1. Introducción
La geometría empezó siendo un conjunto de reglas y conocimientos empíricos, obtenidos por vía experimental, y usados por constructores y medidores de terrenos de los antiguos pueblos orientales.
De este modo, la geometría puede verse como:
Una ciencia del espacio y la forma. Desde sus raíces como herramienta para describir y medir figuras, se han ido constituyendo teorías, ideas y métodos mediante los cuales podemos construir y estudiar modelos idealizados del mundo físico o fenómenos que acontecen en el mundo real.
Un método para representar visualmente conceptos y procesos de otras áreas de las matemáticas.
Un punto de encuentro entre la matemática vista como una teoría abstracta y la matemática vista como un recurso de modelación.
Una vía para desarrollar pensamiento y comprensión y, en un nivel avanzado, como una teoría formal.
Un ejemplo paradigmático para enseñar razonamiento deductivo.
Una herramienta en diversos campos de aplicación, tanto en forma tradicional, como manera innovadora mediante el uso de recursos computacionales.
La geometría abarca muchas dimensiones y para comprenderla es necesario hacer algunas reflexiones de carácter histórico.
Desde tiempos inmemoriales, ha acompañado las producciones humanas, incluso desde la prehistoria, por tanto se dice que la producción de la geometría se ha hecho por etapas:
I. Una primera etapa conocida como intuitiva. Aparece como una técnica de agrimensura, un arte para proceder a operaciones de medición de los terrenos, de lo cual quedó huella en su mismo nombre: geo (tierra) y metría (medida) (geometría “medición de la tierra”). (Guerrero, 2006)
En el siglo VI A. C. durante la época clásica griega, la Geometría, comenzó a desarrollarse como disciplina y se realizaron actividades encaminadas a ello:
Los integrantes de la escuela Jónica fundada por Tales de Mileto, dieron a la geometría un tratamiento racional. Obtuvieron algunas propiedades generales a partir de ciertas reglas prácticas y luego las demostraron usando métodos deductivos.
las figuras geométricas, son objetos ideales es decir, son creaciones de la mente. También se dedicaron a desarrollar y perfeccionar el método deductivo.
II. Una segunda etapa es la axiomática. Aparece Euclides ( año 330 al 275 A.C.) quien es conocido por su obra Los Elementos, donde presentó en forma axiomática la matemática conocida hasta entonces, en particular, la geometría. Esta obra fue el primer sistema axiomático conocido y reconocido como ideal de sistematización desde sus comienzos. Los axiomas de Euclides fueron aceptados por los antiguos como afirmaciones verdaderas respecto al espacio o a los objetos del espacio. Por esta gran obra a Euclides se le conoce como el fundador de la geometría y del método axiomático porque recopiló toda la producción geométrica existente y luego la organizó en forma deductiva mediante un desarrollo lógico que comprende definiciones de conceptos y relaciones, tomando como marco la concepción Aristotélica de la ciencia (la base de todo conocimiento son los sentidos, el conocimiento se obtiene de la experiencia mediante la intuición y culmina en la abstracción por el poder de la razón humana). Parte de un reducido número de postulados y definiciones para construir, mediante deducción las proposiciones que surgen como consecuencia necesaria de dichas afirmaciones.
Esta construcción tiene en cuenta:
El reconocimiento de la existencia de entes abstractos como el punto, la recta, el plano, etc.
La adopción de un conjunto de afirmaciones tan evidentes que se establecen como punto de partida y que no necesitan demostración (postulados).
Hay términos simples y evidentes que no requieren definición (términos primitivos), y otros que se deducen de aquellos (términos definidos).
La decisión de probar en forma deductiva cualquier otro hecho acerca de esos entes.
La geometría euclidiana está centrada en objetos abstractos, en sus relaciones, sus propiedades y conceptualizaciones.
La obra de Euclides consta de trece libros donde desarrolla los fundamentos de la geometría elemental y algunos conceptos de la aritmética.
