Ecuaciones diferenciales y algebra lineal

(1)

Ecuaciones Diferenciales Lineales y Espacios Vectoriales

Resumen

“El conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo forman un espacio vectorial, es decir que la combinación lineal de soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conforma al conjunto solución que a su vez es un espacio vectorial, se argumenta esta idea mostrando los conceptos de combinación lineal, base, dimensión para los vectores solución a las EDO lineales homogéneas y al final se presenta la transformada de Laplace como una aplicación lineal y más específicamente como un isomorfismo”

Introducción: El conjunto solución a una ecuación diferencial lineal homogénea tiene las características de que la combinación lineal de los yn y escalares del campo forman a todo el conjunto solución, y también las

soluciones particulares son linealmente independientes, esto da la idea de que forman un espacio vectorial, dado que son funciones continuas sobre un intervalo (intervalo de solución) en efecto forman un espacio vectorial, solo se verifican que cumpla las 8propiedades de un espacio vectorial. Asimismo se muestra que ela transformada de Laplace es una aplicación lineal biyectiva, es decir, es un isomorfismo entre espacios vectoriales, al final se presenta un ejemplo con un oscilador armónico forzado resuelto por el isomorfismo de la transformada de Laplace y también que la ecuación homogénea asociada forma un espacio vectorial.

#1. Ecuación Diferencial Ordinaria: Son ecuaciones que contienen una o más derivadas de una función desconocida (primera, segunda,…, derivada de orden n) y no contiene derivadas parciales.

#2.EDO lineal: Se dice que es lineal si tiene la forma:

𝑎𝑛 𝑥

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)

2.1. Las ecuaciones diferenciales pueden escribirse en forma de un operador lineal de la forma:𝐿 𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑔 𝑥 = 0 se dice que es EDO homogénea. Si 𝑔 𝑥 ≠ 0 es no homogénea.

#3.Solución a una EDO: Cualquier función 𝜑 definida en el intervalo I y que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. (1)

#4. Familia de Soluciones: Cuando se resuelve ecuaciones diferenciales de orden n, 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′… 𝑦𝑛 = 0 se busca una familia de soluciones n-paramétricas 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑐1, 𝑐2… 𝑐𝑛 = 0

cuando una solución no pertenece a la familia de soluciones se dice que es una solución singular.

4.1. Teorema; Principio de Superposición: Sean 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑘 soluciones de las ecuaciones

homogéneas de n-ésimo orden en un intervalo I. Entonces la combinación lineal 𝑦 = 𝑐1𝑦1+

𝑐2𝑦2+ ⋯ + 𝑐𝑘𝑦𝑘 donde𝑐𝑖, 𝑖 = 1,2,3 … , 𝑘 son constantes arbitrarias, también es una solución en el

intervalo. (1)

4.2 Corolarios:a. Un múltiplo constante 𝑦 = 𝑐1𝑦1 de la solución 𝑐1𝑦1 es solución de la EDO.

b. Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene siempre la solución trivial y=0.

(2)

𝑊 𝑓1, 𝑓2… 𝑓𝑛 =

𝑓1 ⋯ 𝑓𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑓1𝑛−1 ⋯ 𝑓𝑛𝑛−1

5.1. Criterio: Sean 𝑦1, 𝑦2… 𝑦𝑛, n soluciones a una EDO lineal homogénea de n-ésimo orden en el

intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I ssi𝑊 𝑦1, 𝑦2… 𝑦𝑛 ≠ 0 para

toda x en el intervalo. (1)

Desarrollo

De una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal homogénea de la forma:

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′ … 𝑦𝑛 = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑

𝑛_𝑦

𝑑𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′ … 𝑦𝑛−1

Se puede reescribir como 𝐿 𝑦 = 𝑔 𝑥 , y si es homogénea 𝐿 𝑦 = 0.

Demostrar que el conjunto solución (y(x)) de una ecuación diferencial lineal homogénea es un espacio vectorial.

Denotado con y(x) con fines prácticos. Para ello demostraremos cerradura y las 8 propiedades que caracterizan a un espacio vectorial. (2)

*Cerradura: Sean 𝑦1, 𝑦2 𝜖 𝑦(𝑥) por el principio de superposición (4.1 de los fundamentos) la

combinación 𝑦1+ 𝑦2 (𝑡𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐1= 𝑐2 = 1) es también solución, por lo tanto 𝑦(𝑥) es cerrada.

