- 1 -
2018
CURSO DE NIVELACIÓN
DE matemática
CURSOS CORTOS
- 2 -
PROGRAMA ANALÍTICO DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto de números naturales.
Conjunto de números enteros. Conjunto de números racionales. Conjunto de números irracionales. Conjunto de números reales.
Conjunto de los números enteros: recta numérica, operaciones, problemas de aplicación, ejercicios combinados.
UNIDAD 4 UNIDADES DE MEDIDA Longitud Peso Capacidad Pulgada Área (𝑚2) y volumen (𝑚3) Conversiones. Resolución de problemas UNIDAD 2
NÚMEROS RACIONALES: Fracciones El conjunto racional.
Ubicación en la recta numérica. Orden y comparación.
Fracciones equivalentes: Amplificación y Simplificación.
Suma y resta de fracciones con igual denominador.
Suma y restas de fracciones con distinto denominador.
Multiplicación y división de fracciones. Ejercicios combinados.
UNIDAD 5 GEOMETRÍA EN EL PLANO Clasificación de los cuerpos geométricos Triangulo Rectángulo
o Teorema de Pitágoras Cuadrado
Rectángulo Circunferencia
Calculo de Área y Perímetro. Resolución de problemas
UNIDAD 3
NÚMEROS RACIONALES: Decimales Expresión decimal de números racionales. Pasaje de expresión decimal a fracción. Fracciones decimales.
Porcentaje. Cálculo de Regla de tres simple. Suma y resta de expresiones decimales. Multiplicación y división de expresiones
decimales. Resolución de problemas UNIDAD 6 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Superficie lateral Superficie total. Volumen. Cubo Prisma Cilindro Esfera Resolución de problemas.
- 3 -
UNIDAD I ~ Conjuntos numéricos
- 4 -
El conjunto de los Números Naturales es el primer conjunto con el que se comienza a operar en matemática. Este conjunto surge ante la necesidad que tuvo el hombre de contar los elementos de la naturaleza que lo rodeaban. Simbólicamente se lo expresa con la letra IN.IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Este conjunto se caracteriza por:
Tener un número infinito de elementos
Su primer elemento en el número 1 y no tiene un último elemento Cada elemento tiene un sucesor, y todos excepto el 1, un antecesor.
Entre dos números consecutivos no existe otro número natural, por eso decimos que el conjunto de los números naturales es discreto (no continuo)
En el conjunto de los Números Naturales podemos realizar las operaciones de suma y multiplicación sin ningún inconveniente, siendo el resultado de estas operaciones también un número natural. No ocurre lo mismo con la resta y la división.
Actividad:
I. Indicar cuál de los siguientes números pertenecen a IN: a) 145 c) 11 e) 3/2
- 5 -
II. Ordenar de menor a mayor:a) 7 , 23 , 2 , 10 , 4 , 35 , 27 , 1
El Conjunto de los Números Enteros se crea para dar solución a un tipo de resta muy particular que no se puede resolver en el conjunto de los números naturales. Dicha resta es aquella que tiene un minuendo mayor que el sustraendo, (como por ej.: 5 – 20).
Esta operación en el conjunto de los números enteros tiene la siguiente solución: 5 – 20 = −𝟏𝟓 Nacen de
este modo los números negativos. El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero. Es decir, es la unión de los subconjuntos ℤ+, ℤ− y
el cero.
Simbólicamente el conjunto de números enteros se denota con la letra ℤ.
ℤ = {..., –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Gráficamente en la recta numérica hacia la derecha del cero se encuentra los enteros positivos (números naturales) y hacia la izquierda los enteros negativos.
Representación gráfica de ℤ
Recordar:
“El conjunto
ℤ incluye al conjunto IN, es decir que todo número
natural es también un número entero. Pero no todo número entero es un
número natural”.
- 6 -
Actividad:I. Indicar que números pertenecen a ℤ: a) 0 e) 548
b) 2/5 f) - 79 c) - 14 g) 1000 d) 1,65 h) - 37
II. Completar el siguiente mapa conceptual:
- 7 -
Al igual que los conjuntos anteriormenteestudiados, el conjunto de los Números Racionales se crea para dar solución a una operación en particular, la división formada por un dividendo que no es múltiplo del divisor. Este tipo de divisiones no tienen por resultado un número entero.
De este modo, el conjunto de los Números Racionales está formado por las fracciones y sus equivalentes
decimales, (decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto) incluyendo también a los números naturales y enteros.
Cualquier número que pueda expresarse con fracción es número racional. El término racional proviene de ración que significa parte.
Para la notación simbólica se usa la letra ℚ.
- 8 -
A medida que se grafican los conjuntos numéricos, la recta numérica se va completandoEjemplos de números racionales: 2
3 ; 1,25 ; − 7 ; 2,158̂ ; 0 ; − 1
6 ; 9 ; 0, 3̂
Actividad
Dar ejemplos de números racionales: a) d) b) e) c) f)
El conjunto de los números irracionales reúne a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores.
- 9 -
Entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi (π), etc.La particularidad que tienen los irracionales es que son números que no pueden ser expresados como una fracción entre dos enteros porque poseen infinitas cifras decimales todas diferentes, por ello decimos que es un conjunto que esta apartado de los anteriores.
Simbólicamente se identifica con la letra I
El primer número irracional que se descubrió fue √𝟐 y el segundo fue 𝝅. Luego se fueron descubriendo una infinidad de números irracionales.
“PI”
es un número irracional. Se han calculado
más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse.
El número “
E”
, (el número de EULER) es otro
número irracional. Se han calculado muchas cifras
decimales de
“E”
sin encontrar ningún patrón.
La “
RAZON DE
ORO”
ó
“NUMERO AUREO”
es un número irracional, equivale a
1+√52= 1,618134 …
Los números irracionales también pueden graficarse sobre la recta numérica, a pesar de tener infinitas cifras decimales diferentes. Los puntos correspondientes a estos números completan la recta:
- 10 -
ActividadIndica que números pertenecen al conjunto 𝐈: a) 3 d) 1,284509… b) √𝟕 e) 13/5 c) 2,0987345721 f) π
El conjunto de los Números Reales se representa con la letra IR. Lo integran:
El conjunto de los Números Racionales (𝑸), que a su vez incluyen a los Enteros (ℤ) y estos a los Naturales (IN) El conjunto de los Números Irracionales ( I ) que está formado por los números que tienen infinitos decimales no periódicos.
