Guía ejercicios función exponencial

(1)

Colegio Emilia González E. Matemática Tercero Medio 2021 Los Pinos 02180, San Bernardo

Profesor: Carlos González Medel

“Función Exponencial”

Nombre:

Curso: 3º Medio A Fecha: ____ de Junio 2021 Puntaje ideal: 40 ,nota 4,0 con 24 puntos Puntaje real: Nota:

Objetivo: Comprender el concepto de probabilidad condicionada y aplicarlo en la toma de decisiones. Comprender y aplicar el teorema de probabilidad total.

Instrucciones generales:

 Analice con atención la guía antes de resolver.

 Todos los cálculos deben estar expresados en la guía con lápiz pasta. Ejercicio sin sus

respectivos desarrollos se considerara no resuelto.

 El envió de la guía resuelta debe ser remitido al e-mail: [email protected]

 No se recibirán fotografías o PDF adicionales a su trabajo luego de la fecha límite de

entrega. Es su responsabilidad enviar todo el material correspondiente en la fecha indicada.

 Luego de una semana de la fecha de entrega, si no ha cumplido, deberá solicitar una nueva

actividad al profesor por correo electrónico para ponerse al día con sus actividades.

 En el caso que se detecte copia parcial o total, se entrevistara a las partes

correspondientes. Se consultaran lineamientos principales para la solución de los ejercicios contemplados en la guía. (manual de evaluación Colegio)

Objetivo: Aplicar funciones exponenciales a la solución de problemas en diversos contextos. Instrucciones generales:

 Lea con atención la guía, debe familiarizarse con los conceptos estadísticos mencionados.

 Está permitido el uso de calculadora para el desarrollo de cálculos.

Guía ejercicios función exponencial

La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. A continuación se ven tres aplicaciones:

 Crecimiento de poblaciones.

 Interés del dinero acumulado.

(2)

Interés compuesto

En el interés compuesto los intereses producidos por un capital,

C

i se van acumulando a éste, de

tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses. Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son

t

años, i es el interés anual (interés anual en %) el capital final obtenido viene dado por la

fórmula:

1

100

t f i

i

C



C



_





_





Se debe considerar que el periodo del interés (unidad de tiempo), y el periodo del crédito o préstamo deben estar en las mismas unidades. Para eso se utiliza la siguiente expresión.

1

100

n t f i

i

C

n









_



_







Ejemplo:

1) Se depositan 5.000 dólares al 6% anual. ¿en cuánto dinero se convertirán al cabo de 5 años?

Solución: se observa que la tasa de interés está en años y el periodo del depósito se encuentra en años. Luego no es necesario ajustar los periodos.

?

f

C



5.000

i

C



dólares

6 %

i



anual

5 t



años

Podemos determinar el incremento anual del dinero durante el periodo y graficar la situación, construiremos una tabla de valores.

Periodo Capital final

1 5.300 2 5.618 3 5.955 4 6.312 5 6.691









5 5 5

6

5.000

1

100 5.000 1 0, 06

5.000 1, 06

6.691,13

f f f f

C

dólares







_



_











(3)

2) Si los intereses se acumulan en forma mensual.

?

f

C



5.000

i

C



dólares

6 %

,

12 i



anual se debe dividir por

meses

5

60 t



años



meses

3) Si los intereses se acumulan en forma trimestralmente. (Un trimestre corresponde a dividir los 12 meses del año en tres, luego cada año tiene 4 trimestres)

?

f

C



5.000

i

C



dólares

6%

,

4,

i



anual se debe dividir por

N detrimestres por año



5

20 t



años



meses

Ejercicios:

1)

Una persona ahorra $1.000.000 y pretende invertirlo por un periodo de 1 año en el

banco. El banco le ofrece una tasa de 1,5% mensual compuesto. Muestre cómo

evoluciona el capital y los intereses en los 3 primeros meses.

