Intervalos de Confianza

1

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Industrial

Probabilidad y Estadística I

Sesiones # 23 y # 24 Intervalos de Confianza

Intervalos de Confianza

Caso No. 1: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribución normal con varianza conocida.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parámetros poblacionales: desconocida, conocida.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.

Estadístico:

1) Estimador del parámetro µ:

2) Construcción del estadístico:

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro µ:

) 1 , 0 ( ~ 0 N n X          n N X 2 0 , ~                      _{   }                 1 1 0 ) 2 / 1 ( 0 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( 0 ) 2 / 1 ( n z X n z X P z n X z P







 



_ 

X

z

IC

_{(1 )100% (1 /2)}



0



2



0 , ~ N   X



2 0  S n X, ,

3 Ejemplo (Cálculo del I. de C.)

Variable de interés: precio de las acciones de compañías del sector tecnológico en US.

Se sabe que el precio de los acciones se comporta como una VA N(μ, 400). Se tiene una MA de tamaño 9 dada por: (100, 109, 110, 80, 65, 125,120, 85, 85).

Calcular el IC para μ, de 90% y 95% de confiabilidad. De la MA se obtiene: Por otra parte:

- P(X_N*≤ z) = 0.975 => z = 1.96 - P(X_N*≤ z) = 0.950 => z = 1.65

Entonces el IC para μ, de 95% de confiabilidad está dado por:

Ejemplo (Cálculo del I. de C.)

Variable de interés: Consumo mensual de minutos de celular de estudiantes de P&E I.

Se sabe que esta variable se comporta como una VA N(μ, 703.22_{). Se tiene una MA de}

tamaño 10 dada por: (400, 200, 400, 600, 700, 900, 550, 150, 400, 400). Calcular el IC para μ, de 95% de confiabilidad. Intervalos de Confianza 404 7 . 97 2   S X ] 76 . 110 ; 64 . 84 [ 9 20 96 . 1 7 . 97 0 ) 975 . 0 ( % 95      _        n z X IC  ] 8 . 905 ; 15 . 34 [ 10 2 . 703 96 . 1 470 0 ) 975 . 0 ( % 95      _        n z X IC 

Intervalos de Confianza

Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribución normal con varianza desconocida.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parámetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.

Estadístico:

1) Estimador del parámetro µ:

2) Construcción del estadístico:

pero es desconocido.

Por otra parte, se puede demostrar que:

) 1 , 0 ( ~ N n X          n N X 2 , ~  



2



, ~ N   X 2

,





S n X, ,



2 ) 1 ( 2 2 ~ ) 1 (n _n S   ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ~ ~ ) 1 ( ) 1 (        n n t n S X t n n S n X    

5

Intervalos de Confianza

Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribución normal con varianza desconocida.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parámetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.

Estadístico:

1) Estimador del parámetro µ:

2) Construcción del estadístico:

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro µ:

      n N X 2 , ~  



2



, ~ N   X 2

,





S n X, , ) 1 ( ~ _  n t n S X



                _{   }                 1 1 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( n S t X n S t X P t n S X t P







 



_ 

n

S

t

X

IC

_{(1 )100% (1 /2)}

Ejemplo (Cálculo del I. de C.)

Variable de interés: activos de una muestra aleatoria de 1000 clientes de un banco.

Según el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(μ, σ2_).

Con base en la muestra, se calculó que = 517 ($M) y S = 300($M). Hallar el IC para μ, de 90% y 95% de confiabilidad.

- P( t(999)≤ t ) = 0.950 => t = 1.645 - P( t(999)≤ t ) = 0.975 => t = 1.96

Los IC del parámetro μ de 90% y 95% de confiabilidad están dados por:

Intervalos de Confianza X ] 6 . 535 ; 4 . 498 [ 1000 300 96 . 1 517 ) 975 . 0 ( % 95      _        n S t X IC ] 6 . 532 ; 4 . 501 [ 1000 300 645 . 1 517 ) 95 . 0 ( % 90      _        n S t X IC

7

Intervalos de Confianza

Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando se muestrean dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas pero iguales.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

2) Parámetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestras aleatorias: calculables a partir de la M.A.

