GEOMETRIAGRADO6ºUNO

INSTITUTO INTEGRADO CARRASQUILLA INDUSTRIAL Jornada de la tarde

GEOMETRÍA GRADO 6º

GEOMETRÍA: Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades, de las formas ó figuras.

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra

metrón = medida; o sea, significa Es decir: "medida de la tierra".

Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos.

Este concepto geométrico se aceptaba sin demostración, porque era producto de la práctica.

Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa.

Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.

Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.

Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, los cuales son casi los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.

Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados.

Además demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas.

Los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos.

Por ejemplo: un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler o por una estrella en el firmamento.

El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.

La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio.

La geometría plana estudia las figuras contenidas en un plano.

La geometría del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA Los tres elementos básicos de la geometría son:

a) Plano. b) Recta c) Punto

PUNTO: Un punto es un término indefinido. No se puede definir.

La huella que deja un lápiz bien afilado sobre una hoja de papel nos sugiere la idea de un punto.

Un punto carece de dimensiones, es sólo una posición en el espacio.

Se acostumbra denotar los puntos por letras mayúsculas, por ejemplo. A: punto A

RECTA: Término indefinido.

Una idea vaga de recta se tiene por la observación del borde de una regla, un hilo templado, etc.

La recta sólo tiene una dimensión, longitud.

La recta geométrica se extiende sin límite en dos sentidos opuestos. Se denotan las rectas por dos de sus puntos mediante el símbolo:

SEMIRRECTA: Si señalamos un punto A en una recta, dicho punto junto con los puntos que le siguen o le preceden en el mismo sentido se denomina semirrecta. A se conoce como el origen de la semirrecta .

Para denotar una semirrecta se señala otro punto además del origen, y se utiliza el siguiente símbolo:

SEGMENTO DE RECTA: Si señalamos sobre una recta los puntos A y B, se

denomina segmento el conjunto de puntos comprendidos entre A y B, incluyendo a los puntos A y B que se denominan extremos del segmento.

El segmento de recta se denota por el siguiente símbolo:

PLANO: Es un término indefinido.

Una idea de plano nos la sugiere la superficie de un tablero, el piso, etc. Un plano tiene dos dimensiones, largo y ancho.

Un plano tiene una extensión ilimitada.

Un plano se considera constituido por un conjunto infinito de puntos.

Se denota el plano por cuatro de sus puntos y mediante el siguiente símbolo:

SEMIPLANO: Toda recta MN de un plano lo divide en dos regiones llamadas semiplanos.

Cada punto del plano pertenece a uno de los semiplanos, excepto los puntos de la recta MN que pertenecen a los dos.

EJERCICIOS

EL ÁNGULO

Se llama ángulo a la unión de dos semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados y el punto común se llama vértice.

Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:

a) Una letra mayúscula en el vértice.

b) Una letra griega o un símbolo en la abertura.

c) Tres letras mayúsculas.

EL TRANSPORTADOR.

El transportador de ángulos es una herramienta de dibujo que nos permite medir y construir ángulos.

Tiene forma semicircular (escala de 0º a 180º) o circular (escala de 0º a 360º). Los transportadores de ángulos se elaboran generalmente con plástico transparente: así es posible ver a través de ellos el ángulo que queremos medir.

MEDICIÓN DE UN ÁNGULO Para medir la amplitud de un ángulo se utiliza el transportador. La unidad de medida de ángulos es el grado.

Para medir ángulos se hace coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo; y el cero con uno de sus lados.

Luego se observa la medición que marca el otro lado.

TRAZADO DE UN ÁNGULO

Para trazar un ángulo se coloca el transportador sobre una semirrecta de manera que el punto inicial coincida con el punto central del transportador, y 0º coincida con un punto o prolongación del lado.

Luego se marcan los grados que tiene el ángulo con ayuda del transportador y

finalmente se traza la semirrecta desde el vértice hasta la marca realizada.

RECTAS SECANTES, PARALELAS Y PERPENDICULARES

RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si al prolongarse no se cortan.

CONSTRUCCIÓN DE UNA RECTA PARALELA A UNA RECTA L, QUE PASA POR UN PUNTO P

1.

Dada la recta L.

2.

Dibuje un punto P, que no pertenezca a L.

3.

Dibuje un punto A cualquiera en la recta L.

4.

Con centro en el punto A y radio se determine B en L, tal que  .

5.

Utilizando la medida del trazo , trazar arcos con centro en P y B para determinar el punto C.

6.

Dibujar una recta L` que contenga los puntos P y C.

