Función de transferencia

3

Función de transferencia

En el capítulo anterior se presentó la transformada de Laplace y se explicó cómo utilizar sus propiedades para la resolución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. En el procedimiento de resolución de este tipo de ecuaciones, aparecieron una serie de conceptos que juegan un papel primordial en el análisis de los sistemas dinámicos, especialmente el concepto de función de transferencia. En este capítulo se introduce de forma sistemática el concepto de función de transferencia, que es la representación matemática que se utiliza en este texto para modelar un sistema dinámico LTI. La función de transferencia es una forma de modelado alternativa a la ecuación diferencial que resulta mucho más compacta y manejable. Además, permite determinar el tipo de respuesta del sistema sin tener que calcular explícitamente la respuesta temporal.

En este capítulo se va a definir también el concepto fundamental de estabilidad de un sistema dinámico, presentando algunos criterios para su estudio. Además, si un sistema es estable, es importante conocer cómo es el régimen permanente en los casos de entrada constante y entrada senoidal, que son las entradas más frecuentes en las aplicaciones reales.

Una de las aplicaciones más interesantes de la función de transferencia es el modelado de sistemas complejos mediante la interconexión de subsistemas, dando lugar a los denominados diagramas de bloques. Cada uno de los subsistemas o bloques se representa mediante una función de transferencia. Aplicando un conjunto de reglas de operación sencillas, denominado álgebra de diagrama de bloques, es posible obtener una única función de transferencia que relacione la entrada y la salida del sistema completo. Los diagramas de bloques permiten una ilustrativa visión gráfica de los sistemas y de las relaciones entre las distintas variables.

3.1

Respuesta libre y forzada

Aunque en el capítulo anterior se introdujeron estos conceptos mediante un ejemplo, a continuación se vuelven a presentar de forma sistemática. Un sistema lineal e invariante en el tiempo está representado por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes:

a_ny(n)

+…+a₁y+a₀y=b_mu(m)

+…+b₁u+b₀u

Se supone conocida la función de entrada u(t) para

t

≥

0

la entrada u(0−), u(0−), ..., u(m−1)(0−). Aplicando la transformada de Laplace

a ambos lados de la ecuación diferencial se llega a: A(s)Y(s)=B(s)U(s)+C(s), donde los polinomios A(s) y B(s) vienen dados por:

A(s)=a_nsn

+…+a₁s+a₀ B(s)=b_msm

+…+b₁s+b₀

El polinomio C(s) se puede calcular de forma sistemática de la siguiente manera: C(s)=cn−1sn−1+…+c1s+c0= an y(0−) y (1)₍₀−_{)  y}(n−2)₍₀−_{) y}(n−1)₍₀−₎ " #$ % &' − bn u(0−) u (1)₍₀−_{)  u}(n−2)₍₀−_{) u}(n−1)₍₀−₎ " #$ % &' + an−1 0 y(0 −_{)  y}(n−3)₍₀−_{) y}(n−2)₍₀−₎ " #$ % &' − bn−1 0 u(0 −_{)  u}(n−3)₍₀−_{) u}(n−2)₍₀−₎ " #$ % &' +... ... a₁ " 0 0  0 y(0−₎ #$ % &' − b1 0 0  0 u(0 −₎ " #$ % &'

En la expresión anterior se ha supuesto m = n sin pérdida de generalidad y se ha utilizado notación Matlab para representar los polinomios asociados a las condiciones iniciales de la entrada y de la salida que sumados generan C(s). Para facilitar el cálculo, estos polinomios se pueden sumar por columnas (términos de la misma potencia en s) de manera independiente para la entrada y la salida y posteriormente restar los polinomios resultantes.

La transformada de Laplace de la salida, sumando las contribuciones de la entrada y de las condiciones iniciales, resulta:

Y(s)=B(s) A(s)U(s)+ C(s) A(s)=G(s)U(s)+ C(s) A(s), ( ) ) ( ) ( s A s B s G = .

La respuesta temporal y(t) es la transformada inversa de esta ecuación:               ) ( } ) ( ) ( { ) ( )} ( ) ( { )} ( { ) ( 1 1 1 t y s A s C L t y s U s G L s Y L t y L F − − − _{= +} = .

El primer término G(s)U(s) da lugar a la denominada respuesta forzada yF(t), debida a la entrada con condiciones iniciales nulas. El segundo término C(s) A(s) da lugar a la respuesta libre y_L(t), generada exclusivamente por las condiciones iniciales.

A(s) es el denominado polinomio característico del sistema, especialmente importante porque sus raíces indican el tipo de términos o modos que el sistema aporta a la respuesta temporal.

