PPS2014B02(PDF)-Razonamiento Inductivo Deductivo

(1)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

1

11.... Halla “ab”.Halla “ab”.

ab ab .... .... )) 201 201 .... .... 9 9 7 7 5 5 3 3 1 1 ((

××

22

==

A) 28 A) 28 B) 10B) 10 C) 9C) 9 D D)) 88 EE)) 11 Analizando Analizando ab ab .... .... )) 201 201 .... .... 9 9 7 7 3 3 1 1 ((

××

22

==

ab ab .... .... )) 5 5 (.... (.... 22

==

ab ab .... .... 25 25 .... ....

==

10 10 ab ab

==

2 2

22.... Halla la suma Halla la suma de cifrade cifras del resultas del resultadodo de:de: )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( 1010

−−

1010

++

A) A) 181181 B)B) 182182 C)C) 180180 D D)) 118833 EE)) 118866 Evaluando Evaluando )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( E E

==

1010

−−

1010

++

1 1 10 10 E E

==

2020

−−

      cifras cifras 20 20 99 99 ... ... 9999 9999 E E

==

∴

Suma de cifras = 20(9) = 180Suma de cifras = 20(9) = 180

3

33.... Calcula la suma de cifras del Calcula la suma de cifras del resultado de:resultado de: 2 2 cifras cifras 9 9 )) 111 111 .... .... 111 111 ((________ A) 81 A) 81 B) 71B) 71 C) 89C) 89 D D)) 1188 EE)) 2277 Analizando

Analizando casos particulacasos particularesres

1 1 1 122

==

→

1 =1 = 1122 121 121 11 1122

==

→

4 =4 = 2222 321 321 12 12 111 11122

==

→

9 =9 = 3322  Para el problema Para el problema

∴

Suma de cifras =Suma de cifras = 9922

==

8181

cifra cifra 1 1 cifras cifras 2 2 cifras cifras 3 3 Suma de cifras Suma de cifras n n 2 2 n n 2 2 n n n n n n n n _b_b ₎₍₎₍_a_a _b_b ₎₎ _a_a _b_b a a ((

−−

++

==

−−

25 25 .... .... )) 5 5 (.... (.... 5 5 .... .... )) impar impar número número (( 5 5 2 2

₌₌

==

××

•• •• números impares números impares

(2)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

4

44.... Halla la suma de Halla la suma de cifras del resultado de:cifras del resultado de: 2 2 cifras cifras 41 41 )) 333 333 .... .... 333 333 ((________ A) A) 228877 BB) ) 336699 CC) ) 112299 D D)) 339966 EE)) 333366 Por inducción Por inducción 9 9 3 322

==

→

9 9 = = 9(1)9(1) 1089 1089 33 3322

==

→

18 = 9(2)18 = 9(2) 110889 110889 333 33322

==

→

27 = 9(3)27 = 9(3)  Para el problema Para el problema

∴

Suma de ciSuma de cifras = 9(4fras = 9(41) =1) = 369369

5 5 55.... Simplifica:Simplifica: 3 3 10 10 12321 12321 123454321 123454321 R R

==

−−

A) 21 A) 21 B) 12B) 12 C) 19C) 19 D D)) 88 EE)) 1111 Efectuando Efectuando 3 3 10 10 12321 12321 123454321 123454321 R R

==

−−

1000 1000 111 111 11111 11111 R R

==

−−

1000 1000 11000 11000 R R

==

→

RR

==

1111 6 6

66.... Calcula la suma de cifras de “E” en:Calcula la suma de cifras de “E” en: 2 2 cifras cifras 51 51 )) 995 995 .... .... 999 999 (( E E

==

________ A) 127 A) 127 B) 457B) 457 C) 458C) 458 D D)) 447755 EE)) 113300 Por inducción Por inducción 25 25 5 522

==

→

7 7 = = 99((11)) –– 22 025 025 9 9 95 9522

=

→

116 = 6 = 99((22)) –– 22 025 025 990 990 995 99522

==

→

225 = 5 = 99((33)) –– 22  Para el problema Para el problema

∴

SuSuma dma de cie cifrfras = 9as = 9(5(51)1) –– 2 =2 = 454577

cifras cifras 2 2 cifras cifras 3 3 cifra cifra 1 1 cifra cifra 1 1 cifras cifras 2 2 cifras cifras 3 3 Suma de cifras Suma de cifras En general, si se tiene En general, si se tiene k k 9 9 cifras cifras de de Suma Suma )) 999 999 .... .... 999 999 (( )) 666 666 .... .... 666 666 (( )) 333 333 .... .... 333 333 (( 2 2 cifras cifras k k 2 2 cifras cifras k k 2 2 cifras cifras k k

==











                  Suma de cifras Suma de cifras 11 11 1 1 2 2 1 1

==

111 111 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1

==

111 111 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 1 1

==

4 cifras 4 cifras

(3)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

7

77.... Calcula “Calcula “ A A

++

MM

++

II

++

GG

++

OO”, si:”, si: AMIGO AMIGO .... .... 99999 99999 245837 245837 .... ....

++

==

A) 28 A) 28 B) 20B) 20 C) 25C) 25 D D)) 2277 EE)) 2266

Efectuando en el primer miembro Efectuando en el primer miembro

AMIGO AMIGO .... .... 99999 99999 245837 245837 .... ....

++

==

AMIGO AMIGO .... .... 45836 45836 .... ....