Los cuatro primeros libros de los Elementos, se refieren esencialmente a la geometría plana.
El libro II está dedicado a ilustrar el alcance del método de la aplicación de áreas en la determinación de propiedades de las figuras geométricas, establece condiciones para la inscripción del pentágono regular en un círculo, para dividir un segmento en una razón media y extrema y completa la teoría de las relaciones entre los cuadrados de las longitudes de los lados de un triángulo.
El libro III presenta la teoría del círculo, sus segmentos, intersecciones y tangencias.
El libro IV estudia las inscripciones y circunscripciones de figuras regulares rectilíneas en círculos, problemas descubiertos por los pitagóricos. Aparecen en este libro las magnitudes como términos de la relación de proporcionalidad e introduce las magnitudes homogéneas y arquimedianas en la medición.
El libro V está dedicado a la teoría generalizada de las proporciones.
El libro VI de las proporciones aplicadas a la geometría plana, desarrolla la teoría de los polígonos semejantes y la extiende al concepto de áreas.
Los libros VII a IX presentan y desarrollan la aritmética de los números enteros en forma bastante completa.
El libro X está dedicado a las magnitudes conmensurables y los números irracionales.
Los libros XI a XIII contienen la geometría del espacio. El XI contiene los elementos geométricos generados por planos: ángulos entre planos, pirámide, cono y el cilindro. El XII está dedicado a la medición de figuras en el espacio. El XIII está dedicado a los cinco sólidos regulares (sólidos platónicos).
A principios del siglo XIX comenzaron a ponerse en evidencia algunas inconsistencias en su desarrollo.
Axiomas
El método axiomático se caracterizó por la necesidad de introducir términos no definidos que pueden ser interpretados a la luz de los axiomas y la seguridad de que la elección de los axiomas tuviera una consistencia interna. En este sentido,
Axiomatizar o formalizar una teoría consiste en establecer un mínimo de proposiciones evidentes fundamentales llamadas axiomas y en derivar de éstos todas las demás proposiciones del sistema, en calidad de teoremas, de corolarios o de problemas. Los axiomas constituyen los cimientos del sistema y los teoremas, consecuencias de los axiomas, forman la estructura de una teoría.
La Axiomática es la rama de la Matemática que se ocupa del estudio de los diversos sistemas de axiomas, así como de su consistencia e independencia.
Todo sistema axiomático debe satisfacer cuatro propiedades fundamentales:
Ser independiente. Es decir que ninguno de los axiomas o parte de ellos debe poder demostrarse como consecuencia de los demás.
Ser consistente. Esto es, de los axiomas no se pueden obtener teoremas contradictorios.
Ser mínimo. Es decir, el número de axiomas ha de ser el mínimo necesario y suficiente para deducir de él, el mayor número de proposiciones.
Ser completo. Es decir, no es posible añadir al sistema otros elementos de tal manera que el sistema así generalizado forme un nuevo sistema que satisfaga todos los axiomas del anterior.
La geometría Euclidiana, con los axiomas de Hilbert se constituye en un sistema axiomático deductivo, cuyos objetos son ideales, es decir, pertenecen a una espacio conceptualizado. Como en todo sistema deductivo, cumple con las condiciones establecidas. Se trata de un modelo clásico construido sobre las ideas de Euclides.
El libro de Hilbert, Fundamentos de la Geometría (1899) a diferencia de la obra de Euclides comienza con términos no definidos, punto, recta y plano. Admite que tales elementos están en relaciones mutuas indefinidas: estar en, estar entre, ser congruente, ser paralelo y ser continuo. (Guerrero, 2006)
Hilbert formula, para su geometría el siguiente conjunto de 20 axiomas:
De incidencia o pertenencia (8). De orden (4).
1. Los axiomas de incidencia dan información de cómo se generan las rectas, los planos y el espacio, las condiciones de existencia y las relaciones entre estos elementos geométricos.