3.2

Función de transferencia

Se denomina función de transferencia a la relación entre las transformadas de la salida y de la entrada, sin tener en cuenta el efecto de las condiciones ini-ciales: G(s)≡B(s) A(s)= Y(s) U(s) " # $ % & ' c.i. nulas

Se denominan polos a las raíces del denominador de la función de cia, y ceros a las raíces del numerador. El orden de la función de transferen-cia coincide con el grado del polinomio característico A(s), y es también el orden de la ecuación diferencial asociada. Un sistema es de orden mínimo si no hay cancelaciones entre polos y ceros en la función de transferencia. Una función de transferencia es propia si el orden del numerador es menor o igual que el del denominador. Si es menor, es estrictamente propia. La mayo-ría de los sistemas reales tienen funciones de transferencia propias.

3.3 Estabilidad

La estabilidad es un tema importante en la teoría de los sistemas dinámicos. Sin mucho rigor, un sistema es estable si su salida no crece indefinidamente, independientemente del estado inicial en que se encuentre, si la excitación se mantiene dentro de ciertos límites. En esta sección se define más riguro-samente la estabilidad de un sistema y se dan algunos criterios para su análisis.

Estabilidad

BIBO

La estabilidad BIBO (Bounded Input Bounded Output), o estabilidad en-trada/salida, está relacionada con la respuesta forzada del sistema. Un sistema es estable BIBO si la salida está acotada en amplitud para cualquier entrada acotada en amplitud. Si es posible encontrar una situación donde no se cumpla esta propiedad, el sistema sería inestable.

La estabilidad BIBO depende sólo de las características del sistema y no de la entrada que se aplique. Un sistema estable puede dar una salida no acotada si la entrada no lo es y un sistema inestable puede dar una salida acotada para alguna entrada en particular.

Una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable BIBO es que todos los polos de su función de transferencia tengan la parte real

estric-tamente negativa. Si se representan en el plano complejo estarán en el semiplano izquierdo.

La demostración es sencilla. Si la entrada está acotada en amplitud, todos los polos de U(s) tendrán parte real negativa o serán polos simples con parte real nula. Si el sistema es estable, entonces todos los modos de la respuesta tenderán a cero salvo aquel que esté asociado al polo simple de parte real nula que producirá una salida acotada en amplitud. Por otra parte, si la función de transferencia tuviera algún polo con parte real nula, la salida no estaría acotada en amplitud si se aplicara una entrada que contuviera otro polo con parte real nula coincidente con el de la función de transferencia.

Estabilidad asintótica

Tiene que ver con la respuesta libre, o respuesta provocada por las condiciones iniciales. Un sistema es asintóticamente estable si la respuesta libre tiende a cero para cualquier valor de las condiciones iniciales.

La condición necesaria y suficiente para que el sistema sea asintóticamente estable es que todas las raíces del polinomio característico A(s) tengan parte real estrictamente negativa. Estas raíces definen los modos de la respuesta y todos los términos tienden a cero si se cumple esta condición.

Relación entre estabilidad asintótica y estabilidad BIBO

Claramente, un sistema asintóticamente estable es estable BIBO, aunque lo contrario no es cierto, ya que pueden cancelarse polos y ceros de la función de transferencia.

Si el sistema es asintóticamente estable, y por lo tanto, también es estable BIBO, se cumple lo siguiente:

• Todos los modos del sistema pertenecen al régimen transitorio y tienden a anularse.

• El régimen permanente no depende de las condiciones iniciales.

• En régimen permanente aparecen sólo los modos de la entrada que no tienden a anularse. Lógicamente, los residuos de las fracciones parciales asociadas a estos términos sí están influenciados por el sistema.

3.4 Criterio de Estabilidad de

Routh-Hurwitz

Un sistema dinámico es estable si todas las raíces del polinomio característico tienen parte real estrictamente negativa. El cálculo de estas raíces puede ser complicado e incluso inviable si el polinomio denominador está parametrizado. El criterio de Routh-Hurwitz permite averiguar si todas las raíces de un polinomio tienen parte real estrictamente negativa sin necesidad de calcularlas explícitamente. Este criterio permite también

analizar la estabilidad en función de uno o varios parámetros. Aunque este criterio es aplicable a polinomios de cualquier orden, se formulará únicamente para polinomios hasta tercer orden, sin incluir demostraciones. En general, si el polinomio característico de un sistema es:

A(s)=ans n_+a n−1s n−1_+a n−2s n−2_+…+a 1s+a0

Es condición necesaria que todos los coeficientes ai tengan el mismo signo.

