LOGICA II
EL METODO DE LOS ARBOLES ANALITICOS
0. Introducción: Deducción y búsqueda de contraejemplos
El sistema de reglas de árboles analíticos (también llamado “árboles lógicos”) que se expone a continuación ofrece un método de deducción para la lógica de predicados de primer orden. El sistema se basa en el método de refutación o de “búsqueda del contraejemplo”: una demostración formal en el sistema se interpreta como la imposibilidad de construir un contraejemplo para el razonamiento o enunciado en cuestión. Por esta razón es algo así como una formulación puramente sintáctica (en términos de reglas formales) de métodos originalmente semánticos para determinar la validez de razonamientos deductivos. Estos métodos se basan en la caracterización de las constantes lógicas por medio de la indicación de sus condiciones de verdad.
Recuérdese que, según una de las definiciones de validez, una forma de razonamiento es válida si carece de contraejemplo. Esto quiere decir que una forma de razonamiento es válida si no existe una interpretación de sus símbolos no lógicos, es decir, un caso concreto de esa forma de razonamiento, que haga a sus premisas verdaderas y a su conclusión falsa. Esta era una definición de validez para formas de razonamiento. Por lo tanto, si se construye un contraejemplo (un “caso en contrario” de la forma), la forma de razonamiento es inválida. Por el contrario, si resulta imposible construir tal contraejemplo, esta es válida. Cosa semejante ocurre con las leyes lógicas (que, recuérdese, se pueden entender como formas válidas de razonamiento que carecen de premisas). Este es el procedimiento que el método de árboles reproduce formalmente.
Como se verá más adelante, el método funciona primariamente como un “test de consistencia” para un conjunto de enunciados. La validez de un razonamiento surgirá de manera secundaria o indirecta, al mostrar que es inconsistente suponer la verdad de las premisas y la falsedad de la conclusión.
El método se basa en un sistema de reglas que descomponen los enunciados generales o moleculares hasta llegar a sus componentes atómicos, y por esto se puede hablar de un análisis de enunciados. Este análisis se representa gráficamente mediante árboles, que tienen bifurcaciones o ramas. De allí el nombre del método. El sistema de reglas, una vez formalizado, resultará muy conveniente para analizar propiedades semánticas de la lógica de predicados de primer orden (tales como corrección, completitud y otras). La presentación seguirá en líneas generales al sistema que Raymond Smullyan formuló en su libro First-Order Logic (Smullyan 1995), donde el sistema recibe el nombre de “tableaux analíticos”.
1. El concepto de verdad y los símbolos lógicos
Esta suposición tiene un alto grado de idealización, pues en diversas situaciones puede darse el caso de enunciados que carezcan de valor de verdad, pero no se tomará en cuenta esa situación. El principio de bivalencia conduce así a una partición del conjunto de enunciados en dos conjuntos: el de los enunciados verdaderos y el de los enunciados falsos. Y esto es algo importante para lo que sigue.
1.1. Condiciones de verdad para los símbolos lógicos
Para las constantes lógicas, cuantificadores y conectivas, valen las siguientes condiciones de verdad:
(∀) Un enunciado de la forma ∀xA[x] es verdadero si y sólo si A[u] es verdadero para
todo individuo u del dominio de cuantificación.
(∃) Un enunciado de la forma ∃xA[x] es verdadero si y sólo si A[u] es verdadero para
algún individuo u del dominio de cuantificación.
La variable x entre corchetes hace referencia a todas las apariciones de x que pueda haber en la fórmula representada esquemáticamente por A, La letra u es una variable del metalenguaje para elementos del dominio.
(∧) Un enunciado de la forma A∧B es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos.
(∨) Un enunciado de la forma A ∨ B es verdadero si y sólo si A es verdadero o B es verdadero.
(→) Un enunciado de la forma A→B es verdadero si y sólo si A es falso o B es verdadero.
