[

1 2 3

]

F f f f

optimizar x = (5)

donde F es el vector objetivo, sujeto a las siguientes restricciones:

(

)

[ ]

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ≤ ∈ + = = =

∑

∑

= * max i i T i i NN i i H H T T D D Qdo tc Qd h Q 0 1 0 0 1 (6)

donde las primeras dos ecuaciones representan las restricciones hidráulicas, de continuidad y conservación de energía, respectivamente. es la tasa de crecimiento de la demanda del nodo i, y son las demandas proyectada y actual en el nodo i; es el mayor tiempo de utilidad considerado;

[

es el vector de diámetros comerciales disponibles; y, H y H* son los vectores de altura de presión real y deseada en los nodos de la red.

i

tc Qd_i Qdo_i

max

T D

]

El trabajo considera el vector de decisión x, donde cada entrada xi representa el diámetro de cada una de las tuberías:

[

_{1 2 NT}

]

_i∈

[ ]

D

= x x L x , x

x (7)

donde los sólo pueden tomar valores discretos factibles comercialmente. x_i

4 Descripción del SPEA y del método propuesto.

En la implementación del presente trabajo, debido a que la evaluación del tiempo de utilidad de la red correspondiente a una configuración dada T(D), es una tarea matemáticamente complicada y computacionalmente costosa, se ha optado por resolver T-1_{(D) = D(T). Es decir, se optó por resolver la función que calcula para un tiempo T dado, la configuración}

de diámetros correspondiente, aprovechando de esta forma las bibliotecas de software que ya existen para la resolución tradicional de este tipo de problemas de diseño de redes de distribución de agua. De esta manera, para facilitar la implementación, se ha incluido la variable T (tiempo de utilidad) en la estructura del cromosoma o vector de decisión. Dicho tiempo de utilidad es un valor real comprendido entre cero y el tiempo máximo de utilidad de la red Tmax

determinado como el máximo tiempo de utilidad considerado para este trabajo; en consecuencia 0 ≤ T ≤ Tmax

El presente artículo enfoca la resolución del problema del diseño multiobjetivo de redes de distribución de agua mediante Algoritmos Evolutivos Multiobjetivo, (Multiobjective Evolutionary Algorithm - MOEA). En ese sentido fue implementado el SPEA [34], un reconocido algoritmo evolutivo de segunda generación. Seguidamente se describe el método general de optimización y luego las variantes del método aquí propuestas para resolver el problema específico del diseño multiobjetivo de redes de distribución de agua potable.

4.1 Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA).

Este método, inspirado en los Algoritmos Genéticos [11], almacena en una población externa CPcon las mejores

soluciones (no dominadas) [34] encontradas en una población evolutiva Pop en cada generación (o iteración) del algoritmo. La calidad de las soluciones de Pop y de CPcon se mide utilizando el concepto de fitness [11], que está

asociado a la probabilidad que tiene una solución (o individuo) de ser seleccionada para una próxima generación. La asignación del fitness a cada solución está directamente relacionada con la cantidad de soluciones que dicho individuo domina y que le dominan [34]. En la asignación del fitness también se asegura que el mínimo fitness asignado en la población externa CPcon sea mayor que cualquier fitness asignado en la población evolutiva Pop. Esto se hace para que

el SPEA seleccione con mayor probabilidad a las buenas soluciones para la siguiente generación.

Otra característica a destacar es que ambas poblaciones (Pop y CPcon) se unen para aplicar los tradicionales operadores

genéticos de selección, cruzamiento y mutación [34], manteniéndose constante el tamaño de la población Pop. Por otro lado, el SPEA preserva la diversidad en la población usando relaciones de dominancia mientras utiliza elitismo para preservar buenas soluciones en CPcon.

