ENCUENTRO # 15 TEMA:Fracciones algebraicas CONTENIDOS: 1. Dominio. Simplificación. 2. Multiplicación y División. DESARROLLO
EJERCICIO RETO
Factorice las siguientes expresiones: 1. x9 + 7x6y3+ 7x3y6+y9
2. 2x2+ 7xy−4y2−3x+ 6y−2
Simplificación de fracciones algebraicas:
Una fracción algebraica contiene literales y se simplifica al factorizar al numerador y al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentren en ambas posiciones, como a continuación se ejemplifica.
Ejemplos:
1. Simplifica la siguiente expresión 8a28a+12ab2
Solución:
Se factorizan tanto el numerador como el denominador. 8a2+12ab
8a2 =
(4a)(2a+3b) (2a)(4a)
Una vez factorizados los elementos de la fracción, se observa que en ambos se encuentra la expresión (4a) la cual se procede al simplificar
(4a)(2a+3b) (2a)(4a) =
2a+3b 2a
2. Simplifica la siguiente expresión 3m 15m−12m2
Solución:
Se factorizan el numerador y el denominador, simplificando el término que se repite en ambos (3m) 3m 15m−12m2 = 1(3m) (3m)(5−4m) = 1 5−4m
3. Simplifica la siguiente expresión 6xx2y2−−12xy4y2 2
Solución:
Se factorizan tanto el numerador como el denominador. 6x2y−12xy2
x2−4y2 =
6xy(x−2y) (x+2y)(x−2y)
Una vez factorizados los elementos de la fracción, se observa que en ambos se encuentra la expresión (x−2y) la cual se procede a simplificar
6xy(x−2y) (x+2y)(x−2y) =
6xy x+2y
4. Simplifica la siguiente expresión x2−6x+9
x2+ax−3x−3a
Solución:
Se factorizan tanto numerador como denominador x2−6x+9 x2+ax−3x−3a = (x−3)2 x(x+a)−3(x+a) = (x−3)2 (x−3)(x+a)
En esta fracción el elemento que se repite en el numerador y denominador es (x−3), entonces se realiza la simplificación
(x−3)2 (x−3)(x+a) =
x−3 x+a
5. Simplifica la siguiente expresión x4−9xx−3−x36x2
Solución:
Se factorizan tanto numerador como denominador 9x−x3 x4−x3−6x2 = x(9−x2) x2(x2−x−6) = x(3+x)(3−x) x2(x−3)(x+2)
Los factores que se repiten son (x) y (x−3) x(3+x)(3−x) x2(x−3)(x+2) = (3+x)(−1) x(x+2) =− x+3 x(x+2)
6. Simplifica la siguiente expresión 20+51x12+37x+2x−26x22−+3x3x33
Solución:
Se factorizan tanto numerador como denominador 12+37x+2x2−3x3
20+51x−26x2+3x3 =
(−1)(3x+1)(x+3)(x−4) (x−5)(3x+1)(x−4)
Los factores que se repiten en el numerador y denominador (3x+ 1) y (x−4), se dividen, obteniéndose la simplificación de la fracción
12+37x+2x2−3x3 20+51x−26x2+3x3 = (−1)(x+3) (x−5) =− x+3 x−5
Ejercicios Propuestos
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 1. 2a3a2+2ab2b 2. 3a26ab−3b6ab2 2 3. 4a28a+12a2 4. 6m315m−18m−9m2−224m 5. m3n−m2n2 n2−m2 6. 2x34x−22x−212x−12x
7. x5y2−2+4xy3xy−−10yx22
8. x2x+7x2−36−78 9. n2−5n+6 n2−2n−3 10. 3x2x22−−5xyxy−−6y2y22 11. −5xx43+3x−4x32yy−−2xxy22y2 12. 3xx22+10xy+8y−xy−6y22
13. ab2m2abm−2ab2−2mn+ababn2 2n2
14. x28+2x−x3−8
15. xx32+y−y32
16. y2y−3−xy27x−6x32
17. x3−1
x3−x2−x−2
18. x3−x33x−23xyy+3xy2+2y2−3y3
19. by23ax−bx−2bx−−3ay3ay+by2+3ax2
20. a22a+ab2b+2ab−ad−2bd
21. 3ay2y+9ay+2y3+y2−6y2+6y
23. x−wwx2+w−y+wy−2 24. pp+13−p−−p2p3−2p+22 25. 2a2ab32−+b2ab2−2+a2a32−−ab22 26. xx33+2x+4x22−+xx−−26 27. xx33+x+4x2−214x+x−−624 28. yy33−−9y5y22+26y−2y+24−24 29. (y−1)(y 2−8y+16) (y2−4y)(1−y2) 30. (a−2) 2 (a2+a−12) (2−a)(3−a)2
Multiplicación de fracciones algebraicas
Regla para multiplicar fracciones:1. Descomponer en factores los elementos de las fracciones que se van a multiplicar. 2. Se simplifican aquellos términos que sean comunes en el numerador y denominador
de las fracciones que se van a multiplicar. 3. Multiplicar todos los términos restantes.