2. Los axiomas de orden determinan las posiciones de puntos en una recta, la prolongación de la recta indefinidamente y la existencia de puntos interiores y exteriores a un segmento.
3. Los axiomas de congruencia establecen las condiciones de igualdad entre figuras geométricas, segmentos, ángulos, triángulos, circunferencias y polígonos.
4. Los axiomas de continuidad tienen el propósito de establecer la medida de figuras geométricas, como son longitud de segmentos, amplitud de ángulos, áreas de polígonos, etc.
5. El axioma de paralelismo, equivalente al Quinto Postulado de Euclides, da origen a diversas teorías como la semejanza de figuras, áreas de polígonos, y comparación de figuras geométricas.
La división que estable Hilbert entre los diferentes grupos de axiomas asegura la independencia de cada grupo con respecto a los restantes y de cada uno de los axiomas entre sí.
1.2. Los operadores lógicos y las reglas de inferencia
En el desarrollo de cualquier teoría, se hacen afirmaciones en forma de oraciones. Tales afirmaciones, llamadas enunciados (o proposiciones), son oraciones declarativas que son verdaderas o falsas (pero no ambas). La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
Una proposición es una frase declarativa que es verdadera o falsa “llovió ayer”, “habrá pollo para la cena” son ejemplos de proposiciones. Por otro lado ¿Qué hora es? y ¡Por favor mande su informe a la mayor brevedad posible! no son proposiciones, pues no son frases declarativas y en consecuencia no tiene sentido, referirse a ellas como verdaderas o como falsas. Una proposición puede ser definitivamente verdadera, como “15 es divisible por 3”, definitivamente falsa, como “3 es un número par” o puede depender de las circunstancias, como “hoy es lunes”.
Una proposición tiene dos posibilidades, ser verdadera (V) o falsa (F) y a estas opciones se les conoce como valores de verdad. Una proposición que es verdadera, en cualquier circunstancia, se conoce como tautología; si es falsa se conoce como contradicción, y si su valor de verdad depende de las circunstancias se llama contingencia.
Se dice que dos proposiciones p y q son equivalentes si cuando p es verdadera también q es verdadera. Cuando p es falsa también q es falsa.
Si p y q son dos proposiciones, se define la conjunción “p y q” denotada por p∧q como la proposición que es verdadera cuando ambas, p y q, sean verdaderas, y es falsa en cualquier otro caso.
Sean p y q dos proposiciones, definimos la implicación “si p entonces q” denotada por p⇒q , que es falsa si p es verdadera y q es falsa y verdadera en cualquier otro caso. También se lee: p implica q, p es una condición suficiente para q, p sólo sí q, q es una condición necesaria para p.
Sean p y q dos proposiciones, definimos la equivalencia “p si y sólo si q” denotada por p⟺q, que es verdadera si ambas, p y q, tienen el mismo valor de verdad y falsa en cualquier otro caso.
Sea p una proposición, definimos la negación de p, denotada por p, como la proposición que es verdadera cuando p es falsa, y es falsa cuando p es verdadera.
Una proposición obtenida de la combinación de otras proposiciones se conoce como proposición compuesta. Una proposición que no es combinación de otras se conoce como proposición simple o atómica.
Los signos ,∧,∨,⇒,⇔ son los operadores (conectivos) lógicos elementales.
Las reglas de inferencia (Polania, Claudia Marcela y otro, 2007): son aquellas que permiten, a partir de valores de verdad de las proposiciones inferir sobre el valor de verdad de otras. Dos reglas de inferencia que sustentan los métodos deductivos de demostración son el Modus Ponens y Modus Tollens, ambos basados en una proposición compuesta, a través del condicional; se tiene que:
Modus Ponens: Dadas las proposiciones p y q ,sise tiene que p⇒qes verdadera y además que pes verdadera se infiere que qes verdadera.
Modus Tollens: Dadas las proposiciones p y q ,sise tiene que p⇒q es verdadera y además que qes falsa ( q es verdadera) se infiere que pes falsa ( p es verdadera).