==

∴

A A

++

MM

++

II

++

GG

++

OO

==

2626 8 8 88.... SSii::

∆∆

==

00 ;;

θθ

==

11 Calcula A si: Calcula A si: 2 2 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 3 3 3 3 )) (( )) (( )) (( 9 9 )) )( )( )( )( (( A A

θθ

++

θθ

∆∆

++

∆∆

θθ

−−

∆∆

θθ

−−

∆∆

××

θθ

−−

∆∆

−−

θθ

−−

∆∆

==

A) 28 A) 28 B) 10B) 10 C) 9C) 9 D D)) 88 EE)) 11 Reemplazando

Reemplazando

∆∆

==

00 yy

θθ

==

11, tenemos, tenemos

2 2 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 3 3 3 3 )) 1 1 )) 1 1 (( 0 0 0 0 (( )) 1 1 0 0 (( )) 1 1 0 0 (( 9 9 )) 1 1 0 0 )( )( 0 0 1 1 )( )( 1 1 0 0 (( A A

++

−−

××

−−

==

)) 1 1 )( )( 1 1 )( )( 1 1 (( 9 9 )) 1 1 )( )( 1 1 )( )( 1 1 (( A A

==

−−

××

9 9 A A

==

9 9 99.... Calcula:Calcula: 9 9 261 261 267 267 4 4 530 530 526 526 A A

++

××

++

××

==

A) 2 A) 2 B) 6B) 6 C) 4C) 4 D D)) 00 EE)) 11

Expresando cada facto

Expresando cada factor, en r, en uno equivalenteuno equivalente

2 2 2 2 3 3 )) 3 3 264 264 )( )( 3 3 264 264 (( 2 2 )) 2 2 528 528 )( )( 2 2 528 528 (( A A

++

−−

++

−−

==

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 264 264 2 2 2 2 528 528 A A

++

−−

++

−−

==

2 2 264 264 528 528 A A

 

 

 



 

 

==

Efectuando Efectuando 2 2 2 2 A

A

==

→

A A

==

44

1

11000.0... Calcula la suma de las Calcula la suma de las cifras de:cifras de: 2000 2000 )) 1998 1998 (( )) 1999 1999 (( P P

==

22

−−

22

++

A) 28 A) 28 B) 30B) 30 C) 29C) 29 D D)) 2277 EE)) 3311

La idea más práctica sería aplicar la diferencia de La idea más práctica sería aplicar la diferencia de cuadrado

cuadrados en s en la expresiónla expresión

2000 2000 )) 1998 1998 (( )) 1999 1999 (( P P

==

22

−−

22

++

2000 2000 )) 1998 1998 1999 1999 )( )( 1998 1998 1999 1999 (( P P

==

++

−−

++

2000 2000 )) 1 1 (( 3997 3997 P P

==

++

997 997 5 5 P P

==

∴

Suma dSuma de cifre cifras =as = 5 + 9 + 9 + 7 = 305 + 9 + 9 + 7 = 30

1 1 11111.1... CalculaCalcula 42 42 1 1 x x 5 5 1 1 x x 5 5

++

==

A) 8 A) 8 B) 10B) 10 C) 9C) 9 D D)) 77 EE)) 66 ::

(4)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

Obs

Observervamoamos que s que el prel primeimerr sumsumandando es uo es unn cuadrado perfecto y el segundo es su raíz cuadrado perfecto y el segundo es su raíz cu

cuadrada, entonces debemos buscar 2 cantidadesadrada, entonces debemos buscar 2 cantidades que cumplen dicha relación

que cumplen dicha relación

6 6 36 36 1 1 x x 5 5 1 1 x x 5 5

++

==

++

Comparando Comparando 55xx

++

11

==

3636 35 35 x x 5 5

==

→

xx

==

77 1 1

11222.2... CaCalclculula “3a “3aa –– 2b2b” en” en::

ab ab .... .... )) 354825 354825 (( )) 19225 19225 (( )) 3525 3525 (( 44

++

22

++

22

==

A) 13 A) 13 B) 6B) 6 C) 9C) 9 D D)) 88 EE)) 1111 Analizando

Analizando la última cifra tla última cifra terminal, tenemoserminal, tenemos ab ab .... .... )) 5 5 (.... (.... )) 5 5 (.... (.... )) 5 5 (.... (.... 44

++

22

++

22

==

ab ab .... .... 25 25 .... .... 25 25 .... .... 25 25 .... ....

++

==

ab ab .... .... 75 75 .... ....

==

C Coommppaarraannddoo a a = 7= 7 y y b b = 5= 5 3 3aa –– 22bb = = 33((77)) –– 22((55) ) = = 1111 1 1

11333.3... Halla el valor de:Halla el valor de: 4 4 44 ₂₂ ₄₄ ₈₈ 1 1 )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( 99 99 A A

==

++

A) 8 A) 8 B) 16B) 16 C) 10C) 10 D D)) 1122 EE)) 1144

Expresando cada facto

Expresando cada factor, en r, en uno equivalenteuno equivalente 16 16 ₂₂ ₂₂ ₄₄ ₈₈ 1 1 )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( A A

==

−−

++

16 16 ₄₄ ₄₄ ₈₈ 1 1 )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( A A

==

−−

++

16 16 ₈₈ ₈₈ 1 1 )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( A A

==

−−

++

16 16 ₁₆₁₆ 1 1 1 1 10 10 A A

==

−−

++

16 16 ₁₆₁₆ 10 10 A

A

=

→

A A

==

1010

1 1 11444.4... Si:Si: 2 2 cifras cifras 30 30 )) 666 666 .... .... 666 666 (( A A

==

________ ;; 22 cifras cifras 20 20 )) 333 333 .... .... 333 333 (( R R

==

________

Calcula la diferencia entre la suma de cifras del Calcula la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de R. resultado de A y la suma de cifras del resultado de R. A) 90

A) 90 B) 60B) 60 C) 100C) 100 D

D)) 112200 EE)) 114400

Identifica

Identificando cada ndo cada expresiónexpresión 2 2 cifras cifras 30 30 )) 666 666 .... .... 666 666 (( A A

==

________

→

99((3030)) 270270 cifras cifras de de Suma Suma

==













2 2 cifras cifras 20 20 )) 333 333 .... .... 333 333 (( R R

==

________

→

99((2020)) 180180 cifras cifras de de Suma Suma

==













Por lo tanto, la diferencia pedida es 90. Por lo tanto, la diferencia pedida es 90.

