1
Estimación de productos y cocientes 20 Números decimales y
números enteros 5º grado
5º grado
3er grado
Números y sus operaciones
Figuras
FraccionesMúltiplos y divisores
Múltiplos y múltiplos comunes 4 Divisores y divisores comunes 11 Un breve examen sobre múltiplos 118
3
Fracciones 23Comparación de fracciones 24 Suma y resta con fracciones 29 Operaciones con fracciones y decimales 34
Cajas rectangulares 4º grado
Círculos y esferas
4
Tipos de sólidos 37Prismas rectangulares y cubos 37
Redes 39
Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas 43
Prismas y cilindros 47
¿Cuál es la distancia más corta? 51
56 59 64 53
67
5
Volumen 53Volumen
Fórmulas para calcular el volumen Volúmenes grandes
Volumen de un prisma
El volumen de distintos cuerpos
96 90 94 91 98 92 100 93
6
Medición con otro tipo de unidad 70Media aritmética 71
74 Midamos usando otro tipo de unidad
Velocidad 81
El promedio y la aglomeración en relación con el medio ambiente 88
Tamaño y medida
Volumen 3er grado
División de números decimales 5º grado
1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 4
2
Multiplicación y división con fracciones (1) Multiplicación y división con fracciones (2) Área aproximada
7 8 9
Razones
Variación proporcional directa
Resumen
10 11 12
6
grado
Vol.1
Estructura del Contenido
6º grado
vol.
2
o¡Estudiemos temas que te interesarán!
Haz equipo con uno de tus compañeros y acomoda cuadrados del mismo tamaño como se muestra en la siguiente figura.
Cómo jugar
Configuraciones con cuadrados
▲El volumen de agua en la represa de Kurobe es doscientos millones de m3. El volumen del molde
de pan es 5000cm3.
▼El volumen de agua de la piscina es 250 cm3.
▼El volumen de una goma es 15cm3.
▲
3 cm
2 cm
5
cm
10
cm
15
cm
20
cm
0
Para resolver el problema utiliza tarjetas de 2 cmpor 3cmcomo se muestra en la página 5.
Alinea las tarjetas de izquierda a derecha y encuentra la relación entre
el número de tarjetas y el ancho del periódico mural.
Múltiplos y múltiplos comunes
Múltiplos
1
①Anota los datos del número de tarjetas y el ancho del periódico mural en
la siguiente tabla.
Número de tarjetas y ancho total
②
Encuentra la relación que hay en los números que indican el
ancho de las tarjetas.
Identifica los números que son múltiplos de otro número, como lo hiciste con la longitud y el número tarjetas.
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8
Ancho (cm) 3 6 9
Múltiplos y divisores
¿Cómo calculamos el ancho y el largo apropiado del periódico mural?
Queremos hacer un periódico mural rectangular para mostrar unos dibujos que hicimos. ¿Cómo debemos construirlo para que no queden huecos entre las imágenes?
Acomoda las tarjetas de izquierda a derecha y de abajo para arriba para formar un cuadrado.
Los múltiplos de 3son los números enteros que se obtienen
al multiplicar por 3, por ejemplo, 3×1, 3×2, 3×3, …
2 Alinea las tarjetas verticalmente, de arriba hacia abajo. Luego encuentra
la relación entre el número de tarjetas y la longitud correspondiente.
3
①Completa la tabla y encuentra la relación entre el número de tarjetas y la
longitud.
②¿De qué número son múltiplos esas longitudes?
①¿Cuál es la altura de la torre formada por 6cajas?
②La altura de la torre cambia cada vez que
agregamos una caja. ¿De qué número son múltiplos las alturas de la torre? Hagamos una torre con cajas de galletas
de 5cmde altura. 1
①múltiplos de8 ②múltiplos de9
Escribe los primeros 5 múltiplos de los siguientes números. 2
Múltiplos comunes
①¿Cuántos cmmiden los lados del cuadrado? Usa la cuadrícula de la
pági-na 5para encontrar la respuesta.
② Marca con distintos colores los múltiplos de 2y de 3en la
siguiente recta numérica.
③ Se puede construir un cuadrado formado por rectángulos cuyo largo y
ancho sean múltiplos de 2y de 3respectivamente. Verifica eso usando la
cuadrícula de la página 5.
Si un número es múltiplo de 2 y de 3 se le llama múltiplo
común. El mínimo común múltiploes el menor de los
múltiplos comunes.
5 cm
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Múltiplos de 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Múltiplos de 3
Número de tarjetas y longitud
Número de tarjetas 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud (cm) 2 4 6
Colocaremos en la pared un tapiz de forma cuadrada hecho con nuestros dibujos.
Ahora encuentra una fórmula para la longitud.
La idea de Yoshio▼
④ ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de2y3?
4 ¿Cómo podemos encontrar el mínimo común múltiplo de 3y 4?
La idea de Keiko▼
•Escribe en la cinta los múltiplos de 2 arriba de los múltiplos de 3. Los múltiplos comunes de 2y 3están donde quedan alineados los puntos negros de ambas listas.
Construyamos listas de múltiplos
El mínimo común múltiplo de 3y 4es 12.
Todos los múltiplos comunes de 3y 4son múltiplos del
mínimo común múltiplo.
5 En la siguiente figura
se muestran cajas
apiladas, las de galletas
miden 6cmde altura y
las de malvaviscos 8cm.
①¿De qué número es múltiplo la altura total de las cajas de galletas?
②¿De qué número es múltiplo la altura de la pila de cajas de malvaviscos?
③¿Qué altura deben tener las dos pilas de cajas para que sean iguales?
¿Cuántas cajas tiene cada pila?
④Escribe los primeros 3números en los que la altura de ambas pilas de
cajas es la misma.
Escribe los primeros 4 múltiplos comunes para cada una de las siguientes parejas de números y encuentra su mínimo común múltiplo.
1
① (5 , 2 ) ② (3 , 9 ) ③ (4 , 6)
Imagina dos torres hechas con cajas, en la primera torre la altura de cada caja es 6cmy en la segunda la altura de cada caja es 9cm. ¿Cuál es la altura mínima en la que las torres medirán lo mismo?
2 Anoto los múltiplos de 3y 4e identifico los múltiplos comunes.
Múltiplos de3: 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , 1 8 , 2 1 , 2 4 , … Múltiplos de4: 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 4 , 2 8 , 3 2 , …
De los múltiplos del 4, identifico los que son divisibles entre 3. Múltiplos de4: 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 4 , 2 8 , 3 2 , 3 6 , …
•En la tabla de abajo encerramos en un círculo cada múltiplo de 2. ¿Quedan alineados los múltiplos de 2?
Haz lo mismo para los múltiplos de otros números.
¿Cómo ordenar los múltiplos?
2
Divisores y divisores comunesQueremos cubrir con cuadrados iguales el marco que está en la pared sin dejar huecos.
¿Cómo calculamos el ancho y largo apropiados para este marco?
Divisores
1 Cubre con cuadrados
del mismo tamaño un
rectángulo de 12x 18cm.
¿Cuántos cmpuede medir
cada lado del cuadrado?
①¿Cuántos cmpueden medir por lado los cuadrados para acomodarlos
verticalmente sobre una plantilla de 12cmde largo sin dejar huecos?
B
B Múltiplos de3
Múltiplos de Múltiplos de
Marca los múltiplos de 3.
Múltiplos de 2
Para empezar trata de imaginar qué longitud pueden tener los lados de los cuadrados si los ordenas verticalmente y sin huecos.
18cm
Cuando se ordenan
verti-calmente los cuadrados
en la plantilla de
12
cm
de largo, la longitud de
sus lados puede ser
1
cm
,
2
cm
,
3
cm
,
4
cm
,
6
cm
y
12
cm
.
