CurvasII

(1)

Sea Γ_⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b]_→ R3, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una parametrizaci´on regular yα :I′ _{= [a}′_{, b}′_]_→_R3 _{su parametrizaci´on respecto el}

par´ametro arco.

A partir de la primera y segunda derivada de la parametrización de la curva se construye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ(t), son tres vectores unitarios y ortonormales,T(t),B(t) yN(t). Es decir, el triedro de Frenet es un sistema de referencia ortonormal que nos proporcionan importante información sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia móvil, porque se desplaza por la curva según la recorremos.

6

XXXXz γ(t) B(t)

T(t)

N(t)

A partir de los vectores del triedro de Frenet construiremos planos (el osculador, el normal y el rectificante). También introduciremos los conceptos de curvatura y torsión, que nos darán información de cómo se “dobla” y “retuerce” la curva en el espacio.

A lo largo del tema veremos cómo calcular los distintos elementos a partir de la parametrización arco y a partir de una parametrización cualquiera.

VECTOR TANGENTE. CURVATURA

Sea Γ_⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b]_→ R3, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una parametrización regular yα :I′ = [a′, b′]_→R3 su parametrización respecto el parámetro arco.

Tenemos que la recta tangente tiene por vector director a la derivada de una parametrización y la parametrización arco tiene derivada de módulo 1. Es na-tural que se denomine este vector, tangente unitario.

(2)

Definici´on.- Definimos elvector tangente unitario a Γ enp=α(s) como T(s) =α′(s)

Nota.- Si tenemos una parametrizaci´on arbitrariaγ de la curva Γ y p =γ(t).

Entonces γ′(t) tambi´en nos proporciona un vector tangente, entonces el vector tangente unitario en pes

T(t) = γ′(t)

||γ′_(t)_||

Al ser el vector tangente unitario, su derivada nos permite conocer su variaci´on a lo largo del tiempos. Es decir, la derivada deT(s) mide el cambio de direcci´on del vector tangente a lo largo de la curva. Nos permite medir la curvatura.

Definici´on.- Se llamacurvatura de Γ enp=α(s) al escalar

k(s) =

dT ds

=_||α′′(s)_||

Nota.-Teniendo en cuenta queT(t) = _||γ_γ′′(₍t_t)₎_|| y quek(s) =

dT_ds

, se tiene que

dT

ds =

dT dt ·

dt

ds (TFInversa,t−

1

=s−1′₌ 1

s′) = dT

dt ·

1

ds dt

_ds

dt=||γ′(t)||

= dT_dt _·_||_γ′1₍_t₎_||

Entonces la curvatura en el puntop es

k(t) = dT dt ·

1

||γ′_(t)_||

Cuanto más rápido var´ıe la tangente más grande será la curvatura, entonces

Si k= 0 entonces Γ es una recta.

(3)

Ejemplo.- Consideramos el arco de hélice parametrizado por γ(t) = (3 cost,3 sent,4t), con t_∈ [0,2π]. Vamos a calcular su vector tangente y su curvatura usando esta parametrización y usando la parametrización arco.

En primer lugar calcularemos los datos para parametrizaci´on γ(t).

La derivada de la parametrizaci´on esγ′(t) = (₋3 sent,3 cost,4) y su m´odulo es

||γ′(t)_|| = √9 sen2_t_{+ 9 cos}2_t_{+ 16 =} √_{9 + 16 = 5. As´ı que el vector tangente}

es

T(t) = γ′(t)

||γ′_(t)_|| =

−3₅sent,3 5cost,

4 5

, t_∈[0,2π]

Calculamos la curvatura usando la parametrizaci´onγ. El m´odulo de la derivada del vector tangente es

dT dt =

−3₅cost,₋3

5sent,0

= r 9 25 = 3 5

Por lo tanto la curvatura es

k(t) = dT dt ·

1

||γ′_(t)_|| =

3 5 ·

1 5 =

3

25, t∈[0,2π]

En la h´elice la curvatura es constante, es ₂₅3. La curvatura no es nula (no es una recta), y por lo tanto el radio de curvatura esρ= 25₃.