)) 1 1 10 10 (( 44

−−

)) 1 1 10 10 (( 88

−−

)) 1 1 10 10 (( 1616

−−

Cuadrado Cuadrado perfecto perfecto

(5)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

1

11555.5... Calcula la suma de cifras del Calcula la suma de cifras del resultado de:resultado de: )) 758 758 (( 517 517 )) 242 242 (( 400 400 )) 483 483 (( 758 758 )) 600 600 (( 242 242 A A

==

++

A) 8 A) 8 B) 6B) 6 C) 10C) 10 D D)) 1122 EE)) 11 Factorizando adecuadamente Factorizando adecuadamente )) 517 517 483 483 (( 758 758 )) 400 400 600 600 (( 242 242 A A

==

++

)) 1000 1000 (( 758 758 )) 1000 1000 (( 242 242 A A

==

++

)) 758 758 242 242 (( 1000 1000 A A

==

++

)) 1000 1000 (( 1000 1000 A

A

==

→

A A

==

11000000000000

∴

Suma de cifras = 1Suma de cifras = 1

1

11666.6... HallaHalla la sumala suma de cifde cifras dras del resuel resultadltado deo de:: 2 2 cifras cifras 30 30 )) 9995 9995 .... .... 999 999 (( A A

==

______ ____ A) A) 268268 B)B) 296296 C)C) 270270 D D)) 112200 EE)) 223300 Por inducción Por inducción 25 25 5 522

==

→

7 = 7 = 99((11)) –– 22 025 025 9 9 95 9522

==

→

116 = 6 = 99((22)) –– 22 025 025 990 990 995 99522

==

→

225 = 5 = 99((33)) –– 22  Luego

Luego,, para epara el probl problemalema

∴

SuSuma dma de cie cifrfras = as = 9(9(3030)) –– 2 =2 = 262688

1

11777.7... Calcula la suma de cifras del Calcula la suma de cifras del resultado de:resultado de: 1 1 40 40 39 39 38 38 37 37 A A

==

××

++

Analizando casos casos particulares particulares para para determinar determinar elel resultado de la operación resultado de la operación 5 5 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1

××

++

==

11 11 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2

××

++

==

19 19 1 1 6 6 5 5 4 4 3 3

××

++

==

Entonces

Entonces A A

==

3838((3939))

−−

11

==

11481481

∴

Suma de cifras = 1 + 4 + 8 + 1 = 14Suma de cifras = 1 + 4 + 8 + 1 = 14

1 1 11888.8... Si:Si: 3 3 )) 1 1 50 50 )....( )....( 1 1 6 6 )( )( 1 1 4 4 )( )( 1 1 2 2 (( A A

==

22

++

22

++

22

++

22

++

Halla el producto de la última cifra del resultado Halla el producto de la última cifra del resultado con 10. con 10. A) 88 A) 88 B) 60B) 60 C)C) 8080 D D)) 2200 EE)) 5500 3 3 2501 2501 .... .... 37 37 17 17 5 5 A A impar impar número número

++

××

==

__________________ 3 3 5 5 .... .... A A

==

++

8 8 .... .... A A

==

Por lo tanto, el producto de 8 por 10

Por lo tanto, el producto de 8 por 10 es 80.es 80.

cifras cifras 2 2 cifras cifras 3 3 cifra cifra 1 1 Suma de cifras Suma de cifras 2 2

××

33 –– 11 3 3

××

44 –– 11 4 4

××

55 –– 11

(6)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

En una multiplicación si las bases son En una multiplicación si las bases son iguales, entonces los exponentes se suman iguales, entonces los exponentes se suman

1

11999.9... Calcula la suma de cifras del Calcula la suma de cifras del resultado de:resultado de: 2 2 cifras cifras 30 30 2 2 cifras cifras 30 30 )) 2223 2223 ... ... 2222 2222 (( )) 2225 2225 ... ... 2222 2222 (( R R

==

___{ }______{ }___

−−

___{ }______{ }___ A) 270 A) 270 B) 239B) 239 C) 232C) 232 D D)) 226600 EE)) 224400 Aplicando d

Aplicando diferencia diferencia de cuadrade cuadrados, tenemosos, tenemos

)) 223 223 .... .... 222 222 225 225 .... .... 222 222 )( )( 223 223 .... .... 222 222 225 225 .... .... 222 222 (( R R cifras cifras 30 30 cifras cifras 30 30 cifras cifras 30 30 cifras cifras 30 30                        

++

−−

==

)) 2 2 )( )( 448 448 .... .... 444 444 (( R R cifras cifras 30 30      

==

      cifras cifras 30 30 896 896 .... .... 888 888 R R

==

∴

SumSuma de ca de cifrifras =as = 28(28(8) +8) + 9 + 6 = 239 + 6 = 2399

2

22000.0... Se forma un arreglo triangular con ciertaSe forma un arreglo triangular con cierta cantidad de bolas. Si en la base hay 60 bolas. cantidad de bolas. Si en la base hay 60 bolas. ¿Cuántas bolas se ha necesitado para formar el ¿Cuántas bolas se ha necesitado para formar el arreglo? arreglo? A) 1 900 A) 1 900 B) 1 860B) 1 860 C) 1 880C) 1 880 D D) ) 1 1 883300 EE) ) 1 1 884400 Por inducción Por inducción

→

2 2 2 2 1 1 1 1

==

××

→

2 2 3 3 2 2 3 3

==

××

→

2 2 4 4 3 3 6 6

==

××

 Luego

Luego parapara 60 bo60 bolas en las en la bala base, se se, se tientienee

∴

11830830 2 2 61 61 60 60 bolas bolas de de total total N N

°°

==

××

==

2 2

22111.1... En la expreEn laexpresión csión calculaalcula A A 33::

1 1 )) n n ... ... 3 3 2 2 1 1 (( n n 4 4 3 3 2 2 ₅₅ ₅₅ _..._... ₅₅ ₎₎ 5 5 5 5 (( A A

==

××

++

−− A) 8 A) 8 B) 216B) 216 C) 27C) 27 D D)) 112255 EE)) 6644

( (

))