(¬) Un enunciado de la forma ¬A es verdadero si y sólo si A es falso.
2. Reglas de verdad y falsedad
Sobre la base de las condiciones de verdad recién expuestas, son válidas las siguientes reglas relativas a la verdad y falsedad de enunciados con símbolos lógicos:
(∀i) Si un enunciado de la forma ∀xA[x] es verdadero, entonces puede inferirse que
A[a] es verdadero, para toda constante de individuo a que designe a algún individuo del dominio.
(∀ii) Si un enunciado de la forma ∀xA[x] es falso, entonces puede inferirse que A[c] es
falso, donde c es una constante que se refiere de manera indeterminada a algún individuo del dominio.
(∃i) Si un enunciado de la forma ∃xA[x] es verdadero, entonces puede inferirse que
A[c] es verdadero, donde c es una constante que designa de manera indeterminada a algún individuo del dominio.
(∃ii) Si un enunciado de la forma ∃xA[x] es falso, entonces puede inferirse que A[a] es
también falso, para toda constante de individuo a del LPO que designe a un individuo del dominio.
manera indeterminada a un individuo arbitrario del dominio de cuantificación, que no se sabe cuál elemento es. Por lo tanto, las constantes de individuo indicadas por c no tienen una referencia fija, no designan un elemento concreto del dominio, sino que es algo así como el “representante” del “algún” (o “algunos”) que no se sabe cuál es (cuáles son) y que hace (hacen) que A[c] sea respectivamente falso (en (∀ii)) y verdadero (en (∃i). Nótese que si fuera una constante cualquiera, estas reglas serían claramente incorrectas. En el caso de (∃1), a partir de que se afirme que existe un elemento que cumple con lo que dice A, no se sigue que de que sea el individuo que la constante b designa, por ejemplo, el individuo que cumple con lo que dice A.
(∧i) Si un enunciado de la forma A&B es verdadero, entonces puede inferirse que tanto A como B son verdaderos.
(∧ii) Si un enunciado de la forma A&B es falso, entonces puede inferirse que A es falso o B es falso.
(vi) Si un enunciado de la forma A∨B es verdadero, entonces puede inferirse que A es verdadero o B es verdadero.
(vii) Si un enunciado de la forma A∨B es falso, entonces puede inferirse que tanto A como B son falsos.
(→i) Si un enunciado de la forma A→B es verdadero, entonces puede inferirse que A es falso o B es verdadero.
(→ii) Si un enunciado de la forma A→B es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero y B es falso.
(↔i) Si un enunciado de la forma A↔B es verdadero, entonces puede inferirse que A y B son verdaderos o A y B son falsos.
(↔ii) Si un enunciado de la forma A↔B es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero y B es falso o A es falso y B verdadero.
(¬i) Si un enunciado de la forma ¬A es verdadero, entonces puede inferirse que A es falso.
(¬ii) Si un enunciado de la forma ¬A es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero.
2.1 Reglas de verdad y validez de razonamientos
A partir de estas reglas de verdad puede establecerse la validez de razonamientos deductivos y, también, desde luego, que ciertas formas de enunciados son leyes lógicas (verdades lógicas). Tómese el siguiente ejemplo de razonamiento presentado en el simbolismo lógico
∀xQx
_____________ ∀x (Px → Qx) .
validez del razonamiento. Queda así determinado, sobre la base de las reglas de verdad dadas, que el razonamiento es válido.