De esa forma, ha construido una recta paralela a una recta L, que pasa por un punto P que no pertenece a esa recta.

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares, si al cortarse forman 4 ángulos rectos.

CONSTRUCCIÓN DE UNA RECTA PERPENDICULAR EN UN PUNTO P DE UNA RECTA L.

1.

Dada una recta L y un punto P en ella.

3.

Con un compás, con centro en A y luego en B, y con una misma abertura de compás, dibuje dos arcos de circunferencia cuya intersección origina C.

4.

Trace la recta que pasa por los puntos C y P.

Entonces, esa es la perpendicular en el punto P de la recta L.

CONSTRUCCIÓN DE LA PERPENDICULAR A UNA RECTA L DESDE UN PUNTO P QUE NO PERTENECE A DICHA RECTA.

Dado una recta L y un punto P que no pertenece a la recta.

Con un compás y una misma abertura, con centro en P se marcan los puntos

A y B en la recta L. Así, APPB

Con un compás, con centro en A y luego en B, y con una misma abertura del compás, dibuje dos arcos de circunferencia cuya intersección origina C.

Trace la recta que pasa por los puntos C y P.

Así, se construye la recta perpendicular a una recta L desde un punto P que no pertenece a dicha recta.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Es la semirrecta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales. CONSTRUCCIÓN DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Para trazar la bisectriz de un ángulo con un compás, se puede proceder de la siguiente manera:

2) Haciendo centro en cada uno de los puntos de corte, se trazan otros dos arcos.

3) Se une el punto donde se cortan estos dos arcos con el vértice del ángulo y se obtienen la bisectriz.

ÁNGULO POSITIVO: Cuando el recorrido del ángulo se realiza en el sentido contrario al de las agujas del reloj o el sentido de aflojar un tornillo, el ángulo es positivo.

ÁNGULO NEGATIVO: Si el recorrido se realiza en el sentido de las agujas de un reloj o el de apretar un tornillo, el ángulo se considera negativo.

Angulo negativo: El rayo gira en sentido horario

ÁNGULO CÓNCAVO Y ÁNGULO CONVEXO Dos semirrectas con origen común determinan dos ángulos distintos. El menor de ellos se llama ángulo convexo y el mayor, cóncavo:

Ángul o Convexo

Su medida es menor que 180º

Ángul o Cóncavo

Su medida es mayor que 180º

El ángulo convexo no contiene en su interior a las semirrectas opuestas a sus lados, mientras que el ángulo cóncavo sí las contiene.

CLASI FI CA CI Ó N DE ÁNG ULO S SEG ÚN SU MEDI DA

Ángul o Agudo < 90°

Su medida es mayor que 0º y

menor que 90º.

Ángulo Recto = 90°

Su medida es de 90º.

Ángulo Obtuso>90°

Su medida es mayor que 90º y menor que 180º.

Ángul o Ll ano = 180°

Su medida es de 180º.

Ángul o Compl eto = 360°

CLASI FI CA CI Ó N DE ÁNG ULO S SEG ÚN SU PO SI CI Ó N

Consecuti vos

Son aquellos que tienen un mismo vértice y un lado común.

Adyacentes

Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.

Opuestos por el vértice

Son los que tienen el vértice común y los lados del uno son prolongación de los lados del otro.

CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU SUMA

Compl ementari os

Dos ángulos son complementarios si suman

90º

Supl ementari os

Dos ángulos son suplementarios si suman 180º

POLÍGONO

Polígonos es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO a) Lados

b) Vértices

1) Lados:

Son los segmentos rectilíneos que lo limitan 2) Vértices:

Son las intersecciones de dos lados consecutivos 3) Ángulos interiores:

Son los ángulos formados por dos lados consecutivos 4) Ángulos exteriores:

Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo.

5) Diagonales:

Son líneas rectas que unen dos vértices no consecutivos CLASES DE POLÍGONOS POLÍGONO CONVEXO:

Si se prolongan los lados de un polígono y toda la figura queda siempre al mismo lado

se dice que el polígono es convexo

POLÍGONO CÓNCAVO.

En caso que parte de la figura quede hacia un lado y parte al otro lado, será cóncavo.

CLASES DE POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS

Número de lados Nombre del polígono

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

9 Eneágono o Nonágono

10 Decágono

11 Hendecágono

12 Dodecágono

13 Triskaidecágono

14 Tetradecágono

15 Pentadecágono

16 Hexadecágono

17 Heptadecágono

18 Octadecágono

19 Eneadecágono

POLÍGONOS REGULARES Y POLÍGONOS IRREGULARES

Un polígono regular, es aquel en el cual todos sus lados y sus ángulos internos son congruentes entre sí; de lo contrario son irregulares.

