SEÑALES Y SISTEMAS Clase 10

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NALES Y SISTEMAS

Clase 10

Carlos H. Muravchik 3 de Abril de 2017 1 / 30

Hab´ıamos visto:

I Sistemas en general

I Generalidades. Propiedades. Invariancia. Linealidad. Causalidad. Estabilidad.

Y se vienen hoy:

I Sistemas Lineales. I Convoluci ´on discreta. I Convoluci ´on continua.

I Invariancia, causalidad, estabilidad EA/SA. I Tipos de representacion de SLIT: ecuaciones

Combinaci ´on de sistemas en general

I Serie o cascada Sistema 1 Sistema 2 - -I Paralelo Sistema 1 Sistema 2 - -I Realimentaci ´on Sistema 1 Sistema 2 -_+i -6 5 / 30

Sistemas Lineales

Recordamos al operador que representa a un sistema:

y(t) = H{x(·)}(t) VIC y[n] = H{x[·])}[n] VID Sistema Lineal: es I homog ´eneo y I aditivo.

O de manera equivalente, satisface el

Principio de Superposici ´on: para 2 constantes cualesquiera

a,b ∈ _R y dos entradas arbitrarias x₁(t), x₂(t) ∈ C_e, se forma

x(t) = ax1(t) +bx2(t). Sean y1(t) = H{x1(·)}(t) e

y₂(t) = H{x₂(·)}(t), entonces H satisface el principio de superposici ´on si cumple

y(t) = H{x(·)}(t) = ay₁(t) +by₂(t)

I Similar para sistemas discretos.

Incrementalmente lineales

Recordar el Ejemplo 2 de Sistemas con Memoria.

y(t) = v_C(0)e−t/RC + 1

RC

Z t

0

e−(t−σ)/RCx(σ)dσ El sistema no es homog ´eneo ni aditivo; no es lineal!!

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Incrementalmente lineales

¿A qu ´e se debe? Al t ´ermino con las condiciones iniciales. Eso motiva

Definici ´on: sistemas en los que la diferencia de las salidas para cualesquiera dos funciones de entrada es una funci ´on lineal. Forma general de sistemas incrementalmente lineales

sistema lineal

-x(t) y0(t)_{- i}

+?y(t)

Invariancia en el tiempo

Sistema VIC.

1. Se aplica x₁(t) y se obtiene y₁(t) = H{x₁(·)}(t).

2. Si se aplica la misma se ˜nal en el instante t₀, se aplica una

x₂(t) = x₁(t − t₀). La salida es y₂(t) = H{x₂(·)}(t).

3. El sistema es invariante en el tiempo si se cumple que

y2(t) = y1(t − t0).

4. Interpretaci ´on: la respuesta que da el sistema a una entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no importa en qu ´e instante se la aplica.

5. Un sistema lineal, que es invariante en el tiempo, se denota abreviadamente SLIT.

6. Nota: Esta propiedad es la que le permite considerar en los circuitos RLC que la llave siempre se cierra en t = 0

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Invariancia al desplazamiento

Sistema VID.

1. Se aplica x₁[n] y se obtiene y₁[n] = H{x₁(·)}[n]

2. Si se aplica la misma se ˜nal desplazada en n0, se aplica

una x₂[n] = x₁[n− n₀]. La salida de denomina

y₂[n] = H{x₂(·)}[n].

3. El sistema es invariante al desplazamiento si se cumple que y2[n] = y1[n− n0]

4. Interpretaci ´on: la respuesta que da el sistema a una entrada es la misma, pero desplazada acordemente, no importa en qu ´e momento se la aplica

5. Un sistema lineal discreto, que es invariante al desplazamiento, se denota abreviadamente SLID

Convoluci ´on discreta 1

Ingredientes:

I Sistemas lineales discretos (manejan SVID) con operador

H que satisface el principio de superposici ´on. Tanto para

SLID como SLVD.

I Representaci ´on de SVID en t ´erminos de impulsos

x[n] = ∞ X k=−∞ x[n −k]δ[k] = ∞ X k=−∞ x[k]δ[n − k]

I Aplicando H, en la igualdad de la derecha se puede interpretar a x[k]δ[n −k] como una secuencia con un impulso en k de amplitud x[k]. y[n] = H    ∞ X k=−∞ x[k]δ[n −k]    [n] = ∞ X k=−∞ x[k]H_k{δ[·]}[n] 12 / 30

Convoluci ´on discreta 2

y[n] = ∞ X k=−∞ x[k]H_k{δ[·]}[n] = = ∞ X k=−∞ x[k]¯h[n,k]

donde h¯[n,k] es la respuesta impulsional: la respuesta observada en el instante n a un impulso (de Kronecker) aplicado en el instante k.