A continuación realizaremos los cálculos usando la parametrización arco.

s(t) =Rt

0||γ′(t)||dt=

Rt

05 dt= 5t

as´ı ques= 5t, lo que implica que el par´ametro arco est=s/5, y la parametrizaci´on arco resulta

α(s) =

3 coss 5

,3 sens 5

,4 5s

, s_∈[0,10π]

Usando la parametrización arco tenemos el mismo resultado para el punto p= α(s), pero con un cálculo más sencillo:

T(s) =α′(s) =

−3₅sens 5 ,3 5cos s 5 ,4 5

, s_∈[0,10π]

y

k(s) =_||α′′(s)_||=

−₂₅3 coss 5 , 3 25sen s 5 ,0 = s 3 25 2 = 3

(4)

VECTORES NORMAL Y BINORMAL. TRIEDRO DE FRENET

N´otese que los vectores dT

ds yT(s) son ortogonales. En efecto, _||T(s)_||= 1, entonces

1 =_||T(s)_||=T(s)_·T(s) =α′(s)_·α′(s) y derivando respecto as

0 = 2α′(s)_·α′′(s) =Tp·

dTp

ds

Por lo tanto se tiene que el vector normal tiene la misma direcci´on que el vector derivada del vector tangente. Si queremos considerar el vector unitario, dividiremos entre su norma

|dT_ds

|=||α′′(s)||.

Definici´on.- Definimos el vector normal unitario a Γ en p = α(s) como el

vector

N(s) = α′′(s)

||α′′_(s)_||

Nota.- Teniendo en cuenta que α′′(s) = dT

dt ·

1 ||γ′₍_t₎_||;

dT

dt tambi´en posee la

di-recci´on del vector normal. Entonces el vector normal unitario para el punto p=γ(t) es

N(t) =

dT dt dT_dt

Ejemplo.- Consideramos el arco de h´elice parametrizado por

γ(t) = (3 cost,3 sent,4t), con t _∈ [0,2π]. Vamos a calcular su vector normal usando esta parametrizaci´on y usando la parametrizaci´on arco.

Para la parametrizaci´on γ, ten´ıamos que dT dt =

−3₅cost,₋3

5sent,0

y su

m´odulo era 3₅, el vector normal parap=γ(t) es

N(t) =

dT dt dT_dt

= (₋cost,₋sent,0)

Y usando la parametrizaci´on arco, con α′′(s) = ₋₂₅3 cos s

5

,₂₅3 sen s

5

,0

y m´odulo ₂₅3 , el vector normal parap=α(s) es

N(s) = α′′(s)

||α′′_(s)_|| =

−coss 5

,₋sens 5

(5)

Terminaremos la construcci´on del sistema de referencia con un nuevo vector, el vector binormal.

Los vectores Tp y Np forman un plano tangente a la curva en p que se llama

plano osculador. EntoncesTp×Np es un vector unitario perpendicular al plano

osculador.

Definici´on.- Se define el vector binormal a Γ enp como el vector unitario:

B=T _×N

γ(t) = (3 cost,3 sent,4t), con t _∈ [0,2π]. Vamos a calcular su vector binor-mal usando esta parametrizaci´on y usando la parametrizaci´on arco.

Con la parametrizaci´on γ

B(t) =

ı  k

−3

5sent 3 5cost

4 5

−cost ₋sent 0

= 4₅sent,₋4₅cost,3₅

Con la parametrizaci´on arco

B(s) =

ı  k

−3

5sen

s 5

3 5cos

s 5

4 5

−cos

s 5

−sen

s 5

0

= 4₅sen s₅

,₋4₅cos s₅

(6)

Nota.- Teniendo en cuenta

B(s) =T(s)_×N(s) =α′(s)_×_||α_α′′′′₍(_ss)₎_|| = _||_α′′1₍_s₎_||(α′(s)×α′′(s))

Entonces, se tiene que

B(s) = α′(s)×α′′(s)

||α′′_(s)_||

Definici´on.- Dada una curva Γ, para cada punto p = α(s) = γ(t), el

con-junto _{T(s), N(s), B(s)_} = _{T(s), N(s), B(s)_} forma un sistema de referencia ortonormal centrado en py orientado positivamente, llamadotriedro de Frenet.