Estadístico:

1) Estimador del parámetro (µ₁ - µ₂):

2) Construcción del estadístico:

pero es desconocido.

Por otra parte, se puede demostrar que:

         2 2 1 2 2 1 2 1 ~ , n n N X X    







2



2 2 2 1 1 ~ N  , , X ~ N  , X 2 2 1

,



,





2 2 2 1 1 1,n ,S ,X ,n ,S X



2 ) 2 ( 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 ~ ) 1 ( ) 1 (n   S n  _{n n } S      ) 2 ( 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ~ 2 ) 1 ( ) 1 (            n n t n n n S n S n n X X         _{ } 1 , 0 ~ 2 2 1 2 2 1 2 1 N n n X X        





) 2 ( 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ~ 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 1            n n t n n n S n S n n X X  

Intervalos de Confianza

Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando se muestrean dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas pero iguales.

Estadístico: donde

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (µ₁ - µ₂):





                                                        1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ) 2 / 1 ( 2 1 2 1 2 1 ) 2 / 1 ( 2 1 ) 2 / 1 ( 2 1 2 1 2 1 ) 2 / 1 ( n n Sp t X X n n Sp t X X P t n n Sp X X t P





2 ) 1 ( ) 1 ( ~ 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 ) 2 ( 2 1 2 1 2 1 2 1             n n n S n S Sp t n n Sp X X n n  





















_  2 1 ) 2 / 1 ( 2 1 % 100 ) 1 (

1

1

n

n

Sp

t

X

X

IC

_{ }

9

Intervalos de Confianza para la Diferencia de Medias - Ejemplo

X₁ X₂

n₁ = 100 n₂ = 100

S₁2 _{= 41 S}

22 = 46

Media Muestral 1 =101 Media Muestral 2 = 80.3

] 53 . 22 ; 87 . 18 [ 100 1 100 1 ) 595 . 6 ( 96 . 1 3 . 80 101 % 95            IC 595 . 6 2 100 100 ) 1 100 ( 46 ) 1 100 ( 41 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 1 2 1              Sp n n n S n S Sp





















2 1 ) 975 . 0 ( 2 1 % 95

1

1

n

n

Sp

t

X

X

IC

Intervalos de Confianza

Caso No. 4: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando se muestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, para muestras grandes y varianzas conocidas.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

2) Parámetros poblacionales: desconocidas conocidas.

3) Muestras aleatorias: calculables a partir de la M.A.

Estadístico:

1) Estimador del parámetro (µ₁ - µ₂):

2) Construcción del estadístico:

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (µ₁ - µ₂):

         2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ~ , n n N X X    

 

 

 

 

2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1,X E X   , E X   ,Var X  ,Var X  X 2 1

,





2 2 2 1 1 1,n ,S ,X ,n ,S X   _{ } 1 , 0 ~ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 N n n X X         2 2 2 1,                                          _{ } 1 2 2 2 2 ) 2 / 1 ( 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 2 / 1 ( z n n X X z P

_























_  2 2 2 1 2 1 ) 2 / 1 ( 2 1 % 100 ) 1 (

n

n

z

X

X

IC

_{ }







n₁,n₂ 30



11

Intervalos de Confianza

Caso No. 5: Intervalo de Confianza para la diferencia de proporciones cuando se muestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, para muestras grandes y varianzas conocidas.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

Estadístico:

1) Estimador del parámetro (p₁ - p₂):

2) Construcción del estadístico:

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (p₁ - p₂):

             2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ) ˆ 1 ( ˆ ) ˆ 1 ( ˆ , ~ ˆ ˆ n p p n p p p p N X X p p   _{ } 1 , 0 ~ ) ˆ 1 ( ˆ ) ˆ 1 ( ˆ ˆ ˆ 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 N n p p n p p p p p p      













_











_  2 2 2 1 1 1 ) 2 / 1 ( 2 1 % 100 ) 1 (

)

ˆ

1

(

ˆ

)

ˆ

1

(

ˆ

ˆ

ˆ

n

p

p

n

p

p

z

p

p

IC

_{ }

 

_{1 2}

 

₂ 1 ~ Bernoulli p , X ~ Bernoulli p X

 

X₁ p₁ E

 

X₂ p₂ Var

 

X₁ p₁(1 p₁) Var

 

X₂ p₂(1 p₂) E      

Intervalos de Confianza

Caso No. 6: Intervalo de Confianza para la varianza cuando se muestrea una distribución normal.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parámetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la M.A.

