MC 2421 Sistemas De Ecuaciones pdf

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(1)1. MECÁNICA COMPUTACIONAL I Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones.

(2) Capitulo 3 Solución numérica de sistemas de ecuaciones Introducción Notación, Matrices y Conceptos Preliminares Eliminación de Gauss Eliminación de Gauss-Jordan. Determinación de la matriz inversa. Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de las sustituciones sucesivas Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de NewtonRaphson.. 2.

(3) Introducción. 3. Muchos problemas se expresan como un sistema de n ecuaciones simultáneas con n variables f1 ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = 0. f 2 ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = 0 ..... f n (x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = 0. (1). En el caso general, estas ecuaciones son no lineales. El sistema (1) se simplifica grandemente si las ecuaciones son lineales, pudiendo escribirse a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2 n xn = b2 ....... an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + ... + ann xn = bn. (2).

(4) Introducción. 4. De manera mas concisa (2) se escribe como. [A]{x} = {b}. (3). ó, menos formalmente, Ax = b donde A, x y b son expresados como ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎣an1. a12 a22 . an 2. a13 ... a1n ⎤ a23 ... a2 n ⎥⎥ . . . ⎥ ⎥ an 3 ... ann ⎦. ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ x = ⎢ 2⎥ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦. ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ b = ⎢ 2⎥ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎣bn ⎦. (4).

(5) Introducción Aunque es posible resolver estos sistemas de manera analítica, cuando el número de ecuaciones o la cantidad de veces que hay que hallar la solución es grande, la solución analítica es poco práctica. Si el error de redondeo es despreciable, estos sistemas pueden ser resueltos numéricamente de manera exacta. Para ello se utilizan dos tipos de métodos: directos e iterativos. Los métodos directos se utilizan cuando el número de ecuaciones no es muy grande (típicamente 40 o menos).. 5.

(6) Introducción Los métodos iterativos se utilizan tanto para un gran número de ecuaciones (generalmente mas de 100) ó cuando la matriz A tiene ciertas características. Antes de iniciar el estudio de estos métodos es conveniente revisar algunos conceptos básicos del álgebra matricial.. 6.

(7) 7. Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción 2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares 2.3 Eliminación de Gauss 2.4 Eliminación de Gauss-Jordan. 2.5 Determinación de la matriz inversa. 2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. 2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de las sustituciones sucesivas 2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de Newton-Raphson..

(8) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 8. Matriz mxn: arreglo del tipo. ⎡ a11 ⎢a 21 ⎢ A = aij = ⎢ . ⎢ ⎣am1. a12 ... a1n ⎤ a22 ... a2 n ⎥⎥ . . . ⎥ ⎥ am 2 ... amn ⎦. (5). Si las dimensiones lo permiten tendremos: Suma: A = B + C = bij + cij. (6). Diferencia: A = B − C = bij − cij. (7).

(9) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares Producto:. F = AB = f ij. 9. n. f ij = ∑ aik bkj. (8). k =1. Propiedades:. A(B + C ) = AB + AC. (B + C )D = BD + CD. (9). En general. AB ≠ BA Si AB = BA entonces A y B conmutan.. (10).

(10) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 10. Matriz nula:. aij = 0, ∀i, j Ejemplos:. ⎡1 2 − 1⎤ A=⎢ ⎥ 3 4 2 ⎣ ⎦ Entonces, ⎡ 0 5⎤ B + C = ⎢⎢− 1 2⎥⎥ ⎢⎣ 2 7 ⎥⎦. (11). ⎡− 1 3⎤ ⎢ ⎥ B = ⎢ 2 1⎥ ⎢⎣ 0 3⎥⎦. ⎡− 4 2 ⎤ A(B + C ) = ⎢ ⎥ 0 37 ⎦ ⎣. ⎡ 1 2⎤ ⎢ ⎥ C = ⎢− 3 1 ⎥ ⎢⎣ 2 4⎥⎦ ⎡15 20 10⎤ (B + C )A = ⎢⎢ 5 6 5 ⎥⎥ ⎢⎣23 32 12⎥⎦.

(11) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares Si. ⎡1 3 1 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢2 0 − 1⎥ ⎢⎣4 1 2 ⎥⎦. ⎡ 2 1 3⎤ B = ⎢⎢− 3 1 2⎥⎥ ⎢⎣ 3 1 2⎥⎦. Entonces, ⎡− 4 5 11⎤ ⎡ 11 4 0⎤ A2 = ⎢⎢− 2 5 0⎥⎥ AB = ⎢⎢ 1 1 4 ⎥⎥ ⎢⎣ 11 7 18⎥⎦ ⎢⎣ 14 14 7 ⎥⎦ ⎡ − 1 2 − 2⎤ A − B = ⎢⎢ 5 − 1 − 3⎥⎥ ⎢⎣ 1 0 0 ⎥⎦. ⎡16 9 7 ⎤ BA = ⎢⎢ 7 − 7 0⎥⎥ ⎢⎣13 11 6⎥⎦. ⎡ 3 4 4⎤ A + B = ⎢⎢− 1 1 1 ⎥⎥ ⎢⎣ 7 2 4⎥⎦. 11.