2) Represente las siguientes tasas de interés en su equivalencia anual. a) 4% semestral

b) 3% cuatrimestral

c) 5% trimestral d) 1,5% mensual.

3) Un capital de 8000 € es invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10%. Determine el capital final. Construya una tabla de valores anual y grafique la situación. 4) Se invierte 100.000 pesos con una taza del 14% mensual durante un periodo de 3 años.

Determine el capital final.

5) Se invierte 250.000 pesos con una taza del 14% trimestral durante un periodo de 3 años. Determine el capital final.

6) Se obtiene un capital final de $2.000 por un periodo de 5 años en una inversión del tipo compuesto. La tasa otorgada fue de un 10% anual. ¿Cuál fue la cantidad de dinero depositada inicialmente?









5 12 60 60 60

6

5.000

1 12 100

6

5.000

1 1200

5.000 1 0, 005

5.000 1, 005

6.744, 25

f f f f f

C

dólares







_



_











_



_



















5 4 20 20 20

6

5.000

1 4 100

6

5.000

1

400 5.000 1 0, 015

5.000 1, 015

6.734, 27

f f f f f

C

dólares







_



_











_



_











(4)

7) Un capital colocado a interés compuesto al 2% anual, se ha convertido en 3 años en 9550,87€. ¿Cuál era el capital inicial?

Crecimiento de poblaciones

El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y

defunciones. Si inicialmente la población es P0, que tiene un índice de crecimiento de i

(considerando la población inicial igual a 1), al cabo de

t

años se habrá convertido en:





0

1

t

P



P



i

Ejemplo:

Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente en un 3%. ¿Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años?

?

P



0

600 P



3%

i



anual

8 t



años

Cuanto tiempo debe pasar para que la población sea de 806 habitantes.

806 P



0

600 P



3%

i



anual

?

t



años

Ejercicios.

1) El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos. Si suponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, ¿dentro de cuántas horas tendrá 320 millones de bacterias?

2) El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos, si al cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias, ¿cuántas había en el instante inicial?

3) Con la calculadora halla el valor de x en 1,97x 215. Redondea el resultado a centésimas.





8 8

3

600

1

100 600 1, 03

760 P

P







_



_















3

806

600

1

100

806 600 1, 03

806 1, 03

log

600

806 log

600 log1, 03

9, 98

10 .

t t t

aplicamos

t

años







_



_























(5)

Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:

0 t

M



M

a

M



Masa final.

0

M



Masa inicial.

a 

Constante de desintegración.

t



Periodo de tiempo.

La rapidez de desintegración de las sustancias radioactivas se mide por el “periodo de desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducir a la mitad.

Ejemplo:

Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el año 2000.

 Determinar la expresión o función

 





0 28 1 28

20 0,5

20 0,9755

t t t t

M t

M

a

M t









_

_







 Cuánta materia radioactiva quedara el año 2053.

 





 

 

53

53 20 0,9755

53 5,38

M

g



Ejercicios:

1) El periodo de desintegración del Carbono 14 es 5370 años. ¿En qué cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 años?

2) ¿Cuántos años han de pasar para que una muestra de 30 gramos de Carbono 14 se convierta en 20,86 gramos? (Periodo de desintegración del Carbono 14 es de 5370 años).

(6)

Guía Evaluada

1) Calcular el interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 15.000 € para que al

cabo de 4 años se haya convertido en 23.602,79 €. (10 Puntos)

2) ¿Cuánto dinero se debe invertir ahora para obtener $10.000 dentro de 10 años al 8% de interés compuesto?, al conocer el capital inicial determine cuánto tiempo debe pasar para

que el dinero sea igual a $8.000. (10 puntos)

3) La población de una especie en extinción se reduce a la mitad cada año. Si al cabo de 9

años quedan 12 ejemplares, ¿cuál era la población inicial? (10 puntos)

4) Una muestra de 60 gr. de una sustancia radiactiva se convierte en 35,67 gr en 30 años.