Números Reales

(1)

Números Reales

Propiedades y operaciones

Cátedra de Matemática I 2013

(2)

El conjunto de los números Reales

“Naturales” = {1, 2, 3, 4, 5, …}

(3)

“Naturales” = {1, 2, 3, 4, 5, …}

“Enteros Negativos” = {… -4, -3, -2, -1}

(4)

+ 0 (cero) “Naturales” = {1, 2, 3, 4, 5, …}

(5)

+ 0 (cero) “Naturales” = {1, 2, 3, 4, 5, …}

“Enteros”

(6)

+ 0 (cero) “Naturales” = {1, 2, 3, 4, 5, …}

“Enteros”

... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...

(7)

“Racionales” = nros. formados por el cociente de dos nros. enteros, siendo el denominador distinto de cero

(8)

Ejemplos: 2

3 7

5 12

6 (= ) 1 (= ) 2 0 5 8

8 0 (= )

(9)

Ejemplos: 2

3 7

5 12

6 (= ) 1 (= ) 2 0 5 8

8 0 (= ) racionales

“fraccionarios”

(10)

Ejemplos: 2

3 7

5 12

6 (= ) 1 (= ) 2 0 5 8

8 0 (= ) racionales

“fraccionarios” racionales “enteros”

(11)

I

Ejemplos: 2

3 7

5 12

6 (= ) 1 (= ) 2 0 5 8

8 0 (= )

“Irracionales” = son todos los nros. que no pueden ser escritos como fracciones de nros. enteros

racionales

(12)

I

Ejemplos: 2

3 7

5 12

6 (= ) 1 (= ) 2 0 5 8

8 0 (= )

racionales

Ejemplos: = 1,4142135..., π =3,1415926...

√

²

(13)

I

Ejemplos: 2

3 7

5 12

6 (= ) 1 (= ) 2 0 5 8

8 0 (= )

racionales

Ejemplos: = 1,4142135..., π =3,1415926...

(son nros. con infinitas cifras decimales, las cuales nunca se repiten)

√

²

(14)

I

Ejemplos: 2

3 7

5 12

6 (= ) 1 (= ) 2 0 5 8

8 0 (= )

“Reales” =

U I

racionales

Ejemplos: = 1,4142135..., π =3,1415926...

(son nros. con infinitas cifras decimales, las cuales nunca se repiten)

√

²

(15)

I

0 (cero)

racionales

“fraccionarios”

(16)

Los nros. reales “decimales”

(17)

2

5 =0,4 5

4=1,25

(18)

2

5 =0,4 5

4=1,25

1

3=0,33333...=0,3 5

3=1,66666...=1,6 3

11=0,272727...=0,27

(19)

2

5 =0,4 5

4=1,25

1

3=0,33333...=0,3 5

3=1,66666...=1,6 3

11=0,272727...=0,27

π=3,1415926...

√2=1,4142135...

(20)

I

decimales

2

5 =0,4 5

4=1,25

1

3=0,33333...=0,3 5

3=1,66666...=1,6 3

11=0,272727...=0,27

π=3,1415926...

√2=1,4142135...

(21)

I

decimales

2

5 =0,4 5

4=1,25

1

3=0,33333...=0,3 5

3=1,66666...=1,6 3

11=0,272727...=0,27

π=3,1415926...

√2=1,4142135...

finitas cifras decimales

(22)

I

decimales

2

5 =0,4 5

4=1,25

1

3=0,33333...=0,3 5

3=1,66666...=1,6 3

11=0,272727...=0,27

π=3,1415926...

√2=1,4142135...

infinitas cifras decimales que se repiten

(23)

I

decimales

2

5 =0,4 5

4=1,25

1

3=0,33333...=0,3 5

3=1,66666...=1,6 3

11=0,272727...=0,27

π=3,1415926...