* Campo: Los números reales (R).

Propiedades bajo la suma de vectores (utilizando propiedades de suma de funciones definidas en el intervalo de solución)

Propiedad 1.Asociatividad.

Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 𝜖 𝑦(𝑥)

𝑦₁+ 𝑦2 + 𝑦3= 𝑦1+ 𝑦2+ 𝑦3 = 𝑦1+ 𝑦2+ 𝑦3

→ 𝑦1+ 𝑦2 + 𝑦3= 𝑦1+ 𝑦2+ 𝑦3

Propiedad 2. Elemento Neutro

Sean 𝑦0, 𝑦1 𝜖 𝑦(𝑥) de tal forma que

𝑦0+ 𝑦1= 𝑦1+ 𝑦0

Donde 𝑦0representa al vector cero que es precisamente y=0 y por el corolario 4.2.b. 𝑦0 𝜖 𝑦(𝑥)

(3)

Sea 𝑦1 𝜖 𝑦(𝑥) existe el elemento −𝑦1 𝜖 𝑦(𝑥), tal que

𝑦1 + −𝑦1 = 𝑦0

Propiedad 4.Conmutatividad

Sean 𝑦1, 𝑦2 𝜖 𝑦(𝑥), se tiene que

𝑦1+ 𝑦2= 𝑦2+ 𝑦1

Producto por un escalar del campo (utilizando propiedades de producto por un escalar de funciones definidas sobre el intervalo de solución)

Propiedad 5.Distributividad del producto de dos vectores por un escalar con respecto a la suma.

Sean 𝑦1, 𝑦2 𝜖 𝑦 𝑥 𝑦 𝑘 ∈ 𝑅, se tiene que

𝑘 𝑦1+ 𝑦2 = 𝑘𝑦1+ 𝑘𝑦2

Propiedad 6.Distributividad del producto de dos escalares por un vector con respecto a la suma.

Sean 𝑘1, 𝑘2 𝜖 𝑅 𝑦 𝑦1 ∈ 𝑦(𝑥) , se tiene que

𝑦1 𝑘1+ 𝑘2 = 𝑦1𝑘1+ 𝑦1𝑘2

Propiedad 7.Asociatividad del producto de dos escalares y un vector.

Sean 𝑘1, 𝑘2 𝜖 𝑅 𝑦 𝑦1 ∈ 𝑦(𝑥) , entonces

𝑘1𝑘2 𝑦1= 𝑘1 𝑘2𝑦1

Propiedad 8. Escalar neutro.

Sean 1 𝜖 𝑅 (1 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 1) 𝑦 𝑦1 ∈ 𝑦(𝑥) , entonces

1 ∗ 𝑦1= 𝑦1

Por 1-8 el conjunto solución de las EDO lineal homogénea es un espacio vectorial.

** Para la argumentación se tomó en cuenta que las soluciones 𝑦𝑛 son funciones continuas en el

intervalo de solución y las propiedades de funciones satisfacen 1-8 de un espacio vectorial, de hecho por demostraciones anteriores se mostró que las funciones continuas sobre un intervalo forma un espacio vectorial.

(4)

* Combinación Lineal: Los elementos del conjunto solución tienen la forma:

𝑦 = 𝑐1𝑦1+ 𝑐2𝑦2+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑦𝑛

Son una combinación lineal y generan a todo el espacio vectorial.

* Base: Por el argumento anterior la combinación lineal genera a todo el espacio y por definición de soluciones a las ED los 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 son linealmente independientes, por lo tanto 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛

forman una base de n elementos.

* Dimensión: Como 𝑦₁, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 forman una base de n elementos, entonces las soluciones a las

EDO lineal homogénea son de dimensión n, es decir un conjunto solución con dos funciones en la base es de dimensión dos… asimismo el orden de la EDO lineal homogénea indica los términos LI que forman la base y por lo tanto indican la dimensión del espacio solución.

𝑎𝑛 𝑥

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1 𝑥

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 "𝑛"

Antes de dar un ejemplo se muestra que la transformada de laplace es una aplicación lineal.

La transformada de laplace como una aplicación lineal y un isomorfismo.

Se define la transformada de laplace como:

Sea f una función definida para t>0. Entonces se dice que la integral

ℒ_𝑓_𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ∞

0

Es la transformada de laplace de f, siempre que la integral converja.