11 22 33 ... nn 1 1 n n ... ... 3 3 2 2 1 1 5 5 A A

==

++

5 5 A A

==

∴

A A 33

==

5533

==

125125 2 2

22222.2... En una chacra hay plantaciones deEn una chacra hay plantaciones de manzanas, di

manzanas, dispuestas en una spuestas en una fila. Sifila. Si en la primeraen la primera planta hay una manzana, en la segunda planta planta hay una manzana, en la segunda planta hay 3 manzanas, en la tercera, hay 7; en la hay 3 manzanas, en la tercera, hay 7; en la cuarta, hay 15, y así sucesivamente. ¿Cuántas cuarta, hay 15, y así sucesivamente. ¿Cuántas manzanas habrá en la décima planta?

manzanas habrá en la décima planta? A) 1 023 A) 1 023 B) 1 016B) 1 016 C) 1 027C) 1 027 D D) ) 1 1 225500 EE) ) 1 1 664400 N° de bolas N° de bolas base base la la en en bolas bolas 2 2 base base la la en en bola bola 1 1 base base la la en en bolas bolas 3 3 Del enunciado Del enunciado 830 830 1 1 2 2 61 61 60 60 60 60 ... ... 3 3 2 2 1 1 bolas bolas de de total total N N

==

××

==

++

==

°°

58 59 60 58 59 60 1 1 2 2 33 Método práctico Método práctico

(7)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

Analizando

Analizando la la cantidad de cantidad de manzanas manzanas que que hay hay enen cada planta cada planta 1ra planta 1ra planta

→

11

==

2211

−−

11 2da planta 2da planta

→

33

==

2222

−−

11 3ra planta 3ra planta

→

77

==

2233

−−

11 4ta planta 4ta planta

→

1515

==

2244

−−

11  Luego

Luego,, en la décien la décima plantma plantaa

∴

NN

°°

dede manzanasmanzanas

==

221010

−−

11

==

11023023

2

22333.3... Calcula la suma de cifras del Calcula la suma de cifras del resultado de:resultado de: )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( A A

==

2020

++

2020

−−

A) 380 A) 380 B) 360B) 360 C) 300C) 300 D D)) 331122 EE)) 339900 Evaluando Evaluando )) 1 1 10 10 )( )( 1 1 10 10 (( A A

==

2020

−−

2020

++

1 1 10 10 A A

==

4040

−−

      cifras cifras 40 40 99 99 ... ... 9999 9999 A A

==

∴

Suma de cifras = 40(9) = 360Suma de cifras = 40(9) = 360

2

22444.4... En qué cifra termina el resultado de:En qué cifra termina el resultado de: 2005 2005 2004 2004 2003 2003 ₂₀₀₅₂₀₀₅ ₂₀₀₆₂₀₀₆ 2001 2001

++

Analizando únicamente las cifrúnicamente las cifras terminalesas terminales 2005 2005 2004 2004 2003 2003 _(...._(....₅₅₎₎ _(...._(....₆₆₎₎ )) 1 1 (.... (.... E E

==

++

6 6 .... .... 5 5 .... .... 1 1 .... .... E E

==

++

2 2 .... .... E E

==

2 2

22555.5... En qué cifra termina el resultado de:En qué cifra termina el resultado de: 40 40 41 41 42 42 43 43 24 24 ₄₂₄₂ ₎₎ ₆₇₅₆₇₅ ₄₆₄₆ ₅₁₅₁ 43 43 (( M M

==

++

××

−−

Analizando las cifraslas cifras terminalesterminales

40 40 41 41 42 42 43 43 24 24 _..._...₂₂ _)(..._)(...₅₅₎₎ _(..._(...₆₆₎₎ _(..._(...₁₁₎₎ 3 3 (... (... M M

==

++

−−

1 1 ... ... 6 6 ... ... )) 5 5 )(... )(... 2 2 ... ... 3 3 (... (... M M

==

44

++

44

++

33

−−

    7 7 ... ... )) 5 5 )(... )(... 8 8 ... ... 1 1 (... (... M M

==

++

−−

7 7 .... .... 5 5 .... .... M M

==

−−

8 8 .... .... M M

==

8 8 .... .... )) 2 2 (.... (.... )) 2 2 (.... (.... 42 424343

==

44

++

33

==

33

==

  2 2

22666.6... Si:Si: AN AN

++

NA NA

==

187187;; A A

>>

NN

Calcula:

Calcula: A A

++

NN

++

A A

A) 25 A) 25 B) 26B) 26 C) 22C) 22 D D)) 2244 EE)) 2288 N° manzanas N° manzanas Observación Observación

(8)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

Ordenando en forma vertical

E

En las unidades y decenas, se n las unidades y decenas, se observaobserva N + A = 17 N + A = 17







==

8 8 N N 9 9 A A

∴

A A

++

NN

++

A A

==

2626

2

22777.7... Halla la suma de las cifras de:Halla la suma de las cifras de:             cifras cifras n n cifras cifras n n 2 2 222 222 .... .... 222 222 111 111 .... .... 111 111 R R

==

−−

A) 2 A) 2 B) 2nB) 2n C) 3nC) 3n D D)) 44nn EE)) 55nn Por inducción Por inducción 3 3 9 9 2 2 11 11

−−

==

→

3 = 3(1)3 = 3(1) 33 33 1089 1089 22 22 1111 1111

−−

==

→

6 = 3(2)6 = 3(2) 333 333 110889 110889 222 222 111111 111111

−−

==

→

∴

Suma de cifras = 3nSuma de cifras = 3n

2

22888.8... ¿Cuántos números de la forma¿Cuántos números de la forma PERUPERU cumplen? cumplen? RU RU PE PE PERU PERU