②Divide 12entre 1, 2, 3, 4, 6,y12.
Los divisoresde 12son los números enteros entre los que se
puede dividir 12dejando cero como residuo.
1，2，3，4，6，12son divisores de 12.
③¿Qué observas si se agrupan los divisores de 12como se muestra a
continuación?
1×12＝12 2 ×6 ＝12 3 ×4 ＝12
En el conjunto de los divisores de un número entero se incluye el 1y el
número mismo.
④¿Cuántos cmpueden medir por lado los cuadrados si los acomodamos
horizontalmente en una plantilla de 18cmde largo sin dejar huecos?
Cuando se acomodan
horizon-talmente los cuadrados en la
plantilla de 18cmde largo
sin dejar huecos, la longitud
de sus lados puede ser 1cm,
2cm,3cm,6cm,9cmy18cm.
1，2，3，6，9 y 18son los divisores de18.
Divisores comunes
⑤
¿Cuántos
cm
pueden medir por lado los cuadrados si se colocan
vertical y horizontalmente sin dejar huecos?
Verticalmente…… (cm)
Horizontalmente… (cm)
Se llaman divisores comunesde 12y 18los números que
son divisores tanto de 12como de 18.
Elmáximo común divisores el mayor de los divisores
comunes.
Los divisores comunes de 12 y18 son1, 2, 3 y6.
⑥ ¿Cuál es el máximo común divisor de12y18?
Encuentra todos los divisores de6, 8y36. Escribe todos los divisores comunes de8y36. 1
2
1 2 3 4 6
1 2 3 6 9 18
12
4 cm 3 cm
1 cm 2 cm
12 cm
4 cm 3 cm
1 cm 2 cm
18 cm
3 cm
3 cm 2 cm
2 cm 1 cm
1 cm
Trata de pronosticar qué longitud tendrán los lados de distintos cuadrados si los acomodamos en la plantilla sin dejar huecos.
Recuerda que en un cuadrado el largo y el ancho miden lo mismo. Se incluye el cuadrado de
Piensa en los divisores de 18.
Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las
siguientes parejas de números.
La idea de Yoshio▼
2 Veamos cómo puedes encontrar los divisores comunes de18 y24.
El máximo común divisor de 18 y24es 6. 24÷1＝24
24÷2＝12
3
① (8, 16) ② (15, 20) ③ (12, 42) ④ (13, 9)
Observa que en la pareja (13, 9) sólo hay un divisor común.
¿Entre cuántos alumnos podemos repartir equitativamente
8
lápices y
12
cuadernos?
Relación entre múltiplos y divisores
4
①Construye rectángulos usando 18tarjetas cuadradas para encontrar los
divisores de 18.
② ¿18es múltiplo de los divisores que encontraste en ①?
•3y6son divisores de18
•18es múltiplo de 3y 6
•
2
y
son divisores de
18
•
18
es múltiplo de
y
9
.
Anoto los divisores de 18 y 24para identificar los divisores comunes. Divisores de18 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
La idea de Keiko▼
Hago una lista de los divisores de 18e identifico cuáles de ellos son divisores de 24.
Divisores de 18 1, 2, 3, 6, 9, 18
•Algunos números como 2, 3, 5y7sólo son divisibles entre 1y
entre sí mismos. Busca ese tipo de números en la siguiente lista.
Divide entre 2, 3, 4,… para encontrarlos
Números que sólo son divisibles entre 1 y sí mismos
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
①Identifica en la tabla los múltiplos de 3y anótalos.
②Identifica en la tabla los múltiplos de 7y anótalos.
③Identifica en la tabla los múltiplos comunes de 3y 7y anótalos.
④Identifica en la tabla los divisores de 28y anótalos.
⑤Identifica en la tabla los divisores de 32y anótalos.
⑥Identifica en la tabla los divisores comunes de 28y 32y anótalos.
Escribe los primeros 3múltiplos comunes de las siguientes parejas de números e identifica su mínimo común múltiplo.
Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de números e identifica su máximo común divisor.
Vamos a trabajar con los números del 1al 50. 1
páginas13~14
páginas7~8
① (3, 6) ② (8, 10) ③ (5, 15)
① (6, 12) ② (18, 20) ③ (32, 42)
Escribe 3múltiplos de los siguientes números y ordénalos de menor a
mayor; encuentra también todos sus divisores.
Ir a la página90
① 16 ② 13 ③ 24
Para las siguientes parejas de números escribe 3múltiplos comunes de
menor a mayor y encuentra su mínimo común múltiplo.
① (3, 5) ② (12, 18) ③ (10, 20)
Anota todos los divisores comunes de las siguientes parejas de números y encuentra su máximo común divisor.
① (9, 15) ② (4, 11) ③ (12, 24)
De la estación salen un tren y un autobús cada 12y 8minutos
respecti-vamente. A las 9de la mañana coincide la salida de ambos transportes.
¿A qué hora volverán a salir juntos un tren y un autobús?
Toma una hoja de papel cuadriculado de 30cmde ancho y 12cmde
largo y recorta cuadrados del mismo tamaño de tal forma que no te sobre
papel. ¿Cuántos cmpor lado puede medir el cuadrado más
grande?¿Cuántos cuadrados de ese tamaño puedes recortar?
Los números como el
2
, el
3
y el
5
sólo pueden dividirse entre
1
y entre sí mismos. Encuentra el mayor número menor que
100
para el cual se cumple esta condición.
6
2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32
1 11 21
31 33 34 35 36 37 38 39 40 42
41 43 44 45 46 47 48 49 50
páginas4~7, 11~13
・Encontrar múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo.
・Encontrar múltiplos y divisores.
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
・Resolver problemas usando múltiplos comunes o divisores comunes.
・Entender que algunos números pueden dividirse sólo entre 1 y sí mismos. ・Encontrar divisores comunes y el máximo común divisor.
2
3
5 4 3 2 1
Múltiplos de 2 1
① ¿10, 20 y 100 son múltiplos de2? ¿Por qué?
② ¿34y35 son múltiplos de2? ¿Por qué?
Si el último dígito es ,
el número es un múltiplo de 2.
Múltiplos de4 2
① ¿100es un múltiplo de4? ¿Por qué?
② ¿136y 137 son múltiplos de4? ¿Por qué?
Si los dos últimos dígitos de un número son múltiplos de , el número es un múltiplo de 4.
Múltiplos de5 3
¿20, 25y26 son múltiplos de5?¿Por qué?
Múltiplos de9 4
① Encuentra los mayores múltiplos de 9que puedas restar de 10y de 100. ¿Cuál es la diferencia cuando esos múltiplos de 9se restan de 10y de 100?
② ¿234 es un múltiplo de 9? Encuentra los mayores múltiplos
de 9que puedas restar de 200,
30y 4.
¿Cuál es la diferencia cuando
restas esos múltiplos de 9de 200, 30y 4?
¿La suma de esas diferencias es un múltiplo de 9?
③ Si la suma de los dígitos de un número es un múltiplo de 9, se cumple que ese número es un múltiplo de 9. Trata de explicar por qué.
10
9 Múltiplo de 9 Diferencia 1
100
99 Múltiplo de 9 Diferencia 1
30 4
D
ife
re
nc
ia
2
D
ife
re
nc
ia
3
D
ife
re
nc
ia
4
200
Si ÷( ) es entero con residuo cero,
es un múltiplo de ( ).
Un breve examen
Un elefante africano pesa 6350Kg y
Yushiko 38Kg.
¿Cuántas veces el peso de Yushiko es
igual al peso del elefante? La escuela organizó un paseo al
que asistieron 315estudiantes que
pagaron 190yenes por su boleto
de tren para trasladarse al lugar.
¿cuánto se pagó aproximadamente
por los pasajes de tren?