√2=1,4142135...

infinitas cifras decimales que se repiten

infinitas cifras decimales que nunca se repiten

(24)

Propiedades de los números reales

Sean a, b, c tres números reales (a,b,c )

(25)

1) “Clausura” a ± b a.b

(26)

1) “Clausura”

2) “Conmutatividad”

a ± b a.b

a + b = b + a a.b = b.a

(27)

1) “Clausura”

2) “Conmutatividad”

3) “Asociatividad”

a ± b a.b

a + b = b + a a.b = b.a

(a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c)

(28)

4) “Identidad”: para cada nro. real “a”, existe:

(29)

un nro. real (0) tal que a + 0 = 0 + a = a

(30)

un nro. real (0) tal que a + 0 = 0 + a = a un nro. real (1) tal que a.1 = 1.a = a

(31)

5) “Inversos”:

(32)

5) “Inversos”:

para cada nro. real “a” existe un real “-a” tal que a + (-a)= (-a) + a = 0

(33)

5) “Inversos”:

para cada nro. real a distinto de cero, existe un nro.

real (1/a) tal que:

a . 1/a = 1/a . a = 1

(34)

5) “Inversos”:

para cada nro. real a distinto de cero, existe un nro.

real (1/a) tal que:

a . 1/a = 1/a . a = 1

6) “Distributiva de la multiplicación respecto de la suma (resta) a (b ± c) = ab ± ac

(35)

Operaciones con nros. Racionales

1) Si a, b, k son nros. , con b y k ≠ 0. Entonces:

(36)

a ak b bk

=

(37)

a ak b bk

2) Sean los nros. a/b y c/d, con b ≠ 0 y d ≠ 0. Entonces:

=

(38)

a ak b bk

a c b d

=

= a d = b c

(39)

a ak b bk

a c b d

a c ad ± bc b d bd

=

= a d = b c

± =

(40)

a ak b bk

a c b d

a c ad ± bc b d bd a c ac

b d bd

=

= a d = b c

± =

=

(41)

Potenciación

1) Para cualquier nro. y . Entonces:

a ∈¿ a ∈N

aⁿ=a.a.a...a

n veces n

(42)

Potenciación

2) Para cualquier nro. , vale

a⁰=1

a≠0

a ∈¿ a ∈N

aⁿ=a.a.a...a

n veces n

(43)

Potenciación

3) Producto de potencias de igual base: ( )

a⁰=1

a≠0

a ∈¿ a ∈N

aⁿ=a.a.a...a

n veces

aⁿ. a^m=a^n+m a≠0

n

(44)

Potenciación

4) Potencias de exponentes negativos: ( )

a⁰=1

a≠0

a ∈¿ a ∈N

aⁿ=a.a.a...a

n veces

aⁿ. a^m=a^n+m a≠0

a⁻ⁿ= 1

aⁿ a≠0

n

(45)

Potenciación

4) Potencias de exponentes negativos: ( )

5) Potencias de potencias:

a⁰=1

a≠0

a ∈¿ a ∈N

aⁿ=a.a.a...a

n veces

aⁿ. a^m=a^n+m a≠0

a⁻ⁿ= 1

aⁿ a≠0

(aⁿ)^m=a^n.m

n

(46)

Propiedades de la potenciación

La potencia es distributiva respecto del producto y del cociente

(47)

( a.b)

ⁿ

= a

ⁿ

. b

ⁿ ^(2.3)⁴⁼²⁴^.3⁴

(48)

( a.b)

ⁿ

= a

ⁿ

. b

ⁿ

( a b )

n

= a

ⁿ

b

ⁿ

(2.3)⁴=2⁴.3⁴

(2 3)

4

=2⁴ 3⁴

(49)

Radicación

Puede interpretarse a la radicación como la operación que cancela a la potenciación en el sentido que permite recuperar el nro. original.