4.2 Método propuesto.

El método aquí propuesto se basa en el SPEA pero introduciendo las siguientes modificaciones:

Iniciación heurística: en este trabajo, la población inicial es generada de forma heurística, con la finalidad de obtener individuos diseminados en el tiempo y con diámetros D relativamente pequeños que permitan acelerar la convergencia del algoritmo. El método se basa en seleccionar el diámetro de cada tubería de manera que los tamaños pequeños tengan mayor probabilidad de ser elegidos, en tanto que el tiempo T de utilidad es totalmente aleatorio. Una vez completado el individuo, se simulan hidráulicamente y se aumentan los diámetros de forma aleatoria hasta que se verifiquen las restricciones de alturas en los nodos, considerando las demandas previstas para el tiempo T. Este proceso se repite hasta completar la población inicial.

Operador de selección y cruzamiento: con la finalidad de explorar el espacio de búsqueda en la vecindad de soluciones de elevado fitness el operador evolutivo empleado selecciona de forma probabilística, de acuerdo al fitness, a un par de individuos de la unión de Pop y CPcon. Seguidamente se divide en tres secciones al individuo, dos de ellas con

longitudes aleatorias y se intercambia entre ellos las secciones del medio. La sección de longitud fija contiene el valor de la variable T que como se había señalado se guarda junto al vector de decisión por razones prácticas que facilitan la implementación.

Operador de mutación: tiene un valor especialmente alto en la variable T para obtener individuos bien distribuidos en el tiempo. Por lo demás, cumple la tradicional tarea de explorar el espacio de búsqueda alterando aleatoriamente algún componente del vector de decisión [11].

4.3 Resumen del método propuesto.

El método propuesto puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Generar la población inicial Pop utilizando el método heurístico descrito y crear el conjunto externo de soluciones no dominadas o conjunto Pareto-conocido: CPcon

2. Copiar todas las soluciones no-dominadas de Pop en CPcon

3. Remover soluciones de CPcon dominadas por otras soluciones de CPcon

4. Calcular el fitness para cada individuo de Pop y CPcon utilizando el procedimiento de asignación de fitness del

SPEA [34].

5. Seleccionar individuos del conjunto Pop CP∪ con (unión multi-conjunto) por un método probabilístico (en este

trabajo se utilizó el método de la ruleta) para formar el conjunto de parejas [34].

6. Con probabilidad de cruzamiento Pc y probabilidad de mutación Pm aplicar los operadores evolutivos para

generar una nueva población Pop.

7. Si las nuevas soluciones no son factibles reemplazarlas por las soluciones seleccionadas en el conjunto de parejas.

8. Si no se cumple el criterio de parada volver al punto 2.

5 Problema de referencia y resultados experimentales.

Esta sección presenta el problema de referencia sobre el cual se realizaron las pruebas experimentales, cuyos resultados son expuestos a continuación.

5.1 Problema de referencia.

Según Abebe at al. [1] la red de Hanoi (red de distribución de agua potable de Vietnam) es una red de referencia y ha sido ampliamente utilizada por otros investigadores para probar las más diversas técnicas de optimización [1, 9]. La Red de Hanoi cuenta con 34 tuberías y posee un total de 31 nodos con alturas de presión desconocidas, formando 3 redes cerradas de distribución de agua. Además, cuenta con un único reservorio de agua cuya altura es de 100 m y no utiliza ninguna bomba adicional. La Figura 1 muestra un esquema topológico de la misma. Los datos acerca de la Red de Hanoi pueden ser encontrados en [9].

Figura 1: Red de Distribución de agua de Hanoi

La mínima altura de presión requerida en todos los nodos está fijada en 30 m. Los diámetros comerciales disponibles son de: 12, 16, 3, 26, 30 y 40 pulgadas. El costo por unidad de longitud de tubería es calculado mediante la función analítica propuesta por Fujiwara y Khang [9] que tiene la siguiente expresión:

ij ij

ij

D

L

C

=

1

.

1

1.5 (8)

donde: , y son el costo en dólares, el diámetro en pulgadas y la longitud en metros de la tubería que va del nodo i al nodo j.

ij

C

D

_ij

L

_ij

Cabe resaltar que para el cálculo de las pérdidas por fricción, el presente trabajo no utilizó la ecuación empírica de Hazen-Williams, originalmente propuesto por Fujiwara y Khang [9]. En vez de esto, se utilizaron las ecuaciones exactas de Darcy-Weisbach en conjunto con la ecuación implícita de Colebrook-White, resuelta por un método numérico iterativo [9]. Asimismo, el método del gradiente hidráulico fue el seleccionado para la simulación hidráulica.