Convoluci ´on discreta SLVT

Ejemplo: x[n] = P1_k=−1x[k]δ[n − k] con x[−1] = −2, x[0] = 5, x[1] = 2 y[n] = 1 X k=−1 x[k]¯h[n,k] −2 0 2 4 0 5 −2 0 2 4 0 5 −2 0 2 4 0 5 −2 0 2 4 0 5 n n n n 5 4 5 4 2 3 5 2 1 x[n] h[n,-1] h[n,0] h[n,1] 14 / 30

Convoluci ´on discreta SLVT

y[n] = 1 X k=−1 x[k]¯h[n,k] −2 0 2 4 −10 −5 0 5 −2 0 2 4 0 20 −2 0 2 4 0 10 20 −2 0 2 4 0 10 20 30 n n n n 20 −10 8 15 25 4 ₂ 9 23 12 x[-1] h[n,-1] x[0] h[n,0] x[1] h[n,1] y[n] 15 / 30

Especializaci ´on a SLID:

Operador b ´asico para todo SL: convoluci ´on. SLVD: Convoluci ´on discreta - recordar:

y[n] = ∞ X k=−∞ x[k]H_k{δ[·]}[n] = = ∞ X k=−∞ x[k]¯h[n,k] SLID: ¯ h[n,k] = ¯h[n− 1,k − 1] = ¯h[n − k,0] _, h[n − k] y[n] = ∞ X k=−∞ x[k]h[n− k] = ∞ X m=−∞ x[n −m]h[m]

Notaci ´on: SLID y[n] = {x ∗h}[n]

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Convoluci ´on gr ´afica

Papeles deslizantes y[n] = ∞ X k=−∞ x[k]h[n −k] 1. Dibujar x[k] y dejar fija.

2. Obtener h[·].

3. Reflejar h[·].

4. Desplazar el origen de h al punto de observaci ´on n.

5. Multiplicar muestra a muestra y sumar, da y[n].

6. Repetir 4) y 5) hasta tener todos los puntos deseados.

Notar: roles intercambiables de x y h

y[n] = ∞

X

m=−∞

Convoluci ´on gr ´afica

Ejemplo: x y h −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −2 −10 1 2 3 4 5 k x[k] −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 k h[k] n−4 n−1 n n+1 0 1 2 3 4 5 k h[n−k]

Por ejemplo, queremos y[−3]

0 −2 −10 1 2 3 4 5 k x[k] −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 0 1 2 3 4 5 k h[−3−k] y[−3]=0 18 / 30

Convoluci ´on gr ´afica – cont.

Si queremos y[0] 0 −2 −10 1 2 3 4 5 k x[k] −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 k h[−k] y[0]=23 Si queremos y[5] 0 −2 −10 1 2 3 4 5 k x[k] −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 k h[5−k] y[5]=2 19 / 30

Duraci ´on

x y h de duraci ´on finita;

0 −2 −10 1 2 3 4 5 k x[k] −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 0 1 2 3 4 5 k h[−3−k] y[−3]=0

Duraci ´on de y: duraci ´on de x m ´as duraci ´on de h menos 1.

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Causalidad

Aplicando δ[n] (impulso en cero); la respuesta es

h[n] = 0; n < 0. El SLID es causal ⇔ respuesta impulsional

unilateral a derecha. y[n] = ∞ X m=−∞ x[n − m]h[m] = ∞ X m=0 x[n −m]h[m] = ∞ X m=−∞ h[n −m]x[m] = n X m=−∞ h[n − m]x[m]

Si adem ´as, x[n] fuera unilateral a derecha (x[n] ≡ 0; n < 0)

y[n] = n

X

m=0

Convoluci ´on continua

Ingredientes:

I Sistemas lineales continuos (manejan SVIC) con operador

H que satisface el principio de superposici ´on. Tanto para

SLIT como SLVT.

I Representaci ´on de SVIC en t ´erminos de impulsos

x(t) =

Z ∞

−∞

x(σ)δ(t − σ)dσ

I Aplicando H se puede interpretar a x(σ)δ(t − σ) como una se ˜nal con un impulso (Dirac) en σ de ´area x(σ)

y(t) = H {x(·)}(t) = H Z ∞ −∞ x(σ)δ(t − σ)dσ (t)

I M ´as hip ´otesis adicionales, definiendo

¯

h(t, σ) = Hσ{δ(·)}(t).

