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Análisis del flujo electromagnético en un reactor de potencia

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Academic year: 2020

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(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE I N G E N I E R Í A PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. "ANALISIS D E L FLUJO. ELÍXTKOMAGNTLTICO. E N U N R E A C T O R D E POTENCIA"'. TESIS P R E S E N T A D A C O M O REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE: M A E S T R A E N CIENCIAS CON E S P E C I A L I D A D E N I N G E N I E R I A. ENERGETICA. POR: INC. G A B R I E L A D E L A O GÓMEZ.. MONTERREY, NUEVO LEON. MAYO. 201 1.

(3) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. "ANÁLISIS DEL FLUJO ELECTROMAGNÉTICO EN UN REACTOR DE POTENCIA". TESIS Presentada como requisito parcial para obtener el grado académico de: MAESTRA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA. POR: Ing. Gabriela de la O Gómez Monterrey, Nuevo León. Mayo 2011.

(4) ANÁLISIS DEL FLUJO ELECTROMAGNÉTICO EN UN REACTOR DE POTENCIA. Gabriela de la O Gómez. TESIS Presentada como requisito parcial para obtener el grado académico de: MAESTRA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA. INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY. Monterrey, Nuevo León. Mayo 2011.

(5) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN D E INGENIERÍA P R O G R A M A D E G R A D U A D O S E N INGENIERÍA L o s miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis presentada por la Ing. Gabriela de la O G ó m e z sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado académico de:. MAESTRA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA. Comité de Tesis:. Monterrey, Nuevo León. Mayo 2011.

(6) DEDICATORIA. A mis padres y mi hermano. i.

(7) AGRADECIMIENTOS. A mis padres, por ser el motor de mis logros, ya que sin ellos no habría llegado a donde estoy. Por su apoyo incondicional.. A l Dr. Micheloud, por su guía, soporte y confianza a lo largo del desarrollo de este proyecto.. Al. D r . Viramontes, por. compartir. su conocimiento y experiencia en. esta. investigación.. A mis amigas, amigos y compañeros que me brindaron su apoyo incondicional, por su voto de confianza y sus palabras de aliento.. ii.

(8) ANÁLISIS DEL FLUJO ELECTROMAGNÉTICO EN UN REACTOR DE POTENCIA. Gabriela de la O G ó m e z Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 2011. Asesor: Dr. Osvaldo Micheloud Vernackt. RESUMEN. L a importancia de los reactores de potencia y la creciente preocupación por mejorar su eficiencia, así como cumplir con estándares y normativas internacionales, ha incentivado el estudio de los principios de diseño usando modernas herramientas de simulación, en la b ú s q u e d a de una reducción de las pérdidas de potencia y ruidos magnetostrictivos. E l presente estudio detecta y analiza las principales causas de concentraciones del flujo electromagnético que causan vibraciones y pérdidas energéticas en los núcleos magnéticos. Se focaliza el estudio en un núcleo magnético de un reactor hipotético y se analiza una serie de modificaciones al diseño estructural, para finalmente, proponer un diseño que logra una reducción importante de las pérdidas del equipo. L o s resultados se basan en simulaciones de elemento finito realizadas con el software F L U X .. iii.

(9) Contenido Dedicatoria. i. Agradecimientos. ü. Resumen. iü. Contenido. iv. Lista de Figuras. vi. Lista de Tablas. viii. 1. Introducción 1.1. ¿Qué es un Reactor? L a Necesidad de un Reactor en Derivación. 1. 1.1.2. Construcción de Reactores. 2. Descripción del Problema. 1.2.1 1.3. 4. Objetivos. 4. Organización de la Tesis. 5. Vibraciones en Aparatos Eléctricos 2.1. 7. Vibraciones en el N ú c l e o. 10. 2.1.1. Fuerzas Electromagnéticas. 10. 2.1.2. Fuerzas Magnetostrictivas. 11. 2.2. Vibraciones en las Bobinas. 2.2.1 3. 1. 1.1.1. 1.2. 2. 1. 13. Fuerzas Electromagnéticas. 17. Principios Magnéticos 3.1. 23. Campo Magnético. 24. 3.1.1. L e y de Biot-Savart. 24. 3.1.2. L e y Circuital de Ampére. 26. 3.1.3. Flujo Magnético y Densidad de Flujo Magnético. 27. 3.2 3.2.1 3.3. Fuerza de Lorentz. 28. Fuerza sobre una Carga en Movimiento Inductancia y Energía. 28 31. iv.

(10) 3.4. E l Circuito Magnético. 34. 3.5. Comportamiento Magnético de los Materiales Ferromagnéticos. 37. 3.5.1 4. 5. Pérdidas de Energía en un Núcleo Ferromagnético. Análisis N u m é r i c o. 47. 4.1. Software F L U X. 48. 4.2. Descripción de las Simulaciones. 48. 4.2.1. Geometría. 49. 4.2.2. M a l l a de Elemento Finito. 51. 4.2.3. Características Físicas. 52. 4.2.4. Solver. 53. 4.2.5. Post Proceso. 54. Resultados 5.1. 57. Simulaciones 2 D : Estudio Cualitativo. 59. 5.1.1. Ángulo A l p h a. 61. 5.1.2. Espacio Extra. 63. 5.1.3. Distribuidor. 64. 5.1.4. Dona de Mayor Diámetro. 65. 5.2. Simulaciones 3D: Estudio Cuantitativo. 67. 5.2.1. Ángulo A l p h a. 68. 5.2.2. Espacio Extra. 69. 5.2.3. Gap. 70. 5.3 6. 40. Diseño Seleccionado. 72. Conclusiones y Recomendaciones. 74. 6.1. Conclusiones. 74. 6.2. Trabajos Futuros. 76. 6.2.1. Aplicaciones y Herramientas del Software. Referencias. 76 78. v.

(11) Lista de Figuras Fig. 1.1 Construcción en laminaciones de los elementos de un reactor. 3. F i g . 1.2 Columna central de un reactor. 3. F i g . 2.1 Comparación de Diseño de niveles de sonido, Diseño original vs. Diseño de ruido reducido vs. Diseño blindado de ruido reducido. 9. F i g . 2.2 Diseño del traslape de las juntas del transformador, a) Ensamble convencional de traslape simple ( S S L ; N = l ) . b) Ensamble de traslape múltiple ( M S L ; N=4). 10. F i g . 2.3 Curvas de Magnetostricción. 12. F i g . 2.4 Orientación espacial de la fuerza electromagnética. 14. Fig. 2.5 Líneas de flujo magnético de fuga, patrón aproximado. 15. F i g . 2.6 Tipos de núcleos de transformadores. 15. F i g . 2.7 Sección transversal del núcleo con diagrama de fuerza. magnetomotriz. (bobinas concéntricas). 16. F i g . 2.8 Estructura básica de un transformador. monofásico. shell-type. (bobinas. apiladas). 16. F i g . 2.9 Fuerzas fundamentales en el transformador. 18. F i g . 2.10 Diagrama de fuerzas magnetomotrices en un transformador de dos bobinas concéntricas. 19. Fig. 2.11 Diagrama de fuerzas magnetomotrices y fuerzas radiales locales. 20. F i g . 2.12 Líneas de flujo de fuga en un transformador. 21. Fig. 2.13: a) Patrón cualitativo de las líneas de campo magnético; b) fuerza axial por unidad de longitud de las bobinas; c) compresión axial en las bobinas. 22. Fig. 3.1 L e y de Biot-Savart. 24. F i g . 3.2 (a) Filamento recto de longitud infinita con corriente directa I. (b) Líneas de intensidad del campo magnético del filamento de (a). 26. Fig. 3.3 Trayectorias cerradas en un conductor. 26. F i g . 3.4 Línea de transmisión coaxial. 27. F i g . 3.5 Intensidad de campo magnético de la línea coaxial. 27. Fig. 3.6 Elementos diferenciales de corriente. 30. F i g . 3.7 Fuerza de repulsión entre dos filamentos infinitos y paralelos. 31. F i g . 3.8 (a) Solenoide inductor de alambre, (b) Solenoide de alambre laminado. (c) Solenoide de hoja de lámina. 32. F i g . 3.9 (a) Inductancia de un inductor de lazo sencillo, (b) Inductancia en un solenoide de JV vueltas. 33. F i g . 3.10 Núcleo Magnético. 34. Fig. 3.11 (a) Circuito eléctrico sencillo, (b) Circuito magnético análogo para el núcleo del transformador. 35. Fig. 3.12 Efecto Marginal (fringing effect). 37. vi.