==

++

A) 1 A) 1 B) 2B) 2 C) 3C) 3 D D)) 44 EE)) 55

Elevando al cuadrado y operando Elevando al cuadrado y operando

2 2 )) RU RU PE PE (( PERU PERU

==

++

2 2 )) RU RU PE PE (( RU RU PE PE 100 100

++

==

++

)) RU RU PE PE (( )) RU RU PE PE (( PE PE 99 99

==

++

22

−−

++

                    99 99 de de múltiplo múltiplo es es producto producto cuyo cuyo utivos utivos sec sec con con factores factores 2 2 )) 1 1 RU RU PE PE )( )( RU RU PE PE (( PE PE 99 99

==

++

−−

Asumiendo valo

Asumiendo valores, tenemosres, tenemos

•• 9999PEPE

==

9999

××

9898 98 98 PE PE

==

→

RURU

==

0101

∴

PERUPERU

==

98019801 •• 9999PEPE

==

5555

××

5454 30 30 PE PE

==

→

RURU

==

2525

∴

PERUPERU

==

30253025 •• 9999PEPE

==

4545

××

4444 20 20 PE PE

==

→

RURU

==

2525

∴

PERUPERU

==

20252025 Por l

Por lo tao tanto,nto, existeexisten 3 nún 3 números meros que cuque cumplenmplen dicha condición.

dicha condición.

2

22999.9... Calcula la suma de cifras del Calcula la suma de cifras del resultado de:resultado de:

            cifras cifras 100 100 cifras cifras 100 100 999 999 ... ... 999 999 555 555 ... ... 555 555 A A

==

××

A) 1 A) 1 B) 10B) 10 C) 100C) 100 D D)) 9900 EE)) 990000 cifra cifra 1 1 cifras cifras 2 2 cifras cifras 2 2 cifras cifras 4 4 cifras cifras 3 3 cifras cifras 6 6 7 7 8 8 1 1 A A N N N N A A

++

Suma de cifras Suma de cifras

(9)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

Analizando

Analizando por inducciónpor inducción

45 45 9 9 5 5

××

==

→

99 == 99((11)) 445 445 5 5 99 99 55 55

××

==

→

1188 == 99((22)) 445 445 554 554 999 999 555 555

××

==

→

2277 == 99((33))  Para el problema Para el problema

∴

SumSuma de ca de cifrifras =as = 9(19(100) =00) = 900900

3

33000.0... En la siguiente figura se han utilizado 400En la siguiente figura se han utilizado 400 esferas. ¿Cuá

esferas. ¿Cuántos de ntos de éstoséstos hay en la hay en la fila n?fila n?

A) 10

A) 10 B) 15B) 15 C) 18C) 18 D

D)) 2255 EE)) 2200

Analizando

Analizando por inducciónpor inducción

→

11

==

1122

→

44

==

2222

→

99

==

3322

Como se emplearon 400 esferas, se tiene Como se emplearon 400 esferas, se tiene

400 400 n n22

==

→

nn

==

2020 3 3

33111.1... Halla el número total de palabrasHalla el número total de palabras “MARTES” que se pueden leer en el siguiente “MARTES” que se pueden leer en el siguiente arreglo. arreglo. A) 64 A) 64 B) 63B) 63 C) 32C) 32 D D)) 3311 EE)) 112288 Como

Como MARTMARTESES tientiene 6 lee 6 letras, tras, entoentoncesnces

∴

N° de maneras =N° de maneras = 2266

−−

11

==

3232

3

33222.2... Halla el total de puntos de contacto en:Halla el total de puntos de contacto en: M

M A A A A R R R R RR T T T T T T T T E E E E E E E E E E S S S S S S S S S S S S 28 28 2929 3030 1 1 2 2 33 cifra cifra 1 1 cifras cifras 2 2 cifras cifras 3 3 Suma de cifras Suma de cifras Fila n Fila n Fila 1 Fila 1 F Fililaa 22 F Fililaa 33 M M A A A A R R R R RR T T T T T T T T E E E E E E E E E E S S S S S S S S S S S S #esferas #esferas

(10)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

A) 290 A) 290 B) 870B) 870 C) 420C) 420 D D) ) 1 1 330055 EE) ) 2 2 887755 A

A nalizando casos particularesnalizando casos particulares

→













==

2 2 )) 0 0 (( 1 1 3 3 0 0

→













==

2 2 )) 1 1 (( 2 2 3 3 3 3

→













==

2 2 )) 2 2 (( 3 3 3 3 9 9

→













==

2 2 )) 3 3 (( 4 4 3 3 18 18 

Luego, para la figura Luego, para la figura

∴

11305305 2 2 )) 29 29 (( 30 30 3 3 corte corte de de puntos puntos de de N N



==











==

°°

3 3

33333.3... Si:Si: 11MADREMADRE

××

33

==

MADREMADRE11

Halla:

Halla: MAMA MAMA

A) 2 828

A) 2 828 B) 5 757B) 5 757 C) 4 242C) 4 242 D

D) ) 2 2 552255 EE) ) 7 7 117711

Descomponiendo por bloques Descomponiendo por bloques

1 1 MADRE MADRE 10 10 )) MADRE MADRE 100000 100000 (( 3 3

××

++

==

××

++

1 1 MADRE MADRE 10 10 MADRE MADRE 3 3 300000 300000

++

××

==

××

++

MADRE MADRE 7 7 299999 299999

==

××

Dividiendo la expresión entre 7 Dividiendo la expresión entre 7

MADRE MADRE 7 7 5 5 8 8 2 2 4 4

==

∴

MAMA MAMA

==

44242242 3 3

33444.4... ¿Cuántas esferitas sombreadas en total se¿Cuántas esferitas sombreadas en total se pueden contar en la siguiente figura?

pueden contar en la siguiente figura?

