MAT FINANCIERA 1 ppt

(1)

(2)

Matemáticas Financieras

A lo largo de este módulo,

aprenderás conceptos

básicos sobre Finanzas e

Inversiones, que te

(3)

(4)

Tasa de Interés

La

tasa de interés

es el porcentaje al que

está invertido un capital en una unidad de

tiempo, determinando lo que se refiere como

"el precio del dinero en el mercado

financiero".

La tasa de interés es fijada por el

Banco central de cada país a los otros

bancos y estos, a su vez, la fijan a las

personas por los préstamos otorgados.

Una tasa de interés alta incentiva al ahorro y

una tasa de interés baja incentiva al

(5)

BIENVENIDO

AL

INTERÉS SIMPLE

(6)

Interés Simple

(7)

Interés Simple

(8)

Interés Simple

(9)

Interés Simple

(10)

Interés Simple

Pero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.

LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo determinado.

(11)

Interés Simple

En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán

permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y Finanzas en general.

Así abreviaremos :

No confundas interés con tasa de interés. Como ves son muy diferentes. Cuando ustedes consultan

(12)

Interés Simple

(13)

Interés Simple

Veamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados.

C

I

i

(14)

Interés Simple

A continuación veremos como opera el cálculo de intereses…………..

(15)

Interés Simple

En el interés simple, el

Capital

y la

Ganancia

por el

interés permanece

(16)

Interés Simple

Analicemos el caso de un Capital de $10.000 colocado a una Tasa de Interés de 8% anual durante 5 años :

(17)

Interés Simple

En el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800.

Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital, a la tasa de interés y al número de períodos.

Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma:

I

C

i

n

I = C

x

i

x

n

Interés Simple

Capital

Tasa de interés

Período

(18)

Interés Simple

El interés Simple posee las siguientes características :

A mayor

C A P I T A L

A mayor

TASA DE INTERÉS

A mayor

N° DE PERÍODOS

Mayor INTERÉS

(19)

Interés Simple

Ejercicio 1 :

Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 años...

¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?

Seleccionamos la fórmula :

I = C x i x n

Reemplazando los valores en la fórmula :

I = 100.000 x 0.06 x 5

Efectuando los cálculos se obtiene :

I = $ 30.000

Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresa

en porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, es

necesario expresarla en decimales.

Por Ejemplo :

(20)

Interés Simple

A modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios :

¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $ 24.000 de Interés ?

¿ Qué fórmula usaras ?

Verificando fórmula...

Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al despejarla de la fórmula de Interés Simple obtenemos la fórmula

seleccionada.

En este caso “n” = 6 meses o para

“

“homogeneizar”, 0,5 años.homogeneizar”, 0,5 años.

¡Muy bien!

$200.000 es el

(21)

Interés Simple

Ejercicio 2 :

Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 días...

¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?

I = C x i x n / 360

I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360

I = $ 83,3

El interés que obtendría usted es de

$83

(22)

Interés Simple

Los ejemplos y actividades que verás, se

basan en el llamado tiempo ajustado, o

Tiempo comercial, que considera cada mes

como de 30 días. El denominado tiempo real

que tiene meses de entre 28 y 31 días, no se

usará por razones prácticas.

(23)

Interés Simple

OJO :

Debemos igualar las unidades de tiempo en

que están expresadas la tasa y el período.

(24)

BIENVENIDO

AL

INTERÉS COMPUESTO

(25)

Interés Compuesto

El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se

emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.

Al final de cada

período el capital

varía, y por

consiguiente, el

interés que se

generará será

mayor.

(26)

Interés Compuesto

(27)

Interés Compuesto

(28)

Interés Compuesto

Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :

Recuerda que el exponente de

(1+i) es igual al número de

períodos.

(29)

Interés Compuesto

Un concepto importante que debes recordar,

se refiere a la

CAPITALIZACIÓN

de los intereses,

es decir, cada cuánto tiempo el interés ganado

se agrega al Capital anterior a efectos de

calcular nuevos intereses.

En general la

CAPITALIZACIÓN

se efectúa a

Intervalos regulares :

• Diario

Diario

• Mensual

Mensual

• Trimestral

Trimestral

• Cuatrimestral

Cuatrimestral

• Semestral

Semestral

(30)

Interés Compuesto

Se dice entonces :

que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertible

en capital, en consecuencia, también gana interés

El interés aumenta periódicamente durante

el tiempo que dura la transacción.