En el caso de que hubiera algún coeficiente nulo el sistema no sería estable.

Observaciones

• En sistemas de orden 1 y 2 esta condición necesaria es también sufi-ciente.

• En sistemas de orden 3 es necesario agregar una condición adicional para que el conjunto de condiciones sea suficiente para la estabilidad:

a0a3<a1a2

• A partir de n > 3 hay que ir añadiendo un número creciente de condiciones para garantizar la suficiencia, por lo que un estudio paramétrico de la estabilidad mediante este criterio puede dejar de ser práctico.

Ejemplo 3.1. Considérese el siguiente sistema: G(s)= 25(1+0,1s) s3

+ps2

+2s+1 .

Se desea estudiar su estabilidad en función del parámetro p. El polinomio característico es A(s)=a3s 3_+a 2s 2_+a 1s+a0=s 3_+ps2_+2s+1.

En primer lugar se obtiene que el parámetro p debe ser positivo como condición necesaria. La condición adicional para polinomios de orden 3 establece que 1 < 2p, que es una condición más restrictiva que la anterior. El sistema es estable, por lo tanto, siempre que p > 0.5.

3.5 Régimen permanente: ganancia estática

y respuesta en frecuencia

Un sistema alcanza el régimen permanente cuando los términos de la res-puesta transitoria se han extinguido (en realidad, cuando su influencia sea despreciable). El régimen permanente que se estudiará es el de los sistemas estables con entrada constante o senoidal.

Entrada constante: ganancia estática

Cuando la entrada es constante y el sistema es estable, se alcanza un régimen permanente en el que la salida es también constante. La relación entre los valores de régimen permanente de la salida y de la entrada es siempre el mismo y se denomina ganancia estática.

Si se supone que la entrada es un escalón unitariou(∞)=1, su transformada de Laplace es U(s) = 1/s y, aplicando el teorema del valor final, resulta:

y(∞)= lim

s→0{sY(s)}=s→lim0{sG(s)U(s)}=s→lim0{G(s)}=G(0).

La ganancia estática:

G(0)=G(s=0)=y(∞)

u(∞),

es el valor de la función de transferencia para s = 0. Si el escalón no es unita-rio la relación es la misma, al ser el sistema lineal. Recuérdese que el concepto de ganancia estática sólo es aplicable en sistemas estables.

Entrada senoidal: respuesta en frecuencia

Si a un sistema estable se le aplica una entrada senoidal, la salida en régimen permanente será también senoidal, aunque de distinta amplitud y fase. Si G(s) es la función de transferencia del sistema y la entrada es u(t)=U_Mcos(ωt+θ), la salida en régimen permanente será:

y_P(t)=U_M G(jω) cos(ωt+θ+∠G(jω)).

La amplitud de la senoidal de entrada se multiplica por el módulo G(jω) de la función de transferencia evaluada en s=jω para obtener la amplitud de la senoidal de salida. Por otra parte, a la fase de la senoidal de entrada se le suma la fase ∠G(jω) de la función de transferencia evaluada en s=jω para

obtener la fase de la senoidal de salida. La demostración es la siguiente: Si la entrada es u(t)=U_Mcos(ωt+θ), su transformada de Laplace será:

U(s)= UM 2 e jθ s−jω + UM 2 e jθ s+jω La respuesta del sistema resulta:

y(t)=L−1_{U(s)G(s)} =L−1 _G(s) UM 2 e jθ s−jω + UM 2 e jθ s+jω " # $ $ $ % & ' ' ' ( ) * + * , -* . * .

La función de transferencia puede ponerse como:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i n s p a s B s A s B s G − = = Π

donde todos los polos pi tienen parte real estrictamente negativa, ya que el

sistema es estable. Por lo tanto:

Y(s)= Ri s−p_i

∑

La transformada inversa de los términos del sumatorio da lugar a términos transitorios. El régimen permanente es:

y_P(t)=L−1 R s−jω+ R∗ s+jω # $ % & ' (=2Rcos(ωt+∠R) donde: R={Y(s)(s−jω)}s=jω={G(s)U(s)(s−jω)}s=jω= =G(jω)UM 2 e jθ₌G(jω)UM 2 e j(θ+∠G(jω))

Es decir, para la entrada u(t)=UMcos(ωt+θ), la salida resulta:

y_P(t)=G(jω)U_Mcos(ωt+θ+∠G(jω))

Ejemplo 3.2 (Ganancia estática y respuesta en frecuencia). La función de transferencia del sistema (estable) es

G

(

s

)

=

5

(

s

+

2

)

{(

s

+

1

)(

s

+

5

)

}

G(0)= 5(2) (1)(5)=2.

