ANÁLISIS PROF. GUSTAVO FRANCO

(1)

F

UNCIONES

R

EALES

(2)

A

NÁLISIS

1 2017

P

ROF

. G

USTAVO

F

RANCO 1

(2)





Se consideran las siguientes funciones :

,

dadas por sus gráficas. Para cada una:

Indica cuáles son continuas en según tu idea previa

de continuidad.

En caso de existir, indica el va

f X

X

a





(1)

(2)



lor de:

lim

( ), lim

( ), lim ( ) y compáralos

con ( ) (si existe).

Para los casos en que ( ) existe, investiga si las

siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

x a x a x a

f x

f a

    

(3)

, ( ),

,

/

E

( ) E

lim ( )

( ).

a f a x a

x

X

f x

f a

 







 

 

 

 









(i)

(ii)



(3)

(4)

(5)









, ( ),

Consideremos una función :

y

.

Diremos que

si, y solo si,

,

/

E

( ) E

Consideremos una función :

y

.

Diremos que es

a f a

f X

X

a

X

f es continua en a

x

X

f x

f X

X

a

f

di

 















 

 

 













Definición



si, y solo si,

no es continua en .

scontinua en a

f

a

Si es un punto aislado de , ¿es continua en ?

Si es un punto de acumulación de y es continua en , ¿qué puedes decir del lim ( )?

Si es un punto de acumulación de y x a a X f a a X f a f x a  X (1) (2) (3) es continua en ,

¿qué puedes decir del lim ( )? ¿Y del lim ( )? Si lim ( ) ( ), ¿ es continua en ?x a x a x a f a f x f x f x f a f a       (4) 5

(6)

 

2

Estudia continuidad en 0 para cada una de las siguientes funciones:

sen , si 0 : / ( ) 0, si 0 .sen , si 0 : / ( ) 0, si 0 .sen , s : / ( ) x x x x j j x x x x f f x x x g g x     _   _{ }    _   _{ }     (1) (2) (3)       i 0 0, si 0 x x  _     Hipervínculo 1 Hipervínculo 2 Hipervínculo 3

(7)

 

2 2

*

, si Consideremos : , tal que ( )

, si Estudia continuidad de en su dominio.

Consideremos la función : , tal que ( ) , 1 siendo / , 0 . x x f f x x x f f X f x x X x x x n n  _   _{ }          _     _    (1) (2)         1 Grafica . ¿ es continua en su dominio?

Consideremos la función : , tal que 0, si ( ) , si , con , y y primos entre sí. Pr n f f f x m f x x m n n m n         _      (a) (b) (3)      

ueba que es continua en todo irracional y discontinua en todo racional.

(8)

C

LASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES

(

EN UN

PUNTO DE ACUMULACIÓN DEL DOMINIO

)

8

(existen ambos límites laterales) evitables lim ( ) xa f x b       de primera especie Discontinuidades





(al menos uno de los límites laterales no existe)

( ) ( )

de salto finito lim ( ) lim ( )

de salto infinito lim ( ) lim ( )

x a x a x a x a f a f a b f x b f x c b c f x f x           _ _          _ _{ } _{  }        _                 de segunda especie                               

(9)

Consideremos una función : y . Supongamos que f X  a   Nota  

 

* * 2 2

( ) y que lim ( ) , entonces presenta en una discontinuidad evitable.

( ), si Podemos definir : / ( ) , si 3 2 Consideremos : 2, 2 / ( ) . 4 no es conti x a f a f x b f a f x x a f X a f x b x a x x f f x x f        _{ }          Ejemplo    2 2 2 2 2 2 2 2

nua en 2 ni en 2, pues no pertenecen al dominio de . ( 2)( 1)

3 2 1

lim lim , por lo tanto

( 2)( 2) 4 4

presenta en 2 una discontinuidad evitable. ( 2)( 1) 3 2 lim lim ( 2) 4 x x x x f x x x x x x x f x x x x x x          _ _          

 

* * , por lo tanto ( 2)

no presenta en 2 una discontinuidad evitable.

( ), si 2 Podemos definir entonces : 2 / ( ) ₁

, si 2 4 x f f x x f f x x           _{ }     9

(10)

 

1

Las siguientes funciones son discontinuas en 0:

:

/ ( )

sgn( )

:

/ ( )

sgn( )

, si

0 :

/ ( )

5, si

0 sen

, si

0 :

/ ( )

0, si

0

1 , si

0 :

/ ( )

₁

5, s

x x

f

f x

x

g

g x

x

h

h x

x

j

j x

x

r

r x

_x













_





_{ }







_





_{ }











_



i

0 Clasifica en cada caso el tipo de discontinuidad en 0.

x









_



(11)





2

Consideremos la función : y .