Por esta característica, se llaman Números Reales a todos aquellos números que se pueden expresar en forma de decimal finito o infinito; es decir, como elemento de 𝑸 ó de I
- 11 -
ActividadClasificar los siguientes números de acuerdo al conjunto al que pertenecen a) 𝟐/𝟑 e) 𝟒, 𝟐𝟑𝟓̂ i) −𝟕
b) 𝟎 f) −𝟏𝟓/𝟐 j) 57 c) √𝟏𝟎𝟑 g) π k) 𝟎, 𝟑̂ d) −𝟑, 𝟓 h) 𝟓𝟐𝟖 l) −√𝟓
6.1 Suma y Resta
La suma y resta de números enteros, se puede presentar de cuatro formas distintas de acuerdo al signo de los números intervinientes:
+𝟑 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟓 =
+𝟑 − 𝟓 =
−𝟑 + 𝟓 =
Procedimiento:
1_ Cuando los dos números tienen el mismo signo la operación mental a realizar es la suma de los valores absolutos de ambos números, y el resultado lleva el mismo signo.
+3 + 5 = +8
−3 − 5 = −8
2_ Cuando ambos números tienen distinto signo, la operación mental es, restar al mayor valor absoluto el menor valor absoluto y el resultado lleva el signo del mayor valor
absoluto.
+3−5 =−2
3+5 =+2
- 12 -
6.2 Multiplicación y División
Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos de cada uno de los factores y “aplicar la regla de los signos”.
REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION
“En la división se procede de la misma forma como muestra el ejemplo”
- 13 -
I. Realizar las siguientes operaciones con números enteros:a) −𝟗 + 𝟓 = d) −𝟑 + 𝟏𝟒 = g) (−𝟔) ∗ (−𝟏𝟓) = b) 15+12= e) (−𝟐)∗ 𝟕 = h) 𝟔𝟎: 𝟑 =
c) −𝟕 − 𝟏 = f) 𝟒𝟓: (−𝟓) = i) 𝟐 + 𝟔 − 𝟏𝟑 =
II. Resolver los siguientes ejercicios combinados: a. 𝟓 ∗ (−𝟕 + 𝟑) − 𝟏𝟐: (−𝟒) + 𝟐𝟎: (𝟏 − 𝟔) = b. 𝟑 − (𝟒 ∗ 𝟐 − 𝟓 ∗ 𝟑) + (−𝟔 + 𝟑) ∗ 𝟖 = c. −𝟐𝟏: (−𝟐 − 𝟓) + (−𝟏𝟒 + 𝟔 ∗ (𝟖 − 𝟒 ∗ 𝟑) = d. (−𝟖)∗ 𝟑:(−𝟔)− 𝟏𝟓:(−𝟑)∗(−𝟐)+ 𝟏𝟖:(−𝟏 − 𝟐)= e. (𝟗 − 𝟏𝟑)∗(−𝟓 + 𝟏𝟎)−[𝟏𝟐:(−𝟑)+(−𝟏𝟏)]= f. (𝟏 − 𝟕): 𝟑 ∗ 𝟒 − 𝟏𝟔 ∗(−𝟏 + 𝟑): 𝟖 +(−𝟓 − 𝟏𝟎)=
- 14 -
UNIDAD iI
NÚMEROS racionales: Fracciones
- 15 -
Una fracción es un número compuesto por doselementos y representa una porción de un todo, por ejemplo, media manzana, un pastel cortado en tres raciones para tres personas, etc. Siempre uno de los dos números representará las partes que se deben tomar, y el otro, el número de porciones en que se dividirá la unidad. Por ello, la palabra fracción significa dividir una cosa en partes iguales
Definición: Un número racional
b
a
es el cociente de dos números enteros “𝑎" y "𝑏", con 𝑏 ≠ 0.
Cuando hablamos de números racionales nos referimos al conjunto de números fraccionarios y sus expresiones decimales equivalentes.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar partes de un todo. Los números racionales pueden expresarse como fracción y también como un número
decimal, pero a veces es más conveniente trabajarlos como
fracción antes que
convertirlos a decimal exacto o periódico, debido a la gran
- 16 -
cantidad de decimales que se podrían obtener.Este conjunto se puede graficar sobre la recta numérica pero a diferencia de los números enteros entre cada número racional existen infinitos números racionales
A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA y SOBRE LA RECTA
Para representar una fracción gráficamente, se debe observar el numerador y denominador. El denominador indica la cantidad de partes iguales en la que se divide el entero y el numerador cuantas partes debemos considerar.
Ejemplos:
- 17 -
Para representar fracciones en la recta numérica se aplica el mismo concepto trabajado en la representación gráfica, tomando la distancia entre 0 y 1 como un entero.B. FRACCIONES EQUIVALENTES
Las fracciones equivalentes son fracciones que poseen distintos numeradores y denominadores pero representan la misma cantidad o valor numérico, dicho en otras palabras, representan el mismo número racional.
Actividad:
Graficar sobre la recta numérica los siguientes números fraccionarios: a) 𝟐 𝟓
d)
𝟕 𝟐 b) 𝟏𝟎𝟔
e)
𝟖𝟖 c)
−
𝟒𝟕f)
−
𝟏𝟐𝟓- 18 -
Una fracción es IRREDUCIBLE cuando el numerador y denominador tienen como únicodivisor en común el número “1”, es decir, no se puede seguir simplificando. La simplificación permite llegar a la fracción irreducible
C. OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA
La suma y resta de fracciones presenta dos situaciones Actividad:
Hallar tres fracciones equivalentes a las dadas:
a) 𝟏 𝟒
d)
𝟐 𝟕 b) 𝟑 𝟓
e)
𝟑 𝟒 c) 𝟓 𝟐f)
𝟔 𝟏𝟏
- 19 -
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones del mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador
Ejemplo
25+
65+
35=
115
13−
73= −
63
3 7+
12 7−
5 7=
10 7SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a un común denominador que es el mínimo común múltiplo de los denominadores; después se divide ese denominador por cada uno de los denominadores dados y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente. Por último se suman o restan los numeradores resultantes y se conserva el común denominador.