POLÍGONOS IRREGULARES

DIAGONAL DE UN POLÍGON

Una diagonal es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

1. La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de "n" lados es:

2. El valor de un solo ángulo interior de un polígono convexo regular de "n" lados es:

3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 4 ángulos rectos

4. El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de "n" lados es:

5. El número total de diagonales de un polígono es:

TRIÁNGULO

Es una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos.

 Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados.

 Los extremos de los lados se llaman , vértices.  La porción de plano limitada por dos lados se llama, ángulo Notación: Un triángulo se denota así: ABC y se lee "triángulo ABC"

Perímetro de un triángulo: Está dado por la suma de sus tres lados. P = AB + BC + AC

ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO

A

B C

Ángulos interiores: A, B y C Ángulos exteriores: M, P y Q

∡ A + B + C = 180º∡ ∡ ∡ M + P + Q ∡ ∡ = 360º

ÁNGULO INTERIOR DE UN TRIÁNGULO: Es aquel que está formado por dos lados del triángulo.

ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO: Es aquel que está formado por un lado y la prolongación de otro.

SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO: La suma de las medidas de los 3 ángulos interiores de un triangulo cualquiera siempre es igual a 180º SUMA DE LOS ANGULOS EXTERIORES DE UN TRIANGULO: La suma de las medidas de los 3 ángulos exteriores de un triangulo cualquiera siempre es igual a 360º

3. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.

4. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS TRIÁNGULO EQUILÁTERO: Es aquel que tiene sus tres lados iguales

TRIÁNGULO ISÓSCELES: Es aquel que tiene dos lados iguales y uno desigual TRIÁNGULO ESCALENO: Es aquel que tiene sus tres lados desiguales

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Es aquel que tiene dos ángulos agudos y un ángulo recto

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO: Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO: Es aquel que tiene dos ángulos agudos y un ángulo obtuso

EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Un triángulo rectángulo es una figura plana que consta de tres lados, tres ángulos y tres vértices; y uno de sus ángulos es recto.

ANÁLISIS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO . C

a

b

En el triángulo rectángulo ABC tenemos:

1) A = 90° =  recto

2) B  90° =  agudo menor y  C  90° =  agudo mayor

3) B +  C = 90°

4) B y  C son ángulos complementarios por que su suma es igual a 90°

5) A +  B +  C = 180° Porque la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a

180°

6) a, b, c se llaman lados del triángulo ABC

7) BC = a es la Hipotenusa por ser el lado de mayor longitud

8) AB = c es el Cateto mayor y AC = b es el Cateto menor

9) a  c y a  b por que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos

10) c  a y b  a por que los catetos son menores que la hipotenusa

11) AB = Cateto opuesto al C y AC = Cateto opuesto al  B porque son lados que se

oponen a ángulos agudos

12) AB = Cateto adyacente al  B y AC = Cateto adyacente al  C porque son lados que

se encuentran junto a ángulos agudos

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

B

a

2

_{= b}

2

_{+ c}

2

_{→ a = √ b}

2

_{+ c}

2

b

2

_{= a}

2

_{- c}

2

_{→ b = √ a}

2

_{- c}

2 c a

c

2

_{= a}

2

_{- b}

2

_{→ c}

_{= √ a}

2

_{- b}

2

A b C EJERCIC

1º) Encuentre el valor de la hipotenusa C

a

b = 3 cms

SOLUCIÓN

Aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar el valor de la hipotenusa. a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{→ a = √ b}2 _{+ c}2

a = √ (3 cms)2 _{+ (5 cms)}2

a = √ 9 cms2 _{+ 25 cms}2 a = √ 34 cms2

a = 5,8 cms

RESPUESTA: Tenemos entonces que: a = 5,8 cms b = 3 cms c = 5 cms

2º) Encuentre el valor del cateto mayor.

C

10 cms = a b = 6 cms

B c A SOLUCIÓN

Aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar el valor del cateto que falta c2 _{= a}2 _{- b}2 _{→ c = √ a}2 _{- b}2

c = √ (10 cms)2 _{- (6 cms)}2 c = √ 100 cms2 _{- 36 cms}2 c = √ 64 cms2

c = 8 cms

RESPUESTA: Tenemos entonces que: a = 10 cms

b = 6 cms c = 8 cms

EJERCICIOS

Dibuje el triángulo rectángulo MPQ, ( rectángulo en M ) y encuentre el valor de la hipotenusa o el cateto que falta.

