Tema 6. Análisis de Circuitos en Régimen Sinusoidal Permanente

Tema 6. Análisis de Circuitos en Régimen

Sinusoidal Permanente

6.1 Introducción

6.2 Fuentes sinusoidales

6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable 6.4 Fasores

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C 6.6 Impedancia y admitancia

6.7 Análisis de circuitos mediante fasores 6.8 Potencia instantánea y potencia media

6.9 Máxima transferencia de potencia media. Adaptación conjugada

V +

− I

B

Z

V

− + ^Z

Análisis de Circuitos (G-286). Grado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación

2

Bibliografía Básica para este Tema:

[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006.

[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”, 7th ed., John Wiley & Sons, 2006.

Sadiku  Temas 9, 10 y 11 Dorf  Tema 10 y 11

http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm - Esta presentación se encuentra, temporalmente, en:

6.1 Introducción

- En este tema estudiaremos la respuesta de circuitos con fuentes sinusoidales

- Una señal sinusoidal es aquella que se expresa matemáticamente mediante una función seno o coseno

- Las fuentes de tensión/corriente sinusoidales también se denominan fuentes de tensión/corriente alterna

- Los circuitos excitados por fuentes sinusoidales se denominan circuitos de corriente alterna (circuitos de AC)

- En el mundo de la electrónica y las telecomunicaciones las señales sinusoidales son muy importantes, ya que son señales fáciles de generar y transmitir

- Además, mediante el Análisis de Fourier, una señal periódica puede expresarse mediante una suma de señales sinusoidales.

4

6.1 Introducción

- En este tema abordaremos sólo el estudio del estado estacionario

(respuesta permanente) - Una fuente sinusoidal produce tanto respuesta transitoria como

estacionaria

- La respuesta transitoria se extingue con el tiempo. En consecuencia, un tiempo después de haber encendido las fuentes, sólo tenemos

en el circuito la respuesta estacionaria.

- : argumento o fase [rad] o [grados]

6.2 Fuentes sinusoidales

- Consideramos la tensión:

v ( t ) = V

sin( ω t ) V

ω t ω

- : amplitud de pico

- : frecuencia angular [rad/s]

) sin(

)

( t V t

v =

ω

- Son funciones que se repiten cada con n entero

φ = ² π n

6

6.2 Fuentes sinusoidales

) sin(

)

( t V t

v =

ω

- Si representamos v(t) frente a t:

- La señal se repite cada

t = nT con n entero

- El intervalo de tiempo T se denomina periodo y vale

ω π

= 2 T

) ( )

sin(

) 2 sin(

)) (

sin(

)) (

sin(

)

(

t v t

V n

t V

n t

V nT

t V

nT t

v

m m

m m

=

= +

=

+

= +

= +

ω π

ω ω

ω

) ( )

( t nT v t

v + =

6.2 Fuentes sinusoidales

- El inverso del periodo se denomina frecuencia f:

f T 1

=

T π π f ω 2 2

=

- Entonces:

=

- Normalmente la frecuencia angular se mide en rad/s y la frecuencia en hercios -> Hz

) sin(

)

( t = V ω t + φ

v

- La forma más general de la senoide es:

siendo la fase inicial [rad]

φ

8

1. --> está adelantada (ver dibujo) 6.2 Fuentes sinusoidales

- Comparando las señales y

v

( t ) = V

sin( ω t ) v

( t ) = V

sin( ω t + φ

)

- Si las señales están desfasadas

φ

≠ 0

0

> 0

φ ^v

^{( t )}

2. --> está atrasada

φ

< 0 ^v

^{( t )}

6.2 Fuentes sinusoidales

- Una sinusoide puede expresarse empleando tanto las funciones seno como coseno

- Basta tener en cuenta las identidades:

) sin(

) cos(

) cos(

) sin(

)

sin( A ± B = A B ± B A

) sin(

) sin(

) cos(

) cos(

)

cos( A ± B = A B  A B

) cos(

) cos(

)

sin( φ = − φ +

= φ −

) sin(

) sin(

)

cos( φ = φ +

= − φ −

- También son de interés las siguientes igualdades:

2 φ φ + π

10

-Ejemplo 1: Determinar la amplitud, fase inicial, periodo y frecuencia de la sinusoide

v ( t ) = 12 cos( 50 t + 10 º )

- Fase inicial:

V

= 12 V

rad/s

= 50 ω

- Amplitud:

- Frecuencia angular:

Solución:

º

0

= 10 φ

- Periodo:

- Comparamos la sinusoide del enunciado con la forma general

) cos(

)

( t = V ω t + φ

v

s 0.126 50

2

2 = =

= π

ω T π

- Frecuencia:

Hz 958 .

