Algebra Preuniversitario (600 Ejercicios Resueltos)

TEORÍA DE EXPONENTES

ECUACIÓN DE 1º GRADO

1. Efectuar: 1 1 1 3 2

4

2

E

27

36

2

3

    

 









_{ }



 

A) 3 B) 6 C) 2 D) 1 E) 0

RESOLUCIÓN

1 3

1

27

3

*

 

_

₂1

1

36

6

*

_



1 4 3 3 4 *         2

1

2

4

*



_

1

1

E

 



RPTA.: D

2. Simplificar:





2





5

 

4 0,2 3 3

E

27

27

2 3

   





 

_

 



_





A) 2 3 B) 3 2 C) 2 D) 3 E) 1

RESOLUCIÓN





23 2 3

1

1

* 27

9

27















 

5 3 5 3 4

1

1

* 27

243

27

1

* 3

81

 













 0,2 0,2 1 1 2 27 1 6 E 9 243 81 243          _   _  _{ }     2 0,2 0,2 5 10 32 243 3 E 243 32 2  _{ }        _{ }  _{ }  _{ }      _  _ 3 2 E 

RPTA.: B

3. Calcule:





3₂ 20 6 3

_{0 125}

,

E

_{ }



,



_







A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 5

RESOLUCIÓN

6 2 0 6 9 3 ,     1 ₂ 3 ₃ 2 2 3

1

E

8



 



_{  }

 

1 2 3 3 3 _{2 2 3 2}

E



8



8



4

RPTA.: C

4. Efectuar: 0,5 ₁ 2 1 1 ₄ 16 _0,5

1

1

_0,25

625

9

     _{ }    _





_

 

_





 





 

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

RESOLUCIÓN

1 1 ₂ 4 2 4

1

1

1

625

9

4

625

9 4²

  





_

 

_

 





 

 





 

 





5 + 3 + 16 = 24

RPTA.: D

5. Para

n



; n



2

el equivalente de la expresión n n 3 n 5 2n 1

n²_{a a² a³...a} n_{a a³ a ...a}  

      será: A) a B) a² C) 0 D) a E) n_a

RESOLUCIÓN

  2   2 n n n 3 n 3 n n 1 n n 1 n n² ₂ n n ₂ n n 3 2 a a a a a            _           n n n 3         1 2 a a  

RPTA.: D

6. Efectuar:





48 factores 3 3 3 3 3 1 44 factores x x x... x x A ; x 0 x x x x... x      A) x6 _{B) x}9 _{C) x}4 D) x7 _{E) x}7

RESOLUCIÓN

48 3 3 44 16 2 11 18 11 7

x

x

A

x

x

x

A

x

x

x

A

x

A

x













RPTA.: E

7. Efectuar: x 1 x x 2 2x 2

20

4

2

 

_

 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

x x x x x 2 x 1 x x x 20 20 20 20 4 4 4 4 4 20 5 5   

RPTA.: D

8. Si: 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

a

b

a

b

P

y Q

a

b

a

b

         















_

_



_

_











Halle P

.

Q, siendo b > a > 0 A) 1 b a B) 1 a b C)





2 a b a b   D)





2 a b a b   E)





2 1 b a

RESOLUCIÓN



1



ab

P

y Q

b a

ab b a

















2

1

1

ab

PQ

b a

ab b a

PQ

b a













RPTA.: E

9. Simplificar: a b b a a b 14 14 M 2 14 2 14    ; si: a + b = ab A) 14a+b _{B) 14 C) 7} D)

14

2

a b E) 7a+b

RESOLUCIÓN









a b a b a 1 b 1 1 a b 14 14 14 14 M 2 14 14 2 14 14 14 1 M 1 7 M 7            

RPTA.: C

10. Si: a+b = 2ab ; {a;b}



-{0;1}

Reducir: a _b 1 1 a a b _{1 a} 1 2a b 2b _b

x

y

x

y

  _ A)

x

y

B) y x C) x y D) y x E) 1

RESOLUCIÓN

1 1 1 1 1 1 a b a b

x

y

x y

 1 1 1 ₁ 1 1 _{2 1} 1 1 1 1 b b _b a b b

x

x

y

y

    _{  }    





 





  

_

_

 









(*) a + b = 2ab 1 1 2 a b    1 2 1 1 2 1 2 2 1 a b b b x x y y        _  _     _{ }   

RPTA.: A

11. Resolver 1 1 x 5 x

1

5

x

 



e indicar el valor de: x1 A) 1 5 B) 5 C) 1 5  D) 5 E)

1

5

RESOLUCIÓN

Cambio de variable: 1 y x  y ₅ y y 5 y 1 y 5 y 5 1

y

5

y

5

y

5

y

5

y 5

x



5

















 



RPTA.: B

12. Si:

x

x2



2

Calcule:

E



x

4x 2 x 1 A) 1 2 B) 1 4 C) 2 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Elevando al cuadrado el dato m. a.m.