(12) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 12. Sea A = aij. la matriz compleja conjugada de A. Entonces se cumple que A+ B = A + B AB = A B. (12a) (12b). La matriz traspuesta de A se define como At = (g ij ) = (a ji ). (13). Se verifica además que. ( A + B ) = At + B t t ( ABC ) = C t B t At t. (14a) (14b).

(13) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 13. La matriz traspuesta conjugada de A es. ( ). A* = ( A ) = At t. (15). verificandose que. ( AB ). *. = B * A*. (16). Una matriz es Hermitiana si y solo si A* = A. (17). Una matriz es simétrica si A = At Una matriz real es Hermitiana si y solo si es simétrica.. (18).

(14) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares Ejemplos: Sea. ⎡ 2 + i − 2 − i − 1 + 3i ⎤ A = ⎢⎢ i − 3 + 2i 2 ⎥⎥ ⎢⎣3 − 2i 1+ i − 1 + i ⎥⎦. Entonces. ⎡ 2 − i − 2 + i − 1 − 3i ⎤ A = ⎢⎢ − i − 3 − 2i 2 ⎥⎥ ⎢⎣3 + 2i 1− i − 1 − i ⎥⎦ ⎡ 2 − i 3 + 2i ⎤ −i ⎢ ⎥ t A = ⎢ − 2 + i − 3 − 2i 1 − i ⎥ ⎢⎣− 1 − 3i 2 − 1 − i ⎥⎦. 14.

(15) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 15. Una matriz H es diagonal si es n x n y verifica que hij ≠ 0 → i = j. (19). hij = 0 → i ≠ j. Una matriz H es escalar si y solo si H es diagonal y (20) hii = hi = h La matriz identidad I se define como aquella que es escalar con iii = ii = i = 1. (21). cumpliendose que IA = AI = A. (22).

(16) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares Si la matriz A es cuadrada se define la matriz inversa de A, a la matriz K, que cumple que AK = KA = I. Esta matriz se denota como K=A-1. La matriz A es no singular si su inversa existe. Si las matrices inversas de A y B (del mismo orden) existen, entonces. ( AB ). −1. = B −1 A−1. Una matriz cuadrada es unitaria si y solo si A* = A−1 Una matriz cuadrada es ortogonal si y solo si A* = A−1 = At. 16. (23). (24) (25) (26).

(17) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares Ejemplo: Si la matriz A se define como. ⎡ 2 / 15 ⎢ A = ⎢(1 − i ) / 5 ⎢ 5i / 3 ⎣. (3 − i ) /. 15. i/ 5 (1 − 3i ) / 3. i / 15 ⎤ ⎥ (1 − i ) / 5 ⎥ (2 − 6i ) / 3 ⎥⎦. entonces se cumple que. A A= I y, en consecuencia A es unitaria. *. 17.

(18) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares La diagonal principal de una matriz de orden n esta constituida por los elementos aii / 1 ≤ i ≤ n Si todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero, A es una matriz triangular superior. Si además, todos los elementos de la diagonal también son nulos A es una matriz triangular superior estricta. De manera similar se definen las matrices triangular inferior y triangular inferior estricta.. 18.

(19) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares El determinante de una matriz cuadrada de define como det( A) = A = ∑ sgn( p1 p2 ... pn )a1 p1 a2 p2 ...anpn. donde cada producto incluye uno y solo un número de cada fila y columna y la suma se extiende sobre todas las posibles permutaciones p1p2...pn. Además, sgn(p1p2...pn) es 1 o -1 dependiendo de la cantidad de permutaciones necesarias para transformar la secuencia a su orden “natural”. Si el número de permutaciones es impar entonces sgn es 1 y si es par sgn será -1. 132 -> par 1342 -> impar. 19. (27).

(20) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 20. Algunas propiedades útiles son: det( At ) = det( A) det( A−1 ) = 1 / det( A). (28a) (28b). det( A* ) = det( A). (28c). det( AB ) = det( A) det( B ). (28d) (28e). det( A ) = det( A).

(21) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 21. Un vector puede ser definido como una matriz nx1. El producto escalar entre dos vectores u y v se define como (u, v ) = u *v Ejemplo: para n=3 y ⎡2 + 3i ⎤ u = ⎢⎢ 3 − i ⎥⎥ ⎢⎣ 4 + i ⎥⎦. ⎡1 + i ⎤ v = ⎢⎢1 − i ⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦. ⎡1 + i ⎤ (u, v ) = [2 − 3i 3 + i 4 − i ]⎢⎢1 − i ⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦. (u, v ) = (2 − 3i )(1 + i ) + (3 + i )(1 − i ) + (4 − i )2 (u, v ) = 17 − 5i.

(22) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 22. Una matriz elemental nxn de primer tipo es obtenida reemplazando el i-ésimo elemento de la diagonal de la matriz identidad nxn por una constante no nula. ⎡1 ⎢0 Q=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. 0 0 0⎤ ⎥ 1 0 0⎥ 0 q 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦. Una matriz elemental nxn de segundo tipo es obtenida intercambiando dos filas de la matriz identidad nxn. ⎡0 ⎢0 R=⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0. 0 1 0⎤ 1 0 0⎥⎥ (30) 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦. (29).

(23) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares Una matriz elemental nxn de tercer tipo es obtenida insertando un elemento no nulo fuera de la diagonal de la matriz identidad nxn. ⎡1 ⎢0 S=⎢ ⎢s ⎢ ⎣0. 0 0 0⎤ ⎥ 1 0 0⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦. La multiplicación de una matriz arbitraria A (nxp) por las matrices elementales produce una transformación elemental sobre A. Por ejemplo, si A y Q son dadas por ⎡1 0 0⎤ ⎡ a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ Q = ⎢0 q 0 ⎥ A = ⎢a21 a22 a23 a24 ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣a31 a32 a33 a34 ⎥⎦. 23. (31).

(24) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 24. El producto QA lleva a. ⎡1 0 0⎤⎡a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎡ a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ QA = ⎢0 q 0⎥⎢a21 a22 a23 a24 ⎥ = ⎢qa21 qa22 qa23 qa24 ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦⎢⎣a31 a32 a33 a34 ⎥⎦ ⎢⎣ a31 a32 a33 a34 ⎥⎦ la multiplicación de la i-ésima (2 en este caso) fila de A por q. Si R es dado por (2<-->3). ⎡1 0 0 ⎤ R = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ ⎢⎣0 1 0⎥⎦.

(25) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares el producto RA lleva a. ⎡1 0 0⎤⎡a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎡a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ RA = ⎢0 0 1⎥⎢a21 a22 a23 a24 ⎥ = ⎢a31 a32 a33 a34 ⎥ ⎢⎣0 1 0⎥⎦⎢⎣a31 a32 a33 a34 ⎥⎦ ⎢⎣a21 a22 a23 a24 ⎥⎦ que corresponde al intercambio de filas. Si S es dada por (s colocado en i=2,j=3). ⎡1 0 0⎤ S = ⎢⎢0 1 s ⎥⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦. 25.

(26) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares el producto SA lleva a. ⎡1 0 0⎤⎡a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ SA = ⎢0 1 s⎥⎢a21 a22 a23 a24 ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦⎢⎣a31 a32 a33 a34 ⎥⎦ a12 a13 a14 ⎤ ⎡ a11 ⎥ ⎢ SA = ⎢a21 + sa31 a22 + sa32 a23 + sa33 a24 + sa34 ⎥ ⎢⎣ a31 a32 a33 a34 ⎥⎦ que añade a la segunda fila (i en general) el producto de la constante s por la tercera fila (j en general).. 26.

(27) Notación, Matrices y Conceptos Preliminares. 27. Si la matriz obtenida luego de estos productos por matrices elementales se denomina como T; T y A se dicen que son matrices equivalentes. En ese caso tenemos que. det(QA) = det(Q) det( A) = q det( A) det(RA) = det(R) det( A) = − det( A) det(SA) = det(S ) det( A) = det( A). (32a) (32b) (32c).


(29) Eliminación de Gauss. 29. La resolución de un sistema de ecuaciones lineales se explica fácilmente con un ejemplo. Supongamos que deseamos resolver el sistema + 3 x4 = 4 E1 : x1 + x2. E2 : 2 x1 + x2 −. x3 + x4 = 1. E3 : 3 x1 − x2 −. x3 + 2 x4 = −3. E4 : − x1 + 2 x2 + 3 x3 − x4 = 4 Realizando las operaciones, obtenemos + 3 x4 E1 : x1 + x2 (E2 − 2 E1 ) → (E2 ) − x2 − x3 − 5 x4 E2 : (E3 − 3E1 ) → (E3 ) E3 : − 4 x2 − x3 − 7 x4 (E4 + E1 ) → (E4 ) E4 : 3 x2 + 3 x3 + 2 x4. =4 = −7 = −15 =8.

(30) Eliminación de Gauss Usamos ahora E2 para eliminar x2 de E3 y E4. Para ello hacemos. (E3 − 4 E2 ) → (E3 ) (E4 + 3E2 ) → (E4 ) para obtener. E1 : x1 + x2 + 3 x4 E2 : − x2 − x3 − 5 x4 E3 : − 4 x2 − x3 − 7 x4 E4 : 3 x2 + 3 x3 + 2 x4. =4 = −7 = −15 =8. x1 + x2. + 3 x4 = 4. − x2 − x3 − 5 x4 = −7 3 x3 + 13 x4 = 13 − 13 x4 = −13. 30.

(31) Eliminación de Gauss Este sistema puede resolverse por sustitución hacia atrás : − 13 =1 x4 = − 13 x3 = (13 − 13 x4 ) / 3 = 0. x2 = 7 − x3 − 5 x4 = 7 − 0 − 5(1) = 2 x1 = 4 − x2 − 3 x4 = 4 − 2 − 3(1) = −1 El procedimiento anterior se simplifica utilizando notación matricial. Para ello construimos la matriz ampliada y operamos directamente sobre los coeficientes de la misma.. 31.

(32) Eliminación de Gauss En el caso del sistema anterior escribimos 4⎤ ⎡1 1 0 3 ⎢ 2 1 −1 1 ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ 3 − 1 − 1 2 − 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 1 2 3 − 1 4 ⎦ y realizamos las operaciones sobre las filas de la matriz, para obtener en cada paso las matrices. 0 3 4 ⎤ 3 4 ⎤ ⎡1 1 ⎡1 1 0 ⎢0 − 1 − 1 − 5 − 7 ⎥ ⎢0 − 1 − 1 − 5 − 7 ⎥ ⎢ ⎥ y ⎢ ⎥ ⎢0 − 4 − 1 − 7 − 15⎥ ⎢0 0 3 13 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 3 3 2 8 ⎣ ⎦ ⎣0 0 0 − 13 − 13⎦. 32.