El capital al final de la transacción se llama

MONTO

COMPUESTO

y lo designaremos

MC

.

A la diferencia entre el

MONTO COMPUESTO

y el

CAPITAL (C)

se le conoce como

INTERÉS

COMPUESTO

y lo designaremos por

IC

.

Obtenemos entonces la siguiente fórmula :

IC = MC – C

Interés Compuesto = Monto Compuesto - Capital

(31)

Interés Compuesto

De acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:

Monto Compuesto

Monto Compuesto, al, al final del periodo “n”

final del periodo “n”

estaría dado por :

**MC = C*(1+i)^n**

En los problemas de

Interés Compuesto el

Interés Compuesto el Principio fundamental

Principio fundamental

Establece que la Tasa

De Interés y el Tiempo

deben estar en la misma

unidad que establece

la capitalización. la capitalización. El factor El factor

(1+i)^n

Se denomina FACTOR DE

CAPITALIZACIÓN COMPUESTO

(32)

Interés Compuesto

Ejercicio 1 :

¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000

depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ?

**MC = C * (1+i)^n**

**MC = 250.000 * (1+0.02)^8**

MC = $ 292.915

PARE :

Recuerde respetar las prioridades

Operacionales :

1° Resolvemos el paréntesis.

2° Multiplicamos.

(33)

Interés Compuesto

Ejercicio 2 :

Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO

del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO

de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?

N = Log MC – Log C / Log (1+i)

N = Log 237.537 – Log 200.000

/ Log 1,035

N = 5,375731267 – 5,301029996

/ 0,01494035

(34)

Interés Compuesto

Ejercicio 3 :

Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la TASA DE INTERÉS de la operación?

i = (MC / C ) ^ 1/n - 1

i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1

i = 1,187685 ^ 1/5 - 1

i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035

Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %

mensual.

(35)

Interés Compuesto

Ejercicio 4 :

¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000, capitalizable anualmente ?.

C = MC / (1 + i)^n

C = 250.000 / (1 + 0,12)^2

C = 250.000 / 1,2544

= $ 199.298 = $ 199.298

Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de

$ 199.298

(36)

Interés Real y Nominal

El ultimo concepto que revisaremos en esta lección se refiere a INTERÉS REAL.

Como muchos otros bienes, el dinero se deprecia en el tiempo

(tiene un menor valor). En el caso del dinero, esto se produce

por el efecto que tiene sobre él un fenómeno denominado INFLACIÓN.

La inflación tiene un efecto directo sobre la rentabilidad que exigirá

un Inversionista respecto de su inversión.

El interés que se pacta normalmente, no tiene en cuenta el efecto de

la INFLACIÓN. Se le denomina INTERÉS NOMINAL.

Los conceptos y ejercicios que hemos

desarrollado hasta ahora, siempre han

considerado el interés NOMINAL.

No obstante, ustedes se deben interesar

siempre por el interés o rentabilidad

REAL de su inversión.

(37)

(38)

Inflación y tasas de interés

Aumento sostenido en el nivel general de precios.

Normalmente medido a través del cambio en el IPC

Inflación:

En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder

adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año

más.

$100 $100

Si π = 25% Periodo 0

(Año 0) Periodo 1_{(Año 1)}

(39)

Inflación y tasas de interés

La ecuación que relaciona las

tasas nominal y real

, es conocida en

la literatura con el nombre de

igualdad de Fischer:

Donde i = tasa de interés nominal r = tasa de interés real

 = Tasa de inflación



1 

i

 



1 



 

*

1 

r



A B

La

tasa de interés

(conocida como tasa nominal) deberá

incorporar:

A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o

en el futuro (valor dinero en el tiempo) (

tasa real

)

B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder

adquisitivo (

tasa inflación

)

...continuación...

(40)

RESUMEN:

2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real) * Poder adquisitivo (inflación)

Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%

Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;

Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%

Inflación y tasas de interés

$1100 $1375

Año 1 Si π = 25% Año 1

$1000 $1100

Año 0 Si r = 10% Año 1

...continuación...

(41)

Inflación y tasas de interés

Si tengo $

500 y un banco me ofrece una

tasa de interés

nominal anual del 37,5%

y me encuentro en una economía

donde la

inflación es del 25% anual

.