2 = 7

= π

f ω

11

-Ejemplo 2: Calcular el ángulo de desfase entre las tensiones y

A&S-3ª Ej 9.2

) º 50 cos(

10 )

1

( t = − t +

v ω

Solución:

) º 10 sin(

12 )

2

( t = t −

v ω

- Para comparar 2 sinusoides debemos expresarlas mediante la misma función matemática (por

ejemplo el coseno) y ambas con amplitud positiva

) º 230 cos(

10

) º 180 º

50 cos(

10

) º 50 cos(

10 )

1

(

+

=

+ +

=

+

−

=

t t

t t

v

ω ω

ω

) º 260 cos(

12

) º 270 º

10 cos(

12

) º 10 sin(

12 )

2

(

+

=

+

−

=

−

=

t t t t

v

ω ω ω

-

v ( t )

º 50

º

− 10

12

6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable - Consideramos un circuito RL con una

fuente de tensión sinusoidal:

R

)

S

( t

v − + ^{i (t )} L

) cos(

)

S

( t V t

v =

ω

- Aplicamos la KVL a la malla:

) d cos(

d Ri V t

t

L i + =

ω

(con A y B ctes a determinar) - En un circuito lineal todas las tensiones y corrientes en estado estable

tienen la misma frecuencia que la fuente, por tanto:

) cos(

)

( t = I ω t + φ

i

- Conviene expresar i(t) en la forma:

) sin(

) cos(

)]

sin(

) sin(

) cos(

) [cos(

)

( t I t

t

A t B t

i =

ω φ − ω φ = ω + ω

(con y ctes a determinar)

? ) (t i

I

φ

6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable

- Igualamos los coefs. en coseno:

- Para calcular A y B, sustituimos

i (t )

[ ^{A sin( t ) B cos( t )} ] [ ^{R A cos( t ) B sin( t )} ] ^{V cos( t )}

L − ω ω + ω ω + ω + ω =

ω

V

RA LB + = ω

- Igualamos los coefs. en seno:

− ω LA + RB = 0

- Resolviendo para A y B:

( )

2

L

R

A RV

ω

= +

( )

2

L

R

B LV

ω ω

= + )

cos( φ

I

A =

) sin( φ

I

B = −

( ^{B / A} )

tan

0

−

φ =

2

2

B

A I

= +

- La relación entre los dos conjuntos de incógnitas es:

) d cos(

d Ri V t

t

L i + =

ω

- Resulta:

14

6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable

- En este problema hemos calculado la respuesta en estado estacionario de un circuito con un único elemento de almacenaje (la autoinducción) - Para circuitos con varios elementos de almacenaje, el método de

cálculo empleado (solución directa en el dominio del tiempo) se complica mucho

- Una alternativa más sencilla pasa por introducir el concepto de fasor que veremos en el apartado siguiente

( )

2

L

R

I

V

ω

= +

( ^{L / R} )

tan

0

ω

φ = −

( ^{B / A} )

tan

0

−

φ =

2

2

B

A I

= +

- La solución para y es:

I

φ

6.4 Fasores

- Las señales sinusoidales pueden representarse fácilmente mediante fasores

“Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la fase de una señal sinusoidal”

- Los fasores permiten analizar de forma sencilla circuitos lineales excitados por fuentes sinusoidales

- La idea de la representación fasorial se basa en la identidad de Euler:

sin cos

e

= θ ± j θ con j = − 1

- Se observa que:

[ ]

θ = Re e

cos

[ ]

θ = e

± sin Im

16

6.4 Fasores

- Dada una señal sinusoidal

v ( t ) = V

cos( ω t + φ )

- Se observa que

v ⁽ t ^{) =} V

^{cos( ω} t ^{+ φ ) = Re} [ V

e

]