Considérese este ejemplo ulterior:
Pd → (Qd ∧ Sd)) ¬∃xSx
_____________________ ¬Pd
Supóngase que el razonamiento es inválido, es decir, es posible considerar las dos premisas verdaderas y la conclusión falsa. De aquí, por las reglas precedentes, resulta que Pd es un enunciado verdadero, ∃xSx es falso. Además, Pd → (Qd ∧ Sd) será un enunciado verdadero. Dado este hecho, nos enfrentamos con una alternativa: Pd es falso o Qd ∧ Sd es verdadero. En el primer caso, caemos en una inconsistencia: Pd resulta verdadero y falso. En el segundo caso, tendremos que Qd y Sd serán ambos verdaderos. Pero, resulta que como ∃xSx es falso, Sd debe ser falso, con lo que también caemos en una inconsistencia: Sd resulta verdadero y falso. Ante esta alternativa, ambas opciones nos llevan a una inconsistencia, de modo que no resulta posible que el razonamiento sea inválido.
3. El sistema de reglas para árboles analíticos
Las reglas para el método de los árboles analíticos se justifican, de manera prefomal, en las reglas de verdad y falsedad recién expuestas. Ahora bien, las reglas formales del sistema de árboles tienen características peculiares, y no pueden considerarse reglas de inferencia en el sentido estricto considerado hasta ahora. En efecto, estas reglas contienen la posibilidad de considerar conclusiones alternativas, que se expresarán como bifurcaciones a partir de un tronco común formado por la premisa (justamente, las reglas hacen que el árbol se vaya generando). Las reglas son las que generan los árboles analíticos, de modo que siempre se aplican a enunciados que están en un árbol.
3.1. Enunciados etiquetados
A fin de construir el sistema de reglas se introducirán dos símbolos más, que se entenderán como “etiquetas” para enunciados, y que al ser aplicados a las mismas darán lugar a “enunciados etiquetados”. Estos son los símbolos V y F.
3.1.1. Definición. Una enunciado etiquetado será una expresión de las formas VA o FA, donde A es una enunciado.
3.2 La naturaleza de los árboles del sistema de reglas de árboles analíticos
Los árboles que se tratarán de ahora en adelante son un tipo particular de estructuras semióticas llamadas grafos: grafos conectados sin ciclos. Serán además árboles binarios, es decir, que sus bifurcaciones generan a lo sumo dos ramas. En el caso de estos árboles analíticos, se da por sentado que los nodos, es decir, los puntos conectados del árbol son enunciados etiquetados. A continuación se ofrecen algunas definiciones acerca de árboles:
3.2.1: Un árbol es un conjunto de enunciados etiquetados ordenados por una relación (expresada gráficamente por la líneas que unen los enunciados) y en el cual existe un único subconjunto (no vacío) de enunciados etiquetados que constituyen el origen de los demás nodos del árbol (el tronco del árbol).
3.2.2: Una rama es una secuencia numerable de enunciados etiquetados que comienza en el tronco y que o bien tiene un enunciado etiquetado final (rama finita) o bien no lo tiene (rama infinita).
3.2.3: Dada una enunciado cualquiera A, si en una misma rama aparecen VA y FA, entonces se dirá que la rama es una rama cerrada, lo que se indicará marcando con x al extremo de la rama.
3.2.4: Una rama abierta es una rama finita que no es cerrada.
3.2.5: Un árbol cerrado es un árbol que tiene todas sus ramas cerradas.
3.2.6: Un árbol abierto es un árbol que tiene al menos una rama abierta.
3.2.7: Un árbol terminado es un árbol en el que a todo enunciado que contenga un símbolo lógico se le ha aplicado la regla correspondiente (es decir, no quedan enunciados sin analizar).
Los siguientes son ejemplos de estructuras que adoptarán los árboles analíticos (los asteriscos indican el lugar que deben ocupar enunciados):
(a) * │ * / \ * * │ / \ * * *
(c) * / \ * * / \ * *
│ *
3.3. Las reglas del método de los árboles analíticos
Las reglas, que se aplican a enunciados etiquetados, son las que se ofrecen a continuación.