(12) F i g . 3.13 Dominios magnéticos: a) orientados al azar y b) alineados en presencia de un campo magnético. 38. Fig. 3.14 Curva de magnetización 0 vs. 2?. 39. Fig. 3.15 (a) Curva de Magnetización B vs. H .. (b) Relación de Permeabilidad. Relativa vs. H. 40. Fig. 3.16 Corriente alterna. 41. Fig. 3.17 Lazo de histéresis. 41. Fig.. 3.18. Pérdida de potencia por histéresis. (a) Energía absorbida durante la. magnetización, (b) Energía de retorno durante la desmagnetización. 43. Fig. 4.1 Modelo 2 D : Vi del Reactor. 50. F i g . 4.2 Modelo 3 D : '/« del Reactor. 51. F i g . 4.3 Elementos de Análisis. 52. Fig. 4.4 F L U X : Curva de Saturación. 53. F i g . 4.5 Modos de Cálculo de Pérdidas Magnéticas. 54. F i g . 5.1 Núcleo Magnético Isotrópico. 57. F i g . 5.2 Núcleo Magnético Anisotrópico. 57. F i g . 5.3 Densidad de Flujo: dona superior. 58. F i g . 5.4 Densidad de Flujo: pierna derecha. 58. F i g . 5.5 Densidad de Flujo: dona superior. 58. F i g . 5.6 Densidad de Flujo: pierna derecha. 58. F i g . 5.7 Vectores de Densidad de Flujo. 60. Fig. 5.8 Líneas de Densidad de Flujo E Q U I F L U X para diferentes ángulos A l p h a. 61. F i g . 5.9 Gráfica de Densidad de Flujo vs. Posición en la juntura. 62. F i g . 5.10 Trayectoria en la Juntura. 62. Fig. 5.11 E Q U I F L U X con entrehierro Extra. 63. F i g . 5.12 Distribución de flujo en el caso Extra. 63. Fig. 5.13 E Q U I F L U X para el caso Distribuidor. 64. Fig. 5.14 Líneas de Flujo en dona superior y yugo. 64. F i g . 5.15 Densidad de Flujo con Distribuidor. 65. Fig. 5.16 E Q U I F L U X para dona mayor. 66. F i g . 5.17 Densidad de Flujo a lo largo del núcleo. 66. Fig. 5.18 Trayectoria a lo largo del núcleo. 66. Fig. 5.19 Inducción y Pérdidas vs. A l p h a. 68. F i g . 5.20 Inducción y Pérdidas vs. Espacio Extra. 70. Fig. 5.21 Inducción y Pérdidas vs. Gap. 71. Fig. 5.22 Perfil en 2 D del diseño seleccionado. 72. F i g . 5.23 Densidad de flujo en el reactor modificado. 72. vii.

(13) Lista de Tablas Tabla 2.1 Técnicas de manufactura para abatir el sonido en transformadores. 8. Tabla 5.1 Resultados del escenario de solución: Alpha. 68. Tabla 5.2 Resultados del escenario de solución: Extra. 69. Tabla 5.3 Resultados del escenario de solución: Gap. 71. Tabla 5.4 Porcentajes de R e d u c c i ó n. 73. viii.

(14) 1. Introducción. 1.1 ¿Qué es un Reactor? L o s reactores, como los capacitores, son parte esencial de los sistemas de potencia de transmisión y distribución. De a cuerdo a la función que desempeñen, estos pueden conectarse a la red en serie o en paralelo (en derivación), de manera individual o en conjunto con otros componentes, como capacitores de potencia. L o s reactores se utilizan para proveer reactancia inductiva en los circuitos de potencia para una amplia gama de propósitos.. 1.1.1. La Necesidad de un Reactor en Derivación. E n los sistemas eléctricos, puede darse el caso de que bajo condiciones de poca o nula carga en el extremo receptor de la línea de transmisión, el voltaje en ese extremo pueda crecer de manera inapropiada. A este fenómeno se le conoce como Efecto Ferranti y es una elevación de voltaje debido a la presencia de capacitancia en la línea. Las líneas de transmisión, con una longitud mayor a 100 kilómetros, son susceptibles a padecer de este efecto de elevación de voltaje. Las redes de distribución, bajo ciertas condiciones, también pueden presentar sobrevoltajes, por baja carga o factor de potencia adelantado. [1]. 1.

(15) U n reactor en derivación es un equipo eléctrico que sirve a modo de vertedero de potencia reactiva [1]. L a potencia reactiva [ V A r ] , que es generada en exceso por la capacitancia de la línea de transmisión, es absorbida por los reactores en derivación. U n reactor en derivación tiene un requerimiento mínimo de potencia activa [W] para funcionar. Este requerimiento se deriva de las pérdidas que se presentan de manera natural en cualquier máquina eléctrica, pérdidas en el cobre de los devanados, pérdidas por efecto Joule en el núcleo y pérdidas por histéresis en el núcleo. L o s parámetros eléctricos de un reactor y m á s detalles sobre su funcionamiento se pueden consultar en la referencia [1]. A continuación se tomarán de esta misma referencia los principios del diseño para su construcción, donde estos vienen ilustrados ampliamente, mediante fotografías de la construcción de un reactor en la práctica.. 1.1.2 Construcción de Reactores E l reactor con núcleo de hierro sumergido en aceite se utiliza principalmente en sistemas de transmisión en las líneas de E H V (Extra Alto Voltaje, por sus siglas en inglés). Su construcción se centra en los siguientes principios de diseño: •. L o s devanados son conductores típicamente de solera de cobre o aluminio. Su construcción es parecida a la de un transformador de potencia, con la excepción de que el reactor sólo tiene un devanado por fase.. •. E l núcleo de hierro está compuesto por un gran número de delgadas laminaciones, Fig. 1.1, de algún material ferroso, típicamente acero al silicio y aisladas entre sí. Esto para evitar corrientes parásitas que incrementarían las pérdidas.. •. U n tanque que contiene toda la parte "viva" del reactor además del aceite dieléctrico.. •. E l aceite sirve como un medio aislante entre todas las partes del reactor, además de que funciona como un mejor conductor de calor que el aire para mantener una temperatura adecuada y evitar puntos calientes en las bobinas.. 2.

(16) •. E l entrehierro, sirve para dar linealidad al circuito magnético así como evitar la saturación del núcleo. E l entrehierro típicamente se encuentra distribuido para disminuir la dispersión del flujo presente en entrehierros de gran tamaño.. Núcleo con laminación paralela. Núcleo con laminación radial. Fig. 1.1 Construcción en laminaciones de los elementos de un reactor. E n un reactor cada fase tiene un devanado único montado sobre un circuito magnético que está provisto de entrehierros. L a columna central está formada por una serie de discos separados por varios entrehierros. L a construcción básica de la columna central se muestra en la F i g . 1.2. E n los espacios que existen entre cada una de las donas se colocan separadores, típicamente cerámicos de alta densidad y gran resistencia a los esfuerzos de compresión, para asegurar que las distancias calculadas sean efectivas durante la vida del aparato. Estos separadores se encuentran adheridos a las donas mediante resinas plásticas epóxicas de alta dureza.. Fig. 1.2 Columna central de un reactor. 3.

(17) E s importante también contar con un elemento que proporcione apriete a todo el ensamble, de modo que mediante una gran fuerza de compresión, las piezas se sostengan en su lugar sin importar las condiciones de vibración o las fuerzas de atracción que existan entre ellas. Existen diferentes técnicas para logar esto, tales como pernos centrales o cinchos de acero ajustados con gran tensión.. 1.2 Descripción del Problema U n a vez descritos los principios de diseño del reactor de potencia, se presenta la inquietud de estudiar estos parámetros en busca de una reducción de las pérdidas de potencia y ruidos magnetostrictivo del equipo. Para ello se estudia la relación entre la distribución del flujo magnético y las fuerzas electromagnéticas que se generan. Conociendo el comportamiento del flujo magnético ante cambios de geometría, se puede relacionar la inducción magnética con las pérdidas de potencia en el núcleo. Comprendiendo la naturaleza de las fuerzas electromagnéticas, se pueden identificar las causas de las vibraciones en los equipos.. 1.2.1 Objetivos E l presente estudio tiene como finalidad detectar y analizar las principales causas de concentraciones de flujos que pueden causar vibraciones y pérdidas energéticas en los aparatos eléctricos, tales como transformadores y reactores de potencia. A d e m á s , se busca mejorar la eficiencia del equipo mediante la reducción de pérdidas magnéticas, esto a través de la modificación del diseño estructural. L o s objetivos de la tesis son: •. Analizar la distribución del flujo magnético en el núcleo, relacionándolo con variables geométricas. Se busca modificar el diseño estructural del reactor, a través de un estudio analítico del efecto de variar los parámetros geométricos, mediante simulaciones en un software de elemento finito.. 4.