Ejemplos: 1. Multiplica 2x3y2 · 6y2 4x · 5xy 2y Solución:
Se realiza la multiplicación de fracciones y se simplifi ca el resultado 2x2 3y · 6y2 4x · 5xy 2y = 60x3y3 24xy2 = 5x2y 2 2. Simplifica: m2+9m+18 m−5 · 5m−25 5m+15 Solución:
Se factoriza cada uno de los elementos m2+9m+18 m−5 · 5m−25 5m+15 = (+6)(m+3) m−5 · 5(m−5) 5(m+3) se procede a realizar la multiplicación y la simplificación
(+6)(m+3) m−5 · 5(m−5) 5(m+3) = 5(m+6)(m+3)(m−5) 5(m−5)(m+3) =m+ 6
3. Efectúa y simplifica: a23a−−5a+615 · 6a a2−a−30· a2−25 2a−4 Solución: (a−3)(a−2) 3(a−5) · 2∗3a (a−6)(a+5) · (a+5)(a−5) 2(a−2) = (a−3)(a−2)2∗3a(a+5)(a−5) 3(a−5)(a−6)(a+5)2(a−2) =
6a(a−3)(a−2)(a+5)(a−5) 6(a−5)(a−6)(a+5)(a−2) = a(a−3)
a−6
Finalmente, el resultado de la multiplicación es a(aa−−63) = a2a−−3a6
Ejercicios Propuestos
Efectúa la multiplicación de las fracciones algebraicas y simplifica: 1. 4a7x23 · 14x 5b4 · 5b2 7a3 2. 5 x · 2x y2 · 3y 10 3. 10y3x2 · 5y4 14ab · 7a 6x2 4. 16ab5a2x2 · 10x3 4b3 · 2a2 3bx 5. 3x4b2 · b2 2y2 · 2y 3x3 6. 5m+25 14 · 7m+7 10m+50 7. b2−5b+6 3b−15 · b2−25 2b−4 · 6b b2−b−30 8. 2m2mx3+2mn2−2mx2 · x x+1 · x3−x m2x+n2x 9. 14x24x2−−21x16 · 12x−8 42x−63 10. 30x6x33−+5x18x22 · 42x+35 60x−36 11. 7x3x22+42x−6x · 15x−30 14x2+84x 12. xx22−+x5x+6−6 · x2−2x−3 x2−4x−5 13. x230+x−10x+24−x2 · x2−2x−48 x2−12x+32 14. 8x4x22+10x+3+4x+1 · 6x2+x−1 9x2+9x−4 15. xx22−−7x+123x−4 · x2+5x+6 x2−3x−18 16. x2x2+9x+182+9x+9 · 2x2+7x+6 4x2+9x+2 17. x4x3+2x2+8x+32−3x · 2x2+3x x2−x
18. xa33−−271 · a2+a+1 x2+3x+9 19. x4x2+5x+62+4x · 8x+8 x2−9 · x2−5x x+2 20. 2nn22−+5n2n−−83 · n2+4n+4 6n2−5n+1 · 3n2+11n−4 n2+5n+6
División de fracciones algebraicas
Regla para dividir fracciones:1. Primero se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, de lo que resulta el numerador de la fracción solución; el denominador de la fracción solución se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. De preferencia los productos se dejan indicados.
2. Se simplifican los términos o factores que sean comunes, en el numerador y deno-minador, de las fracciones que se van a multiplicar.