 

_x2 2 2 2 1 2

x

2

x

2

1

x 2

x

2

   

















Luego:

E



x

4x2 x x

 

 

1 2 2 x 2 2 4x 4x x x 1 4 4x x 4x 2

E

x

x

E

x

x

E x

     





 

_{ }

_





 



 

 E = x² 2

1

1

2

2

E





 

_

_







RPTA.: A

13. Calcule “x” en:

3 21 2 x 3 x 21 2 x _x 3

21 2 x

x

 





A) 27 B) 3_{9 C)} 9₃ D) 3_{21 E)} 3₂₀

RESOLUCIÓN

Trabajando con cada miembro.

x x n n

x n



x

  

n

x

n...( )



Luego: 3 21 2 x 3 21 n 21 3 n 3

2 x

n 21

2 x

n 21

2 x

n 21...( )

  

 



 



 



() en (): 3 3 2 21 2 21 n n_{n n} n n     

Solo se verifica para: n = 27

27 3 9 x 3 x 3   

RPTA.: C

14. Reducir: 5 6 4 3 5 3 4 7

1

x

x

x² x x

x²



A) x B) 3 4

x

C) 5 4

x

D) 1 2

x

E) 7 4

x

RESOLUCIÓN

30_x27 _60_x51 60

_x

54

_

60

_x

51

_

60

_x

105 4 7 7 4 x x  

RPTA.: E

15. Si: 52x _{= 2(10}x_{)  4}x Calcule:  





1 ₄ 2

2

x x

E

_

 

x

_

 A) 236 B) 256 C) 512 D) 128 E) 0

RESOLUCIÓN

   







x x



x x 2 2 x x x x 5 2 0 5 2

5

2

2 5 2

0

   







 x = 0 Reemplazando:

 

 ₂ 1 ₄ E _   _2  2 1 2 1 1 16 16 E E      _{  }    E = 16² = 256

RPTA.: B

16. Resolver: 1 3 2 2 3 1 0 1 2 3 4 5 x x x x x x  A) 3 2 B) 2 5 C) 2 3 D) 5 2 E) 4,5

RESOLUCIÓN









2 2 2 1 3 2 1 3 3 x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4 2 2x 5 3 2x 5 2x 5 x 5x x 5x 6 x 5x 4              _{ }     





2 2 2 1 2 3 2x 5 0 x 5x x 5x 6 x 5x 4       _  _  _             0 2x 5 0 5 x 2    

RPTA.: D

17. Halle el conjunto de solución de la ecuación en “x”.









0 0 a _{x a} b _{x b x ; a ; b} b   a      A)  B) {a} C) {b} D) {a + b} E) {a  b}

RESOLUCIÓN

Multiplicando por “ab”.

a² (x  a) + b² (x + b) = ab x

 a²x  a³ + b²x + b³ = ab x

 (a² + ab + b²)x = a³  b³

 (a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²)

 x = a  b Cs = {a  b}

RPTA.: E

18. Resolver en “x”; {a; b; c; d}  R+ 4 d ax d bx d cx d _x b c a c a b a b c  _  _  _  _      A) 1 B) d C) d a b c  D) 2 3 a b c d   E) 

RESOLUCIÓN

0 d ax _x d bx _x d cx _x b c a c a b d _x a b c  _{ }  _{ }  _{ }        0 d ax bx cx d bx ax cx b c a c d cx ax bx d ax bx cx a b a b c    _    _      _    _      1 1 1 1 0 d a b c x b c a c a b a b c       _    _{ }    _           0  d = (a + b + c) x d x a b c    

RPTA.: C

19. Calcule a + b sabiendo que la

ecuación en “x” 1 2 2 4 ax x _x b  _  _{ } admite infinitas soluciones. A) 1 4 B) 3 2 C) 2 3 D) 3 E) 1

RESOLUCIÓN

Recordando que: ax + b = 0 tiene infinitas soluciones, si y solo si:

a = 0  b = 0  1 1 2 0 4 2 a x x x b  b      

1

1

1

1

2

0

4

2

a

_x

b

b



_

_



_



_

_



_

















 1 1 1 2 1 4 2 a b    b    5 1 3 4 2 a b   b   2 5 3 6 b   a  9 3 6 2 a b    

RPTA.: B

20. Resolver la ecuación 2 3 5 3 3 5 2 5 2 3 x  _ x  _ x  _   

luego indique el valor de:



 







2 4 6 3 2 5 2 3 5 x x x         A) 22 B) 25 C) 3 2 D) 5 3 E) 7 5

RESOLUCIÓN

x 2 ₁ x 3 ₁ 3 5 2 5 x 5 _{1 0} 2 3  _{ }  _{ }    _{ } 



_{x 2 3 5}



1 1 1 ₀ 3 5 2 5 2 3      _   _       0 

x



2



3



5

Pero nos piden:

     

2 4 6

5

3

2

5

9

8

22













RPTA.: A

SEMANA 2

POLINOMIOS – V.N. - GRADOS

21. Sea el polinomio: P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n

veces su término independiente es igual a la suma de sus coeficientes, entonces “n” es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

T.I. = P(o) = nn coef



= P(1) = (1 + 2 + n)n  2n _{. n}n _{= (3 + n)}n  2n = 3 + n  n = 3

RPTA.: C

22. Calcule “m” si la expresión:  x m m m m m

M



x x² x³

x

se transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to grado. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

RESOLUCIÓN

  m 1 m m m 1 2 3 .... m 2 x

M

x

x

          





 _{ } m 1 5 2 X M  x  x  m = 9

RPTA.: B

23. Calcule “n” para que el monomio sea de 2º grado.  

 





 





2 3 n 2 2n 3 4 x ₂ 2 n 4

x

x

x

M

x

x

 



A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN

 









2 3n 6 2n 3 4 _{10n 4} x _{2n 4} 2 4n 8 x x _x M x x    _      M(x) = x6n  22 = x2 6n  22 = 2  n = 4

RPTA.: A

24. Si: a b c a b  b c  a c

Halle el grado absoluto de:





_{a b}2 _c2 ₂

9a 8ac 8bc

E x;y;z



 

x

y

z

transformable a una E.A.R.E. A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

El G.A. =





 

9a² 8ac 8bc ... a b ² c²      de la condición: a b c k a b  b c  a c  Propiedad de proporciones:



a b c



1 2 a b c 2       a 1 a b c k a b  2     Lo reemplazamos en “”

9a² 8a² 8a² 25a²

G.A. 5

4a² a² 5a²

     

