Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda

Ing. S. Carlos Crail Corzas 23 de octubre de 2014 Semestre 2015-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Sea la función

( ) ( )

1

ln

x

F x t d t

e

=



, calcular el valor de

^{F } (

^{ln 2}

)

.

15 Puntos

2. Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

3

9

0

3

1

dx



x −

15 Puntos

3. Efectuar las siguientes integrales:

( )

( )

2 2

2 2

2 1

4 4

1 4 4 1

x ang sen x x x

a ) dx b ) dx c ) dx

x x

x x

+

+ +

− − +

  

30 Puntos

2EE15-1

4. Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de

y

^{2 −} 4

y

⁻

x

⁼

0

y de

y

^{2 −} 2

y + x

⁼

0

10 Puntos

5. Para la función

^f ( ^{x y ,} ) ^{= x}

²

^{+ 4 y}

²

^{− 4}

, obtener su recorrido, trazar su región de definición y trazar su gráfica.

15 Puntos

6. Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección entre la gráfica de la función

z

⁼

9 − x 2

y el plano de ecuación

0

x − y =

en el punto de coordenadas

(

^{2, 2, 5}

)

^.

15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

23 de octubre de 2014 Semestre 2015-1

1. El valor es

( )

ln 2

1

1

; ln(t)

ln(t) dt

ln(u) ( )

ln( )( ) ; ln 2

ln 4

x

u

x x

u

x

x x x

si u e du e F u dt

dx dF dF du

dx du dx

dF d du

dx du dx

dF e

dx

dF e e xe si x

dx dF dx ₌

=  = =

=

 

 

=  

 

 

=

= = =

 =





15 Puntos

2. Es una integral impropia, entonces:

3 3 3

3 2 3

9 1 9

0 0

0 0 1

lim lim

3 1 3 1 3 1

1 ( 1) , entonces :

3 1 2

dx dx dx

I x x x

Sea dx x C

x



 



−

→ →

+

= = +

− − −

= − +

−

  



2 2

3 3

2 2

3 3

1 9

0 1

1 1

lim ( 1) lim ( 1)

2 2

1 1 1 1

lim ( ) lim 4 ( )

2 2 2 2

1 2 2

3 Por lo que la integral converge 2

I x x

I I I



  









−

→ → +

→ →

   

=   −   +   −  

   

=   − −   +    −  

= +

=

15 Puntos 3. a) Por partes:

( )

( )

2

2 2

2

12

2

2 2

2

1 4 2

1 4 1 4

1 4 8 8

1 8

1 1 4

4

1 4

1 2

1 4 2

4 4

u ang sen x du x dx

x

du dx u x dx

x x

w x

dw x dx dw x dx

u w dw

u x

I x ang sen x x

−

= =

−

= =

− −

= −

= −

− =

= −

= − −

= − − + −





1− 4x2

( )

1 2 1

1 4 2

4 2

dx

I = − − x ang sen x + x+c



b) Por fracciones parciales

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2

2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

1 3 4

4 4 1 4 4

1

4 4 1

4 4 3 4

3 4

2 2 2

3 4

2 2 2

3 4 2 3 4 2

0

2 3 4 5

2 2

3 2 4

5

4

x x

I dx dx

x x x x

x x x

x x

x

x A B

I dx dx

x x x

x A B

x x x

x A x B x Ax A B

si x

dx dx

A B I

x x

B A A

B

I dx dx

+  − − 

= + + =  + + + 

+ + +

− − −

− −

 

= − + = −  + 

+  + + 

+ = +

+ + +

+ = + +  + = + +

=

 + =  = − +

+ +

= − =

= −

= −

 

 

 

( )

( )

5 2

2 2

4 2 5

2 dx

x x

I x ln x c

x

+ + +

= − + − +

+

  

c) Por sustitución trigonométrica

( )

( )

2

2

1 2 1

2

2

4 1

2 tan 1

4 1

(2 1)

(2 cos ) 2 cos

2 cos 2

sen x sen x

dx cos d cos x

x x

I sen d sen d d

I c

I

 

 





     



 

= +  − =

=

− +

=

= +

− +

 = − = −

= − − +

= −

  

( )

²

4 1

2

− x+

( )

²

1 2

4 1 1

2

angsen x c

I x angsen x

c

 + 

−  +

 

 + 

= − − + −  +

30 Puntos

4. Sea

( )

2 2

2 2

2 2 2

1 2

4 0 2 0

4 ; 2

4 2 2 6 0

2 3 0

0 ; y 3

y y x y y y x

x y y y y x

y y y y y

y y y

− − = − + =

= − − =

− = −  − =

− =

= =

2

θ

( )

( )

3

2 2

0

2

2 4

A y y y y dy

A y

= − − −

=



2 y y2

− −

( ) ^{( )}

3 3

0 0

2 3 0 2

4 2

9

y dy y dy

A y

A u

+ =

=  =

=

 

10 Puntos

5.

2 2

2 2

2

2

2 2 2 2

2 2

Se debe cumplir que

4 4 0

4 4

4 1

Las trazas son:

1 1 1

4 4 4 4

Por lo que su gráfica es:

Hiperboloide eliptico

x y

x y

x y

con x z con y z con x y

x z z x

y y

+ − 

 + 

 + 

− − −

− = − = + =

15 Puntos

-2 2 x

z

z

y

6. Sea

( )

(^{2 2 5})

45 45

2

, ,

dz z z

i j cos i sen j

ds s y

dz ds

 

 

 

= +  +

 

 = −

2 x

2 2

2

1 1

0

2 2

9 2 9

2 2

2 9 2 5 2

T 5

, , x

x x

dz ds

m

    = −

   

 −  −

 

 = − = −

−

 = −

15 Puntos