190×315
2
② Encuentra el resultado de 6350÷38con tu calculadora y compáralo con la estimación que hiciste.
Aproximadamente, ¿cuántas veces
es la altura de la Torre de Tokio
com-parada con la de la Estatua de la
Libertad de Nueva York?
Estima el valor de los siguientes cocientes y compara el resultado con
tu calculadora.
1
2
① 37960÷78
② 90135÷892 333 m 46m
÷10 ÷10 1
①
Para calcular el costo aproximado redondea el costo del boleto
de
190
a
00
y el número de estudiantes de
315
a
00
.
②
Estima el producto con los números redondeados:
190
×
315→200
×
300
③
Usa una calculadora para ver qué tan acertado es el resultado de
esta estimación.
① 498×706 ② 2130×587 Estima el resultado de las siguientes multiplicaciones.
① Redondea el divisor y el dividendo al valor posicional del primer dígito y estima el cociente.
6000÷40 6350÷38
600 ÷ 4
× 3 1 5
1 9 0
Escribe las equivalencias entre fracciones que se indican. Usa la siguiente
imagen para responder. 1
① 23＝ ＝ ② 14＝
③ 35＝ ④ 105 ＝ ＝ ＝ ＝
Tres alumnos hicieron sándwiches de distintas formas.
¿Cuál de ellos tiene más pan?
Las rebanadas de pan son del mismo tamaño en todos los casos.
El sándwich de Yasuo▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y utilicé 2.
El sándwich de Hiroshi▼
Dividí una rebanada de pan en 3partes iguales y usé 2.
El sándwich de Akiko▼
Dividí una rebanada en 4
partes iguales y usé 3.
Si una rebanada de pan es 1 unidad, la cantidad de pan en el
sándwich de Yasuo puede expresarse como . Expresa la cantidad
de pan en los sándwiches de Hiroshi y Akiko usando fracciones.
Yasuo: de rebanada24 Hiroshi: de rebanada 2 4
Akiko: de rebanada
•Toma una hoja de papel y haz dobleces para expresar y como fracciones con el mismo denominador.
Comparemos fracciones doblando papel
1
Comparación de fraccionesComparemos fracciones con diferentes denominadores.
Piensa cómo comparar 23 y 34 .
① Expresa de distintas formas con fracciones equivalentes.
Expresa en términos de sextos, novenos y doceavos.
¿Cuál es la relación entre los numeradores y denominadores de
fracciones equivalentes?
Obtenemos fracciones equivalentes si multiplicamos o
dividimos el numerador y el denominador por un mismo
número.
② Expresa en términos de , y .
③ Compara y expresándolos como fracciones con el mismo denominador.
④ Observa el sándwich de la página 23, ¿cuál tiene más pan? 2
＝
3
3
＝
4
▲
＝ ▲●××■■ ●
▲
＝ ▲●÷÷■■ ●
，
Doblar en 3.
Doblar en3.
Doblar en 4.
Doblar en 4.
＝ 2
3 34＝
1 12
2 3
2 3
1 12
1 16 3
4
1 8
8 3×
4× 3
4＝ ＝
12 3×
4× 3
4＝ ＝
16 3×
4× 3
4＝ ＝
2 3
3 4 2
3 3 4
y pueden compararse
porque los denominadores son
iguales. 2 4
3 4
¿Cómo podemos comparar
y ?
2 3
3 4
1
Una fracción puede expresarse de diferentes maneras multiplicando por el mismo número el numerador y el denominador.
Ambas piezas de papel están dobladas en 12
Común denominador
2 Compara y . Para ello construye fracciones equivalentes que
tengan igual denominador. ¿Qué denominadores puedes utilizar para
compararlas? Identifica y marca cada uno de ellos.
Puedes comparar fracciones con denominadores diferentes
si las transformas en fracciones que tengan el mismo
denominador.
3 Compara y . Utiliza fracciones equivalentes que tengan el mismo
denominador. Nota que los denominadores 21y 42son múltiplos de 3y 7.
Los denominadores 21 y 42 son ambos múltiplos de 3y 7.
Encontremos un común denominador
4 Encuentra fracciones equivalentes a y con el mismo denominador.
5 Transforma estas fracciones a fracciones equivalentes y compáralas.
③ y El mínimo común múltiplo de 4y6es . 2 21 3 42 3 4 4 5 5 6 7 8 4 7 2
3 ＝ ＝ 21 42
4
7 ＝ ＝
Así lo hizo Kenta▼
Multipliqué los dos denominadores
para obtener un común
denominador.
Así lo hizo Yuko▼
Elegí el 24como común
denomi-nador porque es el mínimo común múltiplo de 6y 8.
5 ＝ ＝ 6 5× 6× 40 48 7 ＝ ＝ 8 7× 8× 42 48 5 ＝ ＝ 6 5× 6× 20 24 7 ＝ ＝ 8 7× 8× 21 24
Es conveniente elegir el mínimo común múltiplo como denominador
común, es decir, el menor de los denominadores comunes.
3× 4×
3
4＝ ＝
5× 6×
5
6＝ ＝
5 6 3 4
① y El mínimo común múltiplo de4y7es .
1× 4×
1
4＝ ＝
2× 7×
2
7＝ ＝
2 7 1 4
② y El mínimo común múltiplo de3y9es .
1× 3×
1
3＝ ＝
2 9 1 3 6 8 3 4 8 10 9 12 12 15 12 16 16 20 15 20 20 25 18 24 24 30 21 28 28 35 24 32 32 40 27 36 36 45 30 40 40 50 4 5 …… ……
Los envases de la figura tienen y litro de leche respectivamente.
Si se vierte el contenido de ambos en un solo envase, ¿cuántos litros de
leche hay? 1
Simplificación de fracciones
6
Encuentra la fracción equivalente que tenga el menor
numerador y el menor denominador.
Simplificar una fracción significa dividir el numerador
y denominador entre un divisor común para hacerla
más simple.
7
Explica el procedimiento que usaron estos alumnos para
simpli-ficar la fracción .
Decimos que hemos simplificado una fracción cuando obtenemos el
numerador y el denominador más pequeños.
Si divides el numerador y el denominador entre su
máximo común divisor, como lo hizo la niña de la
sección de la página anterior, simplificarás la
fracción en un sólo paso.
Obtén fracciones equivalentes con un común denominador para comparar
estas parejas de fracciones.
1
Simplifica al máximo las siguientes fracciones.
2
2
Suma y resta con fracciones① Imagina cómo calcular la respuesta.
Piensa cómo sumar fracciones con diferentes denominadores.
12 18
① ①
③ ④
2 3
4 5
8 10
16 20
② 213 1824
， ② 12 ，38 ③ 65 ，89 ④ 127 ，58
1 3
1 2
？
＋
1 3
1 2
1 3
1 2
＋
Yo puedo hacer,
y , pero ....1 3
1 3
¿Qué estrategia puedes usar?
7
② Observa la figura de abajo para explicar cómo calcular + .
Puedes sumar fracciones con
denominadores diferentes si
obtienes fracciones equivalentes
con un denominador común.
2 Descubre cómo calcular .
Si simplificas las
fracciones, trata de
hacerlo tanto como te
sea posible.
3 Busca cómo sumar las siguientes fracciones.
4 ¿Cuál es la diferencia entre y de litro de jugo?
① Obtén un denominador común y verifica cuál es mayor. Escribe la expresión para conocer la diferencia.
