Análisis Funcional. Tema 1: Cuestiones básicas en espacios normados de septiembre de 2018

An´

alisis Funcional

Tema 1: Cuestiones b´

asicas en espacios

normados

1 Norma y distancia 2 Topolog´ıa 3 _{Subespacios y bases} 4 EVT 5 Espacios de Banach 6 Series

Seminormas y normas

Seminormas y normas

Trabajaremos siempre con espacios vectoriales reales o complejos Denotamos por K al cuerpo escalar: K = R o K = C

X espacio vectorial. ϕ : X → R es unaseminormaen X cuando verifica:

(1) ϕ(x + y)6 ϕ(x) + ϕ(y) ∀ x, y ∈ X

(2) ϕ(λx) = |λ| ϕ(x) ∀ λ ∈ K , ∀ x ∈ X

Como consecuencia se tiene: ϕ(0) = 0 y ϕ(x)> 0 ∀ x ∈ X Una norma es una seminorma que s´olo se anula en el vector cero En vez de x 7→ ϕ(x) una norma se suele denotar por x 7→ kxk , luego:

Unanormaen X es una aplicaci´on x 7→ kxk , de X en R , tal que:

(1) k x + y k 6 kxk + kyk ∀ x, y ∈ X

(2) k λ xk = |λ| kxk ∀ λ ∈ K , ∀ x ∈ X

Espacios normados

Espacios normados

Espacio normado = espacio vectorial X , provisto de una norma k · k Para cada x ∈ X , el n´umero real kxk es lanorma del vector x La aplicaci´on x 7→ kxk , de X en R , es lanorma del espacio X

Interpretaciones geom´etricas:

La norma de un vector es la longitud de todo segmento que lo represente

kx + yk 6 kxk + kyk desigualdad triangular

Fijado ρ ∈ R+, la aplicaci´on x 7→ ρx es lahomoteciade raz´on ρ La norma eshomog´enea por homotecias: kρ xk = ρ kxk Fijado µ ∈ K con |µ| = 1 , la aplicaci´on x 7→ µ x es ungiro

La norma esinvariante por giros: kµ xk = kxk kxk = 0 ⇒ x = 0 , condici´on deno degeneraci´on

Distancia asociada a una norma

Distancia de un espacio normado

En todo espacio normado X con norma k · k , definimos: d(x, y) = ky − xk ∀ x, y ∈ X

d: X × X → R es ladistanciaque siempre usamos en X A su vez determina a la norma: kxk = d(0, x) ∀ x ∈ X d(x + z, y + z) = d(x, y) ∀ x, y, z ∈ X

Fijado z ∈ X , la aplicaci´on x 7→ x + z es latraslaci´onmediante z La distancia d esinvariante por traslaciones

d(λ x , λ y) = |λ| d(x, y) ∀ λ ∈ K , ∀ x, y ∈ X

Topolog´ıa de un espacio normado

Operaciones con conjuntos

X espacio vectorial, A, B ⊂ X , Λ ⊂ K

A+ B = {x + y : x ∈ A , y ∈ B} y Λ B = {λ y : λ ∈ Λ , y ∈ B}

x+ B = {x} + B y λ B = {λ} B

Topolog´ıa de la norma

X espacio normado, con norma k · k y distancia d La topolog´ıa generada por d es latopolog´ıa de la norma

Para x ∈ X , las bolas abiertas de centro x forman una base de entornos de x , e igual ocurre con las correspondientes bolas cerradas

Bola unidad: B= {b ∈ X : kbk 6 1}

Bola abierta unidad: U= {u ∈ X : kuk < 1} Para x ∈ X y r ∈ R+ vemos que: x+ rB es la bola cerrada de centro x y radio r x+ rU es la bola abierta de centro x y radio r

Equivalencia de normas

Normas equivalentes

Dos normas en un mismo espacio vectorial sonequivalentes

cuando dan lugar a la misma topolog´ıa

Inclusi´on entre las topolog´ıas de dos normas

Si k · k1 y k · k2 son dos normas en un espacio vectorial X ,

las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) La topolog´ıa de k · k1 contiene a la de k · k2

(2) Existe ρ ∈ R+ tal que: kxk26 ρ kxk1 ∀ x ∈ X

Criterio de equivalencia

Dos normas k · k1 y k · k2 en un mismo espacio vectorial X

son equivalentes si, y s´olo si, existen constantes α, β ∈ R+ tales que: α kxk1 6 kxk26 β kxk1 ∀ x ∈ X

Acotaci´

on

Conjuntos acotados

Un subconjunto A de un espacio normado X est´aacotado

cuando est´a contenido en una bola, o equivalentemente: ∃ M ∈ R+ _{: kxk}

6 M ∀ x ∈ A

Conjuntos acotados para dos normas equivalentes

Dos normas equivalentes en un mismo espacio vectorial dan lugar a los mismos conjuntos acotados

Subespacios e independencia lineal

Subespacio engendrado

X espacio vectorial, M ⊂ X

M es unsubespaciode X cuando: M6= /0 y K M + M ⊂ M Si /0 6= E ⊂ X denotamos por Lin E al conjunto de todas lascombinaciones linealesde vectores de E , es decir:

Lin E= ( _n

∑

Lin E es el m´ınimo subespacio de X que contiene a E , y decimos que Lin E es elsubespacio engendradopor E

Independencia lineal

X espacio vectorial, /0 6= E ⊂ X

E es un conjunto de vectoreslinealmente independientescuando: x∈ Lin E \ {x}/

Bases de un espacio vectorial

Bases de un espacio vectorial

Unabasede un espacio vectorial X es un conjunto E de vectores linealmente independientes, tal que Lin E = X Ello equivale a que cada vector de X se exprese, de manera ´unica,

como combinaci´on lineal de vectores de E

Dos resultados fundamentales del ´Algebra Lineal

Si X es un espacio vectorial arbitrario, entonces: Todo conjunto de vectores linealmente independientes de X ,

est´a contenido en una base de X

Todas las bases de X son equipotentes: si E1 y E2 son bases de X ,

Dimensi´

on de un espacio vectorial y norma inducida

Dimensi´on de un espacio vectorial

Ladimensi´onde un espacio vectorial X es el cardinal com´un a todas las bases de X

X tienedimensi´on finitacuando tiene una base finita, y entonces, su dimensi´on es el n´umero de elementos de cualquier base X tienedimensi´on numerablecuando tiene una base numerable,

y entonces, o bien X tiene dimensi´on finita, o bien todas las bases de X son equipotentes a N

A las bases de un espacio vectorial las llamaremosbases algebraicas

Norma inducida

Si X es un espacio normado y M un subespacio de X , la restricci´on a M de la norma de X es una norma en M ,

a la que llamamosnorma inducidapor X en M

Espacios vectoriales topol´

ogicos

Continuidad de la suma y el producto por escalares

Si X es un espacio normado, las aplicaciones suma: (x, y) 7→ x + y , de X × X en X

y producto por escalares: (λ, x) 7→ X , de K × X en X , son funciones continuas

Espacios vectoriales topol´ogicos

Unespacio vectorial topol´ogicoes un espacio vectorial, provisto de una topolog´ıa, con la cual,

la suma y el producto por escalares son funciones continuas Todo espacio normado es un espacio vectorial topol´ogico,

pero el rec´ıproco est´a muy lejos de ser cierto

El cierre de un subespacio

En cualquier espacio vectorial topol´ogico, el cierre de un subespacio es a su vez un subespacio

Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy en espacios normados

Sucesiones convergentes en espacios normados

X espacio normado, xn∈ X ∀ n ∈ N . La sucesi´on {xn} esconvergente

cuando existe x ∈ X tal que {kxn− xk} → 0 , en cuyo caso,

x es ´unico, se le llamal´ımitede la sucesi´on {xn} y escribimos:

{xn} → x , o bien, x= l´ım n→∞xn

Caracterizaci´on de la topolog´ıa mediante la convergencia de sucesiones

Si X es un espacio normado, A ⊂ X y x ∈ X , se tiene x ∈ A si, y s´olo si, existe una sucesi´on {xn} tal que: xn∈ A ∀ n ∈ N y {xn} → x

Por tanto A es cerrado si, y s´olo si, xn∈ A ∀ n ∈ N , {xn} convergente =⇒ l´ım

n→∞xn∈ A Sucesiones de Cauchy en espacios normados

X espacio normado, xn∈ X ∀ n ∈ N . {xn} es unasucesi´on de Cauchy

cuando: ∀ ε > 0 ∃ n0∈ N : n, m > n0 ⇒ kxn− xmk < ε

Complitud y espacios de Banach

Complitud y espacios de Banach

Si en un espacio normado X , toda sucesi´on de Cauchy es convergente, decimos que la norma de X es completa, o que X es completo

espacio de Banach = espacio normado completo Un subconjunto A de un espacio normado X escompletocuando toda sucesi´on de cauchy de puntos de A converge a un punto de A

Algunas observaciones

X espacio normado, A ⊂ X , A completo =⇒ A cerrado en X X espacio de Banach, A ⊂ X , A cerrado en X =⇒ A completo Dos normas equivalentes dan lugar a las mismas sucesiones de Cauchy

Series en espacios normados

Convergencia y convergencia absoluta

X espacio normado, xn∈ X ∀ n ∈ N . Laserie

_∑

xn

de t´ermino general {xn} , es la sucesi´on {Sn} dada por Sn= n

∑

k=1

xk ∀ n ∈ N

Cuando dicha serie esconvergente, como sucesi´on que es, se define susumapor:

∞

∑

∑

∑

_∑

xn esabsolutamente convergentecuando

la serie

_∑

∑

Complitud en t´

erminos de series

Criterio de complitud

Para un espacio normado X , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) X es completo, es decir, es un espacio de Banach

(2) Toda serie absolutamente convergente de vectores de X es convergente La clave para probar que(2) ⇒ (1):

En cualquier espacio normado, toda sucesi´on de Cauchy admite una sucesi´on parcial que es una serie absolutamente convergente