El problema paradigma de la Figura 1 considera el diseño de la red en base a las demandas proyectadas para 15 años y no proporciona las tasas de crecimiento de demanda de los nodos . Por esta razón, este trabajo asume las tasas de crecimiento mostradas en la Tabla 1.

i

tc

5.2 Resultados experimentales.

Al efectuar los experimentos con el SPEA, se utilizaron los siguientes parámetros experimentales: • Probabilidad de cruzamiento, Pc = 0.9

• Probabilidad de mutación, Pm = 0.6 • Tamaño de la población Pop, N = 200

• Número máximo de ciclos generacionales, genmax = 500

Tabla 1: Tasa de crecimiento anual de las demandas en los nodos de la red de Hanoi propuestos en este trabajo Número de nodo Tasa de crecimiento anual % Número de nodo Tasa de crecimiento anual % Número de nodo Tasa de crecimiento anual % 1 0 12 7,5 23 5 2 5 13 7,5 24 2,5 3 5 14 5 25 5 4 5 15 5 26 5 5 5 16 5 27 5 6 7,5 17 2,5 28 7,5 7 7,5 18 2,5 29 7,5 8 7,5 19 2,5 30 7,5 9 7,5 20 2,5 31 7,5 10 2,5 21 7,5 32 7,5 11 7,5 22 7,5

La Figura 2 grafica la inversión monetaria con respecto al tiempo de utilidad de la red para las soluciones encontradas por el SPEA aquí implementado. Nótese que el gráfico presenta una gran cantidad de soluciones que parecen ser dominadas, debido a que en realidad se optimizan tres objetivos y las soluciones pertenecen al frente Pareto considerando los tres objetivos mientras que la Figura 2 solo muestra 2 de estos objetivos. Alternativamente, la figura 3 muestra la inversión en función del desvío de altura de presión promedio para el mismo conjunto de soluciones Pareto.

10

11

12

13

14

15

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

Inversión ($ millones) T iem po (a ñ o s)

7

9

11

13

15

17

19

21

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

Inversión ($ millones) D e s v ío de alt u ra ( m )

Figura 3: Desvío de altura de presión promedio vs. Inversión

En las figuras 2 y 3 se observa que el método propuesto encuentra una gran variedad de soluciones de compromiso entre los tres objetivos optimizados. Así, el encargado de decidir cual configuración de la red se implementará en la práctica puede analizar muchas alternativas de compromiso antes de tomar una decisión final. Por ejemplo, el encargado puede seleccionar una configuración que cumpla con las restricciones de altura de presión de los nodos por un periodo de tiempo un poco menor de 15 años pero tenga un costo menor, o seleccionar una solución un poco más costosa pero con una mayor vida útil. Cabe resaltar que los métodos tradicionales mono-objetivos no brindan esta posibilidad de analizar varias alternativas porque generalmente proporcionan una sola solución.

Para validar los resultados del método propuesto, se buscó comparar los resultados con trabajos previamente publicados. Lastimosamente, los trabajos encontrados consideraron el problema de diseño de redes de distribución de agua en un contexto mono-objetivo por lo que no es posible hacer una comparación en un contexto multiobjetivo. En consecuencia, y para fines puramente comparativos, se seleccionó la solución de mínimo costo del frente Pareto hallado por este trabajo que cumple con las demandas previstas para un tiempo T de 15 años que es la demanda utilizada por el problema paradigma. Esta solución se comparó con las halladas en los diversos trabajos previos a los que se tuvo acceso. Algunos trabajos anteriores consideraron soluciones que incumplían la restricción de altura en algunos nodos, pero no este trabajo, así, las alturas de presión de los nodos de la solución seleccionada para comparación con trabajos previos se muestran en la tabla 2.