Diremos que es continua en si, solo si, es continua en , .

, si 1 Consideremos : / ( ) 2 1, si 1 Estudia continuidad d f X X Y X f Y f a a Y x x f f x x x       _   _{ }    Definición (1)    





2 2 e en su dominio. , si 2 Consideremos : / ( ) , si 2 Estudia continuidad de en en cada caso:

, 2 2, 2, f x x f A f x x x f A A A A A  _   _{ }             _  (2) (i) (ii) (iii) (iv)   11

(12)

“… una

función elemental

es una función que

puede obtenerse mediante suma, producto,

cociente y composición a partir de las funciones

racionales, las funciones trigonométricas y sus

inversas y las funciones log y exp.”

Spivak, M. (1992). Calculus. Cálculo infinitesimal. Barcelona: Editorial Reverté. (p. 500)

(13)









Las siguientes funciones son continuas en sus dominios:

(1) :

/ ( )

(2) :

/ ( )

(3) :

/ ( )

(4) :

/ ( )

L

(5) :

/ ( )

sen

(6) :

/ ( )

cos

(7) :

/ ( )

tg ,

x

f

f x

k

f

f x

x

f

f x

e

f

f x

x

f

f x

x

f

f x

x

f X

f x

x



_

 

































Teorema



con

/

,

2 X







_

x x







kx k





_









13

(14)





(H) Consideremos :

, :

y

.

continua en

(T) (1)

es continua en

(2) . es continua en

(3) si ( )

0, entonces es continua en

Si

f g

f X

g X

X

a

X

f

a

g

a

f

g

a

f g

a

g a

a

f











Teorema



y no son continuas en , ¿se puede afirmar algo

sobre la continuidad de

, . y de

f _g

en ?

g

a

(15)









(H) Consideremos : , : , Rec( ) y . continua en continua en ( ) (T) es continua en

Si no es continua en y no es continua en ( ), ¿se puede af f X X g Y Y f Y a X f a g f a g f a f a g f a       Teorema     





irmar algo sobre la continuidad de en ?

Consideremos : 2, / ( ) L( 2) Estudia continuidad de . g f a h h x x h     Ejemplo   15

(16)

 





2

Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones en los puntos indicados:

: 4 / ( ) sgn L 4 , en 5, 4 y 3. : 4, / ( ) 4, en 4. : / ( ) , en 0. : / ( ) f f x x f f x x f f x x f f x                  (1) (2) (3) (4)       





 

2 3 4 2 sgn sen , en 0. 2, si 1 : 2 / ( ) , en 1, 2 y 2. , si 1 2 : / ( ) sen , en . , con . x x x x x f f x x x f f x x k  k            _           _ _  (5) (6)     

(17)

C

ONTINUIDAD LATERAL





 

' '

Consideremos una función :

y

.

(1) Consideremos

.

Diremos que

si, y solo si, lim

( )

( ).

(2) Consideremos

.

Diremos que

si, y solo si, lim

x a x

f X

X

a

X

a

X

f es continua en a

f x

f a

a

X

f es continua en a

     













( )

( ).

a

f x

f a

 



17

(18)





 

Consideremos una función :

y

tal que

'.

Indica, justificando, si las siguientes proposiciones

son verdaderas o falsas:

Si es continua en entonces es contin ua en

.

S

f X

X

a

X

a

X

f

a

f

a



a









(1)

(2)



 

i es continua en

entonces es continua en .

Una función puede ser continua en y no ser continua

en

ni en

.

Una función puede ser continua en

y en

y no ser continua e

f

a

f

a

     

(3)

(4)

n .

a

(19)

C

ONTINUIDAD EN INTERVALOS





 

0 0

Consideremos una función : .

(1) Consideremos , . Diremos que es continua en , si, y solo si, es continua en , , .

(2) Consideremos , . Diremos que es contin f X X a b X f a b f x x a b a b X f       _{ }   Definición  

 

ua en , si, es continua en , y solo si, es continua en

es continua en a b f a b f a f b            19

(20)

Se consideran las siguientes funciones :

,

dadas por sus gráficas. Para cada una analiza:

continuidad en ,

sg( ( )) y sg( ( ))

existencia de raíces

f

a b

f a

f b



 













(1)

(2)

(3)



(21)

T

EOREMA DE BOLZANO

 

(H) Se considera una función :

,

.

continua en ,

( ). ( )

0 (T)

,

tal que ( )

0 f

a b

f

a b

f a f b

c

a b

f c



_{ }















 





21 (Demostración)

(22)

22

3

Prueba que las siguientes funciones tienen una raíz entre 0 y 1. Admitiendo que dicha raíz es única, c alcúlala con error menor que 0,1. : / ( ) 3 1. : / ( ) 2 2 3. x f f x x x f f x e x         (1) (a) (b)    

 

: / ( ) L .