Ejemplo
1
3
+
3
5
=
5+9
15
=
14
15
m.c.m.(3,5) = 15
4
2
−
5
3
=
12−10
6
= −
2
6
m.c.m.(2,3) = 6
4
5
+
1
3
−
5
2
=
24+10−75
30
= −
41
30
m.c.m.(5,3, 2) = 30
- 20 -
Para obtener el m.c.m. se desarrollan los múltiplos de cada denominador, y de tomael menor de todos los múltiplos iguales
MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los numeradores entre sí, al igual que los denominadores. Es decir, la fracción resultante tiene por numerador el resultado del producto de todos los numeradores dados y por denominador, el resultado del producto de todos los denominadores correspondientes. No olvidar aplicar la regla de los signos en caso de ser necesario.
Ejemplo:𝒂
𝒃
∗
𝒄
𝒅
=
𝒂∗𝒄
𝒃∗𝒅
ActividadRealizar las siguientes sumas y restas de fracciones:
a-
𝟐𝟑+
𝟔𝟑=
d-𝟑 𝟒
+
𝟐 𝟑+
𝟓 𝟐=
b-
𝟏𝟑𝟖−
𝟕𝟖=
e-𝟓 𝟔
+
𝟏𝟑 𝟖−
𝟓 𝟒=
c-
𝟏𝟐𝟕−
𝟒𝟕+
𝟖𝟕=
f-𝟐 𝟕
−
𝟓 𝟑+
𝟏 𝟐=
ActividadCalcular las siguientes multiplicaciones:
a-
𝟐 𝟑∗
𝟒 𝟓=
c-
𝟐 𝟕∗
𝟏𝟐 𝟓∗ −
𝟓 𝟐=
b-
𝟓𝟒∗ −
𝟑𝟕=
d-
𝟑 𝟐∗ −
𝟕 𝟓∗
𝟐 𝟗=
- 21 -
DIVISIÓN
La división de fracciones se convierte en una multiplicación. Se multiplica la primer fracción por la reciproca de la segunda fracción. (Fracción invertida)
Ejemplo
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
∗
𝒅
𝒄
=
𝒂 ∗ 𝒅
𝒃 ∗ 𝒄
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
En una operación combinada con fracciones se puede encontrar sumas, restas multiplicaciones, divisiones, etc. A la hora de resolver hay que tener en cuenta lo siguiente
1) Convertir a fracción los números decimales.
2) Separar en términos (los signos “+” y “-“separan términos.
3) Resolver las operaciones que estén entre paréntesis, corchetes y llaves. 4) Efectuar los productos y cocientes
5) Realizar las sumas y restas. Actividad
Realizar las siguientes divisiones con fracciones:
a-
𝟒𝟓∶
𝟑𝟖= c
𝟑𝟐∶ ( −
𝟒𝟗) =
- 22 -
ActividadOperar los siguientes ejercicios combinados:
a-
𝟐 𝟕∗
𝟓 𝟐+
𝟏 𝟓+
𝟑 𝟏𝟎= c- −
𝟕 𝟑∗
𝟒 𝟓− 𝟐 −
𝟑 𝟓=
b-
𝟓𝟒∗ −
𝟑𝟐∗
𝟕𝟖−
𝟏𝟕𝟐𝟒= d- −
𝟐𝟓:
𝟏𝟓𝟒+
𝟏𝟔+
𝟑𝟐∗
𝟏𝟐=
6) Simplificar las fracciones siempre que sea posible para que las cuentas a realizar sean más simples Ejemplo:
⌈(
𝟑
𝟒
+
𝟏
𝟐
) 𝐱 (
𝟓
𝟑
+
𝟏
𝟔
)⌉ =
[(
𝟓
𝟒
) x (
𝟏𝟏
𝟔
)] =
[
𝟓
𝟒
x
𝟏𝟏
𝟔
] =
𝟓𝟓
𝟐𝟒
ACTIVIDADES
I. Realizar las siguientes sumas de fracciones graficando el resultado y luego ubica sobre la recta numérica :
- 23 -
II. Realizar los siguientes ejercicios combinados de fracciones:𝑎)
1
5
−
3
5
∗
5
2
−
1
4
= f)
− 1 6+ 2 3∗(−1 +
3 2)
− 1 = 𝑏) (1 3− 1 5) ∗ ( 5 3− 1 2) = 𝑔) (− 3 2+ 1 5) ∗ ( 5 3− 1 2) = 𝑐) (1 −3 4) ∗ (− 2 3) + 1 5: 4 = ℎ) − 7 8+ 1 4∗ ( 2 3− 3 2) − 2 4: 3 = 𝑑) 3: (−6 5) − ( 1 3∗ 1 2− 2) = 𝑖) (1 − 2 5: 3 10) ∗ (− 5 8: 3 4− 1) = 𝑒) 2 15∗ ( 4 3− 3) + 2 4: 5 = 𝑗) 3 6: 2 + (− 4 3) : (2 − 3 4) − 5 =- 25 -
Los números decimales nacen como una forma especial de la escritura de las fracciones, de manera que la “coma” o “punto decimal” separa a la parte entera de la decimal. Si no hay parte entera se coloca un cero delante de la coma.Dicho de otra forma, la expresión decimal de una fracción es el cociente que se obtiene al dividir el numerador por el denominador, este cociente puede ser un decimal
con una cantidad finita o infinita de cifras decimales.
Los números decimales forman parte del conjunto de números racionales.
UNIDAD iIi
NÚMEROS racionales: decimales
- 26 -
A. CLASIFICACIÓN DE NUMEROS DECIMALES:
De acuerdo a la cantidad de cifras en su parte decimal, los números decimales pueden clasificarse en:
EXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es finita
Ejemplos: 𝟐, 𝟏𝟒 _ 𝟎, 𝟏𝟒𝟓𝟔 _ 𝟐𝟔𝟓, 𝟎𝟗 _ 𝟏𝟑, 𝟗 _ 𝟕, 𝟐𝟕𝟖𝟒𝟓𝟔𝟕𝟑𝟗𝟖 INEXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es infinita
PERIÓDICO PURO: Es cuando el período empieza inmediatamente después de la coma decimal
Ejemplos: 𝟎, 𝟑̂ _ 𝟏, 𝟐𝟕̂ _ 𝟓, 𝟑𝟖𝟕 ̂ _ 𝟗, 𝟎𝟓̂ _ 𝟏𝟔𝟐, 𝟏̂
PERIÓDICO MIXTO: Es cuando la parte periódica empieza algunas cifras después de la coma decimal.