RPTA.: C

25. Si: P(x+5) = x²  3x + 1 Calcule: E = P(8) + P(6) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 7

RESOLUCIÓN

E = 3²  3(3) + 1 + 1  3 + 1 E = 0

RPTA.: A

26. Del siguiente polinomio

P(x; y) = 7x

a+3

_y

b2

_z

6a

_+5x

a+2

_y

b3

_z

a+b

en donde: G.Rx  G.Ry = 3  G.A(P) = 13 Calcule: a + b A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 12

RESOLUCIÓN

G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1 G. Ry = b  2  a + b = 12

RPTA.: E

27. Sea P(x) un polinomio lineal tal

que verifica la relación

 

 

x  6X

P P P  9x 21

Para todo valor de “x”. Halle P(4)

A) 17 B) 18 C) 19 D) 32 E) 33

RESOLUCIÓN

Sea P(x) = ax + b  P(6X) = 6ax + b  P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b Luego: a²x + ab + b  6ax  b = 9x+21  (a²  6a)x + ab = 9x + 21  a²  6a = 9  ab = 21 (a3)² = 0  a = 3  3b = 21 b = 7 Entonces: P(x) = 3x + 7

 P(4) = 3(4) + 7 = 19

RPTA.: C

28. Calcule “n”, si el G.A. del

monomio es 6.





4 2n 4_{2n 5}3 2n 3₁₆ 5 x z M x;y;z;w y w    A) 12 B) 13 C) 14 D) 11 E) 10

RESOLUCIÓN

G.A. = 2n 4 2n 3 2n 16 6 4 3 5 5        30n  60 + 40n + 60  24n  192 = 360 46n = 360 + 192 46n = 552  n = 12

RPTA.: A

29. Calcule “n” si el monomio es de 4to. grado

M

_{ x}



x x

n 2 3

x

A) 1 B) 3 C) 2 D) 1 2 E) 1 3

RESOLUCIÓN

    6n 2n x 1 1 1 2 n 6n x

M

x

x²

x

M

x

 





 1 1 1 4 2 n 6n   3n + 6 + 1 = 24n  7 = 21n  n = 1 3

RPTA.: E

30. Si: P_{ x} nx 1 x 8    Además P(P(x)) es independiente de “x”. Calcule “n” A) 1 B) 8 C) 1 8  D) 8 E) 5

RESOLUCIÓN

 

 

x



2

_



_





n 1 x n 8 P p n 8 x 65       como es independiente de “x” se cumple: n² 1 n 8 n 8 65      65n² + 65 = n²  16n + 64 64n² + 16n + 1 = 0 8n 1  n = 1 8 8n 1

RPTA.: C

31. Si: P P P



 

_{ x}



27x 52 Calcule: P(1) A) 1 B) 4 C) 4 D) 5 E) 1

RESOLUCIÓN

Como P P P



 

_{ x}



es lineal, entonces: P(x) es lineal. Luego P(x) = ax + b  P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b 27x + 52 = a³ + a²b + ab + b  a = 3  b = 4  P(x) = 3x + 4 P(1) = 3 + 4 = 1

RPTA.: E

32. Halle la suma de los valores de “n” que hacen que la expresión:

  n n 3 3 7 n x 1 P 2x 7 x x 6 3       sea racional entera. A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 13

RESOLUCIÓN

n  3  0  n 7 n 0 3      n  3  n = 3  n  7 n = 6  n = 3  n = 6 de "n" 9 





RPTA.: C

33. Sabiendo que:





m 2 n² 5





n 5 m 4 P x;y 5x y Q x;y 2x y       

son semejantes. Calcule el menor valor de m + n. A) 1 B) 3 C) 5 D) 8 E) 13

RESOLUCIÓN

Si: P(x; y)



Q(x; y)  m  2 = n + 5  m  n = 7 ....()  n² + 5 = m+4  n²m = 1 ...()  + : n²  n  6= 0  n = 3  n = 2 Luego: n = 3  m = 10 n = 2  m = 5  menos: m + n = 3

RPTA.: B

34. Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1 Calcule: P(P(1)) + P(P(1)) A) 0 B) 3 C) 728 D) 729 E) 730

RESOLUCIÓN

P(x)= (x+1)³  P(1)=0  P(P(1)) = 1 P(1) = (2)³ = 8  P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729  P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730

RPTA.: E

35. Si el polinomio en “x” e “y” P(x, y) = 5xa _{+ 3x}b_yc _{+ 2x}c_yb _{+ y}a es homogéneo ordenado y completo respecto de “x” e “y”. Calcule: 2a + b + 3c

A) 17 B) 13 C) 15 D) 16 E) 18

RESOLUCIÓN

Por ser ordenado y completo: a = 3; b = 2 y c = 1  2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17

RPTA.: A

36. Calcule “m” si el polinomio     n 2n _{n 1} n 8n 2n 2 x n 1 m² m 3

P

7x

6x

5x

x

... x

     













es completo y ordenado; en forma ascendente; de 4nn _términos. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

Es ordenado en forma ascendente:  n2n _{ 8n = 0  n = 2} Luego:  x 0 m³ m 3

P

_

7x

_

6x 5x² x³ ...x

_

_

_

_

  El número de términos es:

m²  m + 3 + 1  m²  m + 4 = 4nn m²  m + 4 = 16  m²  m  12 = 0  m = 4

RPTA.: A

37. Halle a y b en la identidad: 4a 7 b 8 b 7 a 8 b x b y  a x a y A) 1 y 3 B) 1y 1 2 3 C) 1 y 1 2 4 D) 1 y 1 4 E) 0 y 1

RESOLUCIÓN

aa _{= b}b_ a _{b ...}ba

 