El plano que generanT yN se denomina plano osculador.

El plano que generanN yB se denominaplano normal.

(7)

TORSI ´ON

La variación del vector binormal nos proporciona la torsión de la curva. cuan-to más rápido cambia ésta, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida es la curva. El ángulo, ω, que forma dB_ds y dT_ds (proporcional aN), se obtiene a través del producto escalar

dB

ds(s)·N(s) =

dB ds(s)

· ||

N(s)_{|| ·}cos(ω)

Definici´on.- Se llama torsi´on de Γ enp=α(s) al escalar

τ(s) =₋dB

ds(s)·N(s) donde el punto denota producto escalar de vectores.

Nota.- Teniendo en cuenta que dB_ds = dB_dt _· _dsdt = dB_dt _· _||_γ′1₍_t₎_||, se tiene que la

torsi´on en el punto p=γ(t) es

τ(t) =₋ 1

||γ′_(t)_||

dB

dt (t)·N(t)

Nota.-Una curva es plana si y solo si su torsi´on es 0 en todo punto

γ(t) = (3 cost,3 sent,4t), con t _∈ [0,2π]. Vamos a calcular su torsión usan-do esta parametrización y usando la parametrización arco.

Para la parametrizaci´on γ hay que calcular la derivada del vector binormal

dB dt(t) =

d dt

4

5sent,−45cost,35

(8)

Entonces

dB

dt(t)·N(t) ==

4

5cost,45sent,0

·(₋cost,₋sent,0) =₋4₅cos2_t₋4

5sen2t

=₋4₅

La torsi´on es

τ(t) =₋_||_γ′1₍_t₎_||

dB

dt(t)·N(t)

=₋1₅ ₋4₅

= ₂₅4

Para la parametrizaci´on arco. Solamente tenemos que calcular la derivada del vector binormal:

dB

ds(s) = d ds

4 5sen 5s

,₋4₅cos s

5

,3₅

= ₂₅4 cos s₅

,₂₅4 sen s₅

,0

La torsi´on es

τ(s) =₋dB_dt(s)_·N(s) =₋ ₂₅4 cos s

5

,₂₅4 sen s

5

,0

· −cos s

5

,₋sen s

5

,0

= ₂₅4 cos2 s

5

+₂₅4 sen2 s

5

= ₂₅4

F ´ORMULAS DE FRENET

Teorema.- Para el triedro de Frenet se cumplen las siguientes f´ormulas:

dT

ds(s) = k(s)·N(s) dN

ds (s) = −k(s)·T(s) +τ(s)·B(s) dB

ds(s) = −τ(s)·N(s)

Demostraci´

on.-Para la primera f´ormula ten´ıamos queN(s) = _||α_α′′′′₍(s_s)₎_|| yk(s) =||α′′(s)||. Por lo tanto,

dT

ds(s) =α

(9)

Antes de demostrar la segunda f´ormula, necesitamos demostrar la tercera. Se tiene que la torsi´on τ(s) =₋dB

ds(s)·N(s), entonces

−τ(s)_·N(s) =

dB

ds(s)·N(s)

·N(s) = dB

ds(s)· ||N(s)||= dB

ds(s) Para la segunda fórmula, obsérvese que_||N(s)_||=N(s)_·N(s), y derivando este expresión tenemos que dN

ds ·N +N · dN

ds = 0. Es decir, se tiene que el vector dN

ds(s) pertenece al plano rectificante:

dN

ds =λ1·T(s) +λ2·B(s)

Calcularemos primero λ1 utilizando que T ·N = 0. Derivando la expresi´on se

tiene que

d

ds(T(s)·N(s)) = dT

ds(s)·N(s) +T(s)· dN

ds(s)

= (k(s)_·N(s))_·N(s) +T(s)_·(λ1·T(s) +λ2·B(s))

=k(s) +λ1+ 0

= 0

Entonces,λ1 =−k(s).

Paraλ2 utilizaremos queB =T×N y la primera y tercera f´ormula de Frenet.