(∀V) V∀xA[x] (∀F) F∀xA[x]
│ │ VA[ai] FA[c]
(∃V) V ∃xA[x] (∃F) F∃xA[x]
│ │ VA[c] FA[ai]
Restricciones a las reglas de cuantificadores: (∀F) y (∃V) c debe ser una constante de individuo nueva en la rama. Por el contrario en (∀V) y (∃F) ai es cualquiera de las
constantes de individuo a1, ..., an ,que aparezcan en enunciados anteriores de la rama
en la que está el enunciado al cual se le aplica la regla o, en el caso de que ningún enunciado de la rama contenga constantes, una nueva constante de individuo.
(∧V) VA∧B (∧F) F(A ∧B) │ ┌──┴──┐ VA FA FB VB
(∨V) VA∨B (∨F) F(A∨B) ┌──┴──┐ │ VA VB FA FB
(→V) VA→B (→ F) F(A→B) ┌──┴──┐ │ FA VB VA FB
(↔V) VA↔B (↔F) F(A↔B) ┌──┴──┐ ┌──┴──┐ VA FA VA FA VB FB FB VB
FA VA
Nota: El resultado de aplicar una regla a una enunciado etiquetado debe escribirse en todas las ramas abiertas que aparezcan debajo de esta.
3.3.1. Regla de cierre de ramas.
Recuérdese que si en una misma rama aparecen VA y FA, entonces se dirá que la rama está cerrada, lo que se indica marcando con una x al extremo de la rama. Esquemáticamente
: VA
: FA
x
donde los dos puntos indican un número finito de nodos. En un sentido informal, el cierre de una rama significa que se ha hallado una inconsistencia (aceptando el supuesto de que un enunciado no puede ser verdadero y falso).
El enunciado A debe ser atómico, ya que el método exige que se apliquen todas las reglas correspondientes a los símbolos lógicos que aparecen en enunciados. Es decir, tiene sentido aplicar la regla de cierre de rama únicamente en el caso en que los enunciados sea atómicos. Por lo demás, imagínese un caso de razonamiento como, por ejemplo
∀x∀y(Rxy&Syx → ∃zQxyz) _________________________ ∀x∀y(Rxy&Syx → ∃zQxyz)
que es trivialmente válido. No diríamos que con sólo etiquetarlos y cerrar la rama hemos aplicado el método (obre todo visto como un método mecánico o automático de deducción).
3.4. Observaciones.
Como puede verse, para cada símbolo lógico hay reglas de dos tipos: “reglas de verdad” (las de la izquierda) y “reglas de falsedad” (las de la derecha). La relación con las “reglas de verdad” (o condiciones de verdad para las constantes lógicas) del parágrafo 2 salta a la vista. Las reglas siempre descomponen o “analizan” las enunciados en subenunciados (se puede decir que “eliminan” el símbolo lógico al que se aplican). Es por ello que a los árboles construidos de acuerdo con estas reglas se los llama “analíticos”.
Estas reglas sirven tanto para determinar la validez (o, en determinados casos, la invalidez) de un razonamiento formulado en el lenguaje lógico como para determinar si un enunciado formulado en el lenguaje lógico es una ley lógica (o, en determinados casos, si no lo es), y finalmente para determinar también si un conjunto de enunciados es o no consistente..
verdaderas y conclusión falsa. Más precisamente, se basará en ver si, en el caso de un razonamiento, el conjunto de enunciados formado por las premisas junto con la negación de la conclusión, o, en el caso de un único enunciado, el conjunto unitario formado por la negación del enunciado, es consistente. Si no lo es, esto significa que la conclusión es se infiere deductivamente de las premisas, o que el enunciado se infiere deductivamente del conjunto vacío de premisas. Por el hecho de partir de las condiciones de verdad puede decirse que el sistema de árboles es una transposición de conceptos semánticos a un método de deducción.
Así, puede decirse también que el método procede por refutación o por búsqueda de un contraejemplo y puede considerarse como una variante del método por el absurdo. Dicho de manera sucinta, dado un razonamiento, se supone junto la verdad de sus premisas y la falsedad de la conclusión. Luego se aplican las reglas a todo enunciado que contenga símbolos lógicos, obteniéndose un “árbol” de derivación. Si en toda rama construida aparece una enunciado atómica VA y FA, entonces el razonamiento es válido. Análogamente se hará respecto de un único enunciado.