_{  a}b _{= b}4a_{ b = 2a}  a = 1 b 1 4   2

RPTA.: C

38. Siendo: P(xn _{+ 1) = x  1} Halle: “n”, si: P(3) = 7 8  A) 1 3 B) 1 2  C) 1 2 D) 2 3  E) 1 3 

RESOLUCIÓN

xn _{+ 1 = 3  x}n _{= 2  x =} n₂ Luego: P(3) = n2 1 7 8     1 3 n

₂

1

₂

n

₂

8

1

n

3









  

RPTA.: E

39. Sea P(x) un polinomio P(x) = (3x  1)n_{+5x + 1; además} la suma de coeficientes es 70. Calcule el valor de: 10 n

A) 6 B) 5 C) 4 D) 12 E) 3

RESOLUCIÓN

 

n coef P 1 2   5 1 70



 2n _{= 64  n = 6} 10 6 4   

RPTA.: C

40. Dado el polinomio mónico

P(x) = 5x4  7ax5 + (n2)x74x  1

Calcule el valor de: nn

A) 1 B) 4 C) 27 D) 25 E) 16

RESOLUCIÓN

Por ser mónico y de una variable “x” (coeficiente principal = 1)

 (n  2) = 1  n = 3

Luego nos piden: nn _{= 3}3 _{= 27}

RPTA.: C

SEMANA 3

PRODUCTOS NOTABLES

41. Si 3



x y



, x y y x2 2    halle 4 y x x y

x

y

y

x

W

_

















x



0

,

y



0

A) 16 B)

₂

3 _C)

₄

2 D)

_

2

4 _E)

₁₆

1/2

RESOLUCIÓN



x y



xy 3 y x3 _ 3 _{ }



x



y



3



3

xy



x



y





3

xy



x



y





x



y



3



0

y x 16 x x x x W 4 x x x x          

RPTA.: A

42. Si

a

_

a

1

_

1

_{, halle}

_W

_

_a

12

_

_a

12 A)256 B)306 C) 343 D)322 E)196

RESOLUCIÓN

a²  2 + a2 _{= 1} a² + a2 _{= 3} a4 _{+ a}4 _{= 7} a12 _{+ a}12 _{+ 3(7) = 343}  a12 _{+ a}12 _{= 322}

RPTA.: D

43. Si 8_{m n } 8_{m p }8_{p m 0, } Halle W m_4m4n n2p_2n 1 m p 1      m, np R   A) mnp B)1 C)

mnp

D) mnp E)

₂

1

RESOLUCIÓN

n m 0 n m 8 _{   }

p

m

0

p

m

8

_

_

_

_

m

p

0

m

p

8

_

_

_

_

 w = 1

RPTA.: B

44. Si: 6

x

_

6

y

_

6

z

_

0

,

_halle





_,

_x

_,

_y

_,

_z

_R

_{ }

₀

yz

xz

xy

z

y

x

xyz

9

W

4 3



































A)

16

1 _{B)32 C) 18} D)16 E)8

RESOLUCIÓN

     

3 3 3 6_{x } 6_{y } 6_{z 3 xyz}6



  

3 ₆ 3 6 6

_x

_

_y

_

_

_z

 

z

y

z

xy

3

x

_

₆

_

6

_

_

_



 



2 6 2

xyz

3

z

y

x









_xy

_xy

_yz



₉

3

_xyz

2

z

y

x

















2

z

y

x

xyz

9

yz

xz

xy







3















2

16

2

z

y

x

xyz

9

z

y

x

xyz

9

W

4 4 3 3











































RPTA.: D

45. Si x b c a   y c a b   z a b c   Halle:



b c a



c a b



a b c



a b c



xyz z xy yz x W 2 2 2            A)

y

x

B)

b



c



a

C)

2



y



z



D) abc 1 E)

1

RESOLUCIÓN







a

b

c



1

xyz

z

y

x

xyz

W













 x + y + z = a + b + c

RPTA.: E

46. Simplificar: 5 4 4 4

1

2

8

1

2

8

1

2

8

W

































A) 343 B)4 2 C)32 2

D)8 2 E) 32

RESOLUCIÓN

1 2 8 1 2 8 2 8 2 f 4 4 2       2 1 2 8 1 2 8 2 f 4 4 2 _      2 f 2 f2 _{  }



W



2

5 W  4 2

RPTA.: B

47. Si xy1 _3_x1y,_halle





















_

_



_{2 2} 2 2 4

y

x

4

y

x

3

y

x

W

A)11 B)7 C)-6 D)4 E)8

RESOLUCIÓN

3

x

y

y

x

_

_

xy 3 y x2 _ 2 _ xy 5 y xy 2 x2 _{ } 2 _



x

_

y



2

_

5

xy





4 2 2

y

x

25

y

x





 w 25x²y² 3x²y² 4x²y²  

RPTA.:B

48. Simplificar:







 















3 n 2 2 4 8 32 2 4 8 128 fact n ... 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ... 1 2 1 2 1 2 3 1 W _            A) 0,5 B)2 C)4 D) 0,25 E)1

RESOLUCIÓN

  

2 1 2 1 2 1 D_{   } 2_{ 2}N 3 ₂N ₂3 ₈ D  2 2 2

  

_{2 2 2}2 2 1 2 1 2 1    . . _N1_

  

22_1 22_1 . 1 2

2





n



24 _1



24 _1





28 _1



1 2 2 D N 8 8   . . . 256 2 1 32 256 8 N 2 2

RPTA.: E

49. Operar: 3 3

3

3

7

2

1

3

3

7

2

1

W









A)1 B)2 C)3 D)2 7 E)2 3

RESOLUCIÓN

 