Entonces se tiene una aplicación de la forma:

ℒ: 𝐹 → 𝐹

𝑓 𝑡 ↦ ℒ

_𝑓_𝑡

= 𝐹

_(𝑠)

Demostrar que ℒ es un isomorfismo.

(a) Primero mostramos que ℒ es una aplicación lineal, mostrando que:

ℒ

_𝑎𝑓

𝑡 +𝑏𝑔 𝑡

= 𝑎ℒ

𝑓 𝑡

+ 𝑏ℒ

𝑔 𝑡

(5)

ℒ

_𝑎𝑓

𝑡 +𝑏𝑔 𝑡

= 𝑒

−𝑠𝑡

_𝑎𝑓

𝑡

+ 𝑏𝑔

𝑡

𝑑𝑡

∞

0 Por definición.

= 𝑒

₀∞ −𝑠𝑡

𝑎𝑓

_𝑡

𝑑𝑡 + 𝑒

₀∞ −𝑠𝑡

𝑏𝑔

_𝑡

𝑑𝑡

Por propiedades de la integral.

= 𝑎 𝑒

−𝑠𝑡

_𝑓

𝑡

𝑑𝑡 + 𝑏 𝑒

₀∞ −𝑠𝑡

𝑔

𝑡

𝑑𝑡

∞

0

= 𝑎ℒ

_𝑓

𝑡

+ 𝑏ℒ

𝑔 𝑡

Por lo tanto ℒ es una aplicación lineal.

(b) Ahora se muestra que ℒ es un isomorfismo mostrando que es inyectiva y sobreyectiva.

Inyectividad: Mostramos que el ker(

ℒ

) es solo el vector cero (y=0)

Sea 𝑦0 𝜖 𝑦(𝑥) su transformada es:

ℒ 0 = 0 ∗ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 ∞

0

= 0 𝑑𝑡

∞

0

= 0

Por definición la imagen del vector cero bajo ℒ es el vector cero en el conjunto imagen. Lo cual se cumple solo para el vector cero (en cualquier otro caso la integral resulta en una función respecto a “s”) en el conjunto de partida, ningún otro valor vuelve 0 a la expresión 𝑒−𝑠𝑡_𝑓

𝑡 es decir

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 = 0 𝑆𝑠𝑖 𝑓 𝑡 = 0 = 𝑦 (𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑜), por lo tanto

ℒ

es inyectiva.

Sobreyectividad: por definición del laplaciano, si la integral converge existe una transformada de laplace, es decir que para cada transformación de laplace existió una función (preimagen) que volvía la integral convergente, entonces

ℒ

es sobreyectivo.

Siendo inyectivo y sobreyectivo entonces

ℒ

es biyectivo, es decir existe

ℒ

−1 y

𝓛

es un isomorfismo entre espacios vectoriales.

*Transformada de una derivada: Sea 𝑓 𝑡 ′ tal que exista el laplaciano, entonces.

𝓛_𝒇_𝒕_′= 𝑒−𝑠𝑡_𝑓 𝑡 ′𝑑𝑡 ∞

0 = 𝑒

−𝑠𝑡_𝑓

𝑡 ∞₀ + 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ∞

0 Al integrar por partes y resolver.

ℒ_𝑓_𝑡_′= −𝑓 0 + 𝑠𝐹(𝑠)

𝓛_𝒇_𝒕_′′= 𝑒−𝑠𝑡_𝑓 𝑡 ′′𝑑𝑡 ∞

0

= 𝑒−𝑠𝑡_𝑓

𝑡 ′ ∞₀ + 𝑠 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 ′𝑑𝑡 ∞

0

ℒ_𝑓

𝑡 ′′ = −𝑓 0 ′ _{+ 𝑠 ℒ}

(6)

ℒ_𝑓

𝑡 ′′ = −𝑓 0 ′ _{− 𝑠𝑓}

0 + 𝑠2

𝐹

(𝑠)

En general:

𝓛_𝒇

𝒕

𝒏 = −𝒇_𝟎𝒏−𝟏− 𝒔𝒇_𝟎𝒏−𝟐− 𝒔𝟐𝒇_𝟎𝒏−𝟏… − 𝒔𝒏−𝟏𝒇 𝟎 + 𝒔𝒏

𝑭

(𝒔)