Una observación final: Obviamente las líneas que van indicando ramas y bifurcaciones no representan la inferencia lógica. Más bien, representa lo mínimo que se puede afirmar consistentemente a partir de los enunciados que están arriba de la línea. Cuando aparece la x es que ya nada puede afirmarse con consistencia a partir de los enunciados enlazados en la rama.
Otra forma de interpretar las bifurcaciones indicadas por las líneas es como la conversa de la relación de inferencia lógica. Es decir, si la premisa es falsa, entonces una cualquiera de sus conclusiones es falsa. Dicho de otro modo, si cualquiera de las conclusiones de una regla de árboles es verdadera, entonces la premisa será verdadera. Esto está ligado al carácter refutatorio del método.
4. Arboles analíticos y validez
Un razonamiento formulado mediante enunciados del LPO será considerado válido si, y sólo si, el árbol formado a partir de sus premisas etiquetadas con V y su conclusión etiquetada con F es un árbol cerrado. Asimismo, un enunciado A será considerado un caso de ley lógica si, y sólo si, el árbol formado a partir del enunciado etiquetado como FA es cerrado.
5. Ejemplos
E1. Tómese el razonamiento
∀xQx
______________ ∀x (Px → Qx)
visto en el parágrafo 2.1 y compárese el árbol resultante con la argumentación ofrecida allí.
1. V∀xQx 2. √F∀x (Px → Qx)
3. √F(Pc→Qc) 4. VPc 5. FQc 6. VQc
El árbol obtenido puede verse como una proyección o representación de la argumentación presentada en el lenguaje cotidiano.
La única rama de este árbol está cerrada. El razonamiento es válido. En el árbol el enunciado 3. se obtiene de 2 (por la regla (∀F)), 4. y 5. se obtienen de 3 (por (→F)) y 6. se obtiene de 1 (por la regla (∀V)). La tilde √ indica que los enunciados a su derecha han sido objeto de la aplicación de una regla, de modo que no pueden volver a ser utilizados. (Nótese que eso no sucede con el primer enunciado, que es una cuantificación universal etiquetada con V.) Aquí se advierte claramente por qué estos árboles son llamados “analíticos”: las reglas llevan a descomponer los enunciados en subenunciados de menor complejidad a lo largo de la construcción del árbol, de modo que “analizan” el enunciado hasta llegar a sus componentes básicos e irreductibles.
E2. Véase ahora el segundo de los ejemplos dados en 2.1
Pd → (Qd ∧ Sd) ¬∃xSx
_____________________ ¬Pd
El árbol correspondiente es el siguiente:
√VPd → (Qd ∧ Sd) √V¬∃xSx
√F¬Pd V Pd F∃xSx
/ \ FPd √VQd ∧ Sd
x VQd VSd FSd
x
Aquí se obtienen dos ramas (lo que le da un aspecto realmente “arbóreo”) al gráfico construido mediante las reglas. Ambas ramas quedan cerradas, de modo que el razonamiento se considera válido. (Nótese que el quinto enunciado, una cuantificación existencial etiquetada con F, no se tilda).
E3. Determínese la validez del siguiente razonamiento:
∀x(Px → Qx) Pa ∧ Pb
V ∀x(Px → Qx) √V Pa ∧ Pb √F Qa ∧ Qb
VPa VPb √VPa → Qa √VPb → Qb
/ \ FQa FQb
/ \ / \ FPa VQa FPa VQa
x x x / \ FPb VQb
x x
El razonamiento es válido.