W

27

28

1

3

3

3

7

2

1

3

3

7

2

1

W

3











3



W 27 1 3 2 W3   3 

W

2

W

3

_

_

1

W

2

W

W

3

_

_

_

_

RPTA.: A

50. Si

 

ab

1

_

 

ac

1

_

 

bc

1

_

_

1

_, Halle:



_



_



_



_

1

c

1

b

1

a

1

c

1

b

1

a

W















,

0

c

,

b

,

a





A)1 B)-1 C)2

D) abc 1 _E)

₂

1

RESOLUCIÓN

1 bc 1 ac 1 ab 1 _{   }

abc

c

b

a











a



b



c



abc



0

abc ac bc c ab a b 1 W 1 abc ac bc c ab a b 1                  W =





ab bc ac 1 1 ab bc ac 1         

RPTA.:B

51. Si



1_a1x





a_y





1_a1z



_a_x_y_z, Halle: _x1 _y1 _{z , x,y,z}1 _{  0} A)a B)

_a

1 _C)

_

_a

1 D)

_a

2 _E)1

RESOLUCIÓN





x z 1 a y 1 a x y z a a  _  _  _  _{   }        



a_x



a_y



a_z



_ a2



a_x_y_z





 

 

  



  a x y z axy xz yz xyz a3 2



x y z



a a3 _ 2 _{ }



xy

xz

yz



xyz

a









a

1

xyz

yz

xz

xy





_

_

1

a

x

1

y

1

z

1

_

_

_

_

 1 1 1 1 _{y z a} x _  _  _{ } 

RPTA.: C

52. Simplificar:



x

1

 

x

1





x

1

 

x

1



...

W

2 2 2 2 4 2













x

1024

_

1

 

2

_

1

_

x

2048



2

_

2

A)1 B) 0 C)

₂

11 D)-2 E) 4096

RESOLUCIÓN

W=



_{x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x}

 

_

 

_





4 _{1 ²...}





_x1024 _{1 ²}

 

_{ 1 x} 2048



_{² 2} W =



_{x² 1 ² x² 1 ² x}

 

_





4 _{1 ²...}





_x1024 _{1 ²}

 

_{ 1 x} 2048



_{² 2} W =



_x4 _{1 ² x}

 

4 _{1 ²...}





_x1024 _{1 ²}

 

_{ 1 x} 2048



_{² 2} W =



_x8 _{1 ² x}

 

8 _{1 ²....}





_x1024 _{1 ²}

 

_{ 1 x} 2048



_{² 2} W =



_x2048 _{1 ²}

 

_{ x}2048 _{1 ²}



_2 W = 2

RPTA.: D

53. Si

n





a



b



c



4



4



ab



bc



ac





a2 _b2 _c2 _ab_ac_bc



y

:

2 2 2 a b  c 8

Halle:

n

,

a



b



c

A)2 2 B) 2 2 C)2 D)4 E)8

RESOLUCIÓN

x

c

b

a

2

_

2

_

2

_

y

ac

bc

ab









x

2

y



4

y



x

y



n





2





2 2 2 _{4xy 4y 4xy 4y} x n     n x²



_{2 2 2}



2

c

b

a

n









a b c



8 n _ 2 _ 2 _ 22 _

RPTA.: E

54. Operar:



_{a b c}

 

3 _{a b c}



3 _6b





_{a c}



2 _b2



W         Si: b = 0,5 A)1 B)2 C) 4 1 D) 16 1 _{E) 4}3 16

RESOLUCIÓN

a+c=n



 

3



3



2 2



b

n

b

6

b

n

b

n

W

















3 2 2 3 3 2 2 3 W n 3n b 3nb b  n 3n b 3nb  b 3 2

₆

_b

bn

6





3

b

8

W



1 2 1 8 W 3        

RPTA.: A

55. Si a1 _b1 _c1 _ 0;a,b _c _0, Halle:









4 4 4 4

c

b

a

c

b

a

abc

4

c

b

a

E

















A)



4

abc

B)4abc C)1 D)2 E)abc

RESOLUCIÓN

0 c 1 b 1 a 1   



  

2 2

0

ab

ac

bc







0 bc a 2 c ab 2 abc 2 b a c a c b2 2 _ 2 2 _ 2 2 _ 2 _ 2 _ 2 _



c b a



... abc 2 b a c a c b2 2 _ 2 2 _ 2 2 _{    ()} Además:



_a2 _b2 _c2



_a4 _b4 _c4 _{2 a b}



2 2 _{a c}2 2 _{b c ...( )}2 2



_ ()



 

β



a2 _b2 _c2



2 _a4 _b4 _c4 _2



_2abc



c_b_a







a2 _b2 _c2



2 _a4 _b4 _c4 _4abc



a_b_c











_{2 2 2}



2 2 2 2 2 bc 2 ac 2 ab 2 c b a c b a       











a b c 2ab ac bc



1 c b a Ε ₂ 2 2 2 2 2 2 2          0

RPTA.: C

56. ¿Cuál es el intervalo de valores de “”, de modo que la ecuación



2

x

2

2(1)x80, tenga raíces de distinto signo?

A)

,



2

1

B)



2

;



C)





;



2

D)



6

;

2

E)

8

;



RESOLUCIÓN

0

0

4

2

1

2

2

_

_

_

_

_

_

















x

x

0 16 2 1 2 2          _{, como c<0, se} presentan 2 posibilidades: i) 2 1 0 1 2 0 2 1 2 0          b ii) 2 1 0 1 2 0 2 1 2 0          a b

En este caso una respuesta seria

1 1

x ; ;

2 2

   

RPTA.:A

57. Los valores de “x” que satisfacen

6 3

13

2x  x  x

tiene la propiedad que su suma es: A)-14 B)-7 C)-9 D)-2 E)7

RESOLUCIÓN



3



6



6

2

3

13

2

x





x





x



x





x



18

9

2

4

_

_x

2

_

_x

_

18

9

4

_

_x

2

_

_x

_

14

9

0

_

_x

2

_

_x

_

_{x= -7No cumple}



7



2



0



x



x



x=-2 Si cumple Únicamente (-2) satisface la ecuación.