Ejemplos: , 𝟏𝟑𝟓̂ _ 𝟎, 𝟗𝟐̂ _ 𝟖, 𝟐𝟓 𝟏𝟒 ̂ _ 𝟏𝟐𝟓, 𝟎𝟔̂ _ 𝟐, 𝟕𝟖𝟑 𝟓𝟒𝟕𝟏 ̂
Actividad
Pasar a número decimal las siguientes fracciones y clasificar:
𝒂) 𝟐 𝟓= 𝒄) 𝟕 𝟑= 𝒆) 𝟗 𝟐=
- 27 -
𝒃) 𝟔 𝟓= 𝒅) 𝟏𝟏 𝟗 = 𝒇) 𝟓𝟐 𝟒𝟓B. PASAJE DE EXPRESIÓN DECIMAL A FRACCIÓN
•
Decimal Exacto o Finito a Fracción: Se escribe en el numerador de la fracción, la expresión decimal sin la coma (como números enteros), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el decimal exacto.Ejemplos: 𝟑𝟒, 𝟔𝟓 =𝟑𝟒𝟔𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏, 𝟐𝟑𝟕 =𝟏𝟐𝟑𝟕 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎, 𝟎𝟗 = 𝟗 𝟏𝟎𝟎 Actividad
Pasar a fracción los siguientes números decimales:
𝒂) 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝒄) 𝟏, 𝟐𝟓 = 𝒅) 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 =
𝒃) 𝟑𝟏, 𝟏𝟓 = 𝒄) 𝟗, 𝟐𝟖 = 𝒅) 𝟐, 𝟎𝟎𝟐 =
•
Decimal Periódico Puro a Fracción: La fracción correspondiente a un decimal periódico puro tiene como numerador la diferencia (resta) entre la expresión decimal escrita sin la coma, y la parte anterior al período. Y como denominador, tantos 9 como cifras tenga el período.Ejemplo 𝟎, 𝟎𝟓̂ =𝟓 − 𝟎 𝟗𝟗 = 𝟓 𝟗𝟗 𝟕, 𝟑̂ =𝟕𝟑 − 𝟕 𝟗 = 𝟔𝟔 𝟗 𝟏, 𝟎𝟖𝟏 ̂ =𝟏𝟎𝟖𝟏 − 𝟏 𝟗𝟗𝟗 Recordar:
- 28 -
ActividadPasar a fracción los siguientes números decimales:
𝒂) 𝟎, 𝟑̂ = 𝒄) 𝟐, 𝟐𝟏̂ = 𝒆) 𝟑, 𝟏𝟒̂ = 𝒃) 𝟏, 𝟏𝟓̂ = 𝒅) 𝟏𝟏, 𝟏𝟔̂ = f) 𝟏𝟗, 𝟐𝟏𝟓 ̂ =
Decimal periódico mixto: El decimal periódico mixto tendrá como numerador la diferencia (resta) entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al período; y como denominador tantos 9 como cifras tenga el período y otros tantos ceros como cifras tenga el ante período. Ejemplo: 𝟏, 𝟏𝟑̂ =𝟏𝟏𝟑 − 𝟏𝟏 𝟗𝟎 = 𝟏𝟎𝟐 𝟗𝟎 𝟎, 𝟏𝟕𝟔𝟗̂ =𝟏𝟕𝟔𝟗 − 𝟏𝟕 𝟗𝟗𝟎𝟎 = 𝟏𝟕𝟓𝟐 𝟗𝟗𝟎𝟎 𝟐, 𝟐 𝟑𝟒𝟏 ̂ =𝟐𝟐𝟑𝟒𝟏 − 𝟐𝟐 𝟗𝟗𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟏𝟎𝟕 𝟗𝟗𝟎𝟎
- 29 -
ActividadConvertir en fracción los siguientes números decimales:
𝒂) 𝟎, 𝟐𝟑̂ = 𝒄) 𝟐, 𝟗𝟎𝟏̂ = 𝒆) 𝟑, 𝟏𝟐𝟒̂ = 𝒃) 𝟏, 𝟐𝟏𝟖̂ = 𝒅) 𝟏𝟓, 𝟎𝟏𝟔̂ = f) 𝟓, 𝟔 𝟐𝟏𝟓 ̂ =
C. REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES EN LA RECTA
Los números decimales, “racionales”, también pueden graficarse sobre la recta
numérica. De acuerdo al número decimal con el que se trabaje se deben tener en cuenta los siguientes pasos:
1) Para ubicar los décimos se divide la distancia entre dos números enteros
consecutivos en 10 partes iguales.
- 30 -
2) Para ubicar los centésimos se divide la distancia entre dos números enteros consecutivos en100 partes iguales.
CENTÉSIMOS
Actividad
Representar sobre la recta numérica los siguientes números decimales: 𝒂) 𝟎, 𝟖 𝒄) − 𝟏, 𝟓 𝒆) − 𝟓, 𝟏
𝒃) 𝟐, 𝟏𝟓 𝒅) 𝟑, 𝟐𝟓 f) 𝟎, 𝟓𝟓
D. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
La suma y resta con números decimales se realiza siguiendo un procedimiento similar a la suma y resta de números naturales. Es decir, se trabaja encolumnando los elementos comunes. Para ello hay que encolumnar las comas de los números a sumar o restar, quedando de esta forma encolumnadas las cifras enteras y decimales como lo muestra el siguiente ejemplo:
Ejemplo de suma y resta de decimales:
Puede ocurrir que en la suma o en la resta haya algún número que no lleve todas las cifras decimales, en este caso operamos como si en su lugar hubiera un 0 (cero).