Tabla 2 Alturas de presión de la solución de mínimo costo de la Red de Hanoi, según este trabajo, para las demandas esperadas en 15 años

Número de

nodo Altura de Presión Número de Nodo Altura de Presión Número de Nodo Altura de Presión

1 0 12 35.171 23 41.384 2 97.410 13 31.545 24 38.222 3 65.408 14 39.910 25 36.476 4 60.716 15 37.957 26 30.849 5 54.891 16 34.093 27 32.730 6 48.686 17 38.343 28 36.915 7 47.202 18 54.644 29 30.482 8 45.357 19 59.333 30 30.752 9 43.847 20 57.508 31 31.026 10 42.697 21 33.123 32 31.816 11 42.371 22 32.009

La tabla 3 presenta una comparación de las soluciones de mínimo costo, que cumplen con la demanda de la instancia paradigma de la Figura 1, calculados en este trabajo y en publicaciones previas

Tabla 3 Comparación de los diámetros en pulgadas de las soluciones propuestas para la red de Hanoi por trabajos anteriores con la solución de mínimo costo hallado por este trabajo, que

satisface la demanda esperada en 15 años. Savic y Walters [23] Abebe y Solomatine [1] Número de

tubería _{GA1 GA2 GA ACOOL} Sousa [4] Cunha y

Este trabajo 1 40 40 40 40 40 40 2 40 40 40 40 40 40 3 40 40 40 40 40 40 4 40 40 40 40 40 40 5 40 40 30 40 40 40 6 40 40 40 30 40 40 7 40 40 40 40 40 40 8 40 40 30 40 40 40 9 40 30 30 24 40 40 10 30 30 30 40 30 40 11 24 30 30 30 24 20 12 24 24 30 40 24 24 13 20 16 16 16 20 24 14 16 16 24 16 16 20 15 12 12 30 30 12 16 16 12 16 30 12 12 12 17 16 20 30 20 16 16 18 20 24 40 24 20 24 19 20 24 40 30 20 20 20 40 40 40 40 40 40 21 20 20 20 30 20 16 22 12 12 20 30 12 16 23 40 40 30 40 40 30 24 30 30 16 40 30 30 25 30 30 20 40 30 30 26 20 20 12 24 20 12 27 12 12 24 30 12 12 28 12 12 20 12 12 20 29 16 16 24 16 16 16 30 16 16 30 40 12 12 31 12 12 30 16 12 12 32 12 12 30 20 16 16 33 16 16 30 30 16 20 34 20 20 12 24 24 20 Fujiwara y Khang propusieron dos configuraciones para la instancia paradigma [9], una de 5,354 millones de dólares que utiliza tuberías en series y además no cumple con la altura mínima de presión en 18 nodos. La segunda solución

propuesta en [9] sí es una solución continua y tiene un costo de 5,562 millones de dólares pero también presenta déficit de altura en 18 nodos. Según Loganathan [18] la mejor solución obtenida en la literatura, en la resolución de este problema, es la suya de $6,055 millones, sin embargo ésta es una solución que presenta tuberías en serie. Asimismo, según Zecchin et al. [32] la solución óptima conocida en la literatura es de $6,182 millones encontrada por Wu (2001) en [29] ya que las soluciones de $6,073 millones de Savic y Walters [23] y de $6,056 millones de Cunha y Sousa [4] fueron determinadas como no factibles por incumplir la altura mínima en 2 y 6 nodos respectivamente. El costo de la solución propuesta por este trabajo para un tiempo de 15 años de utilidad de la red es de 5,890 millones de dólares. En la tabla 4 se resumen todos estos resultados.

Tabla 4 Comparación de las soluciones de mínimo costo obtenidas en este articulo con los trabajos previos, considerando un tiempo de utilidad de la red de 15 años.