(33) Eliminación de Gauss En el caso general, el sistema lineal a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1. a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2 n xn = b2 ....... an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + ... + ann xn = bn se expresa utilizando las matrices A y b. ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎣an1. a12 a22 . an 2. a13 ... a1n ⎤ a23 ... a2 n ⎥⎥ . . . ⎥ ⎥ an 3 ... ann ⎦. ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ 2⎥ ⎢ b= ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎣bn ⎦. 33.

(34) Eliminación de Gauss para escribir la matriz ampliada. ⎡ a11 ⎢a A = [A, b] = ⎢ 21 ⎢ ... ⎢ ⎣ an1. a12 a22 ... an 2. a13 a23 ... an 3. ... a1n ... a2 n ... ... ... ann. b1 ⎤ b2 ⎥⎥ ... ⎥ ⎥ bn ⎦. El primer paso consiste en “eliminar” el coeficiente de la primera columna en las ecuaciones 2...n. Para ello cada fila Ej se transforma de manera que. ⎡ ⎛ a j1 ⎞ ⎤ ⎟⎟ E1 ⎥ → (E j ) ⎢ E j − ⎜⎜ ⎝ a11 ⎠ ⎦ ⎣. j = 2,3,..., n a11 ≠ 0. 34.

(35) Eliminación de Gauss La matriz ampliada se escribe ahora como. ⎡a11 ⎢0 Aˆ = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. a12 ′ a22 ... an′ 2. a13 ... a1n ′ ... a2′ n a23 ... ... ... ′ an′ 3 ... ann. b1 ⎤ b2′ ⎥⎥ ... ⎥ ⎥ bn′ ⎦. en la que, en general, todos los coeficientes de las filas (j>=2) han sido modificados (para simplificar, las primas serán eliminadas en lo que sigue). El paso siguiente corresponde a modificar la matriz de manera que j = 3,4,..., n ⎡ ⎛ a j2 ⎞ ⎤ ⎟⎟ E2 ⎥ → E j ⎢ E j − ⎜⎜ a22 ≠ 0 ⎝ a22 ⎠ ⎦ ⎣. ( ). 35.

(36) Eliminación de Gauss quedando la matriz ampliada expresada como. ⎡a11 ⎢0 A = [A, b] = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. a12 a22 0 0. a13 a23 ... an 3. ... a1n ... a2 n ... ... ... ann. b1 ⎤ b2 ⎥⎥ ... ⎥ ⎥ bn ⎦. El procedimiento continúa de manera que, en el paso i-ésimo utilizamos. ⎡ ⎢E j ⎣. ⎛ a ji ⎞ ⎤ − ⎜⎜ ⎟⎟ Ei ⎥ → (E j ) ⎝ aii ⎠ ⎦. j = i + 1, i + 2,..., n aii ≠ 0. 36.

(37) Eliminación de Gauss para llegar a la matriz triangular. ⎡a11 ⎢0 ~ A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. a12 a22 0 0. a13 ... a1n a23 ... a2 n ... ... ... 0 0 ann. b1 ⎤ b2 ⎥⎥ ... ⎥ ⎥ bn ⎦. Resolviendo directamente la n-ésima ecuación. bn xn = ann La incógnita que sigue se obtiene de bn −1 − an −1,n xn xn −1 = an −1,n −1. 37.

(38) Eliminación de Gauss De manera semejante obtenemos que cada incógnita se obtiene de. bi − xi =. n. ∑a. ij. j = i +1. xj. aii. escribiendo. bi = ai ,n +1 tendremos, a efectos de la programación. ai ,n +1 − xi =. n. ∑a. j = i +1. aii. ij. xj. 38.

(39) Eliminación de Gauss El punto débil de este método es la necesidad de garantizar que en cada paso el pivote akk≠0. En ese paso, podemos sin embargo intercambiar ecuaciones escogiendo una ecuación l, con l>k de manera que el elemento de la columna k de El no sea nulo. Ejemplo, partiendo del sistema. ⎡1 − 1 ⎢2 − 2 ⎢ ⎢1 1 ⎢ ⎣1 3. 2 −1 − 8 ⎤ 3 − 3 − 20⎥⎥ 1 0 −2 ⎥ ⎥ 4 3 4 ⎦. 39.

(40) Eliminación de Gauss Realizamos las operaciones. (E2 − 2 E1 ) → (E2 ) (E3 − E1 ) → (E3 ) (E4 − E1 ) → (E4 ) Para pasar de. ⎡1 − 1 ⎢2 − 2 ⎢ ⎢1 1 ⎢ ⎣1 3. 2 −1 − 8 ⎤ 3 − 3 − 20⎥⎥ 1 0 −2 ⎥ ⎥ 4 3 4 ⎦. a. ⎡1 − 1 2 − 1 − 8 ⎤ ⎢0 0 − 1 − 1 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 2 − 1 1 6⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 4 2 4 12 ⎦ Pivote. 40.