- 31 -
ActividadResolver las siguientes sumas y restas de decimales:
𝒂) 𝟏, 𝟕𝟒 + 𝟑, 𝟐𝟕 = 𝒅) 𝟏𝟐, 𝟗𝟏 + 𝟕, 𝟎𝟖 + 𝟐𝟑, 𝟕𝟒𝟒 =
𝒃) 𝟎, 𝟓𝟑𝟕 + 𝟏𝟎, 𝟎𝟑 + 𝟒, 𝟏𝟑𝟓 = 𝒆) 𝟏𝟓, 𝟎𝟖𝟏 − 𝟗, 𝟑𝟗𝟐 =
𝒄) 𝟖, 𝟗𝟐 − 𝟔, 𝟏𝟏 = 𝒇) 𝟒𝟐, 𝟏𝟎 + 𝟔, 𝟎𝟖𝟗 + 𝟓𝟏𝟓, 𝟐𝟕𝟓𝟖 =
E. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
La multiplicación de números decimales se realiza como si fueran números naturales. Una vez obtenido el resultado, del mismo se separan con una coma tantas cifras como cifras decimales tengan entre los dos números decimales multiplicados
Ejemplo:
Actividad
Realizar las multiplicaciones de decimales:
𝒂) 𝟏, 𝟐𝟖 ∗ 𝟐, 𝟑 = 𝒄) 𝟒, 𝟐𝟔𝟖 ∗ 𝟕, 𝟐𝟒 =
𝒃) 𝟖, 𝟑𝟐𝟑 ∗ 𝟒, 𝟏 = 𝒅) 𝟐𝟏, 𝟑𝟓𝟗 ∗ 𝟓, 𝟎𝟐𝟑 =
F. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
La división de decimales presenta tres situaciones distintas:
(División de un numero decimal por un numero natural) Ejemplo:
- 32 -
“Se divide como si fueran números naturales y al bajar la primera cifra decimal del dividendo, se escribe la coma en el cociente”Ejemplo:
Dividir 𝟏, 𝟑𝟗𝟒 entre 𝟐
“Como la parte entera del dividendo es menor que la del divisor, se escribe 0 (cero) y coma en el cociente y se sigue dividiendo 𝟏𝟑 entre 𝟐”.
(División de un numero decimal por otro decimal) Ejemplo:
Dividir 𝟒𝟒, 𝟖𝟖 entre 𝟐, 𝟒
“Cuando el divisor es un numero decimal, se debe convertir el mismo a un número natural mediante la amplificación. Para ello, se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor”
(División de un numero natural por un numero decimal) Ejemplo:
- 33 -
“Como en el caso anterior, es necesario convertir el divisor en un numero natural, amplificándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Esta amplificación nuevamente modifica al dividendo.
Actividad
Resolver las siguientes divisiones de números decimales
a) 1,9 ÷ 7 = b) 4 ÷ 9= c) 3,41 ÷ 1,8 =
G. CÁLCULOS COMBINADOS CON NUMEROS DECIMALES
Para resolver ejercicios combinados con números decimales se aplican los pasos ya mencionados en cálculos combinados con fracciones
1) Convertir a fracción los números decimales. (exactos y periódicos)
2) Separar en términos (los signos “+” y “-“ separan términos.
3) Resolver las operaciones que estén entre paréntesis, corchetes y llaves.
4) Efectuar los productos y cocientes 5) Realizar las sumas y restas.
6) Simplificar las fracciones siempre que sea
- 34 -
H. RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMATICAS
- 35 -
ACTIVIDADES
1) Resolver los siguientes ejercicios combinados con números decimales
𝒂)
3
4
− 0, 2̂ ∗
3
2
−
13
5
= 𝒅)
8 5∗(−1 −
11 2)
− 0, 5̂
∗ 4,5 = 𝒃) 1 5∗ (− 10 3) + 1, 2̂ ∗ 3 2= 𝒆) − 0,02̂ ∗ 15 + 4 5: (1 − 1, 3̂) = 𝒄) −7 8: 0,25 − 13 4 + 0, 3̂ = 𝒇) 21 3 − 3 10∗ (2, 2̂ − 0, 3̂) − 0,12̂ =- 36 -
UNIDAD iV
Unidades de medida
- 37 -
4. UNIDADES DE MEDIDA
Desde hace muchos siglos, el hombre sintió la necesidad de efectuar mediciones, ya fuera por relaciones comerciales, construcciones, etc.
¿A quién recurrir? La respuesta la halló en su propio cuerpo y así surgieron el codo (la distancia del codo hasta el extremo del dedo mayor), el palmo (ancho de la mano extendida), el dedo (ancho del dedo), el pie (largo del pie extendido), la pulgada (ancho del dedo pulgar).
Pronto surgieron las dificultades: no todos los seres humanos tienen el mismo tamaño y esto traía problemas en los intercambios comerciales.
¿Cuál fue la solución? En 1795 se creó el SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
* Métrico: porque la base es el metro.
* Decimal: porque la razón entre las medidas mayores y menores que el metro siempre es potencia de 10.
La siguiente tabla de unidades diferencia entre el sistema C.G.S y el sistema M.K.S, la magnitud que utilicemos según lo que se desea medir:
UNIDADES
Magnitud Sistema C.G.S Sistema M.K.S
Masa g kg Longitud cm M Tiempo s s Velocidad cm/s m/s Aceleración cm/s 2 m/s 2 Fuerza Dina N Presión dina/cm 2 Pa = N/m 2
Trabajo Ergio (J) Joule
Potencia ergio/s Watt (J/s)
Momento dina.cm N.m
- 38 -
4.1 Longitud
La unidad principal para medir longitud es el metro (m).
Kilómetro 0.001 km Hectómetro 0.01 hm Decámetro 0.1 dam Metro 1m Decímetro 10 dm Centímetro 100 cm Milímetro 1000 mm
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Ejemplo 1:
Pasar 32 m a cm
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación.
32 m × 100 = 3200 cm
Ejemplo 2:
Pasar 46,7 dm a hm
Si queremos pasar de decímetro a hectómetro tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor)
46,7 dm: 1000 = 0,0467 dm
4.2 Peso
La unidad principal para medir peso es el gramo (g).
Kilogramo 0.001 kg Hectogramo 0.01 hg Decagramo 0.1 dag gramo 1g Decigramo 10 dg Centigramo 100 cg Miligramo 1000 mg
El Kg es una unidad de medida equivalente a (1000g). Se usa para medir el peso de objetos o personas entre otros.
Para la conversión entre unidades de peso procedemos de la misma manera que en las unidades de longitud, por lo tanto, si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
× 10 ÷ 10
×10 ÷ 10
- 39 -
4.4 Capacidad
La unidad principal para medir la capacidad es el litro (l).