(18) •. Mejorar la eficiencia del equipo, mediante: o. L a reducción de pérdidas de potencia eléctrica, al disminuir el número de zonas con alto valor de inducción magnética,. o. L a reducción de vibraciones de origen magnetostrictivo, por reducción de valores m á x i m o s de inducción, al redistribuir la densidad de flujo magnético en el núcleo.. 1.3 Organización de la Tesis Siguiendo la línea de los objetivos planteados, los capítulos de la tesis incluyen secciones teóricas y de simulaciones. L a tesis se compone de 6 capítulos, incluido el presente de Introducción. E n los capítulos 2 y 3 se presenta la teoría que fundamenta el estudio; en el capítulo 4 se describe la metodología de análisis utilizada; en el capítulo 5 se reportan los resultados obtenidos con ayuda del software F L U X y en el capítulo 6 se concluye y se proponen temas para continuar la presente investigación. A continuación se describe brevemente el contenido de los capítulos. E l Capítulo 2, Vibraciones en Aparatos Eléctricos, es un estudio de la naturaleza de las fuerzas electromagnéticas y su impacto en las diferentes. secciones de los equipos. eléctricos, en el núcleo y las bobinas principalmente. Así también se analiza la relación de estas fuerzas con las vibraciones que generan pérdidas por calentamiento y ruido audible. Se demuestra la importancia de cuidar estos parámetros para ofrecer una mejor eficiencia del equipo. El. Capítulo. 3,. Principios. Magnéticos,. presenta. los. fundamentos. teóricos. del. electromagnetismo que rigen el comportamiento de los circuitos magnéticos. Se estudian los materiales ferromagnéticos, para comprender su proceso de magnetización y la relación de éste con las pérdidas de energía. También se presenta el origen de las pérdidas por corrientes de eddy en el núcleo ferro magnético.. 5.

(19) El. Capítulo. 4,. Análisis. Numérico,. introduce. la. importancia. de. la. herramienta. computacional en el análisis de problemas complejos en la ingeniería, mediante el método de elemento finito. Se presenta el software utilizado en el desarrollo de la tesis, el F L U X , así como los modelos analizados y sus respectivas condiciones de caracterización. Se presenta la formulación teórica y las ecuaciones en las que se basa el software para el cálculo de las pérdidas en el hierro. E n el Capítulo 5, Resultados, se muestran las simulaciones obtenidas en 2 D y 3 D , a través de diversos escenarios de análisis, en los que se especifica el parámetro modificado. E l estudio en 2 D es de tipo cualitativo y facilita la visualización del flujo magnético a través del núcleo. E n el análisis en 3 D se logran calcular las pérdidas y utilizar este parámetro para seleccionar un nuevo diseño del núcleo del reactor. Finalmente, el Capítulo 6, Conclusiones y Recomendaciones, cierra el estudio presentando las principales conclusiones a las que se llegaron al finalizar el análisis de las simulaciones y el procesamiento de los datos calculados. Se dan algunas recomendaciones para futuros trabajos con la intención de extender el alcance del presente proyecto.. 6.

(20) 2. Vibraciones en Aparatos Eléctricos. E n los transformadores las principales fuentes de vibraciones, y por consiguiente de ruido, son el núcleo, las bobinas y el equipo de enfriamiento. L a fuente predominante es el núcleo cuyas vibraciones se deben a fuerzas magnéticas y magnetostrictivas. Las vibraciones en las bobinas también tienen una influencia significativa, estas vibraciones se deben a las fuerzas electromagnéticas [2]. Las vibraciones del núcleo y las bobinas emiten sonido en un rango medio de frecuencias (entre 100 H z y 600 H z ) mientras que las vibraciones generadas por el equipo de enfriamiento (ventiladores y bombas) dominan las muy bajas y muy altas frecuencias del espectro de sonido [3]. E l estándar [3] de la I E E E presenta una clasificación de las técnicas de manufactura para el control del sonido, sus principios de operación, ventajas, desventajas. y el rango de. reducción que puede alcanzarse al aplicarlas. L a Tabla 2.1 muestra un extracto de esta clasificación, donde se hace énfasis a la importancia de atacar las fuerzas magnetostrictivas, ya que su impacto en la reducción del sonido puede llegar a ser de hasta 15 d B ( A ) . E l nivel de ruido se mide comúnmente en decibeles (dB) comparando la presión generada por una fuente de ruido con respecto a un estándar. E l nivel de ruido de los equipos se mide en la escala ' A ' la cual se apega a la sensibilidad del oído humano. E l rango de frecuencia audible abarca de los 16 H z a los 16 k H z . E l oído humano es muy sensible a sonidos de frecuencias medias y altas, pero menos sensible a sonidos de baja frecuencia.. 7.

(21) Tabla 2.1 Técnicas de manufactura para abatir el sonido en transformadores [3]. Principio de Operación. Ventajas. Desventajas. Rango alcanzable de reducción de sonido en dB(A). Magnetostricción reducida. - Amplio rango de reducción de sonido, el costo se compensa con las pérdidas sin carga.. - Incremento de tamaño y peso - E l costo puede incrementarse por las pérdidas con carga. 1-15. Transmisor ineficiente de sonido. - Efectiva. - Compatibilidad de materiales. 8-15. Resonancia del núcleo y/o el tanque. Características de diseño pueden resultar en resonancia. - Reducción de sonido si se hace una corrección de resonancia efectiva. - Dificultad para reducir niveles generales de sonido - Leve incremento del costo. 2-10. Tanques de doble pared con paneles Tanques de doble pared sin paneles. Contiene la radiación del sonido de los lados y lo alto del tanque. Técnica de Control de Sonido. Inducción reducida. Amortiguadores elásticos. Alta permeabilidad de núcleo de hierro de grano orientado. En. los. Magnetostricción reducida. reactores. la. principal. - Moderadamente efectiva. - Dificulta el mantenimiento del transformador, especialmente fugas de aceite. - Reducción de pérdidas en el núcleo, el costo se compensa con las pérdidas sin carga. - Leve incremento en el costo al comparar hierro de alta y baja orientación de grano. - Efectiva. fuente. de. sonido. se. relaciona. con. 6-10. 5-8. 2-7. las. fuerzas. electromagnéticas. Para los reactores de núcleo al aire el sonido proviene de las vibraciones de las bobinas al pasar corriente por ellas y su interacción con el campo magnético global del reactor. Para los reactores con núcleo inmerso en aceite, las vibraciones se deben, en primer lugar, a un efecto magnético de atracción en los entrehierros y en segundo lugar, a las fuerzas electromagnéticas resultado del flujo de fuga que penetra la estructura del. 8.

(22) reactor [4]. E l flujo de fuga produce fuerzas en las componentes estructurales del reactor, creando vibraciones y por lo tanto ruido, la frecuencia de este sonido es normalmente del doble de la frecuencia de operación [3]. L a F i g . 2.1 muestra tres curvas de nivel de sonido en función de la frecuencia de la corriente de un reactor filtro de armónicas. L a primera curva, en orden descendente, corresponde al diseño original del filtro. L a segunda curva presenta las características de sonido del reactor rediseñado para evitar la resonancia mecánica. L a tercera curva muestra el efecto de la reducción de ruido debido a los paneles del blindaje.. Fig. 2.1 Comparación de Diseño de niveles de sonido, Diseño original vs. Diseño de ruido reducido vs. Diseño blindado de ruido reducido. [4]. Las regiones donde las vibraciones tienen un mayor impacto son el núcleo y las bobinas, por lo que se usa esta clasificación para estudiar las fuerzas que causan dichas vibraciones. Se define el origen de las fuerzas electromagnéticas y magnetostrictivas con sus respectivas expresiones matemáticas y se establecen sus zonas de presencia en los equipos.. 9.

(23) 2.1. Vibraciones en el Núcleo. E l núcleo vibra debido a fuerzas electromagnéticas y magnetostrictivas [2]. A continuación se analizan estas fuerzas.. 2.1.1 Fuerzas Electromagnéticas Las fuerzas electromagnéticas aparecen en los espacios no magnéticos del circuito magnético, como son las juntas discontinuas de las esquinas de la estructura del núcleo. L a fuerza por unidad de área, o, de la sección transversal al flujo, se expresa mediante:. donde, B. m. B. mp. = Densidad de flujo en el espacio entre el yugo y la pierna. = V a l o r pico de la densidad de flujo en el espacio entre el yugo y la pierna.. jU = Permeabilidad del espacio libre 0. Ü¡) = Frecuencia angular fundamental. Fig. 2.2 Diseño del traslape de las juntas del transformador, a) Ensamble convencional de traslape simple (SSL; N=l). b) Ensamble de traslape múltiple (MSL; N=4).. Estas fuerzas magnéticas dependen del tipo de traslape entre la pierna y el yugo, siendo mayores cuando no hay traslape, es decir, cuando existe un espacio uniforme de aire en la. 10.