- luego

v ( t ) = Re [ V

e

e

]

- alternativamente

^{v ( t ) = Re} [ ^{V e}

]

- V es la representación fasorial de la señal sinusoidal v(t)

V

= V

e

- donde

- Un fasor es una representación compleja de la magnitud y fase de una señal sinusoidal de frecuencia conocida

- Cuando expresamos una señal sinusoidal mediante un fasor, el término está implícitamente presente

e

ω

V

^{= V}

φ

6.4 Fasores

- Entonces, tenemos dos formas de representar una señal sinusoidal:

Dominio del tiempo Dominio de fasorial

(o dominio de la frecuencia)

) cos(

)

( t = V ω t + φ

v

V = V

e

- Cálculo de v(t) conocido V: se multiplica el fasor V por el factor de tiempo y se toma la parte real

[ ^e

]

t

v ( ) = Re V

t

e

- Cálculo de V conocido v(t): se expresa v(t) como un coseno y se forma el fasor a partir de la amplitud y la fase de la senoide

V

= V

e

)

cos(

)

( t = V ω t + φ

v

-Ejemplo 3: Calcular la suma de las corrientes

e A&S-3ª Ej 9.6

) º 30 cos(

4 )

1

( t = t +

i ω

Solución:

) º 20 sin(

5 )

2

( t = t −

i ω

- Realizaremos la suma en el dominio de la frecuencia

) º 30 cos(

4 )

1

( t = t +

i ω

) º 270 º

20 cos(

5 )

º 20 sin(

5 )

2

( t = t − = t − +

i ω ω

º 30

1

4

I = e

º 250

2

5

I = e

º

− 20

A 3.218

j2.699 1.754

5 4

I I

I =

+

= e

+ e

= − = e

- En el dominio del tiempo resulta

A 3.218

I = e

A ) º 56.98 cos(

3.218

] 3.218

Re[

] I

Re[

)

(

−

=

=

=

t e e

t

i

ω

ω ω

6.4 Fasores - Derivación:

- Integración:

) cos(

)

( t = V ω t + φ

v

- En el dominio del tiempo

) cos(

) d sin(

d

2

φ

ω ω

φ ω

ω + = + +

−

= V t V t

t v

m m

( ) V

V

2

ω ω

ω V

e

= j V

e

= j





- Representación fasorial del resultado:



- Luego

- Suponemos

V

d ) (

d j ω

t t

v ↔

dominio

del tiempo dominio de

la frecuencia

- Análogamente

V

d ) (

∫ v t t ↔ j ω

dominio

del tiempo dominio de

la frecuencia

V

= V

e

20

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C

- En este apartado veremos como expresar la relación V-I de los elementos R, L y C en el dominio de la frecuencia

- Resistencia:

+ −

v

i _R

+ −

V

I R

Dominio temporal Dominio frecuencial

) cos( ω + φ

= I t

i

- Suponemos

- Ley de Ohm:

v = Ri

) cos( ω + φ

=

= Ri RI t

v

I

= I

e

V

= RI

e

I V = R

Ley de Ohm - En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase!

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Resistencia:

- Diagrama fasorial para la resistencia

+ −

V

I R

V

= RI

e

I

= I

e

- En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase!

22

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Bobina:

Dominio temporal Dominio frecuencial

) cos( ω + φ

= I t

i

- Suponemos - Relación v-i:

I

= I

e

V

= ω LI

e

- La tensión está adelantada respecto de la corriente en 90º

+ −

v

i L

+ −

V

I ^L

t L i

v d

= d

) d sin(

d = − ω ω + φ

= LI t

t L i

v

) cos( ω φ

ω + +

= LI t

v

V

= ^j ω ^LI

^e

I

V ⁼ j ω L

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Bobina:

- Diagrama fasorial para la bobina

+ −

V

I ^L

V

= ω LI

e

I

= I

e

- La tensión está adelantada respecto de la corriente en 90º

24

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Condensador:

Dominio temporal Dominio frecuencial

) cos( ω + φ

= V t

v

- Suponemos - Relación v-i:

V

= V

e

V I = j ω C d

d

t C v i =

+ −

v

i C

+ −

V

I C

) d sin(

= d = − ω CV ω t + φ t

C v

i

- La tensión está retrasada respecto de la corriente en 90º

I

= j ω CV

e

)

cos(

i = ω CV

ω t + φ +

I = ω CV

e

1 I

V ⁼ j ω C

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C - Condensador:

- Diagrama fasorial para el condensador

+ −

V

I C

V

= V

e

I

= ω CV

e

- La tensión está retrasada respecto de la corriente en 90º

26

6.6 Impedancia y admitancia

- En el apartado anterior hemos obtenido la relación tensión-corriente en el dominio de la frecuencia para los elementos R, L y C:

- Estas expresiones recuerdan a la ley de Ohm

(son relaciones V/I algebraicas)

1 I V ⁼ j ω C I

V = j ω L I

V = R

“La impedancia Z de elemento de circuito es el cociente entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I”

- Definición de impedancia:

- Matemáticamente:

+ −

V

I _Z

I Z = V

- Se mide en Ohmios

- La impedancia NO es un fasor!

6.6 Impedancia y admitancia

- Impedancia para los elementos R, L y C vale:

C j C

C

⁼ j ω ^{= −} ω Z 1

L

L

= j ω R Z

R

= Z

- La impedancia es una función compleja de la frecuencia.

- En general:

X R

Z = + j

- La parte real de la impedancia se denomina resistencia R

reales) son

X , (R

- La parte imaginaria de la impedancia se denomina reactancia X - Si X > 0 se dice que la reactancia es inductiva

- Si X < 0 se dice que la reactancia es capacitiva

- En los circuitos de AC la impedancia juega un papel análogo a la resistencia en los circuitos de DC

28

6.6 Impedancia y admitancia

- A veces resulta útil trabajar con el inverso de la impedancia, conocido como admitancia Y:

Z Y = 1

- Se mide en Siemens (S) o mhos

- En general, la admitancia es una función compleja de la frecuencia:

B G

Y = + j

- La parte real de Y se denomina conductancia G

reales) son

B , (G

- La parte imaginaria de Y se denomina susceptancia B

6.7 Análisis de circuitos mediante fasores

6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial

“Las leyes de Kirchhoff son válidas en el dominio de la frecuencia, donde deben expresarse en forma fasorial”

0 V

1

∑ =

= M

m

0

I

1

∑ =

= N

n

n

- En consecuencia, todas las técnicas de análisis estudiadas para circuitos de continua pueden extenderse directamente al caso de circuitos de alterna simplemente empleando fasores.

- Como ejemplo consideramos el circuito RL analizado previamente en el dominio del tiempo

30

6.7 Análisis de circuitos mediante fasores

6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial - Volvemos al circuito RL con una fuente de tensión

sinusoidal:

) cos(

)

S

( t V t

v =

ω

- Aplicamos la KVL a la malla y resolvemos:

I I

V

= Z

+ Z

0

V

= V

e

R

+ − I ^L

V

R

= R Z

L

L

= j ω Z

ω

e Z

V L

j R

V

|

I = |

= +

2 2

|

| Z = R + ω L

( ^{L / R} )

tan

ω β =

0

| I |

e

Z

= V con φ

= − β

- En el dominio del tiempo:

 

 



= 

 

 



= 

=

| Re |

| Re |

] I

Re[

)

(

e

Z

e V Z e

e V t

i

)

| cos(

) |

( = ω t + φ

Z

t V

i

- Hemos obtenido i(t) de forma mucho más sencilla que resolviendo directamente en el dominio del tiempo !!

6.7 Análisis de circuitos mediante fasores 6.7.2 Asociación de impedancias

- Asociación de impedancias en serie:

∑

= +

+ +

=

n

n N

1 2

1

eq

Z Z Z Z

Z 

V

V

I Z

V

+ − + −

A

B

Z

V

Z

+

−

A

Z

+

− V

I

32

6.7 Análisis de circuitos mediante fasores 6.7.2 Asociación de impedancias

- Asociación de impedancias en paralelo:

∑

= +

+ +

=

n n

N 1

2 1

eq

Z

1 Z

1 Z

1 Z

1 Z

1 

∑

= +

+ +

=

n

n N

1 2

1

eq

Y Y Y Y

Y 

I

V

A

I

B

Z

Z

+

−

Z

I

I

A

B

Z

+

− V

I

Z Y 1

n n

=

-Ejemplo 4: Calcular la impedancia de entrada del circuito de la figura suponiendo que funciona a = 50 rad/s

ω

34

Solución:

Z

Z

Z

Z

Ω

−

× =

×

= −

=

10

10 2

50

Z

1 j

j

C j ω

Ω

−

× =

−

= +

=

3 2

10 3 50

3 1

Z

j

j

C j ω

Ω +

=

× +

= +

= 8 50 0 . 2 8 10

Z

R

j ω L j j

8 11

) 10 8

( ) 2 3

10 (

Z Z

Z Z Z

) Z

||

Z ( Z

Z

3 2

3 2 1

3 2

1 in

j

j j j

+

+

× + −

−

=

+ +

= +

=

Ω

−

= 3 . 22 11 . 07

Z

j

- Operando

-Ejemplo 5: Determinar v₀(t) en circuito de la figura.

A&S-3ª Ej 9.11

36

Solución:

- En primer lugar transformamos el circuito al dominio de la frecuencia

) º 15 4

cos(

20 )

S

( t = t −

v V

= 20 | − 15 º

rad/s

= 4 ω

Ω

−

=

×

×

= −

=

25

10 10

4

Z 1

j

j C

C

j ω

mF 10

H

5 ^Z

^{= j} ω ^{L = j 4 × 5 = j 20 Ω}

- Fuente:

- Condensador:

- Bobina:

- Asociamos las impedancias en paralelo:

Ω + =

−

×

= −

= +

=

20 100 25

20 25

Z Z

Z Z Z

||

Z Z

j j j

j j

C L

C L C

L

V 15

. 62 17

. 116

20 100

) 20

62 ( . 116 ) 100 20

100 ( 60

V 100 Z

Z V Z

º 96 . 15 )

º 04 . 59 º 15 º 90 (

º 15 º

04 . 59

º 90 º

15 2

1 2 0

j j

j j

j j

S

e e

e e e e

j j

× =

=

×

= + ×

+ =

=

−

−

−

−

V ) º 96 . 15 4

cos(

17.15 )

0

( t = t +

v

Ω

= 60 Z

C L

|| Z Z

Z

= V

⁺ − V

+

−

- Aplicando la fórmula del divisor de tensión:

[ ^e

]

t

v

( ) = Re V

38

6.7 Análisis de circuitos mediante fasores 6.7.3 Análisis de nudos y de mallas

- La resolución de circuitos de alterna puede hacerse según los siguientes pasos:

1- Se transforma el circuito del dominio del tiempo al dominio fasorial (o de la frecuencia)

2- Se resuelve el circuito aplicando las técnicas estudiadas en los temas 1-3 (análisis de nudos, análisis de mallas,

superposición, etc…)

3- Se transforma la solución obtenida al dominio del tiempo

- A continuación veremos algún ejemplo de análisis nodal y de mallas.

- Ejemplo 5: Determinar i_x en el circuito de la figura utilizando

análisis nodal. A&S-3ª Ej 10.1

40

Solución:

- En primer lugar transformamos el circuito al dominio de la frecuencia

) º 0 4

cos(

20 t + 20 | 0 º ω = 4 rad/s H

1 j ω L = j 4 × 1 = j 4 Ω 0 .5 H j ω L = j 4 × 0 . 5 = j 2 Ω Ω

−

× =

= − 2 . 5

1 . 0 4

1 j j

C j ω F

.1 0

Circuito problema en el dominio de la frecuencia

- Resolvemos en el dominio de la frecuencia mediante análisis de nudos

- Nudo 1:

4 V V

5 . 2 V 10

V

20

j j

+ −

= −

−

- Nudo 2:

2 V 4

V

2 V

j I

+ j − =

V 97

. 18 6

18

V

= + j = e

V 91

. 13 4

4 2

13

V

= − . − j . = e

5

. 2

I V

x

j

= −

- Se obtiene el siguiente sistema:

- Cuya solución es:

- Entonces:

A 59

. 7 7.2 +

5 2.4 . 2

I_x V¹ j e^j108.4º

j = − =

= −

- En el dominio temporal:

A ) º 4 . 108 4

cos(

59 . 7 )

( t = t +

i

20

V 5 . 2 V

) 5 . 1 1

( + j

+ j

= 0 V

15 1V

1

+

=

[

]

x

t e

i ( ) = Re I

42

- Ejemplo 6: Calcular I₀ en el circuito de la figura aplicando análisis de

mallas. A&S-3ª Ej 10.3

Solución:

- Malla 1:

- Malla 2:

- Malla 3:

A 5 I

=

0 )

2 )(

I I

( 10 )

I I

( I

8

+

−

j +

−

− j =

0 20

4 I ) 2 )(

I I

( ) 2 )(

I I

(

−

− j +

−

− j +

+ e

=

- Se obtiene el siguiente sistema:

50 I

2 I

) 8 8

( + j

+ j

= j

30 I

) 4 4

(

2I

j

j

j + − = −

A 12

. 6

I

= e

- Resolviendo:

( )

12 . 6

12 . 6 I

I

º 38 . 144

º 180 º 22 . 35

º 22 . 35 2

0

j j

j

e e

=

=

−

=

−

=

+

−

−

- Luego,

44

6.7 Análisis de circuitos mediante fasores

6.7.4 Circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton

circuito lineal de dos terminales

A

B

A

B

Z

V

⁺ −

Circuito original

Equivalente de Thevenin A

B

Z

I

Equivalente de Norton

Th

N

Z

Z =

N Th

Th

Z I

V =

- Los teoremas de Thevenin y Norton se aplican a los circuitos de alterna de forma análoga a como se hace en los de continua

6.8 Potencia instantánea y potencia media - Potencia instantánea:

- Según se definió en el Tema 1, la potencia absorbida o suministrada por un elemento es el producto de la tensión entre los extremos del elemento por la corriente que pasa a través de él

+ v −

i )

( ) ( )

( t v t i t

p =

- La potencia instantánea

p(t)

t

- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente.

46

6.8 Potencia instantánea y potencia media

- Potencia instantánea en estado sinusoidal permanente:

- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente

- La tensión y la corriente en los terminales del circuito serán de la forma:

) cos(

)

( t I

t

i = ω + φ

) cos(

)

( t V

t

v = ω + φ

- La potencia instantánea vale

) cos(

) cos(

) ( ) ( )

( t v t i t V

I

t

t

p = = ω + φ ω + φ

- Aplicando la identidad:

^{cos( A ) cos( B ) =}

[ ^{cos( A − B ) + cos( A + B )} ]

- resulta

fuente sinusoidal

red lineal pasiva

) ( t v

+

− ) (t i

) 2

cos(

) cos(

)

( t

V

I

V

I

t

p = φ − φ + ω + φ + φ

6.8 Potencia instantánea y potencia media - La potencia instantánea tiene dos partes:

) 2

cos(

) cos(

)

( t

V

I

V

I

t

p = φ − φ + ω + φ + φ

parte constante parte dependiente del tiempo - La parte constante depende de la diferencia de fases

- La parte temporal tiene frecuencia doble,

2 ω

-

p(t)

p(t) > 0

- Si

p(t) < 0

48

6.8 Potencia instantánea y potencia media - Potencia media:

- La potencia instantánea cambia con el tiempo, por tanto es difícil de medir.

- Definición de potencia media

“Es el promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo”

d ) 1 (

^{P =} _T ∫

^{p t t}

- Matemáticamente:

- En el laboratorio la potencia media se mide con el vatímetro - Recordando que la potencia instantánea vale

) 2

cos(

) cos(

)

( t

V

I

V

I

t

p = φ − φ + ω + φ + φ

- y sustituyendo en la definición de

P

∫

∫ ^{− + + +}

=

V

I

t

t

t T I

T V

P

1 0 2

1

1 cos( 2 ) d

d )

1 cos( φ φ ω φ φ

6.8 Potencia instantánea y potencia media - Integrando

∫

∫ ^{+ + +}

−

= V

I

t V

I

t

t

P

1 2

1 0

1 2

1

cos( φ φ ) d cos( 2 ω φ φ ) d

= 1 = 0

- queda

P =

V

I

cos( φ

− φ

)