② Analiza cómo hacer la siguiente resta: 5
6 6
1
3＋ ＝ ＋
＝ ＝
3 4
5 8
5 8 3
4 ＝
3 4
5
8 ＝
－ －
＝
1
6
3 6
1
2 ＝
＋
1 3
1 2
＋
＝
④ 76－34 ⑤ 58－14 ⑥ 34－107 ③ 1112＋14 ① 38＋107 ② 45＋1315
① 23＋14 ② 21＋51 ③ 52＋61
⑥ 14＋203 ⑤ 125 ＋13
④ 12＋101
3 10
1
6＝
＋
3 10
1 6
＋
＋
＝ ＝
¿Cómo cambiarlos a frac-ciones con el mismo denominador? Yo no puedo calcular la
respuesta porque los denomi-nadores son diferentes.
Si usas el mismo denominador sólo tienes que sumar los numeradores para sumar las fracciones
Cuando la respuesta es mayor que 1es más fácil leerla si la expresas como un número mixto.
Encuentra cómo calcular .
Puedes restar fracciones con denominadores diferentes
si obtienes fracciones equivalentes que tengan un
denominador común.
5 Encuentra cómo calcular .
Obtén un denominador común y compara las siguientes parejas
de fracciones.
página28
páginas26~27
Simplifica tanto como sea posible las siguientes fracciones.
Realiza las siguientes sumas y restas.
Masahiro tiene mde cinta e Hiroko tiene mde cinta.
① ¿Quién tiene más cinta? ¿Cuántos metros más tiene?
② ¿Cuánto miden las dos cintas juntas?
Revisa la operación ¿El cálculo es correcto? ¿Por qué?. 5 páginas29~32 páginas29~32 páginas29-31 ② ① ① ③ ① ⑥ ④ ⑤ 2 7 1 4 2 3 1 2 21 28 11 12 16 24 75 100
， ② 34 ，57 ③ 16 ， ④ 49 ，
＋
⑤ 79 － 16
＋ ＝
② 35 ＋ 47 ③ 14 ＋ 56
⑦ 87 －34
7 8
－
④ 56 ＋ 13
⑧ 53 － 34
④ 87 －78 ① 23－ 16
⑤ 76 － 34 ⑥ 2215 － 23 ③ 157 －103 ② 25 －151
4 8 6 9 5 18 5 12 3 4 4 5 1 3 2 5 3 8 3 10 5 6 6 7 5 5 6 3 10 5
6－ ＝ －
＝ ＝ 7 5 5 6 ＝ － － ＝ － －
¿Qué diferencia hay entre este caso y el de la sección 4 ?
El procedimiento es el mismo para fracciones mayores que 1.
4 3 2 1
①Encuentra el resultado transformando la fracción a un número decimal.
＝0.1666……
Coloca en el el número correcto para encontrar una fracción equivalente.
Ir a la página91
② ①
Simplifica las siguientes fracciones a su expresión más simple.
Encuentra un común denominador para las siguientes fracciones y compáralas.
Realiza las siguientes operaciones.
Tenemos dos recipientes: uno con litros de leche, y el otro con de litro
de leche.
①¿Cuál de los dos recipientes tiene más leche? ¿Cuántos litros más? ②¿Cuántos litros de leche hay en total?
Elige 4números entre el 3, 4, 5, 6y7y anótalos en los siguientes recuadros.
A continuación realiza la operación que se indica y escribe el resultado.
¿Con cuál combinación de números obtienes el resultado mayor? Yo transformé la fracción en
número decimal y luego comparé.
La idea de Miho▼
Yo cambié el número decimal a
fracción y luego comparé.
Es conveniente hacer las operaciones con fracciones y
decimales expresando el decimal como fracción.
Cuál tiene más, ¿un recipiente con de litro de chocolate o un
recipiente con0.7litros
de leche. ¿Cuántos litros más?
Busca cómo calcular
0.2
＋
.
②Calcula la respuesta expresando el decimal como fracción.
Chocolate 35 l leche0.7l
La idea de Takahiro▼
② ① ① ③ ① ② ④ ⑤ 1 5 1 4 1 4 2 5 5 10 1 12 5 18 24 32 30 42 45 100
， ② 23 ，16 ③ 65 ，79 ④ 49 ，37
＋ ＋23 ③ 49－ ④
＋ 3 4 5 7 － 3 4 5 6 1 3 3 6 ＝ ＝ 6 8 2 5 4 15 ＝ ＝ 1 2 2 10 3 5 1 5 O O
0.2＝ ＝ 15＋16＝ ＋ ＝
1 6
1 6
3
5＝ 3÷5＝
0.7－0.6＝
0.7＝ ， ＝
＝ － 6 10 7 10 6 10 3 5 No puedo
com-parar fracciones y decimales.
No puede dividirse. ¿Cómo puedo hacerlo?
・Encontrar fracciones equivalentes.
・Comprender la simplificación de fracciones.
・Comparar fracciones.
・Sumar y restar fracciones con denominadores diferentes.
・Usar sumas y restas con fracciones para resolver problemas.
・Construir expresiones con un propósito dado. Operaciones con fracciones y decimales
6 5 4 3 2 1
■Ir a la página 94
Escribe el nombre de las partes de una caja.
Observa la caja de la siguiente
figura y responde.
2
①¿Qué tipo de cuadrilátero es la cara ⓐ?
②¿Cuántas aristas hay?
③¿Cuántos vértices hay?
Recolecta cajas de distintas formas y tamaños. Observa la forma de sus caras
para clasificar las cajas en grupos.
Prismas rectangulares y cubos
1 Kaori organizó las cajas de esta forma:
①¿En qué se basó Kaori para formar los grupos?
Los cajas de la figura de arriba son cuerpos geométricos limitados por
superficies planas o curvas.
Observa la forma de las cajas y piensa cómo construirlas.
4
Tipos de sólidos
En tercer grado, estudiamos los términos cara, vértice y aristas.
En los cuadriláteros, hemos estudiado el cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo y trapecio.
1
La figura de la derecha es un prisma rectangular. Un cuerpo limitado por rectángulos, cuadrados, o ambos, se
llama prisma rectangular.
Al cuerpo limitado por cuadrados se le llama cubo.
2 Completa la siguiente tabla con los números y términos
que faltan.
Prisma rectangular Cubo
Caras
Rectángulos o cuadrados
Aristas
Vertices
Forma
Número
Longitud
Número
Número
Redes
Desarrollos planos de prismas rectangulares y cubos
1
① Abre y desdobla el prisma a lo largo de sus aristas.
② Arma la figura.
A la figura que se forma al cortar una caja por sus aristas y colocarla
sobre un plano se le llama desarrollo planode la caja. La superficie plana que forma la cara de un prisma rectangular
o de un cubo es un ejemplo de un plano.
Dos caras de un prisma o de un cubo están en planosque son
paralelos o son perpendiculares
cara cara
vértices
aristas aristas
prisma rectangular cubo
③ ¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede formar un prisma rectangular?
2 Arma la figura que se forma con el siguiente desarrollo plano.
①Colorea la cara opuesta a la que forman los puntos
BGJM.
②Identifica y marca los puntos que se superponen
con el punto L.
③Colorea la arista que se superpone a la arista HI.
3 Construye una caja igual al prisma
rectangular que se muestra a la derecha. ① Termina los trazos del desarrollo plano.
② Copia el desarrollo plano en una hoja de papel y ármalo.
A
B L
N
M C
D
E F G
H
J K
I
1cm 1cm
5cm 5cm
2cm ⓐ
4 Dibuja un desarrollo plano con el que se pueda armar un
cubo con aristas de 5cm.
②Diseña diferentes desarrollos planos con los que se pueda armar un cubo.
Perpendicularidad y paralelismo de caras y aristas
Caras perpendiculares y caras paralelas
1 Remueve la tapa de un prisma
rectangular y coloca escuadras en
las caras interiores.
2 Ahora coloca una escuadra
sobre las caras exteriores del cubo
para medir los ángulos rectos.
Las caras adyacentes de un cubo y de un prisma
rectangular son perpendiculares.