(41) Eliminación de Gauss El proceso se detiene ya que a22 es nulo y la operación. ⎡ ⎢E j ⎣. ⎛ a j2 ⎞ ⎤ ⎟⎟ E2 ⎥ → (E j ) − ⎜⎜ ⎝ a22 ⎠ ⎦. j = 3,4 a22 = 0. no puede ser realizada. Sin embargo, E3 puede ser intercambiada con E2 para obtener la nueva matriz ampliada ⎡1 − 1 2 − 1 − 8 ⎤ ⎡1 − 1 2 − 1 − 8 ⎤ ⎢0 2 − 1 1 ⎥ ⎢0 0 − 1 − 1 − 4 ⎥ 6⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 0 − 1 − 1 − 4 ⎥ ⎢0 2 − 1 1 6⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 4 2 4 12 0 4 2 4 12 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. 41.

(42) Eliminación de Gauss Ya E3 tiene su 2do elemento nulo así que se continúa con E4 haciendo la operación. ⎡ ⎛ a42 ⎞ ⎤ ⎟⎟ E2 ⎥ → (E4 ) ⎢ E4 − ⎜⎜ ⎝ a22 ⎠ ⎦ ⎣ para obtener. ⎡1 − 1 2 − 1 − 8 ⎤ ⎢0 2 − 1 1 ⎥ 6 ⎢ ⎥ ⎢0 0 − 1 − 1 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 4 2 4 12 ⎦. ⎡1 − 1 2 − 1 − 8 ⎤ ⎢0 2 − 1 1 ⎥ 6 ⎢ ⎥ ⎢0 0 − 1 − 1 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0 0 4 2. 42.

(43) Eliminación de Gauss Finalmente realizamos la operación. ⎡ ⎛ a43 ⎞ ⎤ ⎟⎟ E3 ⎥ → (E4 ) ⎢ E4 − ⎜⎜ ⎝ a33 ⎠ ⎦ ⎣ para obtener. ⎡1 − 1 2 − 1 − 8 ⎤ ⎢0 2 − 1 1 ⎥ 6 ⎢ ⎥ ⎢0 0 − 1 − 1 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0 0 4 2. ⎡1 − 1 2 − 1 − 8 ⎤ ⎢0 2 − 1 1 ⎥ 6 ⎥ ⎢ ⎢0 0 − 1 − 1 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 − 2 − 16⎦. La sustitución hacia atrás nos dará los valores buscados.. 43.

(44) Eliminación de Gauss Si no es posible obtener un pivote no nulo, dos posibilidades existen ya que el sistema tiene (a) infinitas soluciones ó, (b) ninguna solución. Los algoritmos deben tener en cuenta estos posibles casos y dar opciones de salida que indiquen lo que está ocurriendo.. 44.

(45) Eliminación de Gauss. 45.

(46) Eliminación de Gauss. ai ,n +1 − xi =. n. ∑a. j = i +1. aii. ij. xj. 46.

(47) Uso de MatLab Hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando MATLAB es muy sencillo. Introduciendo la matriz A y el vector de términos independientes b tenemos que la solución del sistema de ecuaciones lineales es:. 47.


(49) Eliminación de Gauss-Jordan Una variante del procedimiento anterior es conocida como el método de Gauss-Jordan. Veamos un ejemplo. Resolvamos el sistema. E1 :. 2 x1 − 7 x2 + 4 x3 = 9. E2 :. x1 + 9 x2 − 6 x3 = 1. E3 :. − 3 x1 + 8 x2 + 5 x3 = 6. Construyamos la matriz ampliada. ⎡ 2 − 7 4 9⎤ ⎢1 ⎥ 9 − 6 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣− 3 8 5 6⎥⎦. 49.

(50) Eliminación de Gauss-Jordan. 50. Realizando la operación. ((1 / 2)E1 ) → (E1 ) obtenemos la matriz ampliada. ⎡ 1 − 7 / 2 2 9 / 2⎤ ⎢1 ⎥ 9 − 6 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣− 3 8 5 6 ⎥⎦ ⎧ (E2 − (1)E1 ) → (E2 ) Luego, realizamos las operaciones ⎨ ⎩(E3 − (−3) E1 ) → (E3 ) 9/2 ⎤ ⎡1 − 7 / 2 2 ⎢0 25 / 2 − 8 − 7 / 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − 5 / 2 11 39 / 2 ⎥⎦.

(51) Eliminación de Gauss-Jordan. 51. Normalice la segunda fila haciendo ⎛ 1 ⎞ ⎜ E2 ⎟ → (E2 ) ⎜ 25 ⎟ 2 ⎠ ⎝. ( ). para obtener 9/2 ⎤ ⎡1 − 7 / 2 2 ⎢0 25 / 2 − 8 − 7 / 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − 5 / 2 11 39 / 2 ⎥⎦. 2 9/2 ⎤ ⎡1 − 7 / 2 ⎢0 ⎥ 1 − 16 / 25 − 7 / 25 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − 5 / 2 11 39 / 2 ⎥⎦. Ahora, y aquí está la variación de Gauss-Jordan, realice las operaciones ⎧(E1 − (− 7 / 2 )E2 ) → (E1 ) ⎨ ⎩(E3 − (−5 / 2) E2 ) → (E3 ).