Por un lado,

dB ds(s) =

d

ds(T(s)×N(s))

= dT

ds(s)×N(s) +T(s)× dN

ds(s)

= (k(s)_·N(s))_×N(s) +T(s)_×(λ1·T(s) +λ2·B(s))

= 0 + 0 +λ2·(T(s)×B(s))

=λ2·(−N(s))

Y por otro lado, dB

ds(s) =−τ(s)·N(s), entoncesλ2=τ(s).

ACELERACI ´ON NORMAL Y TANGENCIAL.

Vamos a ver otra forma alternativa de calcular la curvatura y la torsión a partir de la parametrización γ. Para ello recurriremos a la interpretación f´ısica de γ como la función posición de una part´ıcula que recorre una trayectoria. Recordamos que entoncesγ′(t) =v(t) es el vector velocidad y en particular:

(10)

derivando esta expresi´on obtenemos la aceleraci´on, que descompondremos como suma de las aceleraciones tangencial y normal:

a(t) =v′_{(t) =}_γ′′_(t)

= d

dt(||γ′(t)|| ·T(t))

= d||γ_dt′(t)|| _·T(t) +_||γ′(t)_{|| ·} dT_dt(t) = d||γ_dt′(t)|| _·T(t) +_||v(t)_{|| ·}

dT_dt(t)

·N(t)

= d||γ_dt′(t)|| _·T(t) +k(t)_{· ||}v(t)_||2_·_N(t)

Definición.-Se llamaaceleración tangencial a la componente de la aceleración

en la direcci´on del vector tangente cuyo m´odulo es:

aT(t) =

d_||γ′_(t)_||

dt

Se llama aceleración normal a la componente de la aceleración en la dirección del vector normal cuyo módulo es:

aN(t) =k(t)· ||v(t)||2

EXPRESI ´

ON DE LA CURVATURA

Tomamos el producto vectorial de la velocidad v y la aceleraci´on a: v(t)_×a(t) =v(t)_× aT(t)·T(t) +aN(t)·N(t)

Los productos escalar y vectorial tienen la propiedad distributiva, y como aT y

aN son constantes salen fuera del producto vectorial:

v(t)_×a(t) =aT(t)· v(t)×T(t)

+aN(t)· v(t)×N(t)

=aT(t)· (||v(t)|| ·T(t))×T(t)

+aN(t)· (||v(t)|| ·T(t))×N(t)

=aT(t)· ||v(t)|| · T(t)×T(t)

+aN(t)· ||v(t)|| · T(t)×N(t)

=aN(t)· ||v(t)|| ·B(t)

Tomando el m´odulo:

||v(t)_×a(t)_||=aN(t)· ||v(t)|| · B(t)

(11)

Finalmente de aqu´ı podemos despejar la curvatura

k(t) = ||v(t)×a(t)||

||v(t)_||3 =

||γ′(t)_×γ′′(t)_||

||γ′_(t)_||3

Ejemplo.- Hab´ıamos visto anteriormente que el arco de h´elice

parametriza-do por γ(t) = (3 cost,3 sent,4t), con t _∈ [0,2π] tiene curvatura 3/25. Va-mos a volver a calcularla con la expresi´on anterior. Ten´ıamos que γ′(t) = (₋3 sent,3 cost,4) yγ′′_{(t) = (}₋_{3 cos}_t,₋_{3 sen}_t,_{0), as´ı que:}

γ′(t)_×γ′′(t) =

ı  k

−3 sent 3 cost 4

−3 cost ₋3 sent 0

= (12 sent,₋12 cost,9)

los m´odulos son

||γ′_(t)_×_γ′′_(t)_||₌√₁₂2_sen2_t_{+ 12}2_cos2_t_{+ 9}2 _{= 15} ||γ′(t)_||=√9 cos2_t_{+ 9 sen}2_t_{+ 16 = 5}

as´ı que la curvatura es:

κ= 15 53 =

3 25

EXPRESI ´

ON DE LA TORSI ´

ON

Como vimos, B = T _×N es el vector unitario en la direcci´on del producto vectorial, as´ı que:

B(t) = v(t)×a(t)

||v(t)_×a(t)_|| =

γ′_(t)_×_γ′′_(t) ||γ′_(t)_×_γ′′_(t)_||

sustituimos esta expresi´on en la de la torsi´on

τ(t) = v(t)×a(t)