Ejemplo: (3) Suponga que un resorte tiene una masa m y constante de resorte k y sea 𝜔 = 𝑘/𝑚. Suponga que la constante de amortiguamiento es tan pequeña que la fuerza de amortiguamiento es insignificante. Si se aplica una fuerza externa 𝐹 𝑡 = 𝐹𝑜𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 , demostrar que la ecuación del movimiento está dada por 𝒙 𝒕 = 𝒄𝟏𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 + 𝑭𝒐/𝟐𝒎𝝎 𝒕𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕

Planteando la EDO lineal no homogénea

𝑚𝑑

2_𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑘𝑥 = 𝐹𝑜𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

En lugar de resolverla por coeficientes indeterminados, anuladores, variación de parámetros se ejemplificará el isomorfismo del laplaciano llevándolo al espacio imagen del laplaciano (transformada de laplace) y regresando al espacio original con la aplicación inversa.

𝑑2_𝑥

𝑑𝑡2+

𝜔

2𝑥 =

𝐹𝑜

𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

Aplicando la transformada de laplace:

ℒ

𝑑 2𝑥 𝑑 𝑡2+𝜔

2_𝑥

= ℒ

𝐹𝑜

𝑚𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

Por linealidad:

ℒ

_𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

+ 𝜔

2

_ℒ

𝑥

=

𝐹𝑜

𝑚

ℒ

𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

Transformando (al resolver las integrales)

−𝑥

₀′

− 𝑥

0

𝑠 + 𝑠

2

𝐹

(𝑠)

+ 𝜔

2

𝐹

(𝑠)

=

𝐹𝑜 𝑚 ∗

𝑠

2

_{+ 𝜔}

2

Despejando F(s) y sumando las fracciones:

𝐹

_𝑠

=

𝐹𝑜 𝑚∗

𝑠

𝑠2_+𝜔2

+ 𝑥

0

′

_{+ 𝑥}

0

𝑠

2

_{+ 𝜔}

2 =

𝐹𝑜 𝑚 ∗

𝑠

2

_{+ 𝜔}

2 2

+

𝑥

₀′

𝑠

2

_{+ 𝜔}

2

+

(7)

Aplicando transformada inversa y por linealidad.

ℒ

−1_𝐹

=

𝐹𝑜 𝑚 ∗

ℒ

−1

𝑠 𝑠2+𝜔 2 2

+ 𝑥

₀′

∗ ℒ

−1 1 𝑠2+𝜔 2

+ 𝑥

₀

∗ ℒ

−1 𝑠

𝑠2+𝜔 2

Utilizando transformaciones conocidas y tablas de transformadas inversas.

𝑥 𝑡 =

𝐹𝑜

𝑚 ∗ 1

2𝜔∗ 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 +

𝑥

0

′

_∗

1 𝜔

∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝑥

0

𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

Por lo tanto:

𝒙 𝒕 = 𝒄𝟏𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 + 𝑭𝒐/𝟐𝒎𝝎 𝒕𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕

Esto muestra un ejemplo del uso de transformadas de laplace en la resolución de EDO lineal, en este caso no es homogénea pero si es homogénea las soluciones formaría un espacio vectorial, así:

𝑚𝑑

2_𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑘𝑥 = 0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝒙 𝒕 = 𝒄𝟏𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕

Por el principio de superposición y veremos su relación con los espacios vectoriales. Su intervalo de solución es todo R y las constantes n-paramétricas pertenecen al campo.

Se demostró que x(t) cumple 1-8 propiedades de un espacio vectorial, mostraremos su independencia lineal utilizando el wronskiano.

𝑊 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 −𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

𝑊 = 𝜔𝑐𝑜𝑠2_{𝜔𝑡 + 𝜔𝑠𝑒𝑛}2_{𝜔𝑡 = 𝜔 ≠ 0}

Con esto x(t) necesita dos bases para generar todo el espacio (y son LI) por lo tanto este espacio es de dimensión 2, en general una EDO lineal homogénea de orden “n” es de dimensión “n”. y algo interesante también es que una sola base formaría un subespacio (EDO de primer orden cuya solución sea coswt y otro espacio generado por senwt) y la suma de estos subespacios es suma directa porque generan a todo el espacio y solo tienen en común a y=0.

Referencia:

(1) Zill, Dennis. Cullen Michael. Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, séptima edición. CENGAGE Learning.

(2) SergeLang. Algebra Lineal, segunda edición. Yale University. Addison-Wesley Iberoamericana.