Mediciones y unidades

Mediciones y unidades

Rub´en Ortiz 2017

1.

Introducci´

on

2.

Cantidad f´ısica

La f´ısica es una ciencia experimental y los experimentos requieren mediciones cuyos resultados suelen ser descritos con n´umeros. Un n´umero empleado para describir cuantitativamente un fen´omeno f´ısico es una cantidad f´ısica. Algunas cantidades f´ısicas son tan b´asicas que s´olo se pueden definir descri-biendo la forma de medirlas; es decir, con una definici´on operativa. Ejemplo de estas son medir la distancia con una regla, o un lapso de tiempo con un cron´ometro. En otros casos se define una cantidad f´ısica describiendo la forma de calcularla a partir de otras cantidades medibles. As´ı, la rapidez media de un objeto se define a partir del c´alculo de la distancia recorrida (medida con una regla) dividida entre el tiempo de recorrido (medido con un cron´ometro).

Al medir una cantidad siempre la comparamos con un est´andar o patr´on de referencia. Este est´andar define una unidad de la cantidad medida. El metro es una unidad de distancia, y el segundo, una unidad de tiempo. Al describir una cantidad f´ısica con un n´umero siempre debemos especificar la unidad empleada.

El sistema de unidades empleado por los cient´ıficos e ingenieros alrededor del mundo se denomima comunmente “sistema m´etrico”, pero desde 1960 su nombre oficial es Sistema Internacional, o SI. Definici´on 2.1 Cantidad f´ısica:

Una cantidad f´ısica es algo que se puede medir. Por ejemplo, la longitud, la temperatura, la distancia y el tiempo son cantidades f´ısicas.

3.

Sistemas de unidades

En este texto usaremos exclusivamente las unidades SI. Las unidades SI constituyen el conjunto de unidades aceptadas internacionalmente por convenci´on. Historicamente estas unidades est´an basadas en el sistema m´etrico que fue desarrollado en Francia en los tiempos de la Revoluci´on Francesa. Existen siete unidades SI b´asicas seg´un se indica en la tabla a continuaci´on.

Magnitud f´ısica b´asica Nombre S´ımbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Corriente el´ectrica Amperio A Temperatura absoluta Kelvin K Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad lum´ınica candela cd

4.

Redondeo, notaci´

on cient´ıfica y cifras significativas

Ciertos n´umeros pueden necesitar una cantidad infinita de tinta y de papel para escribirlos. Y ´eso, no s´olo es imposible sino que, escribir n´umeros con tan alta precisi´on (muchas cifras decimales) es muy inconveniente y, raras veces d´a mejores respuestas. Por esta raz´on frecuentemente nosotros estimamos los n´umeros con una cierta cantidad de cifras decimales. Redondear un n´umero con una cantidad dada de cifras decimales es la manera m´as f´acil de aproximar un n´umero. Por ejemplo, si usted quisiera redondear 2, 6525272 a tres cifras decimales entonces usted primero contar´ıa tres lugares despu´es de la coma

2, 652|5272

Todos los n´umeros a la derecha de | ser´an omitidos o ignorados despu´es de que usted determine si el n´umero en la tercera cifra decimal debe ser redondeado hacia arriba o hacia abajo. Usted redondea hacia arriba el d´ıgito final (aumenta este d´ıgito en una unidad) si el primer d´ıgito despu´es de | es mayor o igual a 5. Usted redondea hacia abajo (no modifica el valor del d´ıgito final) si el primer d´ıgito despu´es de | es menor que 5. As´ı, puesto que que el primer d´ıgito despu´es de | es un 5, nosotros debemos redondear hacia arriba el d´ıgito en el tercer lugar decimal y llevarlo al valor 3 y la respuesta final de 2, 6525272 redondeado a tres lugares decimales es

2, 653

4.2. Notaci´on cient´ıfica

En las ciencias uno frecuentemente necesita trabajar con n´umeros o muy grandes o muy peque˜nos. Estos pueden ser escritos muy f´acilmente en la llamada notaci´on cient´ıfica que se expresa de manera general como

d× 10e

donde d es un n´umero entre 0 y 10 que ha sido redondeado a unas pocas cifras decimales y e, llamado el exponente, es un n´umero entero que ser´a positivo si la coma se desplazo e espacios hacia la izquierda desde su posici´on en el n´umero original y ser´a negativo si se desplaz´o hacia la derecha. Por ejemplo, el n´umero 3240 se representa en notaci´on cient´ıfica como 3, 24 × 103