E4. Determinese que la siguiente forma de enunciado es una ley lógica:
(A → ∃yB[y]) → ∃y(A → B[y])
√F((A → ∃yB[y]) → ∃y(A → B[y])) √ VA → ∃yB[y]
F∃y(A → B[y]) / \
FA √V∃yB[y] √F(A → B[a]) √F(A → B[a])
VA VA FB[a] FB[a]
x VB[b] √ F(A → B[b])
VA FB[b] x
La forma de enunciado es una ley lógica.
E5. Determínese si el siguiente razonamiento es válido o no:
∀x(Px ∨ Qx) ______________ ∀x(Px → Qx)
V∀x(Px ∨ Qx) √F∀x(Px → Qx)
√F(Pa → Qa) VPa FQa √ VPa ∨ Qa
/ \ VPa VQa x
6. La consistencia en los árboles analíticos
La idea de consistencia es esencial para los árboles lógicos, puesto que es un test de consistencia. En efecto, lo que el método muestra en el caso de un razonamiento válido es que la negación de la conclusión es inconsistente con las premisas, y esto se evidencia en que todas las ramas del árbol construido están cerradas. Por lo tanto, si hay al menos una rama abierta el conjunto de partida para construir el árbol es consistente (la negación de la conclusión es consistente con las premisas, de modo que el razonamiento originario es inválido).
Este hecho sugiere la siguiente definición de consistencia mediante el método de los árboles analíticos:
6.1. Un conjunto de enunciados es consistente si y sólo si el árbol construido a partir de sus miembros, etiquetados todos con V, mediante las reglas del sistema T tiene al menos una rama abierta.
De aquí se sigue directamente un método para determinar consistencia. Tómese el ejemplo del conjunto formado por los enunciados Qa ∧ Sa, Pa→(Qa∧Sa) y ¬∀x¬Px. Este es el árbol resultante.
√V Qa ∧ Sa √V Pa → (Qa∧Sa)
√V¬∀x¬Px VQa
Vsa √F∀x¬Px
√V¬¬Pb √F¬Pb
VPb / \
FPa √VQa & Sa VQa VSa ,
el cual, al tener al menos una rama abierta (de hecho ambas ramas quedan abiertas), muestra que el conjunto es consistente.
7. Estrategias para la aplicación de las reglas
El sistema de árboles está concebido, en principio, como un sistema mecánico de deducción. Esto significa que si el razonamiento es válido (o el enunciado es ley lógica), entonces el árbol quedará cerrado, sin importar el orden en que se apliquen las reglas, siempre que estas estén correctamente aplicadas (a lo sumo puede variar la longitud de las ramas).
reglas (∀V) y (∃F) nunca son tildadas, pues las enunciados respectivas pueden volver a ser usadas cuantas veces sea necesario (esto se ve claro en el tercer ejemplo), y en general deben volver a ser usadas siempre que aparezcan nuevas constantes de individuo (es decir, es obligatorio hacerlo). En los tres primeros ejemplos el árbol queda cerrado. En el último el árbol queda abierto, de modo que el razonamiento no es válido. Esto significa que el método de los árboles también sirve para determinar razonamientos inválidos (más adelante se verá que esto no vale para todos los casos). En síntesis, debe tenerse en cuenta las siguientes reglas prácticas para la aplicación de las reglas de árboles.
RP1. Aplíquese primero, siempre que sea posible, las reglas de cuantificación a los enunciados con significado existencial (los que comienzan con un cuantificador existencial o un universal negado).
RP2. Aplíquese en primer lugar, si ello es posible, la regla (¬F).
RP3. En el caso en que se aplique reglas de cuantificación a enunciados con significado universal (los que comienzan con un cuantificador universal o un existencial negado), debe aplicarse la regla respecto de todas las constantes de individuo que aparecen en la rama donde está el enunciado.
RP4. En el caso de las reglas de conectivas, aplíquese las reglas que no introducen bifurcaciones antes que las reglas que sí lo hacen, siempre que ello sea posible.