3 Observa la posición de las caras de una caja rectangular como la que
se muestra abajo.
① ¿Qué caras son perpendiculares? ②¿Cuáles no lo son?
Las caras que no se intersectan, como ⓑ yⓓ,ⓔyⓒ, son caras paralelas.
¿Se puede armar un cubo con desarrollos planos diferentes?
①¿Con cuáles de los siguientes desarrollos planos se puede armar un cubo?
3
ⓒ ⓑ
4 Identifica los pares de caras paralelas
en el prisma rectangular de la derecha.
5 Observa el siguiente prisma rectangular.
① ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AB?
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AB?
6 Identifica el paralelismo y la perpendicularidad de las caras de un cubo.
7 Coloca verticalmente un lápiz sobre el escritorio.
8 La figura de la derecha es un
prisma rectangular.
① Observa la arista BF,
¿es perpendicular a la cara EFGH? ② Observa la figura e identifica las
aristas perpendiculares a EFGH.
Identifica las aristas
perpendiculares al
piso del salón de clases.
A
E G
C D
B H
F
A
E G
C D
B H
F
A
E
F
G C D
B H
A
B
C
E
F
G H
D
Considera este salón de clases. ① ¿Qué cara es paralela al piso
del salón?
②¿Qué caras son perpendiculares al piso del salón?
Caras y aristas perpendiculares
Dibuja un prisma rectangular de tal modo que puedas ver todas
sus caras.
Bosquejo
9
Un bosquejo es la representación
de una figura en la que puedes
ver todas sus partes, las aristas
paralelas mantienen su
propiedad en el dibujo.
Las dimensiones de un prisma rectangular son ancho, largo y alto
Podemos observarlas en 3aristas que se unen en un
mismo vértice.
El tamaño de un cubo se determina por el largo de
una de sus aristas.
Prismas y cilindros
1 Observa que los siguientes cuerpos se construyen a partir de dos
caras paralelas.
①¿Qué forma tienen las caras coloreadas en cada uno de ellos? Compara la forma y el tamaño de esas caras.
②¿Qué forma tienen las caras que no están coloreadas?¿Cuántas de esas caras tiene cada cuerpo?
③¿Qué caras son perpendiculares?
A los cuerpos como ⓐ, ⓑ, ⓒ yⓓ se les llama prismas.
Las caras paralelas de un prisma que
tienen el mismo tamaño y forma, se
llaman bases.
Las caras rectangulares que unen las
bases de un prisma se llaman caras laterales.
Cuando las bases son triángulos se forma un prisma triangular;
cuando son cuadriláteros se forma un prisma cuadrangular; cuando
es un pentágono se forma un prisma pentagonaly así sucesivamente.
Los cubos son casos particulares de prismas. alto
largo
ancho ¿Desde que ángulo puedes
ver más caras de un prisma?
¿Cómo puedes ver todas las caras?
Traza las aristas que no se pueden ver usando líneas punteadas.
arista arista arista
base
vértices
base
aristas
cara lateral
④ ¿Cómo se llaman los cuerpos ⓐ, ⓑ, ⓒyⓓde la página anterior? ⑤ Completa la siguiente tabla anotando el número de vértices,
aristas y caras de los prismas que se indican. Prisma
triangular
Número de vértices 3×2＝6
3×2＋3＝9
2＋3＝5
Número de aristas
Número de caras
Prisma
cuadrangular pentagonalPrisma hexagonalPrisma
2 Observa los siguientes cuerpos.
① ¿Qué forma tiene la cara que lo limita?
② Compara la forma y el tamaño de las caras paralelas.
El cuerpo que se muestra a
la derecha se llama cilindro.
Sus caras paralelas tienen la misma
forma y tamaño, las cuales se llaman
bases. La cara curva se llama cara
lateral.
La cara lateraldel cilindro es
una superficie curva.
Repasemos las principales características de los prismas rectangulares y los cubos.
página38
①Los prismas rectangulares se clasifican de acuerdo a la forma de sus .
②Un prisma rectangular posee caras de forma o una combinación de rectángulos y cuadrados.
Las caras de los cubos son . ③Los prismas rectangulares y los cubos
tienen aristas y vértices.
①¿Cuál es el nombre del prisma de la derecha? ②¿Qué tipo de figuras son las carasⓑ, ⓒyⓓ? ③¿Cuáles caras son perpendiculares a la cara ⓑ.
Dibuja un desarrollo plano para armar el
prisma rectangular de la derecha.
Recorta en una hoja de papel las figuras que se indican y construye un prisma
rectangular. ¿Cuántas figuras de cada una necesitas?
Observa el siguiente prisma.
4
página41
páginas39~40
páginas47~48
5 cm 3cm 3cm
4 cm 4 cm
6 cm 4 cm
6 cm 2 cm
2 cm 4 cm Estos números
sugieren algunas reglas, ¿cierto?
base
base
cara lateral
Observa el siguiente prisma rectangular.
・Entender la relación entre las aristas y entre caras y aristas.
■ Ir a la página51 ① ¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AE?
② ¿Qué aristas son paralelas a la arista AE?
③ ¿Cuál de las caras es paralela a la cara ABCD?
④ ¿Qué aristas son perpendiculares a la cara ?
Dibuja los desarrollos planos para construir los siguientes cubos y prismas
rectangulares.
・Dibujar desarrollos planos de cubos y prismas rectangulares.
① Un cubo cuyas aristas miden 4 cm.
② Un prisma rectangular con 6cm de largo, 4cm de ancho y 2cm de alto.
Añade las caras faltantes para completar los siguientes desarrollos planos. ・Diseñar diferentes desarrollos planos.
3
• Una hormiga debe recorrer el prisma de la siguiente figura desde el vértice A
hasta el vértice Gpara comerse la galleta.
¿Cuál es la distancia más corta?
① Verifica que la línea que une a Acon Ges la más
corta.
② ¿En dónde cruza la línea
AGla arista BG?
• Si ahora la hormiga parte desde el vértice Ey cruza las aristas ABy BChacia
el vértice G, ¿cuál es la ruta más corta?
Dibuja un desarrollo plano para verificar tu respuesta.
• Dibuja un desarrollo plano para construir el prisma rectangular de arriba.
A
E
F
G C D
H
B
4 cm 4 cm
4 cm
4 cm 6 cm
2 cm
E
4
4
12
A
B
D
C
G H
F cm
cm cm
E H
A
E H
F G
D
B C
F G
E H
① ②
Ir a la página96
Yo creo que la ruta más corta es de A a B y luego de B a G siguiendo la diagonal.
La hormiga puede ir de A a C siguiendo la diagonal y luego de C a G. Pero la distancia es la misma que la idea de Hiroshi.
¿Hay una ruta más corta?
¿Cuál es la distancia
más corta?
¿Cómo se mide el área?
El área se expresa usando unidades .
¿Cómo se mide el volumen de agua en un recipiente?
Las unidades y se usan para medir el volumen.
¿Cómo se mide el peso? 2
Las unidades y se usan para medir el peso.
Preparemos una gelatina.
Volumen
1 Preparamos dos porciones de gelatina como los que se muestran a continuación.
Veamos cómo comparar, expresar y calcular el volumen de cuerpos geométricos.
4cm
3cm
2cm
3cm
3cm
3cm
① Piensa cómo puedes comparar el volumen de ambas porciones.
5
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
Volumen
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
Volume
2l
¿Podemos medir el volumen de un sólido?
1
3
1
2 cm
3 cm
3 cm
3 cm 3 cm
Yo los pongo juntos y corto la parte extra para compararlos.
La idea de Yoko ▼
Yo corto secciones de 1cm y cuento el número de cubos con aristas de 1cm.
La idea de Mayumi ▼
Yo construí cuerpos de la misma forma con cubitos de 1cm por lado.