·a′(t)

||v(t)_×a(t)_|| =

γ′(t)_×γ′′(t)

·γ′′′(t)

||γ′_(t)_×_γ′′_(t)_||

Ejemplo.-Hab´ıamos visto anteriormente que el arco de h´elice parametrizado

porγ(t) = (3 cost,3 sent,4t), con t_∈[0,2π] tiene torsión 4/25. Vamos a volver a calcularla con la nueva expresión. Ten´ıamos queγ′(t)_×γ′′(t) y su módulo, y la tercera derivada es γ′′′_{(t) = (3 sen}_t,₋_{3 cos}_t,_{0), as´ı que}

τ(t) = ₁₅12(12 sent,−12 cost,9)·(3 sent,−3 cost,0) = 36 sen2₁₅t+36 cos2 2t

= ₁₅362

(12)

Ejemplo.- Vamos a calcular el triedro de Frenet, la curvatura y la torsi´on de la curvaγ(t) = (sent, t2_{, e}t_{), t}_∈_R _{en el punto}_γ_{(0) = (0,}_0,_1).

En el tema anterio vimos que la inversa de la función parámetro arco era dif´ıcil de calcular, por esta razón utlizaremos directamente la parametrización dada.

T(t) = _||γ_γ′′(₍t_t)₎_|| = _||(cos_(cost,_t,2₂t,e_t,ett)

)||

= (cost,2t,e

t

) √

cos2_t₊₄_t2₊_e2t

Entonces, el vector tangente unitario en el punto (0,0,1) es

T(0) = (1,_√0,1)

2 =

1

√

2,0, 1

√

2

Para la curvatura, k(t) = _||_γ′1₍_t₎_||

dT_dt(t)

. Si utilizamos esta expresi´on,

ten-dremos que derivarT(t) = (cost,2t,e

t

) √

cos2_t₊₂_t2₊_e2t. Para evitar esta derivaci´on podemos

utilizar la otra expresi´on de la curvatura

k(t) = ||γ′_||(t_γ)′×₍_tγ₎_||′′3(t)||

= ||(cost,_||2_(cost,et)_t,×₂(_t,e−sent₎ t,2,et)||

||3

Entonces, la curvatura en el punto (0,0,1) es

k(0) = ||γ′_||(t_γ)′×₍_tγ₎_||′′3(t)|| = ||(1,_||0₍₁,1)_,₀×_,₁₎(0_||,23,1)||

= √1 23

i j k 1 0 1 0 2 1

= √1

23 ||(−2,−1,2)||

= 3

2√2

Para el vector unitario normal tenemos N(t) = dT dt(t) ·

1 ||dT

dt(t)||

. Para

evi-tar de nuevo calcular dT

dt(t), podemos calcular B(t) =

γ′₍_t₎_×_γ′′₍_t₎

||γ′₍_t₎_×_γ′′₍_t₎_|| y despu´es N(t) =B(t)_×T(t):

B(t) = _||_γγ′′₍(_tt₎)_××γ_γ′′′′(₍t_t)₎_|| = (cost,2t,e

t

)×(−sent,2,et) ||(cost,2t,et

)×(−sent,2,et

(13)

Entonces, el vector binormal en el punto (0,0,1) es

B(0) = _||₍₁(1_,,0₀_,,1)₁₎×_×(0₍₀,_,2₂,_,1)₁₎_|| = _||₍(₋−2₂,_,−₋1₁,_,2)₂₎_|| = ₋2₃,₋1₃,2₃

Entonces, el vector normal en el punto (0,0,1) es

N(0) =B(0)_×T(0) = ₋2₃,₋1₃,2₃

×√1 2,0,

1 √ 2

=

i j k

−23 −13 23 1

√

2 0

1 √ 2

=₋ 1

3√2, 4 3√2,

1 3√2

Finalmente la torsi´on en el punto (0,0,1) es

τ(0) = γ′(0)×γ′′(0)

·γ′′′₍₀₎

||γ′₍₀₎_×_γ′′₍₀₎_|| =

(cost,2t,et

)×(−sent,2,et

)·(−cost,0,et

) ||(cost,2t,et

)×(−sent,2,et

)||

t=0