8. Arboles infinitos
Supóngase que se quiere determinar si el enunciado ∃x∀yRxy se sigue o no a partir de Raa mediante las reglas del método de árboles analíticos. El árbol correspondiente tendría el siguiente aspecto
VRaa F∃x ∀y Rxy
√ F∀y Ray F Rab √ F∀y Rby
F Rbc √ F∀y Rcy
F Rcd √ F∀y Rdy
FRde :
Claramente, el procedimiento continúa indefinidamente, pues siempre que hay una nueva constante se le debe aplicar las reglas (∀V) y (∃F) a enunciados universales etiquetados con V o a cuantificaciones existenciales etiquetados con F. El árbol es entonces infinito.
Aquí aparecen ciertas limitaciones de los árboles analíticos; no permite, por ejemplo, hacer una clara bipartición entre casos de leyes lógicas y aquellos que enunciados refutables (es decir, aquellos cuyo árbol es cerrado). Pues aparecen casos en los que no se puede dar una respuesta: el método nos lleva a seguir indefinidamente la construcción del árbol. Estos enunciados reciben el nombre de indecidibles.
9. Descripción del procedimiento de construcción de los árboles
Los procedimientos mediante se construyen árboles en este método pueden especificarse en su totalidad. Los procedimientos (básicamente recursivos) pueden describirse mediante las siguientes fases en la construcción de árboles.
(1) Escríbase en columna las premisas etiquetados con V y la conclusión etiquetado con F (se obtiene así el tronco del árbol). Los enunciados candidatos a leyes lógicas o verdades lógicas se toman como un caso especial (se los etiqueta con F y constituyen el único elemento del tronco).
(2) Aplíquese, si ello es posible, las reglas de árboles a los enunciados etiquetados del tronco del árbol tomando en cuenta las restricciones que tienen las reglas del método y siguiendo las reglas prácticas dadas anteriormente.
(3) Cierre todas las ramas que contenga un mismo enunciado A etiquetado con V y F, es decir VA y FA, de acuerdo con la caracterización de rama cerrada. Si quedan todas las ramas cerradas, entonces la conclusión se deduce a partir de las premisas. Caso contrario, si queda al menos una rama abierta, pásese al paso (4).
(4) Si queda alguna enunciado no atómica sin marcar en alguna rama abierta, entonces pueden darse los siguientes casos: (a) Si es un enunciado molecular o con significado existencial (comienza con un cuantificador existencial o la negación de un universal), entonces aplíquese la regla correspondiente volviendo al paso (2). (b) Si es un enunciado universal (que comienza con un cuantificador universal o con la negación de un existencial), entonces obsérvese si hay en la rama alguna constante de individuo respecto de la cual pueda aplicarse la regla respectiva. En caso afirmativo vuelva al paso (2). En caso contrario (es decir, los únicas enunciados sin marcar son enunciados universales y no quedan constantes de individuo respecto de los cuales puedan aplicarse las reglas), la conclusión no se deduce de las premisas.
Nótese que en algunos casos el procedimiento puede continuar indefinidamente (árboles infinitos). Desde el punto de vista computacional, esto es lo que se denomina problema de la parada: en tanto procedimiento mecánico, los enunciados indecidibles hacen que el procedimiento nunca se detenga.
10. Arboles analíticos con enunciados sin etiquetar. El sistema TN
será aquella que contenga un enunciado A y su negación ¬A. Así, puede concebirse el sistema TN, cuyas reglas, formuladas en este caso para enunciados del LPO, son
las que se ofrecen a continuación (un sistema análogo aparece el libro de Richard Jeffrey Lógica formal. Su alcance y sus límites).