Comparé su tamaño contando el número de bloques.
② Cuenta el número de cubos de gelatina de 1cm por lado o cuenta el número de bloques para comparar el volumen de cada cuerpo.
tiene cubos de gelatina tiene cubos de gelatina
tiene cubos de gelatina
2 ¿Cuántos cubitos de 1cm por lado se necesitan para construir el cubo y el prisma rectangular que se muestran a continuación?
3 Construye diferentes cuerpos utilizando 12cubitos de 1cm por lado. Nota que todos ellos tienen el mismo volumen.
La expresión numérica del tamaño de un cuerpo, como el de la gelatina y el de los bloques, es la “medida del volumen”.
La idea de Satoshi ▼
2 cm 2 cm
2 cm
2 cm 2 cm
1 cm
2 cm 3 cm
2 cm
3 cm 3 cm
2 cm
4 cm 4 cm
4 cm
③ ¿Cuántos cubos de 1 cm3hay? ¿Cuántos centímetros cúbicos son?
Nota que el número de cubos de 1 cm3en el largo es igual al largo del cuerpo,
el número de cubos de 1 cm3de ancho es equivalente al ancho del cuerpo y la
altura corresponde al número de cubos de 1cm3apilados.
Calcula el volumen de los siguientes prismas rectangulares. Imagina cómo calcular el volumen de
un prisma rectangular.
Un cubo cuyas aristas miden 1 cmes una unidad de volumen. El volumen de un cuerpo es el número de cubos que lo conforman.
Al volumen de un cubo con aristas de 1 cmse le llama “un centímetro cúbico” y se escribe 1cm3.
El cm3es una unidad de volumen.
4 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
1
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3hay en la
primera capa?
② ¿Cuántas capas hay?
2 × 3 × 4 ＝ (cm3)
largo ancho altura volumen
2 × 3 × 4 ＝
El volumen de un prisma rectangular se calcula con una fórmula que relaciona el largo, el ancho y la altura.
Volumen de un prisma rectangular＝largo ancho altura
2
Cubos de
largo Cubos deancho
Cubos
de alto de cubosTotal
8 cm 4 cm
5 cm
10 cm 3 cm
3 cm
8 cm
5.4 cm 2.5 cm
① ②
① ② ③
2 cm 3 cm
4 cm
capa 1 capa 2 capa 3 capa 4
Fórmulas para calcular el volumen
1 cm 1 cm 1 cm
¿Qué necesitamos para calcular el volumen de un cuerpo?
2 cm
4 cm 8
cm
5 cm
5 cm 5 cm
Calcula el volumen de este cubo.
3
① ¿Cuántos cubos de 1 cm3caben en
este cubo?
② ¿Cuántos cm3mide su volumen?
En un cubo, el largo, ancho y la altura son iguales, por esto su volumen puede calcularse usando esta fórmula:
Volumen del cubo＝ (arista)x(arista)x(arista)
① ②
Encuentra el volumen del prisma rectangular y el cubo que se muestran a continuación.
Localiza a tu alrededor un prisma rectangular y un cubo y calcula su
volumen.
Construye una caja cuyo volumen sea igual a 200 cm3
1 Piensa cómo calcular el volumen del prisma
rectangular de la derecha.
① ¿Cuántos cubos de 1metro por lado hay en ese prisma?
② ¿Cuántos metros cúbicos hay en el prisma rectangular del inciso anterior? Al volumen de un cubo con aristas
de 1metro de largo se le llama metro cúbicoy se escribe 1 m3.
① Si alineamos cubos de 1cm3sobre
la base, ¿cuántos cubos hay a lo largo y ancho?
② ¿Cuántas capas hay?
③ ¿Cuántos cubos de 1cm3hay en total?
¿Cuántos centímetros cúbicos son?
100 × 100 × 100 ＝
2 Veamos cuántos centímetros cúbicos equivalen a un metro cúbico.
3 cm 3 cm
3 cm
2 m 2 m
3 m
1 m
1 m 1 m
1cm1cm
1cm
capa 4 capa 3 capa 2 capa 1
1 m
1 m 1 m
1m3＝1,000 000cm3 Diseña distintas cajas cuyo
volumen sea 200cm3.
3
Volúmenes grandes1 m＝100 cm
largo ancho altura volumen
1
3 Calcula el volumen del
siguiente prisma rectangular.
① Imagina cómo calcular la respuesta.
② ¿Cuántos metros cúbicos mide el volumen de este prisma?
¿A cuántos centímetros cúbicos
equivale su volumen?
Calcula el volumen de este
prisma rectangular.
2
•¿Cuántos niños caben en una caja de 1m3?
La capacidad de 1m3
4 Observa la relación que hay entre cantidad de agua y el volumen.
① ¿Cuántos cm3caben en un
recipiente de 1l?
② 1 l= 1000 ml
¿Cuántos cm3es 1 ml?
③ ¿Cuántos litros de agua caben en un tanque de 1 m3?
1 l＝ cm3
1 ml cm3
＝
1 m3 cm3
＝
l
＝
5 Imagina cómo calcular el volumen
del siguiente cuerpo.
¿Qué puedes hacer para calcular el área del cuerpo con esta forma ?
¿Cuántos metros cúbicos mide el
volumen de este prisma rectangular?
¿A cuántos centímetros cúbicos equivale
su volumen?
2 m
3 m 50 cm
2 m 20 cm
20 cm
1 m
3 m 0.5 m
1 m 1 m
10 cm 1 cm 1 cm
1 cm 1 cm
10 cm
10 cm 1 m
1 m
3
3
8 cm 5 cm 5 cm
3 cm 7 cm
6cm 6cm 6cm
5cm
2cm 2cm
Yo lo separé en 2prismas rectangulares.
5×3×7＋5×5×4
＝105＋100
＝205 Respuesta:205 cm3
La idea de Yuko ▼
Yo resté el prisma rectangular pequeño
al prisma rectangular grande. 8×5×7－5×5×3
＝280－75
＝205 Respuesta: 205 cm3
6 Moldeamos un elefante con la plastilina de un prisma rectangular y un cubo. Calcula el volumen del elefante.
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
¿Cuál es el volumen en m3del cubo y el prisma rectangular que se muestran
a continuación?
páginas57~58
páginas59~60
¿Cuál es el volumen en cm3y m3de400lde agua?
Calcula el volumen del siguiente cuerpo. 4
páginas61~62 La idea de Akira ▼
página61 12cm
7cm 6 cm
9 cm
9 cm 9 cm
60 cm
6 cm 3 cm
4 m 4 m
4 m
6 cm 4 cm
3 cm
6 cm 8 cm
3 cm 5 cm
5 cm 5 cm
4 cm 7 cm
5 cm
5 cm
3 cm 5 cm
8 cm 7 cm
① ②
① ②
Volumen de un prisma
1 Considera el prisma rectangular que se muestra a continuación.
① Escribe la fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular.
② La base de este prisma rectangular es un rectángulo. ¿Qué parte del prisma se expresa con la multiplicación largo xancho en la fórmula del inciso anterior?
× ×
largo × ancho×alto
de base
El volumen de cualquier prisma puede calcularse con la expresión:
2 Calcula el volumen del prisma que se
muestra a continuación. Considera que la base es un triángulo rectángulo.
Como el volumen es la mitad del prisma rectangular se tiene que:
(3×4×8)÷2
＝96÷2
＝48 Respuesta:48cm3
La base del prisma triangular es un triángulo
rectángulo por lo que el volumen puede
calcularse así:
área de la base ×altura
＝(4×3÷2)×8
＝6×8
＝48 Respuesta:48cm3
La idea de Mami ▼
3 Considera el siguiente cuerpo como un prisma para calcular su volumen.
La idea de Hisashi ▼
7cm 8 cm
5 cm 5 cm
3 cm
altura
base base
8 cm
3 cm
4 cm
altura base
base
8 cm
3 cm
4 cm
Volumen de un prisma
＝
área de la base
altura
largo ancho altura
Puedes hacer un prisma rectangular apilando hojas de papel.