- expresión que no depende del tiempo

-También se puede calcular la potencia media a partir de los fasores tensión y corriente

v ( t ) = V

cos( ω t + φ

) V = V

e

) cos(

)

( t I

t

i = ω + φ I = I

e

- Se observa que _{( )}

[ ^{cos( ) sin( )} ]

VI

2 1

2 1 2

* 1 2

1

i v

i v

m m

j m m j

m j

m

j I

V

e I V e

I e

V

φ φ

φ φ

φ φ φ

φ

− +

−

=

=

=

- Entonces

[ ] ^{VI cos( )}

Re

P =

=

V I φ − φ

50

6.8 Potencia instantánea y potencia media

- Consideramos 2 casos particulares de interés:

1. Circuito puramente resistivo (R):

φ

= φ

0

| I

| )

cos(

P =

V

I

φ

− φ

=

V

I

=

I

R =

R ≥

- La potencia media para un circuito resistivo es

siempre positiva (absorbe energía) 2. Circuito puramente reactivo (L o C):

φ

= φ

±

0 )

cos(

) cos(

P =

V

I

φ

− φ

=

V

I

±

=

- La potencia media para un circuito puramente reactivo es

siempre nula (no absorbe energía)

- Ejemplo 7: En el circuito de la figura, calcular las potencias medias suministrada por la fuente y disipada por la resistencia A&S-3ª Ej 11.3

52

Solución:

[ ]

1

f

Re V I

P =

[ ]

1

R

Re V I

P =

- Para calcular las potencias medias emplearemos las fórmulas fasoriales:

- Comenzamos calculando la corriente:

A 118

. 1 2 ??

4 5 Z

I V I

I

30 R

f

j j

j e

e = =

= −

=

=

= V

= 5 e

V

- La potencia media suministrada por la fuente vale:

[ ] [ ]

[ ^{5 . 59} ] ^{2.795cos( 26 57 º ) 2 . 5 W}

Re

118 .

1 5

Re I

V Re

º 57 . 26 2

1

º 57 . 56 º

30 2

* 1 f 2 f

1 f

=

−

=

=

×

=

=

−

−

. e

e e

P

j

j j

- La tensión en la resistencia vale:

V 472

. 4 118

. 1 4 I

V

= R

= × e

= e

- La potencia media disipada en la resistencia es:

[ ] ^{V I Re} [ ^{4 . 472 1 . 118} ] ^{2 . 5 W}

Re

P

=

=

e

× e

=

6.9 Máxima transferencia de potencia media. Adaptación conjugada

circuito lineal de dos terminales

V +

− I

B

Z

V

+

− I

B

Z

V

⁺ − Z

- En este apartado vamos a generalizar al caso de circuitos de alterna, el teorema de máxima transferencia de potencia visto en el tema 3:

En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, la

transferencia de potencia media a la carga es máxima cuando la impedancia de carga Z_L es igual al complejo conjugado de la

impedancia del equivalente Thevenin del circuito fuente Z_Th

Z Z

max

⇒ =

= P

P

8

| V

|

Th 2 Th

max

R

P =

6.9 Máxima transferencia de potencia media. Adaptación conjugada

V +

− I

B

Z

V

− + ^Z

- Demostración

- Partimos del equivalente Thevenin del circuito fuente

Z

Z I V

Th Th

= +

- Para encontrar el máximo derivamos e igualamos a cero:

;

P 0

X

X

= ⇒ X

= −

∂

∂

- La potencia media máxima resulta:

2 Th

2 Th

2 2 Th

2 1

) (

) (

2 /

| V

| | I

|

L L

L

L

R R X X

R R

P = = + + +

L L

L

R j X

Z = +

Th Th

Th

X

Z = R + j

2 Th

2

Th

( )

P 0

L L

L

X X

R

R = ⇒ R = + +

∂

∂

- Resulta:

X

X

= − R

R

=

Z

Z

=

-Ejemplo 8: Determinar la impedancia de carga Z_L que maximiza la potencia media absorbida del circuito. ¿Cuánto vale dicha potencia

máxima? A&S-3ª Ej 11.3