(50)

Radicación

Ejemplo: se tiene el nro. 5 y se lo eleva al cuadrado:

5²=25

(51)

Radicación

Se define la “raíz cuadrada” de 25 a la expresión:

5²=25

√

²⁵⁼

√

⁵²⁼⁵

(52)

Radicación

Se define la “raíz cuadrada” de 25 a la expresión:

En general:

5²=25

√

²⁵⁼

√

⁵²⁼⁵

√

n

^a=b ^b

ⁿ

⁼ ^a

(53)

Radicación

Importante

No están definidas (no existen) las raices con índices pares de un nro. negativo ya que ningún nro. elevado una cierta cantidad de veces (n, siendo n par) puede dar un resultado negativo.

(54)

Radicación

Importante

Las racíces de índice par no son únicas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3 y -3, ya que si se eleva tanto 3 como -3 al cuadrado, se obtiene 9:

(55)

Radicación

Importante

Las racíces de índice par no son únicas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3 y -3, ya que si se eleva tanto 3 como -3 al cuadrado, se obtiene 9:

ya que

√

^9=±3 ^(±3)²⁼⁹

(56)

Propiedades de la radicación

√ n ^ab= √ ⁿ ^a √ ⁿ ^b

(57)

√ n ^ab= √ ⁿ ^a √ ⁿ ^b

√ n ^a ^b ⁼ ^√ ^√ ⁿ ⁿ ^a ^b ^√

²⁵⁴ ⁼

^√ ^√

²⁵⁴ ⁼²⁵

(58)

√ n ^ab= √ ⁿ ^a √ ⁿ ^b

√ n ^a ^b ⁼ ^√ ^√ ⁿ ⁿ ^a ^b ^√

²⁵⁴ ⁼

^√ ^√

²⁵⁴ ⁼²⁵

√ ^√

³

⁷²⁹⁼

⁶

^√ ⁷²⁹⁼³

(59)

Relación entre potenciación y radicación

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

(60)

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

Ejemplos:

√

3

²⁼²

1 3

(61)

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

Ejemplos:

√

3

²⁼²

1 3

√ ⁵

⁴

⁼⁵

⁴²

⁼⁵

²

⁼ ²⁵

(62)

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

Ejemplos:

√

3

²⁼²

1 3

√ ⁵

⁴

⁼⁵

⁴²

⁼⁵

²

⁼ ²⁵

√

5

²

⁻²

⁼²

⁻²⁵

Números Reales

Números Reales

Propiedades y operaciones

I

I

√

I

√

I

U I

√

I

I

I

I

I

( a.b)

= a

. b

( a.b)

= a

. b

( a b )

= a

b

√

√

√

√

√

a=b b

= a

√

√ n ab= √ n a √ n b

√ n ab= √ n a √ n b

√ n a b = √ √ n n a b √

√ √

√ n ab= √ n a √ n b

√ n a b = √ √ n n a b √

√ √

√ √

729=

√ 729=3

√ n a m = a m n

√ n a m = a m n

√

2=2

√ n a m = a m n

√

2=2

√ 5

=5

=5

= 25

√ n a m = a m n

√

2=2

√ 5

=5

=5

= 25

√

2

=2

^a=b ^b

⁼ ^a

√ n ^ab= √ ⁿ ^a √ ⁿ ^b

√ n ^ab= √ ⁿ ^a √ ⁿ ^b

√ n ^a ^b ⁼ ^√ ^√ ⁿ ⁿ ^a ^b ^√

^√ ^√

√ n ^ab= √ ⁿ ^a √ ⁿ ^b

√ n ^a ^b ⁼ ^√ ^√ ⁿ ⁿ ^a ^b ^√

^√ ^√

√ ^√

⁷²⁹⁼

^√ ⁷²⁹⁼³

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

²⁼²

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

²⁼²

√ ⁵

⁼⁵

⁼⁵

⁼ ²⁵

√ n ^a ^m ⁼ ^a ^m ⁿ

²⁼²

√ ⁵

⁼⁵

⁼⁵

⁼ ²⁵

²

⁼²