Kilolitro 0.001 Kl Hectolitro 0.01 Hl Decalitro 0.1 Dal litro 1L Decilitro 10 Dl Centilitro 100 Cl Mililitro 1000 Ml
La conversión se trabaja de la misma manera que en las unidades de longitud y masa. Lo importante será considerar los múltiplos y los submúltiplos en cada unidad que se trabaje:
. ×10 ÷ 10 Actividad: Completar LONGITUD Km hm dam m dm cm mm 48 73,5 PESO kg hg dag g dg cg mg 5317 9,12 CAPACIDAD kl hl dal l dl cl ml 832,10 52490
- 40 -
4.5 Área
Para medir el área utilizamos una medida derivada del metro, el metro cuadrado (m2).
Kilometro2 0.000001 km2 Hectómetro2 0.0001 hm2 Decametro2 0.01 dam2 metro2 1m2 Decimetro2 100 dm2 Centimetro2 10000 cm2 Milimetro2 1000000 mm2
Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de dos ceros por cada lugar haya entre ellas.
Ejemplo:
Pasar 45,5 m2 a cm2
Si queremos pasar de metros cuadrados a centímetros cuadrados tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que entre el metro cuadrado y el centímetro cuadrado hay dos lugares de separación (dos lugares por dos). 45,5 m2 · 10000 = 455000 cm2 Completar: 𝒌𝒎𝟐 𝒉𝒎𝟐 𝒅𝒂𝒎𝟐 𝒎𝟐 𝒅𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒎𝒎𝟐 491,836 162,3449
4.6 Volumen
Para medir el volumen utilizamos una medida derivada del metro, el metro cúbico (m3).
Kilometro3 0.000000001 km3 Hectómetro3 0.000001 hm3 Decametro3 0.001 dam3 metro3 1m3 Decimetro3 1000 dm3 Centimetro3 1000000 cm3 Milimetro3 1000000000 mm3 ÷ 1000 1000 × 100 ÷ 100
- 41 -
Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tres ceros por cada lugar haya entre ellas.
Ejemplo:
Pasar 92,671 m3 a cm3
Si queremos pasar de metros cúbicos a centímetros cúbicos tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de seis ceros, ya que entre el metro cúbico y el centímetro cúbico hay dos lugares de separación (dos lugares por tres).
92,671 m3 · 1000000 = 92671000 cm3
Una unidad alternativa para medir volumen es el litro, el cual es equivalente a 1 dm3. Ésta se utiliza mayormente para medir líquidos.
4.7
De pulgadas a centímetro
La pulgada es una unidad de longitud que equivale al ancho de la primera falange del pulgar, y más específicamente a su falange distal.
1 pulgada = 1” = 0,0254metros Ejemplo:
Julián midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro es 4,36cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas, necesita Julián?
1 Pulgada = 0,0254m = 2,54cm
Actividad
a- Nicolás midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro es 4,78cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas, necesita Nicolás?
- 42 -
ACTIVIDADES DE LA UNIDAD
1.
Transformar estas longitudes en metros y ordénalas de menor a mayor.
𝑎) 2,8 𝑘𝑚 𝑏) 36 𝑑𝑚 𝑐) 27,9 ℎ𝑚 𝑑) 275 𝑑𝑎𝑚 𝑒) 368 𝑐𝑚 𝑓) 3.455 𝑚𝑚
2.
Completar las siguientes tablas, teniendo en cuenta la unidad de medida:
3. Resolver y contestar:
a) Un tonel se llena con 150 litros. ¿Cuántos hectolitros necesitamos
para llenar 6 toneles?
b) Una cuerda roja mide 2 dam y 3 m y otra cuerda azul mide 23,457
m. ¿Cuál de las dos es más larga?
c)
Juan necesita aceite para sus dos coches, uno verde y otro azul. Para elverde necesita 3 dl y 75 ml, y para el azul 13 cl y 5 ml. ¿Cuántos ml necesita en total? ¿Tendrá suficiente con una lata de medio litro?
4. Convertir a una misma unidad y resolver las operaciones:
𝒂) 51 𝑑𝑚 + 49 𝑐𝑚 = 𝒃) 3,2 𝑘𝑔 − 0,56 𝑑𝑎𝑚 = 𝒄) 67,3 𝑑𝑙 + 78 𝑚𝑚 = Km hm dam m dm cm mm 73,59 kg hg dag g dg cg mg 53017 kl hl dal l dl cl ml 0, 8325 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 32786,361
- 43 -
UNIDAD V
Geometría en el plano
- 44 -
GEOMETRÍA
El hombre preciso admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu, con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de las matemáticas que designamos con el nombre de la geometría. Formada por las raíces griegas “geo”, tierra, y “metrón”, medida, por lo tanto su significado es “medida de la
tierra”; la misma, es una herramienta que permite describir el mundo físico en que se vive.
1- FIGURAS GEOMÉTRICAS
Cuadriláteros Regulares Cubo Pirámides Prismas Cono Cilindro Esfera PLANO ESPACIO CIRCUNFERENCIA POLIGONOS Poliedros Cuerpo Redondo Triángulo- 45 -
2- PERÍMETRO Y ÁREA
es la medida del contorno de una figura plana y se expresa en unidades de longitud, por ejemplo: centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc.
Para calcular el perímetro de un polígono debemos sumar las medidas de sus lados.
Ejemplo: Si calculamos el perímetro de un rectángulo de largo 5cm y ancho 3cm, sumamos la medida de sus lados. Por lo tanto su perímetro es 16cm.
es la medida de su superficie y se expresa en unidades de área, por ejemplo: metros cuadrados (𝒎𝟐), centímetros cuadrados (𝒄𝒎𝟐), kilómetros cuadrados (𝒌𝒎𝟐), etc.
Figura Geométrica Perímetro (P) Área (A)
Cuadrado de lado (
l
) 𝑷 = 𝒍 + 𝒍 + 𝒍 + 𝒍 𝑷 = 𝟒. 𝒍 𝑨 = 𝒍 . 𝒍 𝑨 = 𝒍𝟐 Rectángulo 𝑷 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒂 + 𝒃 𝑷 = 𝟐 . 𝒂 + 𝟐 . 𝒃 𝑨 = 𝒂 . 𝒃 Triángulo 𝑷 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝑨 =𝒃 . 𝒉 𝟐 Circunferencia Longitud: 𝟐. 𝝅. 𝒓 A= 𝝅. 𝒓𝟐 5cm 5cm 3cm 3cm P = 3cm + 5cm + 3cm + 5cm P = 16cm- 46 -
Actividad:Calcular el perímetro y área de la siguiente figura:
Ejemplo 1
Calcular el perímetro y área del siguiente triangulo.