A) 625 A) 625 B) 576B) 576 C) 240C) 240 D D)) 445500 EE)) 665500 Por inducción Por inducción

→

22

==

11

××

22

→

66

==

22

××

33

→

1212

==

33

××

44 Para el problema Para el problema

∴

NN

°°

dede esferasesferas sombreadassombreadas

==

2525

××

2626

==

650650

484950 484950 1 1 22 33 ... N° ptos N° ptos de corte de corte N° N° de de esferasesferas sombreadas sombreadas 2 2

÷÷

1 1 22 1 1 22 33 4 4 1 1 22 33 1 1 1 1 2 3 4 5 62 3 4 5 6 1 1 22 33 44 1 1 22

(11)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

3 3 33555.5... Si:Si: ((aa

++

bb))22

==

100100

∧∧

aa22

++

bb22

==

5252 Halla: Halla: aaaa

××

bbbb A) 2 804 A) 2 804 B) 2 904B) 2 904 C) 2 944C) 2 944 D D) ) 2 2 990022 EE) ) 1 1 990044 Por dato Por dato 100 100 )) b b a a ((

++

22

==

→

aa22

++

bb22

++

22abab

==

100100 100 100 ab ab 2 2 52 52

++

==

24 24 b b a a

⋅⋅

==

∴

aaaa

××

bbbb

==

6666

××

4444

==

22904904 3 3 33666.6... Si:Si: 99xx

==

...xx Calcula “n” en: Calcula “n” en: 77xxxxxx

==

...nn A) 7 A) 7 B) 3B) 3 C) 2C) 2 D D)) 11 EE)) 99 Como Como 99xx

==

...xx

→

xx

==

99 Reemplazando Reemplazando 77999999

==

...nn n n .... .... 7 744

++

33

==

  n n .... .... 3 3 .... ....

==

→

nn

==

33 3 3

33777.7... Si:Si: nn abcdabcd

==

nn

Halla: Halla: aaaa

++

dddd A) 55 A) 55 B) 66B) 66 C) 77C) 77 D D)) 8888 EE)) 9999 De la expresión De la expresión n n abcd abcd n n

==

→

nnnn

==

abcdabcd

De la última expresión, observamos que un De la última expresión, observamos que un número elevado a él mismo debe dar como número elevado a él mismo debe dar como resultado un número de 4 cifras y el único valor resultado un número de 4 cifras y el único valor que cumple con la condición es

que cumple con la condición es nn

==

55, entonces, entonces

n n = 5= 5

→

5555

==

31253125

==

abcdabcd

∴

aaaa

++

dddd

==

3333

++

5555

==

8888 3 3 33888.8... Si:Si: A A 59 59 A A 6 6 CBA CBA

××

Calcula el valor de A+B. Calcula el valor de A+B. A) 6 A) 6 B) 5B) 5 C)C) 77 D D)) 33 EE)) 99 Evaluando Evaluando A A 9 9 5 5 A A 6 6 A A B B C C

××

iguales iguales 6(4) 6(4)









==

1 1 .... .... 9 9 9 9 .... .... 9 9 par par # # impar impar # # Debe ser 2 ó 4 Debe ser 2 ó 4

(12)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

Asumiendo que

Asumiendo que A = 2, tA = 2, tenemosenemos

2 2 9 9 5 5 2 2 6 6 2 2 B B C C

××

Se observa que

Se observa que verifica la operaciónverifica la operación

∴

A A

++

BB

==

22

++

33

==

55

3

33999.9... En que cifra termina:En que cifra termina:

AMOR AMOR )) 437 437 MAS MAS 258 258 DAME DAME ((

++

Analizando las cifras terminalas cifras terminalesles AMOR AMOR )) 7 7 .... .... 8 8 .... .... (( E E

==

++

AMOR AMOR )) 5 5 .... .... (( E E

==

5 5 .... .... E E

==

4 4 44000.0... Halla:Halla: PP

==

aabb

++

bbaa

++

77 Si se cumple que: Si se cumple que: ab ab ... ... 85 85 ... ... 35 35 25 25 15 15 5 511

××

33

××

55

××

77

××

1717

==

A) 6 A) 6 B) 8B) 8 C) 10C) 10 D D)) 1122 EE)) 1144 Identifican

Identificando la cifra do la cifra terminal de cada potenciaterminal de cada potencia

ab ab ... ... )) 5 5 (... (... ... ... )) 5 5 (... (... )) 5 5 (... (... )) 5 5 (... (...

××

==

ab ab .... .... 5 5 .... ....

==

Elevando al cuadrado Elevando al cuadrado ab ab .... .... )) 5 5 (.... (.... 22

==

ab ab .... .... 25 25 .... ....

==

C Coommppaarraannddoo a a = = 2 2 y y b b = = 55 8 8 64 64 7 7 5 5 2 2 P P

==

55

++

22

++

==

4 4

44111.1... Calcula el valor de:Calcula el valor de: mm

++

nn

++

pp

++

qq

Si se sabe que: Si se sabe que: 2433 2433 .... .... 99 99 mnpq mnpq

××

==

A) 10 A) 10 B) 25B) 25 C) 19C) 19 D D)) 2211 EE)) 1188 D

De e lla a eexxpprreessiióónn mnpqmnpq

××

9999

==

...22443333 433 433 2 2 .... .... )) 1 1 100 100 (( mnpq mnpq

××

−−

==

433 433 2 2 .... .... mnpq mnpq 00 00 mnpq mnpq

−−

==

Analizando

Analizando la diferenciala diferencia, tenemos, tenemos

3 3 3 3 4 4 2 2 .. .. ... ... q q p p n n m m 0 0 0 0 q q p p n n m m

−−

E Effeeccttuuaannddo o qq = = 7 7 ;; pp == 66 ;; nn = = 2 2 ;; mm == 44 19 19 q q p p n n m m

++

==

4 4 44222.2... Halla:Halla: aa

++

bb

++

cc

++

dd Si:

Si: abcdabcd

××

99999999999999

==

...35183518

A) 18 A) 18 B) 20B) 20 C) 22C) 22 D D)) 2244 EE)) 2266 1 1 1 1 Debe ser 4 Debe ser 4 De Debe sbe serer

(13)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

Aplicando la

Aplicando la regla prácticaregla práctica

8 8 1 1 5 5 3 3 .... .... 9999999 9999999 d d cc b b a a

××

==

Se observa que Se observa que aa

==

66 ;; bb

==

44 ;; cc

==

88 ;; dd

==

22

∴

aa

++

bb

++

cc

++

dd

==

2020 4 4

44333.3... Calcula el valor de:Calcula el valor de:

                                    sumandos sumandos "" n n "" 2 2 2 2 2 2 sumandos sumandos "" n n "" .... .... 3 3 2 2 1 1 n n ....) ....) 7 7 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 (( N N

++

××

++

××

++

××

==

Analizando casos particularcasos particulareses 1 sumando 1 sumando 1 1 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 2 2

==

++

××

_→

4 4 2 sumandos 2 sumandos 5 5 20 20 2 2 1 1 2 2 5 5 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2

₊₊

==

++

××

++

××

_→

₄₄ 3 sumandos 3 sumandos 14 14 56 56 3 3 2 2 1 1 3 3 7 7 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2

₊₊

==

++

××

++

××

++

××

_→

4 4 

Finalmente, para n sumandos Finalmente, para n sumandos

                                    sumandos sumandos "" n n "" 2 2 2 2 2 2 sumandos sumandos "" n n "" ... ... 3 3 2 2 1 1 n n ... ... 7 7 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 N N

++

××

++

××

++

××

=

→

NN

==

44 4 4 44444.4... Halla:Halla: UU

++

NN

++

II Si: Si: ((111111111111))77

==

...UU N N ... ... )) 55555 55555 (( 55

==

II ... ... )) 66666 66666 (( 77

==

Analizando lala cifra terminalcifra terminal de cada pode cada potenciatencia

•• (....(....11))77

==

...UU U U ... ... 1 1 .... ....

==

→

UU

==

11 •• (....(....55))55

==

...NN N N ... ... 5 5 .... ....

==

→

NN

==

55 •• (....(....66))77

==

...II II ... ... 6 6 .... ....

==

→

II

==

66

∴

UU

++

NN

++

II

==

1212 valor valor Suma de elementos = 10 Suma de elementos = 10 Suma de elementos = 9 Suma de elementos = 9 Si se cumple Si se cumple

µθ

αβδ

==

××

999999 ...999999 ... ... pq pq ... ... abc abc cifras cifras k k que que igual igual o o mayor mayor cifras cifras k k                Entonces Entonces

µθ

αβδ

==

××

999999...9999 ... ... pq pq ... ... abc abc Suma de elementos = 10 Suma de elementos = 10 Suma de elementos = 9 Suma de elementos = 9

(14)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

4

44555.5... Halla la suma de Halla la suma de cifras del resultado de:cifras del resultado de: 2 2 cifras cifras 20 20 )) 666 666 .... .... 6666 6666 (( E E

==

______ ____ A) A) 112200 BB) ) 114400 CC) ) 116600 D D)) 118800 EE)) 119900 Por inducción Por inducción 36 36 6 622

==

→

9 = 9(1)9 = 9(1) 4356 4356 66 6622

==

→

18 = 9(2)18 = 9(2) 443556 443556 666 66622

==

→

∴

Suma de cifras = 9(20) = Suma de cifras = 9(20) = 180180

4

44666.6... Halla el número total de sHalla el número total de saludos que puedenaludos que pueden ocurrir al encontrarse 20 personas.

ocurrir al encontrarse 20 personas. A) 188

A) 188 B) 189B) 189 C) 190C) 190 D

D)) 119911 EE)) 119922

Analizando

Analizando casos particularcasos particulareses

Entre 2 personas Entre 2 personas

→

2 2 1 1 2 2 1 1

==

××

→

2 2 2 2 3 3 3 3

==

××

→

2 2 3 3 4 4 6 6

==

××

 Luego

Luego, para 20, para 20 persopersonasnas

∴

190190 2 2 19 19 20 20 saludos saludos de de N N

°°

==

××

==

4 4 44777.7... Halla:Halla: ((aa

−−

mm

−−

nn))19971997 Si: Si: 11aa

++

22aa

++

33aa

++

...

++

99aa

==

mnmn11 A) 0 A) 0 B) 1B) 1 C) 2C) 2 D D)) 33 EE)) 44

Ordenando los sumandos en forma vertical Ordenando los sumandos en forma vertical

En las unidades En las unidades 9 9aa = …= …11 9(9) 9(9) = = 8181

→

aa = 9= 9 En las decenas En las decenas mn mn 8 8 )) 9 9 ... ... 3 3 2 2 1 1 ((

++

==

mn mn 53 53

==







==

3 3 n n 5 5 m m

∴

((aa

−−

mm

−−

nn))19971997

==

1119971997

==

11 cifra cifra 1 1 cifras cifras 2 2 cifras cifras 3 3 # saludos # saludos lleva lleva se se

++

1 1 n n m m a a 9 9 a a 4 4 a a 3 3 a a 2 2 a a 1 1  Suma de cifras Suma de cifras 4 4

P

3 3

P

1 1

P

2 2

P

1 1

P

₂₂ 3 3

P

1 1

P

₂₂

(15)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

4 4 44888.8... Si:Si: f f ((xx))

==

((xx

−−

22))22 Calcula: Calcula: f f (( 33

++

22))

−−

f f (( 22

++

22)) A) 0 A) 0 B) 2B) 2 C) 1C) 1 D D)) 33 EE)) 44 Piden Piden EE

==

f f (( 33

++

22))

−−

f f (( 22

++

22)) Interpretand

Interpretando lo la a condicióncondición 2 2 )) (( )) (( f f Entonces Entonces EE

==

(( 33))22

−−

(( 22))22 2 2 3 3 E E

==

−−

1 1 E E

==

4 4

44999.9... Halla “x + y” si se Halla “x + y” si se sabe que:sabe que:

xy xy ... ... )) 1999 1999 ... ... 7 7 5 5 3 3 1 1 ((

××

33 22

==

A) 10 A) 10 B) 9B) 9 C) 8C) 8 D D)) 77 EE)) 66 Sabemos que Sabemos que







==

××

25 25 .... .... )) 5 5 (.... (.... 5 5 .... .... )) impar impar número número (( 5 5 2 2 E

Ennttoonncceess ((11

××

33

××

77

××

...