Prueba que si es una función continua en , , lim ( ) y lim ( ) , entonces existe , tal que ( ) 0.

Prueba que si es una función continua en , lim

x a x b f f x x x f a b f x f x c a b f c f               (c) (2) (3)    ( ) y lim ( ) , entonces existe tal que ( ) 0.

Demuestra que toda función polinómica de tercer grado tiene una raíz real.

Prueba que toda función polinómica de grado i

x x f x f x c f c        (4) (5)  mpar

(23)

T

EOREMA DE

D

ARBOUX

23





 

(H) Consideremos : y , , tal que

continua en , y / ( ) ( )

(T) , / ( ) .

Realiza una interpretación gráfica del teorema anterior y demuéstralo. f X X a b X f a b f a f b c a b f c



    _ _              

(24)

D

EFINICIONES









Consideremos una función : y / .

(1) Llamaremos de según la función , y lo notaremos ( ), al conjunto ( ) ( ) /

(2) (a) Diremos que

f X X A X A

conjunto imagen A f

f A f A f x x A

f está acotada superiorment

    

 

 

en

si, y solo si, ( ) es un conjunto acotado superiormente. (b) Análogamente se define en . (c) Diremos que en si, y solo si,

( ) e A f A f acotada inferiormente A f está acotada A f A es un conjunto acotado. en / ( ) , .

(d) En particular, diremos que

s

f está acotada A f x x A

f está acotada superiormente, inferiormente o que está acotada



     

Simbólicamente







i, y solo si, el recorrido

de ( ) es, respectivamente, un conjunto acotado superiormente, inferiormente o acotado.

(25)





, / ( ) , .

O, en forma equivalente:

/ ( ) , .

(4) (a) es de en si, y solo si, es el máximo d f está acotada h k h f x k x X f está acotada f x x X M M máximo f A M                 Simbólicamente   





e ( ). (b) Análogamente se define de en .

(5) (a) es de en si, y solo si, es el extremo superior de ( ). (b) Análogamente se define f A mínimo f A E E extremo superior f A E f A extremo infer  





 

, , ' de en . Consideremos una función : y .

Prueba que si es continua en , entonces E / está acotada en E .

Prueba que si es continua en , enton

a a ior f A f X X a X f a f X f a a X                   (1) (2)  



ces existe , tal que está acotada en .

Enuncia la proposición análoga para y pruébala.

A a a r f A X a   _   (3) 25

(26)





Se consideran las siguientes funciones : , dadas por sus gráficas.

Para cada una analiza:

continuidad en su dominio máximo y/o mínimo

¿Encuentras alguna relación entre l

f X  X  (1) (a) (b) (2)   a continuidad en un

(27)

T

EOREMA DE

W

EIERSTRASS

Si una función es continua en ,

,

entonces tiene máximo y mínimo en ,

.

a b

f

a b

















27

(28)

C

ONTINUIDAD UNIFORME

Si es continua en un punto , sabemos que

fijado

0 podemos encontrar tal que si

,

entonces ( )

( )

.

El es entonces la distancia máxima que debemos

imponerle al con respecto a para

f

a

x a

f x

f a

x

a











 





garantizar que la

distancia entre ( ) y ( ) sea menor que .

Fijado , el no es único, ya que si un nos sirve,

nos servirá cualquier otro menor.

Sin embargo existe un máximo que no podemos

supe

f x

f a





rar si queremos tener ( )

( )

.

Veamos un ejemplo.

f x



f a





(29)

2 0 2 2 2 2 2 2

Consideremos :

/ ( )

y

.

Para obtener ( )

( )

, debe pertenecer

al intervalo

,

. Entonces debe cumplir:

y

. Como la primera condición

es más res

f

f x

x

a

f x

f a

x

a

x

a













_

_

_













_

_













 

 





2

trictiva que la segunda, tenemos que



_máx



a

 



a

.

(30)

El ejemplo pone de manifiesto que para un dado,

el valor

depende (además de ) del punto

en que se esté considerando la continuidad.

Para muchas aplicaciones (en particular para el

cálculo int

máx

a







egral) resulta útil obtener que dependa

de pero que valga para todos los puntos de un

conjunto . Esto es algo más exigente que la

continuidad.

Si obtuviéramos un en las condiciones descritas,

r

a

X







   

esultará que para todo par de puntos ,

pertenecientes a que disten entre sí menos que ,

se cumpliría que

.