RPTA.: D

58. Sea A la suma de las raíces de

0

2

_

_bx

_

_c

_

ax

y B la suma de las

raíces a



x



1



2



b



x



1





c



0

, entonces B-A es:

A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

RESOLUCIÓN

a b S a c x a b x2   0   2 ax 2ax a bx b c 0    



2

 



0 2 _{ abx ab c } ax

0

2

2

_

_

































a

c

b

a

x

a

b

a

x

a b a S     2

2

2































_

_







a

b

a

b

A

B

RPTA.: A

59. En la ecuación cuadrática:

0

2

_

_bx

_

_c

_

ax

afirmamos:

I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto, entonces b+c=0.

II. Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b=0.

III. Si una raíz es doble de la otra, entonces

2

b

2

_

9

ac

A) Las 3 afirmaciones son verdaderas.

B) Solo I y II son verdaderas. C) Solo I y III son verdaderas. D) Solo II y III son verdaderas. E) Solo II es verdadera.

RESOLUCIÓN

b c S ; P a a   I.

x

₁



x

₂



x

₁

.

x

₂ 0      b c a c a b _(V) II.

x

₁





x

₂

,

pero a b x x1  2   a b x x     _{2 2} a b   0

b



0

(V) III. a b x x x x1 2 2  1  2   a b x x₂  ₂   2 a b x2   3 2 b x 3a  

 

2 2 2 3 _      a b x ₂ 2 2 2

9a

b

x



...(1)

Luego: a c x . x_{1 2}  2x x_{2 2} c a  a c x2  2 2 a c x 2 2 2  ...(2) De (1) y (2) b² c 9a²  2a 2b² = 9ac

RPTA.: A

60. Si las ecuaciones cuadráticas:



1



3 0

2_x2 _{ m x n }

 

3 2 0

3_x2 _{ nxm }

Son equivalentes, para

,

R

n

m





calcule n. A) 5 23 B)15 C) 7 15 D) 9 11 E) 9

RESOLUCIÓN

2 3 3 1 3 2      m n n m

n

m

4

9

3

2









6

n



3

m



3

2 3 13 n m 

13 3n 6n 3 3 2     _{ }  

3 2 9 39 6n  n 

12

n



39



9

n



6

7 15  n

RPTA. C

SEMANA 4

DIVISIBILIDAD

COCIENTES NOTABLES

FACTORIZACIÓN I

61. ¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por



2

x



1



y que al ser evaluado en (2) toma el valor de 5?

A) _4x2 _{4x 3 B)4x}2 _{4x 3}

C) _4x2 _{4x 3 D)4x}2 _{4x 2}

E) _4x2 _{4x 2}

RESOLUCIÓN

Sea este Polinomio

 x 2 P 4x ax b : Por condición:





_{ } 2 x 4x ax b  2x 1 .q'  2 1 1 4 a b 0 2 2     _  _{ }         -a+2b=-2...(1) Además:   2 x 4x ax b (x 2)q''   5 Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5  2a+b =  11 ...(2) De: 2(1)+(2) : 5b=-15b=-3 En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: _{ } 2 x P 4x 4x 3

RPTA.: C

62. ¿Para qué valor de “m” el

polinomio:



_x2 _y2 _z2



_x2 _y2 _{ z}2



_{mx yz}2

es divisible por (x+y+z)?

A) 4 B) 2 C) 1 D) -8 E) -4

RESOLUCIÓN

En la base a la identidad:



x2 y2 z2



x2  y2 z2



mx2yz 



x yz



q'x,y,z

Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0 -8=2mm=-4

RPTA.: E

63. Busque la relación que debe existir entre “p” y“q” a fin de que el polinomio:

 x 3

P x 3px 2q

Resulte ser divisible por





2

a

x



A) _P3 _q2 _{B) P}2 _{ q}3 _C)

_P

_

_q

D)

P

.

q



1

E) _{P  q}2

RESOLUCIÓN

Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad. Si:

3

_a

2

_

3

_P

_

0

P

a

2



_

 

_a

23

_

_P

3 Reemplazando en:

R

₁



0



3 3 3 3a 2q a 0a  q

 

₃2

 

2

q

a





Conclusión: P3 _ q2.

RPTA.: A

64. Determine “abc” sabiendo que el polinomio :

 

_{x a c (b c)x}



_{a b}



_x2 _6x3 _2x4 P         es divisible por



_x3





_x2 _1



A) -2 B) -34 C) 40 D) -1360 E) 2720

RESOLUCIÓN

Por Teorema de divisibilidad

  



x1



q' R1 0 Px x   



x1



q'' R2 0 P_{x x}   



x3



q''' R3 0 P_{x x}

Empleando Ruffini ( tres veces)

Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 b+c-6=0 b+c=6 a+b-38=0a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40 Luego: abc=2720.

RPTA.: E

65. Si el Polinomio:  

x

x

x

;

P

_x

_

3

_

6

2

_

11

_

6

_es divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente.