(52) Eliminación de Gauss-Jordan Obtenemos el resultado 2 9/2 ⎤ ⎡1 − 7 / 2 ⎢0 ⎥ 1 − 16 / 25 − 1 / 25⎥ ⎢ ⎢⎣0 − 5 / 2 11 39 / 2 ⎥⎦. 52. ⎡1 0 − 6 / 25 88 / 25 ⎤ ⎢0 1 − 16 / 25 − 7 / 25⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 47 / 5 94 / 5 ⎥⎦ Continúe el procedimiento realizando. ⎧ ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎟ E3 ⎟ → (E3 ) ⎪ ⎜⎜ ⎪ ⎝ ⎝ 47 / 5 ⎠ ⎠ ⎨ ⎪ (E1 − (− 6 / 25)E3 ) → (E1 ) ⎪⎩(E2 − (−16 / 25) E3 ) → (E2 ). Normalización de E3 Nueva E3.

(53) Eliminación de Gauss-Jordan Llegamos entonces a ⎡1 0 0 4 ⎤ ⎢0 1 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 2⎥⎦ La sustitución hacia atrás ahora da directamente. x3 = 2 x2 = 1 x1 = 4. 53.

(54) Eliminación de Gauss-Jordan En general, los pasos dados en la Eliminación de Gauss-Jordan son: (1) Normalizar la fila i haciendo. ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ Ei ⎟⎟ → (Ei ) ⎝ aii ⎠ (2) Sustraer, para todas las filas distintas de la i. (E. j. − a ji Ei ) → (E j ). Nota: revisar el pivote para garantizar que no es nulo. En ese caso, proceder como con la Eliminación de Gauss clásica.. 54.


(56) Determinación de la matriz inversa. 56. La matriz inversa se define como aquella que verifica que. AA−1 = A−1 A = I Retomemos el procedimiento de Gauss-Jordan con nuestro ejemplo: ⎡ 2 − 7 4 9⎤ ⎢ ⎥ 9 − 6 1⎥ E2 : x1 + 9 x2 − 6 x3 = 1 C = [A b] = ⎢ 1 ⎢⎣− 3 8 5 6⎥⎦ E3 : − 3 x1 + 8 x2 + 5 x3 = 6 El primer paso correspondió a la transformación E1 : 2 x1 − 7 x2 + 4 x3 = 9. ((1 / 2)E1 ) → (E1 ).

(57) Determinación de la matriz inversa que se expresa en término de matrices elementales como. Q1C = C1 con. ⎡ 1 − 7 / 2 2 9 / 2⎤ ⎡1 / 2 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 9 −6 1 ⎥ Q1 = ⎢ 0 1 0⎥ C1 = ⎢ 1 ⎢⎣− 3 8 5 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ Los pasos siguientes en términos de operaciones por matrices elementales nos llevan a ⎧ (E2 − (1)E1 ) → (E2 ) ⎨ ⎩(E3 − ( −3) E1 ) → (E3 ). S1C1 = C2 S 2 C 2 = C3. 57.

(58) Determinación de la matriz inversa con S1 dado por. ⎡ 1 0 0⎤ S1 = ⎢⎢− 1 1 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦. ⎡ 1 − 7 / 2 2 9 / 2⎤ ⎢ ⎥ C1 = ⎢ 1 9 −6 1 ⎥ ⎢⎣− 3 8 5 6 ⎥⎦. ⎡ 1 0 0⎤ ⎡ 1 − 7 / 2 2 9 / 2⎤ S1C1 = ⎢⎢− 1 1 0⎥⎥ ⎢⎢ 1 9 − 6 1 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣− 3 8 5 6 ⎥⎦ 9/2 ⎤ ⎡ 1 −7/2 2 ⎢ ⎥ S1C1 = ⎢ 0 25 / 2 − 8 − 7 / 2⎥ ⎢⎣− 3 8 5 6 ⎥⎦. 58.

(59) Determinación de la matriz inversa y S2 dado por. ⎡1 0 0⎤ S 2 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎢⎣3 0 1⎥⎦ ⎡1 S 2C2 = ⎢⎢0 ⎢⎣3 ⎡1 S 2C2 = ⎢⎢0 ⎢⎣0. 9/2 ⎤ ⎡ 1 −7/2 2 ⎢ ⎥ C2 = ⎢ 0 25 / 2 − 8 − 7 / 2⎥ ⎢⎣− 3 8 5 6 ⎥⎦. 0 0⎤ ⎡ 1 − 7 / 2 2 9/2 ⎤ 1 0⎥⎥ ⎢⎢ 0 25 / 2 − 8 − 7 / 2⎥⎥ 0 1⎥⎦ ⎢⎣− 3 8 5 6 ⎥⎦ −7/2 2 9/2 ⎤ 25 / 2 − 8 − 7 / 2⎥⎥ = C3 − 5 / 2 11 39 / 2 ⎥⎦. 59.

(60) Determinación de la matriz inversa El procedimiento seguido hasta ahora se puede resumir como una combinación de operaciones sucesivas con matrices elementales de primer y tercer tipo. S 2 S1Q1C = C3 Los pasos siguientes se expresarán como 0 0⎤ ⎡1 ⎛ 1 ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ Q2C3 = C4 Q2 = ⎢0 2 / 25 0⎥ E 2 → (E 2 ) ⎜ 25 ⎟ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ 2 ⎝ ⎠ ⎧(E1 − (− 7 / 2 )E2 ) → (E1 ) S3C4 = C5 ⎨ ⎩(E3 − (−5 / 2) E2 ) → (E3 ) S 4C5 = C6. ( ). 60.