1) m = 40 y p = 12 Q 2) p = 23 y q = 38 3) q = 10 y m = 25 p m

4) q = 18 y p = 6

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros son figuras geométricas planas limitadas por líneas rectas, que tienen 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos. Además, la suma de todos sus ángulos interiores es de 360º.

ELEMENTOS DE UN CUADRILÁTERO

a) Vértices: Es el punto donde se encuentran dos lados.

b) Lados: Es cada uno de los segmentos que lo limitan. c) Ángulos: Son los formados por

dos lados consecutivos. d) Diagonal: Es la recta que une

los vértices opuestos. Un cuadrilátero tiene 2 diagonales.

Vértices : A, B, C, D Lados : a, b, c, d

Ángulos :

Diagonales : e, f

LADOS CONSECUTIVOS DE UN CUADRILÁTERO: Los lados de un cuadrilátero son consecutivos, cuando tienen un vértice en común.

LADOS OPUESTOS DE UN CUADRILÁTERO: Los lados de un cuadrilátero son opuestos, cuando no tienen ningún vértice común.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en:

a) Paralelogramos b) Trapecios c) Trapezoides

PARALELÓGRAMOS

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos, y los ángulos son distintos de 90º

1) Los lados opuestos de un paralelogramo deben tener la misma longitud. 2) Los ángulos opuestos de un paralelogramo deben ser iguales

3) Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

4) Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. 5) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS Los paralelogramos son cuatro:

a) Paralelogramo Cuadrado b) Paralelogramo Rectángulo c) Paralelogramo Rombo d) Paralelogramo Romboide.

PARALELOGRAMO CUADRADO:

Es el paralelogramo que tiene cuatro lados de la misma medida y cuatro ángulos rectos.

Las diagonales del cuadrado son iguales.

Las diagonales del cuadrado se cruzan perpendicularmente y forman ángulos de 90. El cuadrado es el único paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez.

El cuadrado tiene las diagonales iguales (por ser rectángulo) y perpendiculares (por ser rombo)

PARALELOGRAMO RECTÁNGULO: Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales; pero en cuanto a sus lados son iguales solamente los opuestos. Las diagonales de un rectángulo siempre son iguales, pero no forman ángulos rectos PARALELOGRAMO ROMBO: Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados de la misma medida, dos ángulos agudos (miden menos de 90°) y dos ángulos obtusos (miden más de 90°).

Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí pero son de diferente longitud PARALELOGRAMO ROMBOIDE: Es el paralelogramo cuyos lados y ángulos

opuestos tienen la misma medida.

Los romboides tienen 2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos. Los lados consecutivos de un romboide son desiguales.

TRAPECIOS

Los trapecios son cuadriláteros que tienen sólo dos lados opuestos paralelos pero de distinta longitud que se denominan base mayor y base menor. Sus otros dos lados no son paralelos.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS

Dependiendo de sus lados los trapecios pueden ser: a) Trapecio

b) Trapecio Rectángulo c) Trapecio

Trisolátero d) Trapecio

Escaleno

TRAPECIO ISÓSCELES: Es el trapecio que tiene un par de lados paralelos y un par de lados opuestos no paralelos, pero de la misma medida, que no forman ángulos rectos.

TRAPECIO RECTÁNGULO: Es el trapecio que tiene uno de sus lados perpendicular a las bases; por lo tanto, forma ángulos de 90°.

TRAPECIO TRISOLÁTERO: Es aquel que tiene tres lados iguales o congruentes. TRAPECIO ESCALENO: Es el Trapecio que tiene un par de lados paralelos pero todos sus lados de distinta medida.

TRAPEZOIDE

Los trapezoides son cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

COMETA: Una cometa es un trapezoide muy especial con dos pares de lados consecutivos iguales, un par de ángulos opuestos iguales y cuyas diagonales se cortan perpendicularmente en el punto medio de una de ellas. (2 de sus ángulos opuestos son rectos)

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

No se debe confundir el círculo con la circunferencia, aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados, el círculo es el área, mientras que la circunferencia es la curva que lo delimita.

LA CIRCUNFERENCIA es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro.

El término equidistar significa que están a la misma distancia.

EL CÍRCULO es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia.

a)Región interior, que recibe el nombre de círculo y a la que pertenece el punto centro.

b)Frontera, que es la circunferencia misma. c)Región exterior, que queda afuera de ella.

Para dibujar una circunferencia utilizamos el compás.