(24) junta. Las fuerzas son menores para un traslape de 90°, con una mayor reducción para un traslape de 4 5 ° , esto se debe a la reducción de la densidad de flujo en la región de traslape de las juntas. E n la F i g . 2.2 se observan dos diseños de juntas, de traslape simple y de traslape múltiple, el valor de N indica el número de traslapes, el traslape múltiple mostrado es paraN=4 [5].. 2.1.2 Fuerzas Magnetostrictivas E l fenómeno de la magnetostricción se refiere a los cambios de forma de un material ferromagnético debido a la presencia de flujos magnéticos, por ejemplo cuando una tira de acero se magnetiza, su longitud cambia ligeramente. Para las densidades existentes en un transformador de potencia la cantidad de magnetostricción es sólo de cerca de 60 u por metro de longitud. E n un transformador de 60 H z , este cambio ocurre 120 veces por segundo. Dado que la magnetostricción no es lineal con respecto a la densidad de flujo, como se observa en la F i g . 2.3, también hay armónicas de 120 H z presentes en el ruido. S i alguna parte del transformador entra en resonancia con alguna armónica, el ruido se puede amplificar cientos de veces [6]. L a magnetostricción se caracteriza mediante el coeficiente de magnetostricción s,. donde / y A / son las longitudes de la hoja laminada y su cambio, respectivamente. E l coeficiente depende del valor instantáneo de la densidad de flujo de acuerdo a la siguiente expresión:. B = Valor instantáneo de la densidad de flujo K = Coeficiente que depende del nivel de magnetización, el tipo de laminación del v. material y su tratamiento. E l coeficiente K usualmente decrece con el aumento del subíndice v. v. 11.

(25) L a fuerza de magnetostricción está dada por: F =. e EA. (2.4). it). donde E es el módulo de elasticidad en la dirección de la fuerza y A es el área de la sección transversal de la hoja laminada. Las ecuaciones (2.3) y (2.4) indican que las fuerzas magnetostrictivas son función del tiempo. E n [2] y [6] coinciden en que estas fuerzas contienen las armónicas pares de la frecuencia (120, 240, 360 H z ) , para 60 H z de frecuencia de operación. Entonces, el ruido también contiene todas las armónicas de 120 H z . L a amplitud de la vibración del núcleo y el ruido se multiplica si la frecuencia natural m e c á n i c a del núcleo está cerca de los 120 H z . L a F i g . 2.3 muestra curvas típicas de magnetostricción, para excitación en C D y C A . L a relación entre el cambio en la dimensión y la densidad de flujo no es lineal. E l valor del coeficiente puede ser positivo o negativo dependiendo del tipo de material magnético y sus tratamientos mecánicos y térmicos. L a magnetostricción generalmente es positiva, es decir, la longitud aumenta algunas mieras con el incremento en la densidad de flujo, para el material C R G O (Cold-Rolled Grain Oriented silicon steel) con temperaturas de templado por debajo de los 800°C y si la temperatura se incrementa, el coeficiente puede ser desplazado a valores negativos. E l estrés mecánico puede cambiarlo a valores positivos. L a magnetostricción es mínima a lo largo de la dirección de rolado y m á x i m a en la dirección perpendicular (a 90°) [2].. 12.

(26) L a mayor parte del ruido proviene principalmente del yugo porque el ruido de la pierna se amortigua con el devanado alrededor de esta. L a calidad de la sujeción del yugo tiene una influencia significativa en el nivel de ruido. Otros factores que influyen en el nivel de ruido son: la densidad de flujo en las piernas, el tipo de material del núcleo, centro de la pierna (la distancia entre los centros de dos fases adyacentes), el peso del núcleo, la frecuencia, etc. A mayor densidad de flujo, centros de las piernas, peso del núcleo y frecuencia de operación, mayor es el nivel de ruido [2]. E n un reactor en derivación de núcleo espaciado, la vibración es tan alta como la del transformador debido a las fuerzas entre cada dos paquetes magnéticos (secciones: donas) separados por un espacio no magnético de algunas decenas de milímetros. E l campo magnético crea fuerzas pulsantes a través de estos espacios de aire, las cuales pueden calcularse con la ecuación (2.1). Por lo tanto, los núcleos de los reactores se diseñan como estructuras rígidas para eliminar las vibraciones excesivas. L o s espacios no magnéticos se crean y son soportados mediante la colocación de material no magnético, por ejemplo bloques cerámicos, de alto módulo de elasticidad. L a estabilidad dimensional y el ajuste del núcleo se aseguran con un impregnado de epoxy y una capa de fibra de vidrio de 2 a 3 m m entre el último paquete de la pierna y el yugo inferior y superior. E l material se endurece después de ser calentado en la etapa de procesamiento y une el yugo con el paquete de la pierna. Se debe tener cuidado con la frecuencia fundamental natural mecánica de vibración de la estructura del núcleo del reactor, que sea mayor y esté suficientemente alejada de el doble de la frecuencia de potencia, para evitar entrar en resonancia.. 2.2. Vibraciones en las Bobinas. Las vibraciones de las bobinas se originan al pasar corriente por ellas, debido a las fuerzas electromagnéticas creadas por la interacción entre la corriente y el flujo magnético.. 13.

(27) L a fuerza electromagnética originada sobre un conductor que lleva corriente y se encuentra dentro de un campo magnético se rige por la siguiente expresión: (2.5) donde, B = Densidad de flujo [T] / = Intensidad de corriente [A] l = Longitud del elemento de corriente [m] a = Ángulo entre los vectores de densidad de flujo y el elemento de corriente L a dirección de la fuerza es perpendicular al plano que contiene los dos vectores y su orientación se determina de acuerdo a la regla de la mano derecha, las direcciones de estos vectores se muestran en la Fig. 2.4 [7].. Fig. 2.4 Orientación espacial de la fuerza electromagnética.. E n un transformador, las fuerzas electromagnéticas que actúan sobre las bobinas se producen por la combinación de la corriente que fluye por ellas y el flujo magnético de fuga. E l flujo de fuga es aquel que sale del núcleo ferromagnético y atraviesa la bobina, interactuando con la corriente que lleva la bobina. L o s patrones aproximados de las líneas de flujo magnético se representan en la Fig. 2.5.. 14.

(28) Fig. 2.5 Líneas de flujo magnético de fuga, patrón aproximado a) bobinas concéntricas; b) bobinas apiladas. Hay dos diseños principales de transformadores de potencia: core-type, F i g . 2.6(a), su característica principal es que las piernas del núcleo están rodeadas por las bobinas y la estructura la completa el yugo; y shell-type, F i g . 2.6(b), cuya característica es que la bobina, al hacer un corte transversal, está rodeada por las piernas y el yugo, ésta configuración permite tener bobinas circulares concéntricas ó bobinas apiladas.. a). b). Fig. 2.6 Tipos de núcleos de transformadores a) Core-type; b) Shell-type. 15.

(29) Fig. 2.7 Sección transversal del núcleo con diagrama de fuerza magnetomotriz (bobinas concéntricas). Fig. 2.8 Estructura básica de un transformador monofásico shell-type (bobinas apiladas) a) sección transversal vertical; b) sección transversal fuera del núcleo; c) sección transversal dentro del núcleo con diagrama magnetomotriz.. 16.

(30) L o s patrones de campo dependen de la geometría del transformador, especialmente del núcleo y las bobinas y de la permeabilidad relativa de los materiales. L a densidad del flujo magnético depende de la reluctancia magnética de la trayectoria de aire y es proporcional a la fuerza magnetomotriz, N • I, producida por las bobinas.. 2.2.1 Fuerzas Electromagnéticas Las fuerzas electromagnéticas son unidireccionales y de tipo pulsante. debido a su. dependencia del cuadrado de la corriente. E n el caso de corrientes puramente sinusoidales, las fuerzas consisten de una componente constante y una componente alternante del doble de la frecuencia. E n términos de la corriente sinusoidal, la fuerza electromagnética puede expresarse por la siguiente ecuación [7]:. L a fuerza consiste en cuatro componentes: •. D o s componentes unidireccionales, una constante y otra decreciente con el tiempo. •. D o s componentes alternantes, una de frecuencia fundamental decreciente con el tiempo y otra del doble de la frecuencia con una amplitud pequeña pero constante.. L a F i g . 2.9 muestra el patrón de las fuerzas en diferentes lugares de la bobina para ambos tipos de transformadores. L a dirección de la corriente es perpendicular al plano del papel. En. cada punto,. los vectores. de inducción. magnética. y la fuerza resultante. son. perpendiculares entre si y caen en el mismo plano. E n [7], con base en la F i g . 2.9, se remarca lo siguiente: •. Las fuerzas electromagnéticas son repulsivas entre pares de bobinas que llevan corriente en direcciones opuestas.. •. E n las bobinas concéntricas, las fuerzas actúan mayormente en la dirección radial.. 17.