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
・Utilizar una fórmula para el cálculo del volumen.
Ir a la página92
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.
・Encontrar distintas formas para calcular el volumen.
Calcula el volumen del prisma
rectangular que se forma a partir de
este desarrollo plano.
・Calcular el volumen a partir del desarrollo plano de un cuerpo.
¿Con cuántas cubetas de agua
puedes llenar el depósito que
se muestra?
・Expresar el volumen con diferentes unidades.
•Todos los cuerpos tienen volumen. ¿Cómo podemos encontrar el volumen de un
cuerpo que no sea un cubo o un prisma rectangular?
Podemos calcular el volumen de un objeto irregular, por ejemplo, una piedra.
La colocamos en agua, la altura del agua se incrementará debido al volumen de la
piedra. Veamos esto a continuación.
• Mide el volumen de tu cuerpo usando la tina de baño o un estanque.
12 cm
9 cm 5 cm
5m
5 m 5 m
3cm 3cm 4cm 4 cm
9cm 5cm 5
m
5 m
2 m
1 m
1 m
2 cm
2 cm
2 cm
① ②
③ ④
1cm
más alto marca
1 litro 10cm
10cm
60cm 20cm
30 cm
El volumen de
distintos cuerpos
4 3 2 1
①¿Qué caras son perpendiculares a la cara ⓐ? ¿Qué cara es paralela a la cara ⓐ?
②¿Qué aristas son perpendiculares a la arista AB? ¿Qué aristas son paralelas a la arista AB?
Encuentra los 3primeros múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo de los
siguientes pares de números.
① (9 , 12 ) ② (15 , 5 ) ③ (7 , 11 )
Encuentra todos los divisores y el máximo común divisor de las siguientes
parejas de números.
① (6 , 15 ) ② (14 , 28 ) ③ (16 , 9 )
Para una actividad es necesario dividir al grupo en equipos del mismo
tamaño. Si hacemos grupos de 6o 7alumnos, tres de ellos se quedan sin equipo.
Se sabe también que hay menos de 50alumnos.
¿Cuántos alumnos hay?
Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión.
Transforma las parejas de fracciones en fracciones equivalentes con
común denominador.
Realiza las siguientes sumas y restas.
② ① ① ③ ② ① ③ ④ ⑤
Observa el siguiente prisma rectangular y responde a las preguntas.
Dibuja el desarrollo plano para el cubo que se muestra a continuación.
Calcula el volumen de cada uno de los 4 cuerpos que se muestran a continuación.
9 5 A H D G F B E C 3cm 3cm 3cm 3cm
4cm 8cm
2cm 2cm 2cm 8cm 6cm 9cm 4cm
3cm 3cm
3cm 3cm 3cm 3cm 3cm 9cm 9cm 10cm ① ② ③ ④ 1 3 3 7 4 9 2 3 8 12 5 12 7 15 12 16 5 12 30 45 20 48 36 60
(
,)
② 58 2 7
(
,)
③(
,)
＋ 35＋34 ＋56
⑤
④ 54－23 56－79 ⑥ 1310－45
Cada mañana los alumnos de 6º grado leen un libro. Hiromi y Kenji escogieron el
mismo título, sin embargo, Hiromi leyó durante cinco días y Kenji cuatro días
porque faltó un día a la escuela. Compara el número de páginas que lee cada uno
de ellos por día.
Páginas leídas por Hiromi
Páginas leídas por Kenji
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Quinto día Total
Número de páginas 5 7 3 4 6 25
Día Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Total
Número de páginas 8 5 5 6 24
Media aritmética
1 Si ambos hubieran leído el mismo número de páginas por día,
¿cuántas páginas leería cada uno por día?
①¿Cuántas páginas leyó Hiromi por día?
②¿Cuántas páginas leyó Kenji por día?
③¿Quién leyó más páginas por día?
(páginas) 8 6 4 2 0 Pri m er día Se gu nd o d ía Te rce r d ía C ua rto día Q uin to d ía
䡙
䡗
8
6
4
2
0
（páginas）
Pri m er día Se gu nd o d ía Te rce r d ía C ua rto día Q uin to d ía 8 6 4 2 0 （páginas）
Pri m er día Se gu nd o d ía Te rce r d ía C ua rto día
䡗
䡗
8
6
4
2
0
（páginas）
Pri m er día Se gu nd o d ía Te rce r d ía C ua rto día
Medición con otro
tipo de unidad
El número de días de lectura y el total de páginas son diferentes. ¿Cómo se puede calcular el número de páginas que leen por día?
La siguiente tabla muestra el número de libros que leyeron 5alumnos
en el grupo de Tadashi durante agosto.
¿Cuántos libros en promedio lee cada alumno? Al proceso en el cual se representan diferentes cantidades por una sola se
le llama “promediar”
②Reflexiona cómo calcular el promedio.
2 Observa los siguientes envases con jugo.
①Vamos a promediar la cantidad de jugo
para que cada uno de los envases contenga
la misma cantidad.
2 1 5
( 4＋2＋1＋5 ) ÷ 4 ＝
Para calcular el promedio dividimos la cantidad total de jugo entre
los 4envases.
Al resultado que se obtiene al promediar números o
canti-dades se le llama media aritmética.
En el caso del jugo tenemos:
Puedes calcular el promedio si conoces la cantidad
total y el número de objetos.
La media aritmética puede incluir decimales. La parte decimal
aparente-menteno tiene sentido, como ocurre con el número de libros, pero da
infor-mación importante
Términos
平
均
Libros leídos por alumno
3 ¿Cuál de las siguientes gallinas pone los huevos más pesados?
Encuentra el peso promedio en cada caso y compáralos.
4
La idea de Kumiko ▼ La idea de Yasuo ▼
De los recipientes que contienen mayor cantidad de jugo, extraigo parte de éste y lo paso a los que tienen menos.
Vierto todo el jugo en otro recipiente y
después reparto equitativamente el jugo
entre los recipientes pequeños.
número de envases
Jugo en los 4 envases promedio de jugo por envase
Promedio＝total de jugo÷número de envases
Nombre Tadashi Yutaka Kenta Sayaka Yuko
Número de libros 4 3 0 5 2
56g 58g 56g 61g 54g 57g
57g 53g 60g 58g 56g 53g 55g
Significa emparejar Significa
plano
①¿En cuál de las fotografías hay más aglomeración?
•en o en →
• o →
• o →
Cuando el número de tapetes es el mismo, la fotografía con
alumnos es la que tiene más aglomeración.
Cuando se tiene el mismo número de alumnos, la fotografía con
tapetes es la más aglomerada.
②Veamos cuántos alumnos están sobre cada tapete.
Midamos usando otro tipo de unidad
1 Las fotografías ⓐ, ⓑy ⓒmuestran a
un conjunto de alumnos parados sobre unos tapetes. ¿En cuál de las ilustraciones ⓐ,ⓑ y ⓒse presenta la mayor aglomeración de alumnos por tapete?
2 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 15 alumnos
Piensa cómo medir la aglomeración de alumnos
2 tapetes, 12 alumnos
3 tapetes, 12 alumnos
3tapetes, 15 alumnos
¿Qué tal si promediamos respecto al número de tapetes?
El número de tapetes y alumnos es distinto en cada caso.
2
ⓐ
ⓐ
ⓑ ⓑ
ⓑ
ⓐ ⓒ
ⓒ ⓒ
ⓐ
ⓑ
ⓒ
③El área de cada tapete es 1m2. ¿Cuántos alumnos hay por metro cuadrado?