Compruébese que éste es el valor de régimen permanente cuando la entrada es un escalón unitario.

G(jω)= 5(jω+2)

(jω+1)(jω+5). Cuando la entrada es u(t)=10sen(2t+30º ), se tiene:

G(j2)= 5(j2+2)

(j2+1)(j2+5)=1,17e

−j40,2º_.

La salida en régimen permanente será yP(t)=11, 7sen(2t−10, 2º ).

3.6 Diagramas de Bloques

En el modelado de un sistema dinámico complicado puede aparecer un número elevado de señales: entradas, salidas y variables intermedias. Resulta útil abordar el modelado de este tipo de sistemas mediante su descomposición en subsistemas interconectados de menor tamaño, cuyas funciones de transferencia resultan más sencillas de calcular.

Los diagramas de bloques permiten de una forma gráfica e intuitiva aplicar este procedimiento de modelado, para posteriormente poder calcular la relación entrada – salida final mediante un conjunto de reglas sencillas de operación. La forma de los diagramas de bloques tiene que ver habitualmente con la configuración física de los elementos de un sistema, aunque no necesariamente la refleje fielmente.

Elementos básicos

Los elementos básicos de un diagrama de bloques son: la línea, que repre-senta a una variable o señal, el bloque, que reprerepre-senta una función de transfe-rencia, y el punto de suma (o resta, si se indica) de señales.

La figura 3.1 representa un subsistema dinámico en forma de bloque. La salida es el producto de la entrada por la función de transferencia. Nótese que en el diagrama de bloques está más clara la relación causa/efecto que en la ecuación diferencial que define el sistema. La figura 3.2 representa un punto de suma (y resta) de señales.

G(s)

Y(s) = G(s)U(s)

U(s)

U

−

Y

W

V

Figura 3.2. Punto de suma para representar la ecuación Y(s) = U(s) + V(s) −W(s).

Álgebra de diagramas de bloques

El álgebra de diagramas de bloques se puede emplear para simplificar dia-gramas complicados. Así pueden obtenerse las funciones de transferencia entre las salidas (señales de interés) y las entradas. La tabla 3.1 resume las reglas de operación elementales aplicadas a los diagramas de bloques. Estas reglas pueden deducirse a partir de las ecuaciones matemáticas que describen el diagrama.

Tabla 3.1. Relaciones elementales del álgebra de diagramas de bloques.

Serie o cascada

_F

_G

_F

G

H

G

Y

U

E

1 +

G

GH

Y

U

G

G

G

G

G

G

Considérese, por ejemplo, el caso de la realimentación, habitual en el estudio de los sistemas de control. Si E es la variable de salida del punto de suma (se omite la dependencia de s, para simplificar) se pueden plantear las siguientes

GH G U Y GE Y HY U E + = ⎭ ⎬ ⎫ = − = 1 .

Cuando se van a interconectar dos o más bloques hay que tener en cuenta los posibles efectos de la carga que uno de ellos representa sobre el otro, e incluir estas relaciones en el diagrama de bloques. Un ejemplo es la conexión en cascada de dos circuitos, la tensión de salida del primer circuito depende de la corriente que demanda el segundo, debido a la caída de tensión en la impedancia de salida del primer circuito.

Ejemplo 3.3 (Diagramas de bloques). Considérese el sistema representado en el diagrama de bloques de la figura 3.3. Por comodidad, se omite la de-pendencia de s. Se desean obtener las funciones de transferencia que ligan las dos salidas {Y1,Y2} con las dos entradas {U1,U2}.

G

G

Y

U

U

G

Y

--

-G

G

Y

U

U

G

Y

-- --

_G

G

G

Y

U

U

G

Y

-1+

G

Figura 3.3. Diagrama de bloques complicado, y sus simplificaciones.

En la figura 3.3 se muestran las sucesivas transformaciones del diagrama de bloques original para simplificarlo. En el primer paso, el 2º punto de suma se traslada antes del primer bloque. Los bloques 1 y 2 quedan conectados en serie. En el segundo paso, los dos lazos de realimentación se suman. Por último, aplicando la regla para obtener la función de transferencia equivalente de bloques conectados en realimentación, se pueden calcular las funciones de transferencia para todas las combinaciones entrada – salida definidas en el sistema. La solución en forma matricial es:

Y₁ Y₂ ! " # # $ % & &= 1 1+G₁G₂G₃(1+G₁−1₎ G1G2G3 −G3 G₁G₂ G₁G₂G₃(1+G₁−1₎ ! " # # $ % & & U₁ U₂ ! " # # $ % & &