(31) •. E n los transformadores. shell-type con bobinas apiladas, las fuerzas. actúan. mayormente de forma perpendicular a la superficie de la bobina. •. A l final de las bobinas, donde las líneas de flujo se doblan, las fuerzas muestran componentes significativas que están orientadas axialmente en las unidades con bobinas concéntricas y de manera paralela a la superficie de la bobina en las unidades con bobinas apiladas. Ambas tienden a comprimir la bobina y a reducir su longitud axial.. •. Las fuerzas son tales que tienden a separar las bobinas con fuerzas magnetomotrices opuestas, causando un incremento en la impedancia y una reducción en la energía magnética asociada al flujo.. Fig. 2.9 Fuerzas fundamentales en el transformador a) transformador con bobinas concéntricas; b) transformador con bobinas apiladas. 2.2.1.1 Fuerzas electromagnéticas radiales Las fuerzas en dirección radial aparecen debido a que las líneas de flujo se presentan mayormente en dirección axial. E n la referencia [7] se desarrolla la naturaleza de estas fuerzas, usando como base un arreglo de un transformador de dos bobinas, para el cual el diagrama de las fuerzas magnetomotrices es de forma trapezoidal como se muestra en la Fig. 2.10. L a intensidad del vector de la densidad de flujo varía linealmente de manera. 18.

(32) similar, el valor máximo del vector se alcanza en el ducto principal ' D ' y su valor aproximado es de: (2.7) donde 1.256 x 1 0. - 6. = Permeabilidad del aire. [H/m]. N = N ú m e r o de vueltas eléctricas de la bobina / = Valor rms de la corriente en la bobina [A] H. w. = Longitud geométrica promedio de las bobinas. [mm]. V2 = Factor de conversión de valor pico a r.m.s de la onda sinusoidal Las fuerzas presentes en las bobinas se distribuyen de manera que son mayores en un extremo y van disminuyendo linealmente hasta cero en el otro extremo, radialmente opuesto. Como se observa en la Fig. 2.10, la distribución de la fuerza va de menor a mayor desde el extremo interior hacia el extremo opuesto de la bobina 1. E n la bobina 2 se da el mismo comportamiento pero en sentido contrario ya que la corriente fluye en dirección opuesta a la bobina 1.. Fig. 2.10 Diagrama de fuerzas magnetomotrices en un transformador de dos bobinas concéntricas.. E l patrón de las fuerzas es tal que cierta cantidad de fuerza se transfiere de los conductores m á s cargados a los menos cargados y se logra una distribución de las cargas siempre que. 19.

(33) los conductores se enrollen fuertemente.. Entonces, es posible hablar de una fuerza. Dromedio D o r unidad de loneitud:. en la cual I es la corriente del conductor [A, rms]. c. S i se desprecia la reducción del flujo axial en los extremos de las bobinas, la fuerza radial total presente en la bobina completa es:. L a fuerza radial, F , rad. apunta hacia afuera en la bobina exterior y hacia adentro en la. bobina interior. E n la F i g . 2.11 se muestra la relación entre el diagrama de la fuerza magnetomotriz y la fuerza radial, considerando la dirección de la corriente en las bobinas. Las flechas del diagrama inferior indica la dirección de las fuerzas radiales en las diferentes secciones de las bobinas.. Fig. 2.11 Diagrama de fuerzas magnetomotrices y fuerzas radiales locales.. E n los transformadores las fuerzas radiales ejercidas en las bobinas pueden ser de algunas decenas de MegaNewtons ( M N ) .. 20.

(34) 2.2.1.2 Fuerzas electromagnéticas axiales Las fuerzas axiales aparecen como consecuencia de la inclinación radial de las líneas de flujo magnético de fuga que ocurre en los extremos de un par de bobinas, como puede observarse en la F i g . 2.12. Las bobinas que tienen la misma altura, una distribución uniforme de fuerza magnetomotriz y que están alineadas radialmente, están sometidas a fuerzas axiales principalmente dirigidas hacia afuera en los extremos de las bobinas y hacia adentro en medio del embobinado. C o n este arreglo, la bobina interna (normalmente de bajo voltaje) tiene mayor fuerza axial, obedeciendo a la mayor cantidad de flujo que encierra comparada con la bobina exterior [7].. Fig. 2.12 Líneas de flujo de fuga en un transformador. Aproximadamente, la fuerza total de compresión del par de bobinas de la misma longitud se toma como 60%-70% para la bobina interior y 40%-30% para la bobina exterior, dependiendo de diversos parámetros geométricos. L a mayor compresión ocurre en la parte media de cada bobina, donde se acumula el efecto de las fuerzas en los extremos de las bobinas. L a Fig. 2.13 muestra de manera cualitativa: a) el p a t r ó n de las líneas de campo magnético; b) la distribución de la fuerza axial por unidad de longitud de las bobinas 1 y 2; c) la distribución de la compresión axial en cada bobina y la fuerza total axial actuando en el par de bobinas. 21.

(35) Fig. 2.13: a) Patrón cualitativo de las líneas de campo magnético; b) fuerza axial por unidad de longitud de las bobinas; c) compresión axial en las bobinas. F. u a x. = fuerza axial por unidad de longitud. = fuerza axial acumulada. E n un transformador trifásico, las bobinas de piernas adyacentes se influencian entre sí debido al flujo de fuga. Esto da como resultado, que la pierna media esté sujeta a mayores fuerzas axiales, la amplitud de la fuerza también varía a lo largo de la circunferencia de la bobina [7].. 22.

(36) 3. Principios Magnéticos. Para lograr un mejor entendimiento del origen de las fuerzas presentadas en el capítulo anterior, es necesario ahondar en los principios magnéticos por los que se originan. E n este capítulo se presentan los fundamentos con las leyes de Biot-Savart y A m p é r e , así como las cantidades que definen el campo magnético, para posteriormente mostrar las fuerzas que resultan de su interacción con los elementos de corriente. E s importante conocer el comportamiento de los materiales magnéticos, principalmente el proceso de magnetización y la definición de la permeabilidad, ya que estas características son clave para comprender la distribución de los flujos magnéticos en los materiales que se utilizan en la fabricación de los transformadores y reactores. E l circuito magnético es el modelo utilizado para el estudio de los flujos en los núcleos de los equipos, la teoría se basa en analogías con los principios eléctricos. U n a vez estudiados los conceptos magnéticos, se presentan los cálculos de la energía que almacena un inductor. Posteriormente, se explica el flujo de energía entre una fuente de excitación externa. sinusoidal y las bobinas del núcleo, para identificar las pérdidas de. energía. Entonces, se describen los mecanismos que causan las pérdidas de energía en los núcleos ferromagnéticos, con sus respectivas fórmulas.. 23.

(37) 3.1 Campo Magnético L a fuente de un campo magnético estable puede ser un imán permanente, un campo eléctrico que cambia linealmente con el tiempo, o una corriente directa [9]. Para introducir las definiciones se considerará el campo producido por un elemento diferencial de corriente directa en el espacio libre.. 3.1.1 Ley de Biot-Savart Dada la configuración de la Fig. 3.1, donde se tiene un filamento conductor, en el espacio libre, que lleva una corriente l y el punto de interés P a una distancia R , í. 12. se considera un. elemento diferencial de longitud por el que fluye la corriente para definir la ley de B i o t Savart. Esta establece que la magnitud de la intensidad de campo magnético producido en el punto P por el elemento diferencial es proporcional al producto de la corriente, la magnitud del diferencial de longitud y el seno del ángulo formado entre el filamento y la línea que lo conecta con el punto P [9]. L o que en notación vectorial corresponde al producto cruz entre el diferencial de longitud dL y el vector. a. R12. cuya magnitud. corresponde a la distancia entre los puntos 1 y 2 marcados en la Fig. 3.1.. L a magnitud de la intensidad de campo magnético es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el elemento diferencial y el punto P. L a dirección de la intensidad de campo magnético es normal al plano que contiene el filamento diferencial y la línea que lo une con el punto P, siguiendo la regla de la mano derecha. L a constante de. 24.