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Convoluci ´on continua 2

Resulta la convoluci ´on para SLVT:

y(t) = {x ∗h}(t) =

Z ∞

−∞

x(σ)¯h(t, σ)dσ

I Para SLIT: h¯(t, σ) _, h(t −σ) luego

y(t) = Z ∞ −∞ x(σ)h(t −σ)dσ = Z ∞ −∞ h(λ)x(t −λ)dλ I Agregando Causalidad: h(t) ≡ 0; t < 0 luego

y(t) = Z t −∞ x(σ)h(t −σ)dσ = Z ∞ 0 h(λ)x(t −λ)dλ I Si adem ´as la se ˜nal de entrada se aplica en cero, o sea es

unilateral a derecha desde t = 0, x(t) ≡ 0; t < 0

y(t) = Z t 0 x(σ)h(t −σ)dσ = Z t 0 h(λ)x(t −λ)dλ 23 / 30

SLIT - Convoluci ´on gr ´afica

Papeles deslizantes y(t) = Z −∞ −∞ x(σ)h(t −σ)dσ

1. Dibujar x(t) y dejar fija.

2. Obtener h(·).

3. Reflejar h(·).

4. Desplazar el origen de h al punto de observaci ´on t.

5. Multiplicar punto a punto e integrar, da y(t).

6. Repetir 4) y 5) hasta tener todos los puntos deseados.

Notar: roles intercambiables de x y h

y(t) =

Z ∞

0

h(σ)x(t −σ)dσ

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Propiedades de la Convoluci ´on y Combinaciones

V ´alidas tanto para SLIT como SLID (con los cambios obvios): I Conmutativa: y = {x ∗h} = {h ∗x}. Intercambiabilidad

entre respuesta impulsional y entrada. I Asociativa: y₂ = {x ∗h₁∗ h₂} = {{x ∗h₁} | {z } y₁ ∗h₂} = {x ∗ {h₁ ∗h₂} | {z } h }.

h = h₁ ∗h₂ = h₂ ∗h₁ es el sistema equivalente a uno serie. I Distributiva: y = {x ∗ {h₁ + h₂} | {z } h } = {x ∗h₁} | {z } y₁ +{x ∗h₂ | {z } y₂ }.

Estabilidad de SLID 1

Teorema: Un SLID es estable en sentido EA/SA sii su

respuesta impulsional es absolutamente sumable; es decir existe 0 < K_h < ∞ tal que

∞

X

k=−∞

|h[k]| ≤ K_h

Demostraci ´on: 1) “ida” y 2) “vuelta”.

1) h abs. sumable es suficiente:

Sea una entrada acotada por 0 < Ke < ∞, o sea |x[n]| ≤ Ke

para todo n. El m ´odulo de la salida es

|y[n]| = ∞ X k=−∞ x[k]h[n− k] ≤ ∞ X k=−∞ |x[k]||h[n − k]| ≤ ≤ Ke   ∞ X k=−∞ |h[n −k]|   ≤ KeK_h

tomando Ky = KeKh la salida resulta acotada.

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Estabilidad de SLID 2

2) h abs. sumable es necesaria: sistema EA/SA ⇒ h es abs.

sumable.

⇔ h NO es abs. sumable ⇒ sistema NO es EA/SA.

Mostraremos una entrada acotada que, suponiendo que h NO es abs. sumable, dar ´a y[n] no acotada.

Sea x[n] _, h[−n]/|h[−n]| luego |x[n]| ≤ Ke = 1 para todo n. La

salida en n = 0 es y[0] = ∞ X k=−∞ x[k]h[−k] = ∞ X k=−∞ h[−k] h[−k] |h[−k]| = = ∞ X k=−∞ |h[−k]| → ∞

que no est ´a acotada por hip ´otesis. Luego y no est ´a acotada y entonces el sistema no es EA/SA.

Estabilidad de SLIT 1

Paralelo a SLID:

Teorema: Un SLIT es estable en sentido EA/SA sii su

respuesta impulsional es absolutamente integrable, es decir, existe un 0 < K_h < ∞ tal que

Z ∞

−∞

|h(τ)|dτ ≤ K_h

Demostraci ´on: similar a la de SLID.

Repase las ideas de la demostraci ´on para SLID, haciendo ´esta para SLIT.

¿Y si el sistema fuera VT (tanto C como D)?

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Pr ´oximas Clases

I Representaci ´on de SLIT y SLID: diagramas de bloques I Sistemas Lineales con entradas aleatorias