Ejemplo: Sea p:ABC es un triángulo; q:ABC tiene tres lados. Luego p⇒q: Si ABC es un triángulo, entonces tiene tres lados.
Como todo triangulo tiene tres lados, p⇒q es verdadera, luego si p es verdadera (ABC es un triángulo) se tiene que q es verdadera (ABC tiene tres lados)
Para leer un condicional se puede usar la siguiente forma de parafrasear:
Si p, q
P implica q
P solo si q
P es suficiente para q
Q si p
Q para que p
1.3 Los cuantificadores
Una proposición abierta (enunciado abierto) (Acosta E, s.f) referida a la variable x es un enunciado que da origen a una proposición cada vez que la variable x se sustituye por un valor apropiado. Una frase declarativa es una proposición abierta si:
1. Contiene una o más variables, y 2. No es una proposición, pero
3. Se convierte en una proposición cuando las variables que aparecen en ella se reemplazan por ciertas opciones permisibles.
Ejemplos:
1. Para todo número real x , x2
+1>0. Este enunciado es verdadero. En efecto x2≥0 para todo número real x y 1>0. Así que x2
+1>0 para todo número realx.
2. Existe un número real x tal que x2+1=0. Este enunciado es falso, pues no existe un número real x que cumpla con la condición.
Ejemplo:
Determinar la veracidad de las siguientes proposiciones:
Para todo número real x,x2
=0.
Existe un número real x tal que x2=4.
La primera proposición es falsa, pues si x=3entonces 32
=9 y 9 no es igual a 4.
La segunda proposición es verdadera pues si x=2 entonces,22=4, también six=−2
En matemáticas y en las otras ciencias, en filosofía y en la vida diaria se utilizan las palabras “todo” y “existe”. Los signos ∀ (para todo) y ∃ (existe) se utilizan en lógica conjuntamente con los conectivos lógicos y se llaman signos de cuantificación o simplemente cuantificadores porque “cuantifican” el rango de validez de las proposiciones. Al signo ∀ se llama “cuantificador universal” y al signo “∃” cuantificador existencial.
1.4 Métodos de demostración
En matemáticas la verdad está constituida como la validez de una implicación de la forma h⇒t, donde h es el conjunto de hipótesis y t la conclusión a la cual se desea llegar. Esta implicación, está regida por un principio filosófico que establece que:
“De la verdad no se puede seguir la falsedad".
Este principio constituye la fundamentación del método de demostración directo el cual consiste en partir de unas proposiciones que se admiten como ciertas, denominadas premisas, llegar mediante una cadena de implicaciones lógicas, a una proposición final llamada conclusión o tesis.
Se puede establecer una equivalencia entre las proposiciones h⇒t y t⟹ h llamada esta última, el contrarrecíproco de la proposición inicial.
Este hecho permite establecer un método indirecto de demostración, denominado método de demostración por el contrarrecíproco. El método consiste en demostrar t⟹ h , en lugar deh⇒t. La demostración de t⟹ h generalmente se hace usando el método directo, o sea, asumiendo la negación de la tesis ( t¿ para concluir la negación de la
hipótesis h
Se dice que dos proposiciones son contradictorias cuando una es la negación de la otra. Una contradicción, entonces, es la conjunción de una proposición y su negación q∧ qpor tanto, una contradicción siempre será una proposición falsa.
Cuando en una demostración se establece una implicación de la forma p⇒q∧ q, por el contrarrecíproco podemos establecer como válida la proposición q∨ q⇒p. Esta implicación tiene como antecedente una proposición verdadera denominada tercero excluido y, por tanto, de dicha implicación se puede concluir que p es verdadera1. Esta
situación permite estructurar otro método de demostración indirecto llamado reducción al absurdo ó demostración por contradicción. Para la aplicación del método se utilizan los siguientes pasos:
1. Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa (axioma).