𝑷 = 𝟔𝒄𝒎 + 𝟕𝒄𝒎 + 𝟏𝟏𝒄𝒎 = 𝟐𝟒𝒄𝒎
𝑨 =
𝟏𝟏𝒄𝒎 𝒙 𝟑𝒄𝒎
𝟐
=
𝟏𝟔, 𝟓𝒄𝒎𝟐 Ejemplo 2
Se tiene un cuadrado de 3m de lado y un triángulo equilátero de 7.5m ¿Cuál de ellas tiene mayor perímetro?
Cuadrado Triángulo equilátero 𝑷 = 𝟒. 𝒍 = 𝟒. 𝟑𝒎 = 𝟏𝟐𝒎 𝑷 = 𝟕, 𝟓𝒄𝒎 + 𝟕, 𝟓𝒄𝒎 + 𝟕, 𝟓𝒄𝒎 = 𝟐𝟐, 𝟓𝒎
Conclusión: La figura que mayor perímetro tiene es la del triángulo equilátero
7,5cm 7,5cm 7,5cm 7 cm 7 cm
4 cm
dam
9 cm
dam
9 cm
dam
12 cm
dam
- 47 -
4- Teorema de Pitágoras
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados (catetos)”
Ejemplo: si tenemos un triángulo de hipotenusa igual a 5 cm, cuyos lados miden 3cm y 4cm, veamos si las áreas son las mismas:
𝒄
2=
𝒂
𝟐+ 𝒃
𝟐5
2= 3
2+ 4
225 = 9 + 16 25 = 25
¿Por qué es útil?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.
(¡Pero sólo funciona en triángulos rectángulos!)
𝒄
𝟐= 𝒂
𝟐+ 𝒃
𝟐- 48 -
DOS CASOS QUE PUEDEN PRESENTARSEc2= a2 + b2
c
2= 5
2+ 12
2c
2 = 25 + 144 c2 = 169 𝑐 = √169c = 13 cm
c2 = a2 + b215
2= 9
2+ b
2225 = 81 + b2 225 – 81 = b2 144 = b2 √144 = 𝑏 12 cm = b
Solucionar utilizando lo aprendido ¿Qué calcularás? ¿Hipotenusa o cateto? a. b.
Cuando se averigua la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Cuando se averigua un lado del triángulo rectángulo.
- 49 -
El teorema de Pitágoras como muchos temas dematemática se lo puede aplicar en situaciones cotidianas.
ACTIVIDADES DE LA UNIDAD
Leer atentamente los siguientes problemas, construir el triángulo rectángulo y encontrar el dato faltante
Problema 1: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Problema 2: Un avión militar debe atacar el blanco enemigo que se encuentra a cierta distancia. Se sabe que el avión está volando a 20 km de altura y que el blanco enemigo está a 15 km del avión en línea horizontal. El piloto desea saber la distancia que recorrerá el misil que enviará para destruir al enemigo. ¿Cuál será la distancia?
Actividad 2: Determinar el perímetro y el área de cada figura: a) Un rectángulo de 10 cm de ancho y 20 cm de largo:
b) Un cuadrado de 8 m de lado:
c) Longitud de una circunferencia y área de un círculo de radio 10 cm:
d) Un triángulo isósceles de base 6 m, lados 5 m y de altura 4 m:
Perímetro: Área: Perímetro: Área: Área: Longitud: Área: Perímetro:
- 50 -
UNIDAD Vi
Geometría en el espacio
- 51 -
El estudio de los cuerpos geométricos no solo brindo avances en las matemáticas sino que todoeste conocimiento fue extremadamente influyente en actividades muy veneradas como son la arquitectura, la ingeniería, la física astronómica y por supuesto la física cuántica. Las principales leyes que rigen todos estos campos de conocimiento surgen del estudio matemático de los cuerpos
geométricos y los cálculos basados en ellos.
1- SUPERFICIE LATERAL, SUPERFICIE TOTAL Y VOLUMEN DE CUERPOS
SUPERFICIE LATERAL
: es la suma de todas las áreas de las caras laterales.SUPERFICIE TOTAL:
es la suma del área lateral y el área de la o las bases de la figura.VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
A
LT
O
- 52 -
Fórmulas para calcular la superficie lateral, superficie total y volumen de los siguientes cuerpos:Superficie Lateral
𝑺
𝑳= 𝟒. 𝒂
𝟐Superficie Total
𝑺
𝑻= 𝟔. 𝒂
𝟐Volumen
𝑽 = 𝒂
𝟑 Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 4 cm de arista.
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 6 cm de arista. Superficie Lateral 𝑺𝑳 = 𝟒 . 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐 𝑺𝑳 = 𝟔𝟒 𝒄𝒎𝟐 Superficie Total 𝑺𝑻= 𝟔 . 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐 𝑺𝑻= 𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟐 Volumen 𝑽 = 𝟒 𝒄𝒎𝟑 𝑽 = 𝟔𝟒 𝒄𝒎𝟑
CUBO
4 cmÁrea de una cara lateral =
𝒂
𝟐- 53 -
Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente prisma.Actividad: Calcular sup. Lateral, total y volumen de un prisma largo 3 cm, ancho 4 cm y altura 6 cm. Superficie Lateral
𝑺
𝑳= 𝟐 . (𝒂. 𝒄 + 𝒃. 𝒄)
Superficie Total𝑺
𝑻= 𝟐 . (𝒂. 𝒃 + 𝒂. 𝒄 + 𝒃. 𝒄)
Volumen𝑽 = 𝒂 . 𝒃 . 𝒄
Superficie Lateral 𝑺𝑳 = 𝟐 . (𝟖 𝒄𝒎𝟐+𝟏𝟐𝒄𝒎
𝟐) 𝑺𝑳 = 2. ( 𝟐𝟎𝒄𝒎𝟐) 𝑺𝑳 = 𝟒𝟎𝒄𝒎𝟐 Superficie Total 𝑺𝑻= 𝟐. (𝟖 𝒄𝒎𝟐+ 𝟏𝟐 𝒄𝒎𝟐+ 𝟔 𝒄𝒎𝟐) 𝑺𝑻= 𝟐 . ( 𝟐𝟔 𝒄𝒎𝟐) 𝑺𝑻= 𝟓𝟐 𝒄𝒎𝟐 Volumen 𝑽 = 𝟐 𝒄𝒎 . 𝟑𝒄𝒎 . 𝟒 𝒄𝒎 𝑽 = 𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟑PRISMA
c
a
2 cm 4 cmÁrea de una cara lateral =
𝒂 . 𝒄 = 𝟐 𝒄𝒎 . 𝟒𝒄𝒎 = 𝟖 𝒄𝒎
𝟐Área de una cara lateral del costado =
𝒃. 𝒄 = 𝟑𝒄𝒎 . 𝟒𝒄𝒎 = 𝟏𝟐𝒄𝒎
𝟐 Área de una base=𝒂 . 𝒃 = 𝟐𝒄𝒎 . 𝟑𝒄𝒎 = 𝟔𝒄𝒎
𝟐- 54 -
Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente cilindro.Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cilindro de radio 2 cm y altura 4 cm.