(61) Determinación de la matriz inversa Para llegar a. S 4 S3Q2 S 2 S1Q1C = C6 De manera similar los pasos siguientes se expresarán como ⎡1 0 0 4 ⎤ ⎢ ⎥ S 6 S5Q3 S 4 S3Q2 S 2 S1Q1C = C9 = ⎢0 1 0 1⎥ = [I x ] ⎢⎣0 0 1 2⎥⎦ Escrito en notación compacta. EC = E [ A b ] = [I x ] EA = I Teniendo entonces que E es la matriz inversa de A con E = S 6 S5Q3 S 4 S3Q2 S 2 S1Q1. 61.

(62) Determinación de la matriz inversa Luego, para calcular la inversa podemos proceder calculando el producto. A−1 = E = EI = S 6 S 5Q3 S 4 S 3Q2 S 2 S1Q1 I Esto se realiza fácilmente construyendo la matriz ampliada de la forma. C = [A b I ] Al hacer el producto por E obtendremos. [. EC = E [ A b I ] = [I x EI ] = I x A−1. ]. 62.

(63) Determinación de la matriz inversa En nuestro ejemplo tendremos que la nueva matriz ampliada será ⎡ 2 − 7 4 9 1 0 0⎤ C = [A b I ] = ⎢⎢ 1 9 − 6 1 0 1 0⎥⎥ ⎢⎣− 3 8 5 6 0 0 1⎥⎦ y realizando exactamente las mismas operaciones sobre las filas que en el caso de la eliminación de Gauss-Jordan obtenemos. [I. x A−1. ]. ⎡1 0 0 4 93 / 235 67 / 235 6 / 235 ⎤ = ⎢⎢0 1 0 1 13 / 235 22 / 235 16 / 235⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 2 7 / 47 1 / 47 5 / 47 ⎥⎦. 63.

(64) Determinación de la matriz inversa Luego, la matriz inversa viene dada por. ⎡93 / 235 67 / 235 6 / 235 ⎤ ⎢ ⎥ −1 A = ⎢13 / 235 22 / 235 16 / 235⎥ ⎢⎣ 7 / 47 1 / 47 5 / 47 ⎥⎦ Desde un punto de vista práctico, a la hora de hacer los cálculos deben tomarse en cuenta los siguientes aspectos: •Seguir los mismos pasos del método de eliminación de Gauss-Jordan con la nueva matriz ampliada incluyendo la identidad •Construir la subrutina de manera que considere si se desea calcular o no la inversa (índice de control). 64.

(65) Determinación de la matriz inversa Por otra parte, el determinante puede calcularse a partir de A−1 = E = EI = S 6 S 5Q3 S 4 S 3Q2 S 2 S1Q1 I ya que. ( ). det A−1 = det (EI ) = det (S 6 S 5Q3 S 4 S 3Q2 S 2 S1Q1 I ) Utilizando las propiedades de las matrices elementales obtenemos det A−1 = q3 q2 q1. ( ). que corresponde a los factores de normalización. Luego, el determinante de la matriz A es 1 det ( A) = q3 q2 q1. 65.

(66) Determinación de la matriz inversa En nuestro ejemplo anterior. 1 det ( A) = = 235 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 25 ⎠⎝ 47 ⎠. 66.


(68) Métodos Iterativos En el caso de grandes sistemas de ecuaciones, tales como los que aparecen en la resolución por diferencias finitas de EDO y de Ecuaciones en derivadas parciales los métodos directos pueden ser poco eficientes (tiempo, almacenamiento y cantidad de elementos nulos). Los métodos iterativos consisten en generar, a partir de una “adivinanza” inicial, una sucesión de aproximaciones a la solución. En el método de Jacobi, del sistema de ecuaciones. Ax = b se despeja cada variable xi de la ecuación i de manera que. 68.

(69) Métodos Iterativos n. bi − ∑ aij x j xi =. j =1 j ≠i. i = 1,2,..., n. aii Luego, partiendo de una aproximación inicial “adivinada” ⎡ x1( 0 ) ⎤ ⎢ (0) ⎥ x2 ⎥ (0) ⎢ x = ⎢ . ⎥ ⎢ (0) ⎥ ⎢⎣ xn ⎥⎦ construimos la secuencia. 69.

(70) Métodos Iterativos n. bi − ∑ aij x j xi(1) =. (0). j =1 j ≠i. i = 1,2,..., n. aii. El procedimiento se repite de manera secuencial n. bi − ∑ aij x j xi( k +1) =. j =1 j ≠i. aii. (k ). i = 1,2,..., n. hasta verificar algún criterio de convergencia. Un criterio usual lo constituye la norma L2. 70.

(71) Métodos Iterativos n. L=. ∑x i =1. ( k +1) i. n. (k ) 2 i. −x. ∑x i =1. ( k +1) 2 i. exigiendole una cota máxima a L. Ejemplo. Resolver utilizando el método de Jacobi el sistema E1 : 10 x1 − x2 + 2 x3 = 6. E2 : - x1 + 11x2 − x3 + 3 x4 = 25 E3 : 2 x1 − x2 + 10 x3 − x4 = −11 E4 : 3 x2 − x3 + 8 x4 = 15. 71.