2. De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas, deducir una contradicción.
3. Establecer la conclusión deseada como una inferencia lógica deducida de las premisas originales.
Este método es uno de los clásicos en las demostraciones matemáticas y en particular, en la Geometría frecuentemente se usa esta forma de razonamiento en la demostración de los teoremas.
1.5 Axiomas de incidencia
Como propone Hilbert vamos a considerar tres grupos de objetos o entes:
Grupo 1.Puntos. Se designan con letras mayúsculas: A, B, C,… Son los elementos de la geometría lineal.
Grupo 2. Rectas. Se designan con letras minúsculas: a, b, c,…Los puntos y las rectas son los elementos de la geometría plana.
Grupo 3.Planos. Se designan con letras griegas:α , β , φ,…Los puntos, rectas y planos son los elementos de la geometría en el espacio.
Entre los puntos, rectas y planos existen ciertas relaciones como son: Estar en, estar entre, ser congruente y ser paralelo.
Los axiomas de incidencia determinan la existencia de los puntos, las rectas, los planos y el espacio, establecen las condiciones de unicidad y las relaciones entre esos elementos geométricos dando significado a la relación estar en.
Axioma I.1:Dados los puntos A y B existe siempre una recta l que pasa por dichos puntos (o que los contiene).
Axioma I.2:Por dos puntos distintos A y B pasa una única recta.
Axioma I.3: En una recta existen al menos dos puntos. Existen al menos tres puntos no situados en una recta.
Axioma I.4: Dados tres puntos A, B y C cualesquiera no situados en una misma recta, existe siempre un plano que los contiene.
Axioma I.5: Dados tres puntos A, B y C cualesquiera no situados en una misma recta, existe un único plano que los contiene.
Axioma I.6:Si dos puntosA y Bde una recta l están situados en un planoα, cada punto de la rectal pertenece al planoα.
Axioma I.7: Si dos planos α y β tienen un punto común A, entonces al menos tiene otro punto común B
1.6 Implicaciones de los axiomas de incidencia
Teorema 1.1: Dos rectas diferentes en un plano tienen a lo sumo un punto en común.
m m
Figura 1.1
Hipótesis: Sean l y m dos rectas diferentes.
Tesis: Las rectas l y m no tienen puntos comunes o máximo tienen un punto en común.
Demostración (Por contradicción):
Supongamos que las rectas y m tienen más de un punto en común.
1. Si l y m tienen dos puntos A y B en común, entonces por el axioma I.2 por los puntos A y Bpasa una única recta, luego las rectasl y m deben coincidir.
2. La hipótesis nos asegura que las rectas l y m son diferentes por tanto no deben coincidir, luego el supuesto, de que tienen dos puntos en común, es falso.
3. En consecuencia, si las rectas son diferentes tienen a lo más un punto en común.
Corolario 1.1: Dos rectas en el plano se relacionan de una y sólo una de las siguientes formas: o se cortan o no se cortan.
Teorema 1.2: Dos planos diferentes no tienen puntos comunes o tienen una recta común.
Hipótesis: Sean α y β dos planos diferentes.
Figura 1.2
Demostración (directo):
Si α y β son dos planos diferentes, entonces o tienen puntos en común o no tienen.
1. Supongamos que los planos tiene al menos un punto A en común. 2. Los planos tienen al menos otro punto B en común. Por el axioma I.7.
3. Por los puntos A y B existe una única recta l que se corresponde mutuamente con A y B. Por el axioma I.2.
4. Todo punto de la recta l está tanto en elplano α como en el plano β. Luego los planos tienen una recta en común. Por numeral 2 y el axioma I.6.
5. Si los dos planos α y β no tiene una recta en común, entonces no pueden tener dos puntos en común. Por el axioma I.2.
6. Entonces, a lo más los planos α y β tendrían un punto en común, pero si tienen un punto en común hemos probado que tienen una recta en común.