¿ Cuál es la tasa real correspondiente ?

¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?

Ejemplo:

...continuación...

(42)

Si: ( 1 + i ) = ( 1 +



**) * ( 1 + r )**

Donde



=0,25 y i =0,375

Entonces:

(1+0,375) = (1+0,25)*(1+r)

(1+r) = 1,1

r = 10%

Si el capital inicial es C

₀

= $ 500

Entonces: C

₁

= C

₀

*(1+i)

= 500*(1,375)

C

₁

= $ 687,5

Inflación y tasas de interés

...continuación...

(43)

Inflación y tasas de interés

...continuación

La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y

por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con

inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a

futuro con el consiguiente problema de incertidumbre.

Nota importante

(44)

Interés Real y Nominal

El interés REAL, es el ajuste que debe efectuarse

al interés NOMINAL para que refleje correctamente

la inflación del período.

En otras palabras, el interés REAL refleja el “PODER

ADQUISITIVO” de la rentabilidad obtenida en una

inversión.

Si la inflación es positiva, siempre el interés REAL

será menor que el interés NOMINAL.

(45)

Interés Real y Nominal

El impacto de la inflación se puede estimar. Ello es

necesario, para muchas decisiones financieras donde

lo que realmente importa es la rentabilidad REAL

(46)

(47)

Interés Real y Nominal

IPC

NOMINAL

N

OMINAL

REAL

IPM

INFERIOR

SIMPLE

IPC

IPM

REAL

NOMINAL

(48)

MATEMÁTICA FINANCIERA



Valor del dinero en el tiempo



Valor futuro y valor actual

Temario

(49)

Corresponde a la rentabilidad que un agente

económico exigirá por no hacer uso del dinero

en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro



Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.



Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco

ganando una rentabilidad.

La

tasa de interés (r)

es la variable requerida para

determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos

periodos distintos de tiempo

La

sociedad

es un participante más que también tiene

preferencia intertemporal entre consumo e inversión

presente y futura.

Valor del dinero en el tiempo

(50)

Periodo 0

(Año 0)

$1.000 $1.100

Si r = 10%

Periodo 1

(Año 1)

Valor del dinero en el tiempo

...continuación...

Ejemplo

Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y

₀

) de $1.000 por una sola vez

y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero

en el banco.

a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa

rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de

10% ?

1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)

100 + 1000 =

1.100 (valor dentro de un año)

(51)

Valor del dinero en el tiempo

...continuación

Si :



Sólo hay sólo 2 periodos



Ingreso sólo hoy (

Y

₀

=1.000)



Puede consumir hoy o en un año

(

C

₀

,

C

₁

)



Rentabilidad exigida por no

consumir hoy:

r=10%

b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un

año si consume $200 hoy ?

Si

C

₀

=200

,

C

₁

=(1000-200)*1,1=

880 Entonces

C

₁

= (Y

₀

– C

₀

**)*(1+r)**

0 200 400 600 800 1.000 1.200 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0 1. 00 0 Periodo 0 P e ri o d o 1 (200, 880) (500, 550) (800, 220) 1.100

Consumo total= 200 + 880 =

1.080

(52)

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)











3

1

1 *

r

VA

r

VA

VF









0 3

VF

Año:

VA

1 2

Si son 3 periodos

Caso General:

VF



VA

*



1 

r



n

VALOR FUTURO



r



VA

VF



*

1 

0 1

VF

VA

Año:

Sólo 1 periodo

Donde:

r = tasa de interés

(53)

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)



 



3

1

1 *

1 r

VF

r

VF

VA









0 3

VF

Año:

VA

1 2

Caso 3 periodos

Caso General:





n

r

VF

VA





1 VALOR ACTUAL

...continuación...



r



VF

VA





1

0 1

VF

VA

Año:

Caso 1 periodo

Donde:

r = tasa de interés

(54)

Ejemplos VF y VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

a)

Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.

¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0:

1.000 Año 1:

1.000 * (1+0,12) = 1.120

Año 2:

1.120 * (1+0,12) = 1.254

Año 3:

1.254 * (1+0,12) =

1.405 VF= 1.000 * (1+0,12)

3

= 1.000 * 1,4049 =

1.405 Alternativamente:

...continuación...