3. Se multiplican todos los términos restantes. Ejemplos:
1. Realiza la siguiente división: m2
3n2 ÷
2m n3.
Solución:
Se efectúan los productos cruzados y se simplifica la expresión m2 3n2 ÷ 2m n3 = (m2)(n3) 3n2(2m) = m2n3 6mn2 = mn 6
2. Simplifica la siguiente división:
3x2 (x2+1)2 x (x2+1) . Solución:
Se realiza el producto de medios por medios y extremos por extremos, para des-pués simplificar al máximo.
3x2 (x2+1)2 x (x2+1) = 3xx(x2(x2+1)2+1)2 = 3x x2+1
3. Realiza el siguiente coeficiente y simplifica: 2aa32−+6aa ÷
5a2−5a
2a+6
Solución:
Se factorizan todos los elementos y se procede a efectuar la simplificación. a3−a 2a2+6a ÷ 5a2−5a 2a+6 = a(a−1)(a+1) 2a(a+3) ÷ 5a(a−1) 2(a+3) = a(a−1)(a+1)(2)(a+3) (2a)(5a)(a−1)(a+3) = a+1 5a
4. Simplifica la siguiente operación:
1
(x2+1)12
(x2+1) .
Solución:
En este caso se tiene una fracción sobre un entero, al que se le agrega la uni-dad como denominador, para después realizar el producto de medios y extremos, entonces: 1 (x2+1)12 (x2+1) = 1 (x2+1)12 (x2+1) 1 = 1 (x2+1)12+1 = 1 (x2+1)32
5. Resuelva la siguiente operación: 2x4x2+xy2−y−2y2 ÷
6x2+7xy+2y2
3x2+5xy+2y2.
Solución:Se factoriza cada uno de los factores y se procede a realizar la división 4x2−y2 2x2+xy−y2 ÷ 6x2+7xy+2y2 3x2+5xy+2y2 = (2x+y)(2x−y) (2x−y)(x+y) ÷ (3x+2y)(2x+y) (3x+2y)(x+y) = (2x+y)(2x−y)(3x+2y)(x+y) (2x−y)(x+y)(3x+2y)(2x+y) = 1 6. Efectúa y simplifica la siguiente operación: x+ 4 + 2
x+1 ÷x−1− 9 x−1 . Solución:
Se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis:
x+ 4 + x+12 ÷x−1− 9 x−1 =x2+5x+4+2x+1 ÷x2−2x+1−9 x−1 = x2+5x+6 x+1 ÷x2−2x−8 x−1
Ejercicios Propuestos
Realiza las siguientes operaciones y simplifica al máximo: 1. 2xy23 ÷ 8x5 3y3 2. 12a4b5 15x6y3 ÷ 4a2b 5x2y3 3. 6x2 (2x+3)3 2x4 (2x+3) 4. 12x5 (2x3+1)13 2x2 (2x3+1)23 5. 4x3 3x2−3xy x2 x2−y2 6. xx32+x−x÷ x3−x2 x2−2x+1 7. x2−9 x2+2x−3 ÷ x2+6x−27 x2−10x+9 8. xx22−−7x+106x+5 ÷ x2+5x−14 x2+8x+7
9. xx22−−4x+36x+9 ÷ x2+12x+32 x2+3x−40 10. 4x3x22−−23x14x+8−6 ÷ 4x2+25x+6 x2+x−30 11. 6x12x2−2−5x+1x−1 ÷ 4x2−8x−5 8x2+6x+1 12. x3−x23x−216+9x ÷ x2−x−12 x3+27 13. 8x16x2−32x−9x−3 ÷ 4x2−1 4x2+3x 14. x3−121x x3−49x x2−11x x+7 15. x3+125 x2−64 x3−5x2+25x x2+x−56 16. a2−6a a3+3a2 a2+3a−54 a2+9a 17. 15x2+7x−2 25x3−x ÷ 6x2+13x+6 25x2+10x+1 18. 1 + a+ba ÷1 + 2ab 19. x+ x+32 ÷x+x+43 20. n− 2n−1 n2+2 ÷n2+ 1− n−1 n 21. a+b+ab−2b÷1− b a+b 22. 1− 1 x3+2 ÷x+x−11