¿Cuál será el residuo de:

  1 1 1 1 1 1       _{ } a b b c c a x P_x ? A) 0 B)1 C) ab + bc + ca D) 1 D) ab + cb + ca -a -a 1 1 1 0 -a -3P 2 a 2q ap a2_3  -a (a2 _3p) _3ap2qa3 -a 2a2 ₀ 1  R P a 3 3 2 _ -2a 0 1  R -a -a 1 1 1 0 -a -3P 2 a 2q ap a2_3  -a (a2 _3p) _3ap2qa3 -a 2a2 ₀ 1  R P a 3 3 2 _ -2a 0 1  R 1 -1 -2 -2 1 -6 -2 (b+c) -8 +2 1 R -6 2 R (a+b-8) (c+a) -8 a+b-8 a+2b+c-8 (a+b) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4) 6 -a-b+2 3 (a+b-2) b+c-6 -2 -6 -12 -36 a+b-38 3 R

RESOLUCIÓN

Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:  x (x a)(x b)(x c)q(x) P    

6

11

6

2 3

_

_x

_

_x

_

x

3er grado Uno

(monico)









6

2

11

6

3

_x

_x

x



a b c



x



ab bc ca



x abc x3    2     De donde: a + b + c = 6 ab +bc + cd= 11 abc= 6 Se pide:  x  x  x P P P x 1 1 1 1 c a b x x ab bc ca abc          _   _ _{ }     Evaluando en x=1:R P_{ 1} 0

RPTA.: A

66. ¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente



_a35 _a30 _a25 _...a5 _1



_. A)

1

1

36





a

a

B) 1 1 5 40   a a C)

1

1

5 40





a

a

RESOLUCIÓN

Por principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B.

RPTA.: B

67. Encuentre el valor de:



₁₀9 _1



_



₉₉₉



A) 1000001 B) 1010101 C) 1001001 D) 0 E) 1

RESOLUCIÓN

Acondicionando el divisor:

 

_{   }

₁₀

₁₀

₁

1

10

1

10

1

10

1

10

₃ 2 ₃ 1 3 3 3 3 9

















1001001 

RPTA.: C

68. Sabiendo que el cociente de la división 2 30

y

x

y

x

n m





_{; consta de 10} términos.

Determine el valor de:

_m

n

A) 60 B) 8000 C)

₃

20 D) 600 E) 8

RESOLUCIÓN

Por condición: 30 m 10 n  2  n=3 m=20 Luego: 20³ = 8000

RPTA.: B

69. Se desea conocer de cuántos términos está constituido el cociente de :

1

1







x

x

sabiendo que

  



236 100 50 10 T T x T  A) 396 B) 133 C) 132 D) 236 E) 131

RESOLUCIÓN

1 2 3 k

x

1

x

x

x

...x

... 1

x 1

    



_

_

_

_

_

_



T ₂ T ₃ T _k

10 10 T _x _x10_.x50_.x100 _x236 50 50 T _x 100 100 T _ x _x3160 _{ x}236 De donde:

3





160



236

396

3





132





Luego: # términos=132+1=133

RPTA.: B

70. Si la división indicada: P _P

y

x

y

x





3 432

genera un cociente notable. Averigüe al término antepenúltimo

A) _x2_y9 _{B) x y}6 324

C) _{x y}36 360 _{D) 0}

E) x6 _y314

RESOLUCIÓN

Si la división indicada es notable, debe cumplir que:

P 432 3  P 2 P 3.432 2 3 4 P 3.3 .2 _{P 3 .2} 2 2 _36 Luego:

   

   

12 12 3 36 36 432 3 36 ₃ 1 ₃₆ 1 x y x y x y _{x y}      _ 1 2 10 11 12 T T ... T T  T antepenúltimo

 

₃ 12 10

 

₃₆ 10 1 _{6 324} antep 10 T  T  x  y   x y

RPTA.: B

71. Después de dividir el cociente de

1

1

1 6







x

x

n ;

n



N

. Entre



x 1





;

se obtiene un nuevo cociente que al ser dividido por



_x2 _x1



obtendremos como residuo.

A) 0 B) -x C) x+1 D) x-1 E) 1

RESOLUCIÓN

Efectuando la división notable

6n 6n 1 6n 2 6n 3 2 x 1 _{x x x x x 1} x 1     _{     }  Luego en: 6n 1 6n 2 6n 3 2 x x x ... x x 1 x 1  _  _  _{   }  Aplicando Ruffini Existen “6n” términos Existen “6n-1” términos  x 6n 2 6n 4 6n 6 4 2 q _x  _x  _x  _... x_{ }x _1 Finalmente en:  x



2



q  x  x 1

Según el teorema del residuo Si: _x2 _{   x 1 x  }

Que al evaluarlo en este valor

  2

R q_      1 0 Cero

RPTA.: A

72. Factor Primo de:

 a,b  Q 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc será: A) 1+c B) 1+b C) 1+ab D) 1+bc E) 1+abc

-1

1

1

1

-1

0

1

0 1

-1

...

1 1

...

0

1

1

-1

0

0

RESOLUCIÓN

Asociando:

 



b c bc

 

a b c bc



Qa,b  1    1  

Extrayendo factor común

 



b c bc





a



Q_a,b  1   1  





b

 

c b





a



Q_a,b  1  1 1  a,b



 





Q  1 c 1 b 1 a  Constante

RPTA.: B

73. ¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio;

 

X

x

x

x

x

;

n

N

.

P

n n x



2





3



2





1



A) 1 B) 2 C) 3 D) n E) ninguno

RESOLUCIÓN

Asociando de 2 en 2:  



x

.

x

2



x



x

3



x

2



x



1

P

n n x  x n 2 2 2 P x (x 1) x(x 1) (x 1)  



(

x

2



1

)



x



x



1



P

n x  x



n



P (x 1)(x 1) x   x 1

RPTA.: B

74. Uno de los divisores de:



ad bc



d c b a2  2  2  2 2  _Será: A) a-b+c-d B) a+b-c+d C) a-b-c + d D) a+b+c-d E) a-b-c-d

RESOLUCIÓN

Asociando convenientemente 2 2 2 2 a b c d 2ad 2bc a =



_a2 _{2ad d} 2

 

_{ b}2 _{2bc c} 2



₌



 

2



2 a d  b c 



a d b c a d b c  



_    _

RPTA.: A

75. ¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p.