(55)

Ejemplos VF y VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

b)

Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de

interés anual es de 15%.

¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4:

3.300 Año 3:

3.300 / (1+0,15) = 2.869,6

Año 2:

2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3

Año 1:

2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8

Año 0:

2.169,8 / (1+0,15) =

1.886,8

VA= 3.300 / (1+0,15)

4

= 3.300 / 1,749 =

1.886,8

Alternativamente:

...continuación

(56)

Ejemplos VF y VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

Caso especial

c)

Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.

¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?

...continuación

VF=

1.000 * (1+r)

3

= 1.643

(1+r)

3

=

1,64

(1+r) = (1,64)

1/3

1+r

=

1,18

r = 0,18

(57)

Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés compuesta

Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor

actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.

El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo,

luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados

y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.





n

r

VA

VF



*

1 

VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo

n = número de períodos

(1+r)

n

_{: Factor de capitalización}







n

r

VF

VA





1 

1 (1+r)

n

: Factor de descuento

(58)

Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés simple

Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención,

pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.

El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice

periodo a periodo con los intereses ganados

)

*

1 (

*

r

n

VA

VF





VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo

n = número de períodos

**(1+r*n)**

: Factor acumulación simple





r

n



VF

VA

*

1 





1 _{: Factor descuento simple}

**(1+r*n)**

...continuación...

(59)

Tasas de interés compuesta y simple

Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple

Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.

¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Con tasa interés

compuesta

:

C = 1.000 * (1+0,12)

3

= 1.000 * 1,4049 =

1.405 Con tasa interés

simple

:

C = 1.000 * (1+0,123) = 1.000 1,36 =

1.360

1000 1120 1254 1405

1+r 1+r 1+r

1000 1360

1+r*3

...continuación...

Intereses ganados: Año 1: $ 120

Año 2: $ 134 Año 3: $ 151

Intereses ganados: Año 1: $ 120

Año 2: $ 120 Año 3: $ 120

(60)

Interés Real y Nominal

A continuación resolveremos unos

ejercicios, que nos ayudarán a determinar

si has adquirido los conocimientos

(61)

NIVEL II

Responde las siguientes preguntas para que puedas verificar tu avance :

La diferencia fundamental entre interés SIMPLE y COMPUESTO

es que en el cálculo del interés SIMPLE, el capital es constante,

en cambio en el interés COMPUESTO, el capital va aumentando

según se capitalizan los intereses ganados.

El cálculo del interés COMPUESTO es poco empleado en la

practica.

Los conceptos claves para resolver problemas de INTERÉS

SIMPLE son : CAPITAL, INTERÉS, TASA DE INTERÉS y PERÍODO

TIEMPO.

La fórmula básica para resolver un problema de interés simple

es :

i = C * I * n

(62)

Ejercicios

¿ Cuál es la alternativa correcta ?

Si una persona invierte $30.000 a un interés

simple de 7% anual, al final de un período de

30 años, habrá obtenido un

30 años, habrá obtenido un interés de

interés de

:

a) $63.000

b) $90.000

c) $42.000

d) $65.000

(63)

Ejercicios

¿ Qué opciones son correctas ?

Marca aquellas sentencias que consideres

correctas, respecto al

correctas, respecto al interés compuesto

interés compuesto

:

a) Es aquella que se utiliza en las aplicaciones

financieras prácticas.

b) Debe especificar un período de capitalización

c) Si la inflación es 0, el interés nominal siempre

será mayor al interés real en un mismo período

de tiempo.

(64)

Ejercicios

¿ Qué opciones son correctas ?

Marca aquellas sentencias que consideres

correctas, respecto al

correctas, respecto al interés real

interés real

:

a) El interés real es siempre compuesto.

b) Es aquel que tiene incorporado el efecto de la

inflación.

c) Si la inflación medida por el IPC, es positiva, el

interés nominal será siempre mayor que el real.

(65)

CONCLUSIÓN FINAL

En este módulo hemos revisado conceptos

claves que son permanentemente utilizados

en tú desarrollo profesional :

1) Definimos Capital, Interés y Tasa de Interés

2) Interés Simple y ejemplos.

3) Interés Compuesto y ejemplos.

4) Analizamos el impacto de la inflación sobre el

interés o la rentabilidad de una inversión.

5) Interés nominal v/s Interés real.

(66)