Estadístico:

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro σ2_:

                      _                 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 2 / ( 2 2 ) 2 / 1 ( 2 ) 2 / 1 ( 2 2 ) 2 / ( n S n S P n S P



2



, ~ N   X 2

,





S n X, , 2 ) 1 ( 2 2 ~ ) 1 (n _n S  













_

_



 2 2 % 100 ) 1 (

)

1

(

;

)

1

(



_

_

n

S

n

S

IC

13 EJEMPLO

Variable de interés: estatura de los estudiantes de P&E I.

Según el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(μ, σ2_).

Se quiere construir un intervalo de confianza del 99% para la varianza de dicha variable a partir de una MA de tamaño 15 en la que se obtuvieron las siguientes estaturas en centímetros: 182, 167, 170, 165, 169, 169, 180, 181, 175, 157, 168, 168, 183, 178, 162.

Solución:

De la muestra aleatoria se obienten S2 _{= 61.54 y n = 15.}

Intervalos de Confianza

]

43

.

211

;

51

.

27

[

075

.

4

)

1

15

(

54

.

61

;

32

.

31

)

1

15

(

54

.

61

% 99

















IC

















_

_



) 005 . 0 ( 2 ) 995 . 0 ( 2 % 99

)

1

(

;

)

1

(





n

S

n

S

IC

Intervalos de Confianza

Caso No. 7: Intervalo de Confianza con respecto al cociente de varianzas de dos distribuciones normales independientes.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

2) Parámetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la M.A.

Construcción del Estadístico:

Construcción del Intervalo de confianza para el parámetro (σ₁2_/ σ

22 ):                                 1 1 ) 2 / 1 ( 2 2 2 1 2 2 2 1 ) 2 / ( 2 2 2 1 ) 2 / 1 ( 2 2 2 1 2 1 2 2 ) 2 / ( F S S F S S P F S S F P







2



2 2 2 2 1 1 1 ~ N  , , X ~ N  , X 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2 2 2 2 1 1 1 ~ ) 1 ( , ~ ) 1 (n  _{n } S n  _{n } S     2 2 2 1 2 1, , ,  2 2 2 1 1 1,n ,S ,X ,n ,S X ) 1 , 1 ( 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ~ ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (       n n F n n S n n S   ) 1 , 1 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1

~

F

_{n  n }

S

S















_  (1 /2) 2 1 ) 2 / ( 2 1 % 100 ) 1 (  

;

F



S

F

S

IC

15

Tabla de la Distribución Normal Estándar

Probabilidad acumulada hasta el punto z.

𝐹_𝑍 𝑧 = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) 𝑃 𝑍 ≤ −𝑧 = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧)

Tabla de la Distribución 𝑡_(𝑛)

17

Tabla de la Distribución F

m: Grados de libertad del numerador.

05 . 0 ) (V  v  P

19 Ejercicios Propuestos

1. Suponga, que se quiere analizar el comportamiento de la media de la variable

“Consumo mensual de Minutos de Celular” en la población de estudiantes de

P&E 1. Usando las 100 muestras aleatorias que se encuentran en el archivo

Ejercicios IC.xlsx construya los intervalos de confianza del 95% para la

estimación de la media poblacional si se sabe que σ es 703.72 minutos/mes , y encuentre la proporción de veces que dicho intervalo contiene a la media.

2. Repita el procedimiento anterior asumiendo que no se conoce la varianza poblacional.

3. Suponga que se desea comparar los tiempos de desplazamiento Casa-Universidad y Casa-Universidad-Casa de los estudiantes de P&E 1. Usando el archivo

Ejercicios IC.xlsx construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia

de medias, asumiendo normalidad y que la desviaciones son de 20.11 y 21.81 minutos, respectivamente . Analice sus resultados.