(38) proporcionalidad en unidades mks es l/4n.. De manera general y usando la notación. vectorial, la ley de Biot-Savart se representa con la siguiente expresión [9]:. (3.1) donde. H = Intensidad de campo magnético [ A / m ] / = Corriente [A] R = Distancia entre el filamento y el punto de interés [m] a = Vector de magnitud R con dirección hacia el punto de interés R. De manera experimental no se puede aislar un filamento de corriente, ya que esta fluye por trayectorias cerradas. Por lo que se recurre a la ecuación (3.2) que presenta la forma integral de la ley de Biot-Savart. L a deducción de la ecuación se puede revisar en la referencia [9]. (3.2). L a ley de Biot-Savart también puede expresarse en términos de fuentes distribuidas, densidad de corriente J y densidad superficial de corriente K, cambiando el diferencial IdL por su equivalente de la ecuación (3.3) y obteniendo entonces las formas alternas de la ecuación, mostradas en las ecuaciones (3.4) y (3.5). I dL = KdS = ]dv K x a dS R. (3.3) (3-3) (3.4). (3.5). Para ejemplificar la intensidad de campo magnético de manera gráfica, se utilizan los resultados obtenidos en [9], para un filamento que se supone de longitud infinita, el cual lleva una corriente directa I, como se muestra en la F i g . 3.2(a). L a intensidad de campo magnético en el punto 2 está dada por la ecuación (3.6), tiene dirección radial, por lo que. 25.

(39) las líneas de intensidad de campo magnético son circunferencias alrededor del filamento como lo muestra la F i g . 3.2(b). (3.6) donde p es el radio en el que se quiere obtener la intensidad de campo magnético.. Fig. 3.2 (a) Filamento recto de longitud infinita con corriente directa I. (b) Líneas de intensidad del campo magnético del filamento de (a).. 3.1.2 Ley Circuital de Ampére L a ley de A m p é r e facilita la aplicación de la ley de Biot-Savart haciendo uso de las simetrías presentes en las diversas configuraciones que se analizan. L a ley circuital de A m p é r e establece que la integral de línea de H sobre cualquier trayectoria cerrada es exactamente igual a la corriente encerrada por dicha trayectoria [9]. (3.7) L a F i g . 3.3 muestra diferentes trayectorias que encierran a un conductor, para los casos a y b la evaluación de la integral de línea dará la corriente total encerrada / . E n el caso de la trayectoria c, el resultado será menor a I, ya que la trayectoria no encierra por completo al conductor.. Fig. 3.3 Trayectorias cerradas en un conductor. 26.

(40) U n a aplicación interesante y representativa de la ley de A m p é r e es el análisis de una línea de transmisión coaxial. Se supone una línea de longitud infinita que lleva una corriente total / uniformemente distribuida en el conductor central y -I en el conductor exterior, como lo muestra la F i g . 3.4. E l desarrollo del análisis puede consultarse en la referencia [9], se t o m a r á n los resultados de las diferentes zonas para mostrar el resultado gráfico de la intensidad de campo, las ecuaciones de la (3.8) a la (3.11) corresponden a la intensidad de campo magnético en cada región de la línea coaxial. Es importante remarcar la continuidad de la intensidad de campo, este no cambia bruscamente al pasar de una región a otra, como puede observarse en el gráfico de la F i g . 3.5, donde b=3a, c=4a.. 3.1.3 Flujo Magnético y Densidad de Flujo Magnético E n el espacio libre, la densidad de flujo magnético B se define como: (3.12) donde. 2. B = Densidad de flujo magnético [ W b / m ] ó [T] 7. H = 4TT x 1 0 ~ [ H / m ] : Permeabilidad del espacio libre 0. H = Intensidad de campo magnético [ A / m ] 27.

(41) E l flujo magnético O se define como la densidad de flujo que atraviesa alguna superficie: (3.13) Aplicando. estos conceptos al ejemplo descrito en la sección 3.1.2, de la línea de. transmisión coaxial, se calcula el flujo entre los conductores de la línea de la F i g . 3.4. L a intensidad de campo magnético entre los conductores está dada por la ecuación (3.8), entonces:. E l flujo magnético contenido entre los conductores en una distancia d es la densidad de flujo que atraviesa cualquier plano radial que se extiende d e p = a a p = b y d e z = O a z = d .. (3.14). 3.2. Fuerza de Lorentz. E l campo eléctrico ejerce una fuerza sobre una carga estacionaria o en movimiento, el campo magnético estable es capaz de ejercer una fuerza sólo sobre una carga en movimiento [9].. 3.2.1. Fuerza sobre una Carga en Movimiento. L a fuerza que ejerce un campo eléctrico sobre una partícula cargada es proporcional al producto de la carga de la partícula y la magnitud del campo eléctrico, la dirección la define la dirección del campo eléctrico, considerando una carga positiva. (3.15) Por otro lado, si la partícula cargada y en movimiento se encuentra en un campo magnético de densidad de flujo B, aparece una fuerza sobre ella de magnitud proporcional a la carga. 28.

(42) Q, las magnitudes de la velocidad v y la densidad de flujo B, y al seno del ángulo entre estos dos vectores. L a dirección del vector fuerza es perpendicular al plano formado por v y B, de acuerdo al producto v x B. Entonces, la fuerza debido al campo magnético se expresa mediante: (3.16) L a combinación de las ecuaciones (3.15) y (3.16) da origen a la ecuación de la fuerza de Lorentz, ecuación (3.17), y es la fuerza sobre una partícula cargada en movimiento en respuesta a los campos eléctricos y magnéticos que ésta experimenta. (3.17). 3.2.1.1 Fuerza en Elementos Diferenciales de Corriente Para el estudio de las diferentes configuraciones bajo análisis se recurre a la notación diferencial de las ecuaciones, la fuerza diferencial debida al campo magnético de la ecuación (3.16) se expresa entonces como: (3.18). E l elemento diferencial de carga se puede expresar en términos de la densidad de carga volumétrica, como se muestra en la ecuación (3.19). L a relación entre la densidad de carga y la velocidad corresponden a la expresión de la densidad de corriente, ecuación (3.20), por lo que el diferencial de fuerza resulta en las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) para los diferentes elementos diferenciales de corriente (ecuación (3.3)), para una densidad de carga volumétrica, una densidad de carga superficial y un diferencial de filamento de corriente, respectivamente.. 29.

(43) L a fuerza total resulta de la integración de los diferenciales sobre un volumen, superficie o a lo largo de un filamento, obteniendo las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.26).. E n el caso de un conductor recto en un campo magnético uniforme la expresión se reduce a la ecuación (3.27). L a magnitud de la fuerza está dada por la ecuación (3.28), donde el ángulo es el formado entre los vectores de la dirección de la corriente y la dirección de la densidad de flujo magnético.. E n [9] se realiza el análisis de las fuerzas presentes entre dos elementos de corriente, con la configuración mostrada en la F i g . 3.6. L a intensidad del campo magnético en el punto 2 debido al elemento de corriente en el punto 1, de acuerdo a la definición dada en la ecuación (3.1), es. la fuerza diferencial sobre el elemento 2 queda de la siguiente manera. 30.

(44) y como dB. 2. = ix dü , 0. 2. entonces la fuerza entre los dos elementos diferenciales de corriente. es:. L a fuerza total entre los dos elementos se obtiene al integrar la expresión de la ecuación (3.29) dos veces, como se indica en la ecuación (3.30).. P a r a e\ caso de dos conductores filamentarios rectos paralelos y supuestos de longitud infinita, con una separación d entre ellos y que conducen corrientes iguales pero opuestas / , la fuerza resultante es de repulsión [9], como se muestra en la Fig. 3.7, y su magnitud por unidad de longitud es. 3.3 Inductancia y Energía A s í como los capacitores, en la teoría eléctrica, almacenan energía eléctrica, los solenoides o inductores almacenan energía magnética [10]. Para calcular la energía almacenada, se relaciona la intensidad de campo magnético en el solenoide con la densidad de corriente y está con la densidad de flujo magnético para obtener la definición de la inductancia. Posteriormente se presenta la ecuación de la energía total y la densidad de energía, esto siguiendo el procedimiento dado en la referencia [10]. 31.