(la coma se desplaz´o tres lugares hacia la izquierda) y el n´umero 0, 00324 se representa como 3, 24 × 10−3 _{(la coma se desplaz´o tres}

lugares hacia la derecha). 4.2.1. Ejemplo resuelto

La rapidez de la luz en el vac´ıo en Sistema Internacional se representa con el s´ımbolo c y define con el valor constante

c= 299729458 m·s

−1

Paso 1 Se mueve la coma hasta tener un s´olo n´umero entero entre 0 y 10 multiplicando por la potencia de 10 apropiada; en este caso se desplaz´o la coma hacia la izquierda 8 lugares y, entonces la potencia de 10 ser´a positiva:

2, 99729458 × 108 m·s

−1 ₍₁₎

Paso 2 Se escoge la cantidad de decimales requerida: 2, 99|729458 × 108 m·s −1 ₍₂₎ Paso 3 Se redondea: 3, 00 × 108 m·s −1 ₍₃₎ 4.3. Cifras significativas

En un n´umero cada d´ıgito distinto del 0 es una cifras significativa. Los ceros se cuentan solamente si est´an entre dos d´ıgitos no nulos ´o, si est´an al final de la parte decimal. Por ejemplo, el n´umero 2000 tiene una sola cifra significativa (el 2), pero el n´umero 2000, 0 tiene cinco cifras significativas. A un n´umero se le puede reducir la cantidad de cifras significativas pero no se le puede aumentar; por ejemplo el n´umero 6, 827 tiene cuatro cifras significativas y se nos piden que las reduzcamos a s´olo tres cifras significativas. Para hacer eso, comenzamos desde la derecha y eliminamos el 7, quedando el n´umero 6, 82|7, el resultado final deber´a redondearse y por, lo tanto, el n ´mero con s´olo tres cifras significativas es 6, 83.

5.

Prefijos de las unidades b´

asicas

Ahora que conocemos como escribir n´umeros en notaci´on cient´ıfica vamos a estudiar otro aspecto de las unidades que son los prefijos que acompa˜nan a las unidades.

Definici´on 5.1 Prefijo:

Un prefijo es un s´ımbolo o grupo de s´ımbolos que se coloca al principio de una palabra. El efecto del prefijo es cambiar el significado de la palabra. Por ejemplo, el prefijo in se le agrega a una palabra para indicar lo contrario de lo que ella expresa: (in)conveniente; (in)necesario, (in)´util. etc.

En el caso de las unidades los prefijos tienen un uso especial. El kilogramo (kg) es un ejemplo simple. 1 kg es igual a 1000 g o 1 × 103

g. Agrupando los 103

y g juntos, podemos reemplazar los 103

por el prefijo k (kilo). Por lo tanto, la k toma el valor de 103

.

El kilogramo es la ´unica unidad b´asica del SI que contiene un prefijo.

En la ciencia, todos los prefijoa usados con las inidades son una potencia de 10. En la tabla a continua-ci´on se resumen los prefijos usados en el SI. El uso de una letra may´uscula o una letra min´uscula en un prefijo es muy importante. Cuando una misma letra aparece en dos diferentes prefijos se utilizar´a en may´uscula para el prefijo que represente una potencia de 10 con exponente positivo, y se usar´a en min´uscula en el prefijo que represente una potencia de 10 con exponente negativo. Por ejemplo, M significa mega (106

) y m significa mili (10−3_).

Prefijo S´ımbolo Exponente Prefijo S´ımbolo Exponente yotta Y 1024 yocto y 10−24 zetta Z 1021 zepto z 10−21 exa E 1018 atto a 10−18 peta P 1015 femto f 10−15 tera T 1012 pico p 10−12 giga G 109 nano n 10−9 mega M 106 micro µ 10−6 kilo k 103 mili m 10−3 hecto h 102 centi c 10−2 deca da 101 deci d 10−1

Importante: no hay espacio ni punto entre el prefijo y el s´ımbolo para la unidad.