Superficie Lateral
𝑺
𝑳= 𝟐. 𝝅. 𝒓.h
Superficie Total𝑺
𝑻= 𝟐. 𝝅. 𝒓. 𝒉 + 𝟐. 𝝅. 𝒓
𝟐 Volumen𝑽 = 𝝅. 𝒓
𝟐. 𝒉
Superficie Lateral𝑺
𝑳= 𝟐 . 𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟑 𝒄𝒎 . 𝟓 𝒄𝒎
𝑺
𝑳= 94,2 𝒄𝒎
𝟐 Superficie Total𝑺
𝑻= 𝟐 . 𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟑 𝒄𝒎 . 𝟓 𝒄𝒎 + 𝟐 . 𝟑, 𝟏𝟒 . (𝟑𝒄𝒎)
𝟐𝑺
𝑻= 94,2 𝒄𝒎
𝟐+ 𝟓𝟔, 𝟓𝟐 𝒄𝒎
𝟐𝑺
𝑻= 𝟏𝟓𝟏, 𝟎𝟐 𝒄𝒎
𝟐 Volumen𝑽 = 𝟑, 𝟏𝟒 . (𝟑𝒄𝒎)
𝟐. 𝟓 𝒄𝒎
𝑽 = 𝟏𝟒𝟏, 𝟑 𝒄𝒎
𝟑CILINDRO
h
r
5 cm 3 cm- 55 -
Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de la siguiente esfera deradio 2 cm.
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de una esfera de 4 cm. Superficie Total
𝑺
𝑻= 𝟒 . 𝝅 . 𝒓
𝟐 Volumen𝑽 =
𝟒𝟑. 𝝅 . 𝒓
𝟑 Superficie Total𝑺
𝑻= 𝟒 . 𝟑, 𝟏𝟒 . (𝟐𝒎)
𝟐𝑺
𝑻= 𝟓𝟎, 𝟐𝟒 𝒄𝒎
𝟐 Volumen𝑽 =
𝟒
𝟑
. 𝟑, 𝟏𝟒 . (𝟐𝒄𝒎)
𝟑𝑽 = 𝟑𝟑, 𝟒𝟗 𝒄𝒎
𝟑ESFERA
- 56 -
ACTIVIDAD DE LA UNIDAD
1. Completar los cuadros calculando el área lateral, área total y volumen de los
respectivos cuerpos. Utilizar los datos dados:
a)
CUBO
CUBO
b)
PRISMA DE BASE CUADRADA
c)
CILINDRO
d)
ESFERA
Arista Área Lateral Área Total Volumen 3cm
5cm
Base Altura Área Lateral Área Total Volumen
2cm 5cm
3cm 4 cm
Radio Altura Área Lateral Área Total Volumen
2cm 10cm
5cm 6cm
Radio Área Total Volumen
7cm 9cm
- 57 -
Curso de Nivelación
MATEMÁTICA
Anexo Ángulos
- 58 -
¿Quées un ángulo?
Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común.
Un ángulo está formado por:
-Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
-Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas. - Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados.
¿Cómo se miden los ángulos?
Los ángulos se miden en grados sexagesimales
o 1º = 60´; 1´= 60´´ ; 1º = 3.600´´
Para medirlos se utiliza el transportador de ángulos
¿Cómo medir ángulos usando el transportador?
Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo gener almente se utiliza el transportador.
Sabemos que las rectas y
ángulos además de ser un
tema escolar están
presentes alrededor
nuestro.
Hay campos en los cuales
el trabajo con ángulos es
fundamental: las
diferentes áreas de la
ingeniería, la
arquitectura, una
especialidad o
tecnicatura, desde el
diseño de una nave
espacial hasta los más
elementales instrumentos
de cualquier trabajo, es
muy importante saber
determinar un ángulo y su
- 59 -
Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmente.
Para medi r ángulos utilizando el transportador semicircular debes:
1° Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.
2° Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.
Si el ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto hacia la derecha en la escala interna.
Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes: 1° Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.
2° Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.
3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.
Consigna
1) Usar tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos.
- 60 -
2) Construye con el transportador : = 90º = 50º = 105º
Los tipos de ángulos según su amplitud o medida son:
Consigna: Completar la tabla ubicando las medidas de los ángulos según su clasificación.
23°; 45°; 112°; 90°; 359°; 78°; 180°; 89°; 256°; 91°; 0°; 310°; 53°; 360°; 12°; 5°; 219°; 100°; 60°.
Agudo Recto Obtuso Llano Cóncavo Completo Nulo
- 61 -
Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de susamplitudes es de 90º
Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º
Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios a la vez.
Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común.
Ángulos opuestos por el vértice: tienen el vértice común y sus lados están sobre las mismas rectas. Dos rectas que se cortan determinan dos parejas de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.
Consigna:
¿Cuál es el complemento de 75º?
a) 180º b) 25º c) 15º d) 90º
- 62 -
¿Cuál es el valor de x?a) 15º b) 35º c) 180º d) 360º
¿Cuál es el suplemento de 85º?
a) 180º b) 95º c) 5º d) 90º
De acuerdo con la figura:
¿Cuál es el valor de x?
a) 180º b) 90º c) 225º d) 105º