7. Luego, si los planos α y β no tienen una recta en común entonces no tiene puntos comunes.
Corolario 1.2: Dos planos diferentes se relacionan de una y sólo una de las siguientes formas, o ellos se cortan o no se cortan.
Figura 1.3
Hipótesis: Sean α un plano y l una recta que no está en el planoα.
Tesis: El plano α y la recta l no tienen puntos comunes o máximo tiene un punto en común.
Demostración:
Supongamos que la recta l no está en el plano α y que la rectal y el plano α tienen más de un punto en común.
1. Sean A y B dos puntos comunes de α yl,entonces por los axiomas I.1 y I.2 por A y B pasa una única rectam.
2. Puesto que A y B están tanto en el plano α como en la recta l,todo punto de la recta m está en el plano α,por el axioma I.6.
3. La recta m coincide con la rectal,por el axiomaI.2.
4. Entonces todo punto de la recta l está en el plano α,lo cual contradice la hipótesis.
5. La contradicción anterior significa que el supuesto con el cual se partió no es verdad. En consecuencia, la recta l y el plano α tienen a lo sumo un punto en común.
Corolario 1.3: Un plano y una recta que no está en él se relacionan de una y sólo una de las siguientes formas, o la recta corta al plano en un único punto o la recta no corta al plano.
Figura 1.4
Hipótesis: Sea l una recta y B un punto que no está en la rectal.
Tesis: Existe un único plano que contiene a la recta l y al punto B.
Demostración:
Sealuna rectayBun punto no situado en ella.
1. En la recta lexisten al menos dos puntos A y C. Por axioma I.3.
2. Si el punto B no está en la recta l entonces los puntos A, C, y B son puntos no situados en la misma recta. Por el axioma I.3.
3. Si los puntos A, C, y B no están situados en una misma recta entonces existe un único plano α que los contiene. Por axioma I.5.
4. Si los puntos A y Cde la rectalestán en el planoα,entonces cada uno de los puntos de la recta ltambién está en dicho plano. Por axioma I.6.
5. Luego la recta l y el punto Bestán en el mismo plano α.
Por el axioma I.5, el plano α es único.
Teorema 1.5: Dos rectas con un punto común determinan un plano y sólo uno.
m
Figura 1.5
Hipótesis: Sean l y m dos rectas diferentes y A un punto en común a las dos rectas.
Tesis: Existe un único plano α que contiene a l y m.
Demostración:
1. En cada una de las rectas l y m existe al menos otro punto distinto de A. Por el axioma
I.3.
2. Sea B el punto de la recta m y D el punto de la recta l.
3. Los puntos B y D no coinciden, de ser así las rectas l ym también coincidirían. Por axioma I.2.
4. Los puntos A, B y D no están situados en una misma recta. Por numerales 1 y 2.
5. Si los puntos A, B y D no están situados en una misma recta, entonces existe un único plano α que los contiene. Por axioma I.5.
6. Por los puntos A y B pasa una única recta, la recta m y por los puntos A y Dpasa una única recta, la recta l. Por axioma I.2.
7. Luego, cada uno de los puntos de las rectas l y m están situados en el plano . Por axioma I.6.
8. En conclusión el plano α en el que están situados los puntos A, B y D es el mismo plano α en el que están situadas las rectas l y m; y por lo tanto es único. Por los numerales 4 y 5.
Definiciones:
1. Los puntos situados en la misma recta se llaman colineales o puntos alineados y los puntos no situados en la misma recta se llaman no colineales o no alineados.
Bibliografía
Acosta E, Jaime. s.f. Elementos de Geometria. Medellin : s.n., s.f.
GRIMALDI, R. 1997. Matematicas discreta y Combinatoria. Una introduccion con aplicaciones. Wilmington, Delaware, EUA : Addison Wesley Iberoamericana, 1997. 0201653761.
Guerrero, Ana Berenice. 2006. Geometria. Desarrollo Axiomatico. Primera. Bogota : Ecoe Ediciones, 2006. pág. 478.
