Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Leonardo Rodr´ıguez Medina
EDO I
ed
lineales de segundo orden
• Consideraremos ed de la forma
u00+p(t)u0+q(t)u=f(t) (1) dondep, q yf son funciones continuas en un intervalo abierto I ⊂R.
• La ed homog´eneaasociada a esta ecuaci´on es
u00+p(t)u0+q(t)u= 0 (2)
• Como en el caso de las edde primer orden, las soluciones de (1) se descomponen como u=uh+up donde uh es una soluci´on de (2) yup una soluci´on particular.
ed
lineales de segundo orden
• Consideraremos ed de la forma
u00+p(t)u0+q(t)u=f(t) (1) dondep, q yf son funciones continuas en un intervalo abierto I ⊂R.
• La ed homog´eneaasociada a esta ecuaci´on es
u00+p(t)u0+q(t)u= 0 (2)
• Como en el caso de las edde primer orden, las soluciones de (1) se descomponen como u=uh+up donde uh es una soluci´on de (2) yup una soluci´on particular.
ed
lineales de segundo orden
• Consideraremos ed de la forma
u00+p(t)u0+q(t)u=f(t) (1) dondep, q yf son funciones continuas en un intervalo abierto I ⊂R.
• La ed homog´eneaasociada a esta ecuaci´on es
u00+p(t)u0+q(t)u= 0 (2)
• Como en el caso de las edde primer orden, las soluciones
de (1) se descomponen como u=uh+up donde uh es una soluci´on de (2) yup una soluci´on particular.
Cuando los coeficientes de la ecuaci´on homog´enea son
constantes, una
au00+bu0+cu= 0
posible soluci´on es u(t) =ert donder es un par´ametro por determinar. Sustituyendo este candidato en laed se obtiene
(ar2+br+c)ert= 0
por lo que necesariamenter es una ra´ız del polinomio caracter´ıstico
Ejemplo
Laed homog´enea de segundo orden con coeficientes constantes
u00−u0−12u= 0
tiene polinomio caracter´ısticoP(r) =r2−r−12 = (r−4)(r+ 3) por lo que sus ra´ıces son sonr1= 4 yr2=−3. Luego,
u1(t) =e4t y u2(t) =e−3t
son dos solucioneslinealmente independientes, por lo que la soluci´on general es
Ra´ıces dobles
SiP(r) = (r−r1)2 entoncesu1(t) =er1t sigue siendo una
soluci´on homog´enea y adem´asu2(t) =ter1ttambi´en lo es
(verificar). Comou1 yu2 sonli, la soluci´on general en este caso
es
u(t) =c1er1t+c2ter1t=er1t(c1+c2t)
Ejemplo
Para
u00+ 4u0+ 4u= 0
el polinomio caracter´ısticoP(r) = (r+ 2)2 tiene a r1 =−2 como ra´ız doble. Su soluci´on general entonces es
Ra´ıces dobles
SiP(r) = (r−r1)2 entoncesu1(t) =er1t sigue siendo una
soluci´on homog´enea y adem´asu2(t) =ter1ttambi´en lo es
(verificar). Comou1 yu2 sonli, la soluci´on general en este caso
es
u(t) =c1er1t+c2ter1t=er1t(c1+c2t)
Ejemplo
Para
u00+ 4u0+ 4u= 0
el polinomio caracter´ısticoP(r) = (r+ 2)2 tiene a r1 =−2
como ra´ız doble. Su soluci´on general entonces es
Ra´ıces complejas
Si las ra´ıces deP(r) son complejas, estas aparecer´an en la forma
r=α±iβ de modo que se tendr´ıan ((soluciones complejas))
u(t) =e(α+iβ)t y u(t) =e(α−iβ)t
Teorema
Si una funci´on compleja u:I →C, u(t) =g(t) +ih(t) es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea (2) entonces tanto la parte real g(t) como la parte imaginariah(t) de u son soluciones reales de dicha ecuaci´on.
De acuerdo a laidentidad de Euler
eiβt= cosβt+isenβt
la soluci´on compleja de (2) es
u(t) =e(α+iβ)t=eαt(cosβt+isenβt) =eαtcosβt+ieαtsenβt
lo que significa que las funciones
u1(t) =eαtcosβt y u2(t) =eαtsenβt
son dos soluciones (reales) homog´eneas li para (2).
Luego, la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea es
Ejemplo
Para elpviu00+ 5u= 0, u(0) = 2, u0(0) = 1 las ra´ıces de
P(r) =r2+ 5 sonr =±√5ias´ı que la soluci´on general es
u(t) =c1cos√5t+c2sen√5t
y usando las condiciones iniciales, la soluci´on particular es
u(t) = 2 cos√5t+√1
5sen
√
En ocasiones describiremos la soluci´on general como
u(t) =eαt(c1cosβt+c2senβt) =eαtAcos(βt−φ)
En esta ´ultima forma, el par´ametro Arepresenta laamplitud
mientras queφlafase de la soluci´on. Estos se relacionan conc1
yc2 mediante A= q c21+c22 y φ= tan−1 c2 c1 Ejemplo
Para u(t) = 2 cos√5t+√1
5sen √ 5t A= q 4 +15 = q 21 5 y φ= tan−1 1 2√5 ≈0.22 por lo que u(t) = q 21 5 cos( √ 5t−0.22).
En ocasiones describiremos la soluci´on general como
u(t) =eαt(c1cosβt+c2senβt) =eαtAcos(βt−φ)
En esta ´ultima forma, el par´ametro Arepresenta laamplitud
mientras queφlafase de la soluci´on. Estos se relacionan conc1
yc2 mediante A= q c21+c22 y φ= tan−1 c2 c1 Ejemplo Para u(t) = 2 cos√5t+√1 5sen √ 5t A= q 4 +15 = q 21 5 y φ= tan−1 1 2√5 ≈0.22 por lo que u(t) = q 21 5 cos( √ 5t−0.22).