5.1. Ejemplos del uso de prefijos

40000 m se pueden escribir como 40 km (kil´ometro)

0, 001 g se pueden escribir como 1 × 10−3_{g y pueden ser escritos como 1 mg (miligramo)}

2, 5 × 106

N pueden ser escritos como 2, 5 MN (meganewton)

0, 000000075 s se pueden escribir como 75 ns (nanosegundo)

3 × 10−7 _{mol se pueden escribir como 0, 3 × 10}−6 _{mol y pueden ser escritos como 0, 3 µmol}

(mi-cromol)

6.

Conversi´

on de unidades

Es muy importante estar pendiente de los diversos sistemas de unidades que existen. Adem´as debemos ser capaces de hacer conversiones entre unidades. Ser capaces de cambiar entre unidades (por ejemplo, convertir de mil´ımetros a metros), es una hablidad muy ´util en la ciencia.

Los siguientes diagramas de conversi´on los ayudaran a pasar de unas unidades a otras.

Figura 1: Diagrama de conversi´on de distancias

Si queremos pasar de mil´ımetros a metros se divide por 1000 (siga la flecha de mm a m); pero si queremos pasar de kil´ometros a mil´ımetros entonces multiplicamos por 1000 x 1000.

El mismo procedimiento se puede usar para pasar de mililitros a litros o a kilolitros (ver el diagrama 2):

Figura 2: Diagrama de conversi´on de vol´umenes

6.1. Otras dos ´utiles conversiones

Muy frecuentemente tendremos que convertir unidades de rapidez o de temperatura. Las siguientes dos reglas nos ayudaran a hacer estas conversiones muy f´acilmente:

Convirtiendo rapidez Cuando se convierten km·h

−1 _{a m}

·s

−1 _{se divide por 3,6. Por ejemplo,}

72 km·h

−1_{÷ 3, 6 = 20 m}

·s

Cuando se convierten m·s

−1 _{a km}

·h

−1 _{se multiplica por 3,6. Por ejemplo, 30 m}

·s

−1_{× 3, 6 =}

108 km·h

−1_.

Convirtiendo temperatura Convertir entre las escalas de temperatura Kelvin y Celsius es f´acil. Para convertir de celsius a kelvin se suma 273. Para convertir de kelvin a celsius se resta 273. Representando la temperatura kelvin por TK y la temperatura celsius por T◦C,

TK = T◦C+ 273

7.

Ejercicios propuestos

1. Escriba la unidad SI para cada una de las siguientes magnitudes f´ısicas: a) longitud

b) tiempo c) masa

d) cantidad de sustancia

2. Para cada una de las siguientes unidades escriba el s´ımbolo y qu´e potencia de 10 representa: a) mil´ımetro

b) cent´ımetro c) metro d) kil´ometro

3. Para cada uno de los siguientes s´ımbolos escriba la unidad y la potencia de 10 que representa: a) µg

b) mg c) kg d) Mg

4. Re-escriba cada una de las siguientes cantidades usando el prefijo correcto tomando dos cifras decimales donde sea aplicable:

a) 0, 00000123 N b) 417000000 kg c) 246800 A d) 0, 00088 mm

a) 1,01 microsegundos b) 1000 miligramos c) 7,2 megametros d) 11 nanolitros

7.2. Cifras significativas y notaci´on cient´ıfica

1. Redondee los siguientes n´umeros a) 123, 517 ℓ a dos cifras decimales b) 14, 328 km·h

−1 _{a una cifra decimal}

c) 0, 00954 m a tres cifras decimales

2. Escriba las siguientes cantidades en notaci´on cient´ıfica a) 10130 Pa a dos cifras decimales

b) 978, 15 m·s

−2 _{a una cifra decimal}

c) 0, 000001256 A a tres cifras decimales

3. Determine cuantas cifras significativas tienen las siguientes cantidades a) 2, 540 km

b) 12, 305 mℓ c) 7800 kg

7.3. Conversiones

1. El Concorde era un tipo de avi´on que volaba muy r´apido. La rapidez tope del Concorde era de 844 km·h

−1_{. Convierta la rapidez tope del Concorde a m}

·s

−1