Apoyamos la punta metálica en el punto que nos servirá de centro y luego trazamos la circunferencia.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Los principales elementos de una circunferencia son:

a) Diámetro b) Radio c) Cuerda d) Secante e) Tangente f) Arco

g) Flecha o sagita

FLECHA O SAGITA ARCO

Diámetro

Es el segmento de recta que une 2 puntos de la circunferencia, pasando por el punto centro. El diámetro equivale a la medida de 2 radios.

Radio

Es el segmento de recta que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda

Es el segmento de recta que une 2 puntos de la circunferencia. Secante

Tangente

Es la recta que tiene un punto común con una circunferencia. Arco

Es una parte o subconjunto de la circunferencia, limitada por 2 puntos de ella. Flecha o Sagita

Es el segmento de recta comprendido entre el punto medio de una cuerda y el punto medio del arco comprendido menor.

PERÍMETRO DE UNA FIGURA PLANA

Se denomina perímetro de una figura plana a la suma de las longitudes de sus lados.

De este modo, el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 10 cm es de 5+6+10=21 cm.

Para calcular el perímetro es necesario conocer la longitud de todos los lados de la figura. Se acostumbra a representar la mitad del perímetro de una figura con la letra p.

Perímetro = 2 · p

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

FIGURA DEFINICIÓN ÁREA

TRIÁNGULO

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.

Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:

Área del triángulo = (base . altura) /

CUADRADO

El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del cuadrado = lado al cuadrado

ROMBO

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90ª.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rombo =

(diagonal mayor.diagonal menor) / 2

RECTÁNGULO

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

TRAPECIO

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del trapecio = [(base mayor+base menor).altura]/2

PARALELOGRAMO

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del paralelogramo = base x altura

CÍRCULO

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del círculo = 3'14x radio elevado al

cuadrado

MEDIDAS de LONGITUD

Son aquellas que sirven para determinar la extensión en una sola dimensión. Por

ejemplo; la altura de un árbol, el largo de la clase, de la calle, etc. La unidad de las

medidas de longitud es el metro lineal (m).

El sistema de unidades de medida que incluye al metro junto a sus

múltiplos

y

submúltiplos

se llama

Sistema Métrico Decimal

.

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS

Para medir longitudes se emplea, como unidad principal,

el metro

.

MÚLTIPLOS

SUBMÚLTIPLOS

El metro es una unidad demasiado

pequeña para medir algunas

distancias

Si deseamos medir longitudes más

grandes que el metro utilizamos

los múltiplos.

Colocados de mayor a menor, son

los siguientes:

miriámetro 1 mam = 10.000 m

kilómetro 1 km = 1.000 m

hectómetro 1 hm = 100 m

decámetro 1 dam = 10 m

Para pequeñas distancias se necesitan unidades

menores que el metro,

Si deseamos medir longitudes más pequeñas que

el metro utilizamos los submúltiplos.

Colocadas de mayor a menor, son:

El decímetro es la décima parte del metro

El centímetro es la centésima parte del metro

El milímetro es la milésima parte del metro

1 dm = 0,1 m

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

¿Por qué decimos que nuestro sistema de medida es métrico decimal?

En primer lugar le llamamos sistema porque es un conjunto organizado y coherente de medidas. Es métrico porque su unidad básica es el metro y decimal porque la razón entre las diferentes medidas siempre es diez o una potencia de diez.

Para transformar unas unidades en otras se multiplica por diez cada vez que bajamos un escalón, y se divide entre diez cada vez que subamos un escalón.

Para subir o bajar más de un escalón, se dividirá o multiplicará por diez cada escalón:

2 escalones: (x10) (x10) = 100

3 escalones: (x10) (x10) (x10) = 1.000

Por ejemplo: si estamos en el escalón m y queremos ir al escalón cm tenemos que multiplicar por 100. Si tenemos 34 m nos van a quedar 3.400 cm

EJERCICIOS

1) ¿Cuántos decímetros tiene un metro?

100 dm 10 dm 1.000 dm

2) ¿Cuántos metros tiene un kilómetro?

1.000 m

100 m 10.000 m

3) ¿Cuántos metros hay en un hectómetro?

10 m 1.000 m

100 m

4)

¿Qué operación hacemos para pasar de metros a kilómetros?

Dividimos por 1.000 Multiplicamos por 1.000 Dividimos por 100

5) En un metro y medio hay.

15 cm

150 cm 1500 cm

6)

¿Cuántos dam hay en 6 km?

60 dam 6.000 dam 600 dam

7)

¿Cuántos mm hay en 2,5 hm?

250

25.000