××

1999199933))22

==

...xxyy xy xy .... .... )) impar impar ((

××

22

==

xy xy .... .... )) 5 5 (.... (.... 22

==

xy xy .... .... 25 25 .... ....

==

7 7 y y x x

++

==

5 5 55000.0... Si:Si: 22 m m n n n n m m

==

++

Calcula: Calcula: m m n n n n m m n n m m n n m m n n m m 55 44 33 22

++

 

 

 



 

 

++

 

 

 



 

 

++

 

 

 



 

 

++

 

 

 



 

 

A) 2 A) 2 B) 3B) 3 C)C) 44 D D)) 55 EE)) 66 Efectuando Efectuando mm22

++

nn22

==

22mnmn 0 0 n n mn mn 2 2 m m22

−−

++

22

==

0 0 )) n n m m ((

−−

22

==

→

m = nm = n Reemplazando Reemplazando n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n E E 2 2 3 3 4 4 5 5

++

 

 

 



 

 

++

 

 

 



 

 

++

 

 

 



 

 

++

 

 

 



 

 

==

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E E

==

55

++

44

++

33

++

22

++

→

EE

==

55 5 5

55111.1... Si:Si: HH OLA OLA

==

HH

Calcula:

Calcula: HH

++

OO

++

L L

++

A A

A) 19 A) 19 B) 16B) 16 C) 17C) 17 D D)) 88 EE)) 66 De la expresión De la expresión H H OLA OLA H H

==

→

HHHH

==

OLA OLA Analizando

Analizando las las potencias potencias concon igualigual base base yy exponente que generan un número de 3 cifras, exponente que generan un número de 3 cifras, cumple únicamente cuando

cumple únicamente cuando HH

==

44, es decir, es decir H H = 4= 4

→

4444

==

256256

==

OLA OLA

∴

HH

++

OO

++

L L

++

A A

==

1717 3 3

−−

(16)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

5

55222.2... Señala de cuántas formas se puede leer laSeñala de cuántas formas se puede leer la palabra

palabraEXIGEEXIGE en la siguiente figura:en la siguiente figura:

E E E E E E E E E E E E E E E E E E G G G G G G G G G G G G G G II II II II II X X X X X X E E A) 43 A) 43 B) 81B) 81 C) 32C) 32 D D)) 5566 EE)) 7766 Analizando

Analizando casos particularcasos particulareses

1 letra 1 letra

→

11

==

3311

−−

11 2 letras 2 letras

→

33

==

3322

−−

11 3 letras 3 letras

→

99

==

3333

−−

11

∴

3355 11 8181 EXIGE EXIGE leer leer de de formas formas de de N N

==













°°

₋₋

5 5

55333.3... HallaHalla la suma la suma dede cifrcifras del as del resultresultado ado de:de: 2 2 cifras cifras 30 30 )) 9995 9995 .... .... 999 999 (( A A

==

______ ____ A) A) 268268 B)B) 296296 C)C) 270270 D D)) 112200 EE)) 223300 Es igual a la

Es igual a la pregunta 16pregunta 16

5

55444.4... Calcula la suma de cifCalcula la suma de cifrasras del resultadodel resultado:: 1 1 40 40 39 39 38 38 37 37 A A

==

××

++

A) 8 A) 8 B) 16B) 16 C) 10C) 10 D D)) 1122 EE)) 1144 Es igual a la

Es igual a la pregunta 17 pregunta 17

5

55555.5... Calcula el valor de:Calcula el valor de: 3 3 33 33 33 3 3 33 33 9 9 15 15 25 25 3 3 5 5 A A

==

++

⋅⋅

−−

++

A) 8 A) 8 B) 6B) 6 C) 10C) 10 D D)) 22 EE)) 55

Observando la operación nos damos cuenta que Observando la operación nos damos cuenta que se trata del desarrollo de una suma de cubos, se trata del desarrollo de una suma de cubos, veamos veamos 3 3 ₃₃ ₃₃ ₃₃ 22 ₃₃ ₃₃ ₃₃ 22 )) 3 3 3 3 5 5 5 5 )( )( 3 3 5 5 (( A A

==

++

−−

⋅⋅

++

3 3 ₃₃ ₃₃ ₃₃ ₃₃ )) 3 3 (( )) 5 5 (( A A

==

++

3 3 3 3 5 5 A A

==

++

3 3 8 8 A

A

==

→

A A

==

22

5 5 55666.6... Si:Si: 3 3 )) 1 1 50 50 )....( )....( 1 1 6 6 )( )( 1 1 4 4 )( )( 1 1 2 2 (( A A

==

22

++

22

++

22

++

22

++

Halla el producto de la última cifra del resultado Halla el producto de la última cifra del resultado con 10. con 10. A) 88 A) 88 B) 60B) 60 C) 80C) 80 D D)) 2200 EE)) 5500 Es igual a

Es igual a la pregunta 18la pregunta 18

# formas # formas N° de letras N° de letras I I I I

(17)

P

P r r _o_o

_f

:

P

A

C

H

E

C

O

5

55777.7... Calcula el valor de:Calcula el valor de: 3 3 162 162 6 6 )) 4 4 731 731 727 727 (( R R

==

××

++

××

A) 27 A) 27 B) 16B) 16 C) 30C) 30 D D)) 1122 EE)) 1144 La i

La ideadea enen este este probproblema lema es ues utilizatilizar la r la difediferencirenciaa de cuadrados, es decir de cuadrados, es decir 3 3 22 162 162 6 6 ]] 2 2 )) 2 2 729 729 )( )( 2 2 729 729 [( [( R R

==

−−

++

××

3 3 22 22 22 27 27 2 2 2 2 729 729 R R

==

−−

++

3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 )) 9 9 (( R R

==

3 3 9 9 R R 2 2

==

→

RR

==

2727 Huá