3 3 3 m n P n P m P m n ? A) m-n-P B) m+n-P C) m-n+P D) m+n+P E) mn+nP+Pn

RESOLUCIÓN

Mediante la distribución en el segundo y tercer término:



nP



nPnmPmPn m3 3 3 3 3 Asociando:



nP



nP



n p



m(n p ) m3 2 2 3 3



n



P



n



P





_nP





_n2 _{np P}2



(n-P)

_m3n P nP2  2mn² mnP mP  2_

(n-P)



m



m2n2



nP



mn



P2



mn





 (m+n)(m-n)











   



 _{P) m n m}2 _{mn nP P}2 n (



























P

)

m

n

m

P

m

P

)

n

(

m

P

n

(



m

n



m

P





m

n

P



)

P

n

(











RPTA.: D

76. El Polinomio:

  

x

,

y



x



y



3



3

xy



1



x



y





1

M

Será divisible por:

A)_x2 _{xy y}2 _xy1 B)_x2 _{xy y}2 _xy1 C)_x2 _{xy y}2 _xy1

RESOLUCIÓN

Asociando convenientemente

  

x

,

y



x



y



3



1



3

xy



x



y



1



M

Diferencia de cubos



 

 

 

2



M x, y  x y 1  _ x y  x y 1_ -3xy(x+y-1) … …... …... … … …... …... …...

Extrayendo el factor común



 



2 2

M x, y  x y 1 x  _ xy y   x y 1_

RPTA.: C

77. Un factor primo racional de:

 



a

3



b

3



9

ab



27

R

_a ; será: A) a+b+3 B) a-b+3 C) ab-3(a+b) D)_a2 _b2 _ab3



_ab



_9 E)_a2 _b2 _ab3



_ab



_9

RESOLUCIÓN

 



a

3



b

3



 



3

3



3

ab

 



3

R

_a Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:

 



a

_

b

_

_

3





a

2

_

b

2

_

 

_

3

2

_

ab

_

a

   

_

3

_

_

3

b







abc





a b  ab



ab





 2 2 9 3

RPTA.: D

78. Cuántos divisores admitirá el

Polinomio:  

a

2

bx

4



b

3

a

3



x

2

y

4

ab

2

y

8

P

_x;y









A) 8 B) 7 C) 15 D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN

Empleando el aspa simple:

 

a

2

bx

4



b

3

a

3



x

2

.

y

4

ab

2

y

8

P

_x,y









2 2

_x

a

_b2_y4 2

bx

_ay4  



a

2

x

2

b

2

y

4





bx

2

ay

4



P

_x,y







 



ax

by

2



ax

by

2





bx

2

ay

4



P

_x,y









Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)

RPTA.: A

79. Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de:

 

z

4

2

  

x

2

y

2

z

2

x

2

y

2



2

Q

_x,y,z









A) 4x B) 4y C) 4z D) 2(x-y) E) 2(x+y)

RESOLUCIÓN

Mediante un aspa simple



_{2 2}

 

_{2 2 2}



2 4

₂

_x

_y

_z

_x

_y

z

Q











_z

2

_



_x

_

_y



2 2

z





2

y

x











_z

2

_x

_y

2





_z

2



_x

_y



2



Q











 



z x y



z x y



z x y



z x y



Q_x,y,z         

Sumando estos elementos =4z

RPTA.: C

80. Un divisor del Polinomio:

x,y





P 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x 

será:

A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y D) 2x-3x E) 2x-5y+12

RESOLUCIÓN

Buscando la forma de un aspa doble:  



8

x

2



14

xy



15

y

2



48

x



36

y



0

P

_x,y 4x -3y 0 2x 5y 12   



4x 3y





2x 5y 12



Px,y

RPTA.: B

SEMANA 5

COCIENTES NOTABLES

FACTORIZACIÓN

81. Hallar el menor término racional del cociente notable.

  3 7 3 3 4 2 2 4 2 A) 9 B) -1 C) 3 D) 5 E) 8

RESOLUCIÓN







7 7 3 3

4

2

4

2

Por el término general

   

k k k

T



3

₄

7

₂

1

efectuando por exponentes

k k

T





...( )



25 6

2

Por lo que piden:

k



25

6 debe ser mínimo

 

k

7

;

luego en

 



:

T



25 76



T



3



7

2

7

2

8

RPTA.: E

82. En el cociente notable













x

x

;

x









16 16 2

2

2

2

4

halle el valor numérico del quinto término para x=1 A) 729 B) 126 C) 81 D) 243 E) 729

RESOLUCIÓN

Dando la forma de un C.N:











 



x

x

x

x



_



_



_

















8 8 2 2 2 2

2

2

2

2



T





_



x



 

2

_{ }

 

3

x





2



_

4



(x



) (x

₆



)

₈ 5

2

2

2

2



x=1



T  6.( ) 8  5 3 1 729

RPTA.: E

83. Halle el grado absoluto del primer

término central del C.N.

n n n n

x

y

x

y

   





15 50 15 10 1 2 A) 11 B) 106 C) 63 D) 40 E) 72

RESOLUCIÓN

Por la condición necesaria y suficiente se debe de cumplir:

n n _n n n  _  _{ }   15 50 15 10 6 1 2 luego:

   

   

x

y

x

y





20 20 7 4 7 4

Hallamos los términos centrales.

   

T  x7 10 y4 9  T  x y70 36 10 10 T 

   

x7 9 y4 10  T  x y63 40 11 11



G.A. T₁₀ 106

RPTA.: B