Solución continua Solución factible Nº de nodos con déficit de altura Costo de la Red (millones de dólares)

Fujiwara y Khang (1990) No: solución con _{tuberías en serie} No: solución con _{déficit de altura} 18 5,354 Fujiwara y Khang (1990) Sí No: solución con _{déficit de altura} 18 5,562 Eiger (1994) No: solución con _{tuberías en serie} No: solución con _{déficit de altura} 6 6,027 Savic y Walters (1997) Sí No: solución con _{déficit de altura} 2 6,073

Savic y Walters (1997) Sí Sí 0 6,195

Cunha y Sousa (1999) Sí No: solución con _{déficit de altura} 6 6,056

Wu (2001) Sí Sí 0 6,182

Loganathan (2002) No: solución con _{tuberías en serie} Sí 0 6,055

Este trabajo (2007) Sí Sí 0 5,890

Cabe resaltar que el costo final ($5,890 millones) obtenido por el presente trabajo es solamente superior a los costos obtenidos por Fujiwara y Khang de $5,354 millones y $5,562 millones en [9]; sin embargo, ninguna de estas dos soluciones cumple con la restricción de mínima altura de presión en los nodos, además, la primera solución presenta tuberías en serie. En consecuencia, queda claro que la solución encontrada con el método propuesto es la mejor publicada hasta la fecha, si se consideran todas las restricciones del problema, lo que demuestra la potencialidad del método propuesto.

Es interesante observar que además de la solución encontrada por el SPEA de $5,890 millones, utilizada para fines de comparación en la Tabla 4, el frente Pareto hallado por este trabajo contiene otras soluciones muy interesantes como aquella que con un costo de $5,762 millones atiende la demanda por 14,85 años, una diferencia muy pequeña de tiempo para un ahorro tan importante. Es decir, existe la posibilidad de disminuir el costo en el orden del 2,16% si aceptamos una disminución del tiempo de utilidad de la red menor a 2 meses, lo que sin duda permite al equipo de ingenieros encargados de tomar las decisiones de diseño, escoger aquella solución de compromiso que mejor se adecue a sus necesidades coyunturales. Se enfatiza que los métodos tradicionales hasta hoy conocidos, que optimizan solo el costo, no entregan al tomador de decisiones un conjunto completo de soluciones de compromiso para evaluar la mejor opción.

6 Conclusiones.

La optimización del diseño de redes de distribución de agua es una tarea compleja. Varios algoritmos de búsqueda ya fueron propuestos en la literatura pero la búsqueda de mejores algoritmos de diseño continúa. El presente trabajo abordó el problema desde una nueva perspectiva. En efecto, este trabajo consideró al tiempo de utilidad de la red como un objetivo a optimizar, al contrario del método tradicional que predefine el tiempo de utilidad de la red y minimiza el costo en base a las demandas esperadas para el tiempo predefinido. Así, se obtuvieron una gran cantidad de soluciones de compromiso que abastecerían las demandas de agua del sistema considerando varios tiempos de utilidad. De esta manera, esta herramienta ofrece al diseñador una variedad de alternativas a la hora de seleccionar la solución correcta, según las circunstancias del caso.

Los resultados experimentales validan la eficiencia del método propuesto, no solamente proporcionando una mayor variedad de soluciones de compromiso sino también por la calidad de las soluciones, dado que estas no solo son comparables sino mejores a las halladas por otros métodos que representan el estado del arte. Cabe resaltar que la solución de mínimo costo hallada en este trabajo que cubre la demanda del problema paradigma es más económica que las encontradas en los trabajos anteriores a los que se tuvo acceso.

7 Trabajos futuros

Como posibles trabajos futuros para continuar con esta línea de trabajo se propone: • Inclusión de nuevos objetivos, ya sean de restricción o de operación. • Considerar redes que trabajen con bombas.

• Considerar la posibilidad de seleccionar tuberías en paralelo o en serie (longitud variable) para el diseño o ampliación de la red.

• Utilización de otros métodos de optimización multiobjetivo, i.e. otros algoritmos evolutivos como el SPEA 2, optimización multiobjetiva por colonia de hormigas (Multiobjective Ant Colony Optimization Algorithms MOACO), entre otros.

• Implementación paralela en redes de computadoras personales para resolver sistemas de gran porte. • Desarrollo e implementación de optimizadores locales que aceleren la convergencia del algoritmo.

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