(1) ∀xA[x] (2) ¬∀xA[x] │ │ A[ai] ¬ A[c]
(1) ∃xA[x] (2) ¬∃xA[x] │ │ A[c] ¬A[ai]
(&1) A&B (&2) ¬(A&B) │ ┌──┴──┐ A ¬A ¬B B
(v1) A∨B (v2) ¬(A∨B) ┌──┴──┐ │ A B ¬A ¬B
(→1) A→B (→ 2) ¬(A→B) ┌──┴──┐ │ ¬A B A ¬B
(↔1) A↔B (↔2) ¬(A↔B) ┌──┴──┐ ┌──┴──┐ A ¬A A ¬A B ¬B ¬B B
(¬1) A (A es un (¬2) ¬¬A : enunciado |8 ¬A atómico) A x
Restricción: De manera análoga a lo que ocurre con el sistema T, en (∀2) y (∃1) c debe ser una constante de individuo nueva en el árbol. Por el contrario en (∀1) y (∃2) ai es cualquiera de las constantes de individuo a1, ..., an , que aparezcan en
enunciados anteriores de la rama en la que está el enunciado al cual se le aplica la regla o, en el caso de que ningún enunciado de la rama contenga constantes, una nueva constante de individuo.
Nota: El resultado de aplicar una regla a un enunciado debe escribirse en todas las ramas abiertas que aparezcan debajo del enunciado.
11.1 Observaciones.
relación con las “reglas de verdad” (o condiciones de verdad para las constantes lógicas) del parágrafo 2 salta a la vista, teniendo en cuenta que, a partir de las reglas de verdad para la negación, afirmar un enunciado es afirmar su verdad, y afirmar la negación de un enunciado es afirmar su falsedad. De este modo, la conectiva negación sirve, gracias a las reglas de verdad, para expresar la falsedad. Nótese los cambios en las reglas de negación: la primera, (¬1), expresa la situación en que se puede cerrar un árbol, la segunda es una forma de la regla de doble negación.
Resulta obvio que estas reglas sirven tanto para determinar la validez (o, en determinados casos, la invalidez) de un razonamiento formulado en el lenguaje LPO como para determinar si un enunciado de LPO es una ley lógica (o, en determinados casos, si no lo es).
En general, un gran número de características del sistema T se conservan en TN. Sin embargo, existe una diferencia importante. En el caso de T, la determinación
de validez o invalidez o consistencia e inconsistencia, etc. (según cada caso), dependerá exclusivamente de aplicar las reglas para los símbolos lógicos que aparezcan en los enunciados en cuestión. Por el contrario, en el caso de TN siempre
deberán aparecer las reglas para negación. Por ejemplo, para determinar en el sistema TN la validez de un razonamiento que contenga únicamente el condicional →
como símbolo lógico, no bastarán las reglas relativas al condicional, sino que deberán usarse las reglas para la negación. Con ello las reglas dejan de ser separables o independientes, una propiedad que por razones de teoría lógica se quiere tener en sistemas lógicos de este tipo. Cuando las reglas del sistema para cada símbolo lógico son separables, es posible modificarlas localmente, sin alterar el resto, a fin de obtener otras lógicas en las que no valen algunos principios clásicos (como por ejemplo, la lógica intuicionista).
Tómese como ejemplo el primero de los razonamientos analizados
∀xQx
_____________ ∀x (Px → Qx)
cuyo árbol, según TN, sería el siguiente
1. ∀xQx 2. √¬∀x (Px → Qx)
3. √¬(Pc→Qc) 4. Pc 5. ¬Qc
6. Qc x
Pese a no contener negación alguna, la determinación de la validez de este razonamiento requiere la primera regla de la negación.
Los problemas de usar enunciados sin etiquetar van más allá de este hecho. Como ya se ha mencionado, hace más difícil la formulación de la reglas para otras lógicas (tema que, por lo demás, va más allá de esta presentación).
11.2. Equivalencia entre T y TN
No cabe duda que, estableciendo la correspondencia entre VA y A y entre FA y ¬A, para cualquier enunciado cerrada A del LPO, en las reglas de T y TN respectivamente,
todo árbol T que represente una deducción puede convertirse en otro en TN