Lo cual nos lleva a la siguiente definición.

x y

X

f x

f y









30

(31)

C

ONTINUIDAD UNIFORME





Consideremos una función : .

Diremos que es en si, y solo si,

para cada real positivo , existe un real positivo , tal que para cualquier par de reales ,

f X X f uniformemente continua X x y





  Definición  

   

pertenecientes a que disten menos que , sus imágenes según distarán

entre sí menos que .

es en , / , , . X f f uniformemente continua X x y X x y f x f y















             Simbólicamente   31

(32)





 

 

 

Consideremos : ,

y de Cauchy tal que es de Cauchy

es uniformemente continua en n n n f X X A X x x A f x f A       _    Teorema  

(33)

E

JEMPLO

   

Consideremos :

/ ( )

uniformemente continua en

,

/

,

(1) Si

0 ,

,

uniformemente continua en .

(2)

f

f x

mx

n

f

x y

x

y

f x

f y

f x

f y

mx

n my n

mx

my

m x

y

m

x y

m x

y

f









   









  

 





  







 

 



 



 



 

   





 

 





   

Si

0, considero

uniformemente continua en .

m

x

y

m x

y

m

f x

f y

f













 



  





 



₃₃

(34)

E

JEMPLO

Consideremos : / ( ) sen . es uniformemente continua en

, / , , sen sen .

sen sen 2. sen . cos 2. sen 2.

2 2 2 2

Basta tomar entonces = : s f f x x f x y X x y x y x y x y x y x y x y x y x y                                      _ _ _ _  _ _                   en sen = .

Por lo tanto es uniformemente continua en .

x y

f

 

 

(35)

N

O EJEMPLO

   

 

2 0 0 0 2 2 Consideremos : / ( ) . uniformemente continua en , / , , * .

Anteriormente vimos que el mayor valor de que se puede considerar para que se cumpl

f f x x f x a x a f x f a f x f a x a                                      

 

2 0 0 a * es: ,

que es un que depende de (y de ). Pero ahora nos interesa analizar si es posible encontrar un , . Por lo tanto tenemos que ver

si es posible encontrar , , es máx máx a a a a a                    2 ₀ 2 2 decir: , .

Pero 0, por lo tanto lo anterior no

es posible. máx _a a a a a a a a                      35

(36)

0

En otras palabras, la restricción de cercanía de y

se vuelve más y más exigente al crecer , y es imposible

encontrar un valor de uniforme para todo

.

Por lo tanto la función no es uniformem

x

a







 0

ente continua en

.

De la definición de continuidad uniforme se desprende que si

una función es uniformemente continua en ,

entonces es continua en , para todo perteneciente a

(basta tomar

e

X

a

X

y

a







n la definición).

(37)

E

JEMPLO

2

2 2

Consideremos ahora : 1, / ( ) , con y 1. Ahora la cosa cambia.

Cuando nos proponemos hallar , 1, ,

o lo que es equivalente , 1, . Como , 1, f k f x x k k a a a k a k a a a k k k a a           _{ }         _{     }    _{   }     _{  }       2 , bastará elegir . Entonces es uniformemente continua en 1, . k k f k            37

(38)

N

O EJEMPLO

Anteriormente vimos que si una función es

uniformemente continua en , entonces es continua en , para todo perteneciente a y que el recíproco no se cumple (al menos para un conjunto no acotado).

X a a X



   

 

1 Consideremos ahora : 0,1 / ( ) .

es continua en 0,1 , ¿ es uniformemente continua? es uniformemente continua , / , 0,1 , 1 1 * . f f x x f f f x a x a f x f a f x f a x a







                _             

(39)

2 2

1 1

Para que , es necesario que

1 1

, , ,

1 1 1 1

entonces y

1 1 1 1

Como la segunda condición es más restrictiva que la primera, se debe cump x a a a x a a a a a a a a a a a a a a                       _ _ _{ } _                    



2 2 0 2 lir que: . 1 Como 0, 1 no es posible obtener , 0,1 . 1

Por lo tanto, la función

no es uniformemente continua en 0,1 . a a a a a a a a                  _   39

(40)

El no-ejemplo anterior nos muestra que una función continua en un intervalo acotado puede no ser uniformemente continua.

Como veremos a continuación, si el intervalo es cerrado y acotado, entonces la continuidad implica la continuidad uniforme.

Consideremos : tal que y compacto.

es continua en es uniformemente continua en .

es continua en , es uniformemente co f X X X f X f X f a b f     _{ }   Teorema Corolario   ntinua en ,_a b_.