12 ÷ 2 ＝
12 ÷ 3 ＝
15 ÷ 3 ＝
La aglomeración se expresa mediante la razón de dos
cantidades: el número de alumnos y el área.
Para el área se utilizan unidades como el m2o el Km2.
Cuando se agrupan personas de forma desordenada el
número de ellas por m2permite medir la aglomeración.
En un arenero de 8 m2se encuentran jugando 10niños. En otro arenero de
13m2, hay 13niños jugando. ¿En cuál de ellos hay una aglomeración mayor? En un tren de 7vagones viajan 1,260pasajeros mientras que en el de 8
vagones viajan 1,850pasajeros. ¿En cuál hay mayor aglomeración?
1
2
Número de
niños Área Número de niños por m2
2
La tabla de la derecha muestra la
población y el área de las ciudades
del Este y el Centro Oeste.
Calcula cuántos habitantes
hay por
Km
2para ver en cuál de
ellas está más aglomerada la
población.
Población y área
Población
(habitantes) Área (Km2)
Centro Oeste 22,100 17
Ciudad
del Este 273,600 72
Al número de habitantes por Km2se le llama densidad
de poblacióny con ese valor se puede medir la
aglomeración en una ciudad o municipio.
Calcula la densidad de población de
cada una de las siguientes prefecturas,
redondea el resultado al primer
decimal.
Fukuoka 4,971 Km2 5,001,592
Hiroshima 8,477 Km2 2,870,542
Niigata 12,582Km2 2,463,740
Hokkaido 83,453 Km2 5,662,856
Tokyo 2,187 Km2 11,996,460
Kagoshima 9,187Km2 1,775,636
Kochi 7,105 Km2 813,237
Kagawa 1,876 Km2 1,031,185 Kumamoto
7,404 Km2 1,866,553
Aomori 9,606 Km2 1,487,451 Osaka
1,893 Km2 8,643,677
Shizuoka 7,779 Km2 3,769,776
Okinawa 2,271Km2 1,353,212
Población en2003
¿Cuál es la densidad de población donde tú vives?
3 Los alumnos cultivaron papas
en el huerto escolar y lograron cosechar
43.2Kg de la parcela de 6m2y
62.1Kgde la parcela de 9 m2.
¿Cuál parcela es más productiva?
Compara con los valores del peso de
las papas por m2.
4
Peso (Kg) ? 43.2
Área (m2) 1 6
Peso (Kg) ? 62.1
Área (m2) 1 9
Peso (g) 20 ?
Longitud (m) 1 15
Peso (g) 20 340
Longitud (m) 1 ?
0 0
1
43.2 （Kg）
0 0
1
62.1 （Kg） Peso
Área
Peso Área
0 0
1 10 (cuadernos）
1200 （yenes） Costo
Número de cuadernos
0 0
1 8 (cuadernos） 1040 （yenes） Costo
Número de cuadernos
5 En la tlapalería hay dos tipos de rollos de alambre; uno de ellos mide
6my pesa 390 gy el otro mide
8my pesa 480g.
¿Cuál de esos alambres es más
pesado?
Compara el peso por metro
de alambre.
0 0
1
Peso Longitud
0 0
1
Peso Longitud
A indicadores como la densidad de población, cosecha por m2,
costo por ejemplar, entro otros, se les llama medida por unidad.
6 Imagina un alambre que pesa 20 gpor metro y responde a las
siguientes preguntas.
①¿Cuánto pesa un rollo de ese alambre que mide 15 mde largo?
②Si recortamos un segmento de ese alambre y su peso es de 340g,
¿cuántos metros mide ese segmento?
Peso Total ＝ peso por 1m × longitud
0 0
1 20
Peso Longitud
0 0
1 20
Peso Longitud
En la papelería puedes comprar un paquete de 10cuadernos
por 1,200yenes o un paquete de
8cuadernos por 1,040yenes.
¿Cuál de los paquetes es más caro?
Un equipo de alumnos construyó modelos a escala de autos solares y quieren conocer a qué velocidad pueden desplazarse.
Para investigarlo, se dividieron en dos grupos. Uno de ellos midió el tiempo que necesita el vehículo para trasladarse cierta distancia y el otro registró la distancia que recorrió el auto en un tiempo determinado.
7 Una máquina puede bombear 240lde agua en 8minutos y una segunda
máquina puede bombear 300 lde agua en 12 minutos.
¿Cuál de esas máquinas bombea más agua por minuto?
8 Las fotocopiadoras ⓐde la papelería pueden
reproducir 300hojas en 4minutos y la ⓑ
380hojas en 5minutos.
①¿Cuál de las fotocopiadoras es más rápida?
②¿Cuántas hojas puede reproducir la
copiadora ⓐen 7minutos?
③¿En cuántos minutos puede la
fotocopiadora ⓑproducir 1,140copias?
Si un pequeño tractor puede arar 900m2de tierra en 3horas, ¿cuántos m2
puede arar en 8horas?
0 0
1 8 (minutos）
Volumen de agua Tiempo
0 0
1 12 (minutos）
Volumen de agua Tiempo
Número de hojas
Minutos
Número de hojas
Minutos
0 0
1
（hojas）
（minutos）
Número de hojas Tiempo
3
VelocidadCómo medir la velocidad
Piensa cómo puedes decidir cuál de los autos es el más rápido.
Si la distancia es la misma, el auto que la recorre en el menor tiempo es el más rápido.
Si el tiempo de recorrido es el mismo, el auto que cubre la mayor distancia es el más rápido.
Si la distancia y tiempo son diferentes para cada vehículo, ¿cómo puedo comparar su velocidad?
En la siguiente tabla se registraron las distancias y el tiempo de
recorrido de los autos solares.
① ¿Qué auto es el más rápido? Compara la velocidad de
los autos solares.
•Entre ⓐ y ⓑ. es más rapido.
•Entre ⓑ y ⓒ. es más rapido.
•Entre ⓐ y ⓒ. es más rapido.
La velocidad se puede comparar si el tiempo es el mismo o si la distancia es la misma. 1
Mismo tiempo Misma distancia
El tiempo que cada auto tardó en recorrer la distancia.
② Calcula cuántos metros por minuto recorrió cada auto y compara la velocidad.
③ Calcula cuánto tiempo tardan en recorrer 1my compara su velocidad.
Si comparamos la velocidad con los tiempos de recorrido de los autos por unidad de
distancia, el menor tiempo es el del más rápido.
Si comparamos la velocidad con las distancias que recorrieron por unidad de tiempo,
la mayor distancia es la del más rápido.
La velocidad se mide como la distancia recorrida por unidad
de tiempo.
2 El tren bala Hikari recorre los
553Kmentre Tokio y
Shin-Osaka en 3horas.
El tren Toki recorre los 334Km
entre Tokio y Niigata en
2horas.
②¿A cuántos Kmpor hora viaja el tren Toki?
①¿Cuál de esos trenes es más rápido?
La velocidad se puede expresar de distintas formas dependiendo
de la unidad de tiempo. La velocidad se mide por unidad:
Velocidad por hora:se expresa en términos de la distancia
recorrida en una hora.
Velocidad por minuto:se expresa en términos de la distancia
recorrida en un minuto.
Velocidad por segundo:se expresa en términos de la distancia
recorrida en un segundo.
Una persona recorrió 50metros en 8segundos y otra 60metros en 10segundos.
¿Quién es más rápido? Compara la velocidad expresándola en metros por segundo.
Una persona caminó 432men 6minutos y otra 280men 4minutos. ¿Quién es más
rápido? Compara su velocidad expresándola en metros por minuto.
1
2
Velocidad＝distancia tiempo
Distancia y tiempo
Auto Distancia (m) Tiempo(min)
30 4
30 5
40 5