(45) Fig. 3.8 (a) Solenoide inductor de alambre, (b) Solenoide de alambre laminado, (c) Solenoide de hoja de lámina.. L a intensidad de campo magnético H dentro del solenoide de la Fig. 3.8(a) está dado por la ecuación (3.32), la cual relaciona el número de vueltas del alambre. N, la corriente I y la. longitud del solenoide L. (3.32) S i la bobina involucra alambre laminado, como en la F i g . 3.8(b), esto equivale a que la bobina estuviera formada por una hoja de lámina, como la mostrada en la F i g . 3.8(c), cuya densidad de corriente es, (3.33). (3.34) por lo que, la intensidad de campo magnético dentro del solenoide se puede escribir como (3.35) y la densidad de flujo magnético, para el aire, queda como (3.36). L a inductancia £de un inductor de lazo sencillo, mostrado en la F i g . 3.9(a), es igual a la razón entre el flujo magnético <t> que atraviesa el lazo y la corriente / que lleva [10]. (3.37) Para el solenoide de N vueltas de la F i g . 3.9(b) la inductancia es N veces la razón de la ecuación (3.37), 32.

(46) (3.38) 2. donde, O = Densidad de flujo magnético, flujo de enlace de una vuelta en [ W b / m ] ó [T] 2. A = BAN = Flujo total de enlace en el solenoide [ W b / m ] ó [T]. Fig. 3.9 (a) Inductancia de un inductor de lazo sencillo, (b) Inductancia en un solenoide de /V vueltas. Relacionando la ecuación (3.36) con la (3.38), la inductancia del solenoide resulta en la ecuación (3.39), donde se puede observar su relación con parámetros geométricos, el área A, la longitud L y el número de vueltas N y el medio \i. L a fórmula supone que la longitud del solenoide es mucho mayor que su diámetro.. (3.39) E l diferencial de energía que almacena el inductor es: (3.40) donde F e s el voltaje en las terminales del inductor, e / es la corriente a través del inductor. E n la teoría de circuitos, estas variables se relacionan mediante la inductancia de la siguiente manera: (3.41) Entonces, la energía total se obtiene como se muestra a continuación,. (3.42). 3. donde AL corresponde al volumen del solenoide en m . Dividiendo entre el volumen, se obtiene la densidad de energía del solenoide, (3.43). 33.

(47) 3.4 El Circuito Magnético E n [11] se aplica la teoría previamente descrita a un núcleo magnético con un devanado de N vueltas de alambre enrollado sobre una rama del núcleo, F i g . 3.10, para obtener el flujo total producido por la corriente i del devanado. Para esto, se calcula primero la intensidad del campo magnético, se considera que casi todo el campo magnético permanecerá dentro del núcleo debido a su permeabilidad (característica magnética que se estudiarán en la siguiente sección), el camino de integración para aplicar la ley de A m p é r e , ecuación (3.7), corresponde a la longitud media del núcleo l . L a corriente que pasa por el camino de c. integración equivale a Ni, ya que la bobina de alambre pasa JV veces por el camino llevando la corriente i. Entonces Hl. c. = Ni y despejando para H, (3.44). E n segundo lugar, se plantea la relación entre la densidad de flujo magnético y la intensidad, (3.45) Y finalmente el flujo total en el núcleo es, (3.46) donde A corresponde al área de la sección transversal del núcleo.. Fig. 3.10 Núcleo Magnético. Para simplificar el proceso de diseño de máquinas y transformadores eléctricos, se utiliza el modelo de circuito magnético del comportamiento magnético [11]. Para definir el circuito magnético se utilizan analogías con los conceptos de un circuito eléctrico, el flujo, recién. 34.

(48) calculado, producido por la corriente en la bobina enrollada al núcleo se compara con el voltaje que produce un flujo de corriente en el circuito eléctrico. Por lo tanto, las ecuaciones que rigen a los circuitos magnéticos son similares a aquellas de los circuitos eléctricos. L a ley de O h m en los circuitos eléctricos, como los de la F i g . 3.11, relaciona a la fuente de voltaje o fuerza electromotriz con la corriente / que genera y pasa a través de la resistencia R. (3.47) L a analogía en el circuito magnético para el voltaje, es la fuerza magnetomotriz (mmf), la cual es igual al flujo efectivo de corriente, aplicado al núcleo se tiene la siguiente relación: (3.48) donde g. es. la fuerza. magnetomotriz. con unidades de. Ampere-vuelta.. La. fuerza. magnetomotriz también tiene una polaridad asociada, la terminal positiva de la fuente m m f es la terminal por donde sale el flujo y la terminal negativa es por donde el flujo retorna a la fuente.. a). «. Fig. 3.11 (a) Circuito eléctrico sencillo, (b) Circuito magnético análogo para el núcleo del transformador.. E n un circuito eléctrico el voltaje provoca un flujo de corriente / , así como, en un circuito magnético la fuerza magnetomotriz provoca un flujo 4>. L a relación eléctrica está dada por la ecuación (3.47), la ley de Ohm, mientras que la relación magnética se muestra en la ecuación (3.49). (3.49) donde. % = Fuerza magnetomotriz del circuito 0 = Flujo magnético del circuito 91 = Reluctancia del circuito. 35.

(49) L a reluctancia es en un circuito magnético como la resistencia en un circuito eléctrico, se mide en Amperes-vuelta por Weber [11]. L a reluctancia del núcleo de la Fig. 3.10 se puede calcular y a que se conoce el flujo que lleva, dado por la ecuación (3.46). Comparando la ecuación (3.50) con la ecuación (3.49) se obtiene la relación para la reluctancia del núcleo mostrada en la ecuación (3.51).. (3.50) (3.51) E n un circuito magnético, las reluctancias obedecen las mismas reglas que las resistencias en un circuito eléctrico [11]. L a reluctancia equivalente de un número de reluctancias en serie es la suma de las reluctancias individuales y para las reluctancias en paralelo, el inverso de la reluctancia equivalente es la suma de los inversos de las reluctancias individuales. E l modelo del circuito magnético da resultados aproximados, en el mejor de los casos la aproximación queda dentro del 5% del valor real [11]. Algunas razones de esta situación se enumeran en [11] y se presentan a continuación: 1. E n el circuito magnético se supone que el flujo está confinado dentro del núcleo, ya que la permeabilidad de un núcleo ferromagnético es de 2000 a 6000 veces la del aire. S i n embargo, una pequeña fracción del flujo. escapa del núcleo al aire. circundante de baja permeabilidad. Este flujo se denomina flujo disperso o de fuga y es de gran importancia en el diseño de las máquinas eléctricas. 2.. Para calcular la reluctancia se utiliza la longitud media y la sección transversal del núcleo, pero esto no es muy adecuado, por ejemplo, para los ángulos que se forman en las junturas de los núcleos.. 3.. E n los materiales ferromagnéticos, la permeabilidad no es lineal y varía con la cantidad de flujo presente en el material.. 4.. S i existen entrehierros en el trayecto del flujo en el núcleo, la sección transversal efectiva del entrehierro será mayor que la sección transversal del núcleo en cada. 36.

(50) lado del entrehierro. L a sección extra efectiva se debe al efecto marginal (fringing effect) del campo magnético en el entrehierro, esto es el abombamiento del flujo en el entrehierro, como se observa en la Fig. 3.12.. Fig. 3.12 Efecto Marginal (fringing effect). 3.5 Comportamiento Magnético de los Materiales Ferromagnéticos E l comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos se debe al momento dipolar que presentan los átomos que lo forman. Las fuerzas entre estos átomos provocan que un gran n ú m e r o de átomos se alineen formando regiones, conocidas como dominios, las cuales actúan como pequeños imanes [10]. Estos dominios varían en forma, tamaño y dirección. E n materiales magnéticos vírgenes, el efecto total de todos los dominios, es de cancelación y el material no presenta momento magnético [11]. A l aplicar un campo magnético externo, los dominios que no están alineados se vuelven inestables y algunos pueden rotar para alinearse al campo externo, entonces el tamaño de los dominios crece, así como el campo magnético interno, la F i g . 3.13 ejemplifica esta situación. S i se aumenta el campo magnético externo, todos los dominios apuntan en la misma dirección y se dice que se ha alcanzado la saturación magnética [10]. E n general cuando se retira el campo externo no se produce un alineamiento azaroso de dominios, y un residuo o remanente de campo dipolar, permanece en la estructura macroscópica. E l hecho de que el momento magnético del material sea diferente después de que el campo se ha retirado, o que el estado magnético sea función de su historia magnética, se llama histéresis [9].. 37.

(51) Fig. 3.13 Dominios magnéticos: a) orientados al. y b) alineados en presencia de un campo magnético. L o s materiales ferromagnéticos no son isotrópicos en monocristales, generalmente los materiales policristalinos si lo son. L a isotropía se refiere a una característica que presenta la misma magnitud en todas direcciones en el material. U n a de las características de los materiales magnéticos anisotrópicos es la magnetostricción o el cambio en dimensiones del cristal cuando se le aplica un campo magnético [11]. L o s únicos elementos ferromagnéticos a la temperatura ambiente son hierro, níquel. y. cobalto, y pierden sus características ferromagnéticas arriba de la temperatura de Curie, la cual es 7 7 0 ° C para el hierro. Algunas aleaciones entre éstos y otros metales también son ferromagnéticas; por ejemplo, alnico, una aleación de aluminio-níquel-cobalto con una p e q u e ñ a cantidad de cobre. A bajas temperaturas, algunas tierras raras, como el gadolinio y el diprosio, son ferromagnéticas. T a m b i é n es interesante que algunas aleaciones de metales no ferromagnéticos sean ferromagnéticas, como bismuto-manganeso y cobre-manganesoestaño [9]. La. F i g . 3.14. muestra el comportamiento. del. circuito. magnético. de. un. material. ferromagnético, la gráfica es llamada curva de saturación o magnetización y representa la respuesta del flujo magnético ante los cambios de la fuerza magnetomotriz. Como. se. observa, al moverse en el eje de la fuerza magnetomotriz desde cero, al inicio, al ir aumentando la fuerza magnetomotriz, el flujo va aumentando de manera importante y de forma casi lineal, pero después esta variación se va reduciendo y aunque la fuerza magnetomotriz siga creciendo la variación en el flujo es mínima, aproximándose a un valor. 38.

(52) constante. L a región de mínima variación en el flujo es llamada región de saturación, la región de gran cambio es llamada región no saturada y la región de transición se conoce como rodilla de la curva [11].. L a F i g . 3.15(a) es la curva de magnetización que muestra la densidad de flujo magnético B contra la intensidad de campo magnético H. L a relación entre B y H corresponde a la permeabilidad del material, cuya gráfica en función del campo magnético aplicado H se muestra en la F i g . 3.15(b). L a F i g . 3.15(a) presenta con líneas segmentadas las pendientes para permeabilidades relativas de 1, 10, 100 y 1000. L a permeabilidad relativa para cualquier punto de la curva de magnetización está dado por:. (3.52). L a m á x i m a permeabilidad se presenta en el punto de mayor relación B/H, punto marcado en la gráfica como ' M a x [i'. Esta ocurre en el punto tangente a la línea recta que pasa por el origen y la curva de magnetización [10]. L a permeabilidad magnética de los materiales ferromagnéticos es muy alta, hasta 6000 veces la permeabilidad del espacio libre. L a permeabilidad es constante en el espacio libre, pero no lo es en el hierro y otros materiales ferromagnéticos [11].. 39.

(53) Fig. 3.15 (a) Curva de Magnetización B vs. H. (b) Relación de Permeabilidad Relativa vs. H.. 3.5.1 Pérdidas de Energía en un Núcleo Ferromagnético Como se describió en la sección anterior, la característica que describe el comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos es llamada histéresis y la curva que la representa es conocida como lazo de histéresis. A l alimentar el núcleo ferromagnético de la Fig. 3.10 con una corriente alterna sinusoidal como la mostrada en la F i g . 3.16, se obtiene su curva de histéresis presentada en la Fig. 3.17.. 40.

(54) Fig. 3.16 Corriente alterna. L a curva de histéresis se obtiene de la siguiente manera [10], al inicio se supone que no hay flujo en el núcleo (1), conforme se aumenta el campo magnético H, la densidad de flujo B aumenta describiendo la trayectoria (1-2) hasta el punto de saturación, lo que corresponde a la curva de saturación vista en la Fig. 3.15(a). Después, al disminuir Ha cero, B no regresa a cero, sino que corta al eje con un valor B , r. llamado densidad de flujo residual o. remanente (3). A l invertir y aumentar H, la densidad de flujo B cae a cero, el valor de H en el que se da esto, se conoce como fuerza coercitiva H (4). A l seguir aumentando H en c. sentido inverso, el material alcanza su saturación negativa en el punto —H , —B m. 41. m. (5). H.

(55) llega de nuevo a cero y la curva cruza el eje en el punto de flujo remanente — B . Se invierte r. la polaridad y aumenta H, llegando la densidad de flujo a cero en el punto de fuerza coercitiva H y conforme se sigue aumentando H el material alcanza de nuevo la saturación c. y se cierra el lazo. Cabe destacar que los trayectos (1-2) y (2-3) son diferentes, a ú n cuando la corriente aplicada es la misma, este comportamiento se debe a la historia magnética del material, no todos los dominios se realinean. L o s dominios magnéticos requieren energía para realinearse después de estar sometidos a un campo magnético, esto es causa de pérdidas de energía en máquinas y transformadores. Existen dos tipos principales de pérdidas de energía, las pérdidas por histéresis y las pérdidas por corrientes parásitas o de eddy. Las pérdidas por histéresis se deben, precisamente, a la energía requerida para la realineación de los dominios magnéticos durante los ciclos de corriente alterna. Esta energía es proporcional al área encerrada por la curva de histéresis [11]. Por otro lado, las corrientes parásitas son consecuencia de la variación de flujo en el núcleo, de acuerdo a la ley de Faraday, ecuación (3.53), dicha variación induce un voltaje y este a su vez induce una corriente en las bobinas de tal manera que se crea un flujo que se opone al cambio del primero, la oposición del voltaje inducido se indica con el signo negativo de la ecuación y responde a la ley de Lenz. Las corrientes creadas disipan energía ya que fluyen en un medio resistivo y la energía disipada se convierte en calor en el núcleo. L a energía perdida es proporcional a la trayectoria que recorre la corriente, debido a esto, los núcleos magnéticos son laminados, así se limitan los trayectos que pueden seguir las corriente parásitas [11]. (3.53). L a ecuación (3.53) supone que todo el flujo atraviesa las N vueltas de una bobina, por ejemplo, sin embargo, hay flujo que se dispersa por el aire que rodea al núcleo. Dependiendo del diseño del equipo y la cantidad de flujo de fuga, es necesario adecuar la ecuación y calcular el voltaje inducido en la i-ésima vuelta, ecuación (3.54) y hacer la sumatoria para las iV vueltas de la bobina, ecuación (3.55). A l reacomodar la ecuación. 42.

(56) (3.56), se obtiene la definición del encadenamiento del flujo, que corresponde al término entre paréntesis y se presenta separadamente en la ecuación (3.57). (3.54) Para N vueltas, (3.55). (3.56) Encadenamiento de flujo X (3.57). 3.5.1.1 Pérdidas por Histéresis Las pérdidas por histéresis son resultado de la energía consumida para la realineación de los dominios magnéticos. E l área encerrada por la curva de histéresis representa el trabajo que requiere el material magnético para completar el ciclo de histéresis. A l variar la corriente de las bobinas en cada ciclo, para un intervalo de tiempo la energía fluye de la fuente a la bobina y en el siguiente intervalo, la energía retorna de la bobina a la fuente, pero ya no la misma cantidad, el diferencial de energía equivale a las pérdidas del núcleo [12].. Fig. 3.18 Pérdida de potencia por histéresis. (a) Energía absorbida durante la magnetización, (b) Energía de retorno durante la desmagnetización.. 43.

(57) L a F i g . 3.18 ilustra las pérdidas por histéresis, representando en la curva el flujo de energía. En. la F i g . 3.18(a) se sombrea la energía suministrada por la fuente externa, cuando la. intensidad de campo magnético H aumenta de cero a su valor m á x i m o . L a F i g . 3.18(b) muestra el área de la curva que representa la energía que regresa al circuito externo, cuando la intensidad del campo magnético H se decrece de su valor máximo a cero. L a diferencia entre las áreas sombreadas, es decir, entre la energía de entrada y la de retorno, es la energía perdida en el núcleo. E n [12] se deriva la expresión para las pérdidas de potencia por histéresis, considerando un inductor con voltaje v , corriente i , flujo magnético <p, densidad de flujo B, intensidad de L. L. campo magnético H, área de la sección transversal A y volumen del núcleo V . E l flujo, la c. c. corriente y el voltaje del inductor son (3.58) (3.59) (3.60) L a energía suministrada al inductor durante un ciclo es. (3.61). L a pérdida de energía por histéresis por unidad de volumen es (3-62) donde A. BH. es el área encerrada por la curva de histéresis.. Entonces, la potencia entregada al inductor es (3.63) y la densidad de pérdida de potencia por histéresis, la potencia entregada por unidad de volumen, (3.64). 44.

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Tabla 2.1 Técnicas de manufactura para abatir el sonido en transformadores [3]
Fig. 2.1 Comparación de Diseño de niveles de sonido, Diseño original vs. Diseño de ruido reducido vs
Fig. 2.2 Diseño del traslape de las juntas del transformador, a) Ensamble convencional de traslape simple (SSL;
Fig. 2.6 Tipos de núcleos de transformadores  a) Core-type; b) Shell-type
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