(72) Métodos Iterativos Las incógnitas se despejan para dar. 6 + x2 − 2 x3 x1 = 10 25 + x1 + x3 − 3 x4 x2 = 11 − 11 − 2 x1 + x2 + x4 x3 = 10 15 − 3 x2 + x3 x4 = 8 Escojamos como aproximación inicial a x ( 0 ) = [0,0,0,0]. t. 72.

(73) Métodos Iterativos Luego, la primera aproximación será (1) 1. x x. (1) 2. (1) 3. x. x4(1). 6 + x2( 0 ) − 2 x3( 0 ) 6 3 = = = 10 10 5 25 + x1( 0 ) + x3( 0 ) − 3 x4( 0 ) 25 = = 11 11 11 − 11 − 2 x1( 0 ) + x2( 0 ) + x4( 0 ) = =− 10 10 15 − 3 x2 + x3 15 = = 8 8. Continuando el proceso de manera iterativa obtenemos. 73.

(74) Métodos Iterativos 0 0 0 0 0 1,00E+00. 1 0,6000 2,2727 -1,1000 1,8750 2,85E-01. 2 1,0473 1,7159 -0,8223 0,8852 3,21E-02. 3 0,9360 2,0518 -1,0574 1,1288 6,85E-03. 4 1,0167 1,9539 -0,9794 0,9734 1,07E-03. 5 0,9913 2,0106 -1,0195 1,0199 2,08E-04. 6 1,0050 1,9920 -1,0045 0,9936 3,50E-05. 7 1,0001 2,0018 -1,0115 1,0024 6,57E-06. 8 1,0025 1,9983 -1,0087 0,9979 1,14E-06. 6. 8. 10. Diferencia 1,00E+00 1,00E-01 Norma L2. k 1 2 3 4 Dif =. 1. 2. 3. 4. 5. 1,00E-02 1,00E-03 1,00E-04 1,00E-05 1,00E-06 1,00E-07 Iteración. 7. 9. 9 1,0016 2,0000 -1,0099 0,9995 2,10E-07. 10 1,0020 1,9994 -1,0094 0,9988. 74.

(75) Métodos Iterativos El método de Gauss-Seidel, las aproximaciones se van utilizando a medida que se generan. Esto es, una ( k +1) x vez calculados los valores de las aproximaciones i en la ecuación i+1 se sustituyen estos valores junto con los de la iteración anterior. xi(k ) para obtener como aproximación i −1. ( k +1) i. x. =. bi − ∑ aij x (j k +1) − j =1. aii. n. (k ) a x ∑ ij j. j =i +1. i = 1,2,..., n. 75.

(76) Métodos Iterativos Ejemplo: Resuelva, utilizando el método de GaussSeidel el sistema E1 : 10 x1 − x2 + 2 x3 = 6. E2 : - x1 + 11x2 − x3 + 3 x4 = 25 E3 : 2 x1 − x2 + 10 x3 − x4 = −11 E4 : 3 x2 − x3 + 8 x4 = 15 Nuevamente expresamos cada incógnita como. 6 + x2 − 2 x3 x1 = 10 25 + x1 + x3 − 3 x4 x2 = 11. − 11 − 2 x1 + x2 + x4 x3 = 10 15 − 3 x2 + x3 x4 = 8. 76.

(77) Métodos Iterativos. 77. Hallamos la 1era aproximación a x1, partiendo de x(0)=(0,0,0,0)t (0) (0) 6 2 + x − x 6 (1) 2 3 x1 = = 10 10 Para el cálculo de x2 usamos. 25 + x + x − 3 x 25 + 6 / 10 + 0 − 0 256 x2 = = = 11 11 110 De manera similar − 11 − 2 x1(1) + x2(1) + x4( 0 ) − 11 − 2(6 / 10 ) + (256 / 10) + (0) = = 10 10 15 − 3 x2(1) + x3(1) 15 − 3(256 / 10 ) + (134 / 100) − 6046 = = = 8 8 8 (1) 1. x3(1) x4(1). (0) 3. (0) 4.

(78) Métodos Iterativos Continuando obtenemos 0 0 0 0 0 1,00E+00. 1 0,6000 2,3273 -0,9873 0,8789 3,90E-02. 2 1,0302 2,0369 -1,0224 0,9833 2,73E-04. 3 1,0082 2,0032 -1,0119 0,9973 6,77E-06. 4 1,0027 1,9999 -1,0099 0,9988 1,03E-07. 5 1,0020 1,9996 -1,0096 0,9989 1,12E-09. 6 1,0019 1,9996 -1,0096 0,9990 9,61E-12. 7 1,0019 1,9996 -1,0096 0,9990 6,59E-14. 8 1,0019 1,9996 -1,0096 0,9990 3,51E-16. 6. 8. 10. Diferencia 1,00E+00 1,00E-03 Norma L2. k 1 2 3 4 Dif =. 1. 2. 3. 4. 5. 1,00E-06 1,00E-09 1,00E-12 1,00E-15 1,00E-18 Iteración. 7. 9. 9 1,0019 1,9996 -1,0096 0,9990 1,32E-18. 10 1,0019 1,9996 -1,0096 0,9990. 78.

(79) Métodos Iterativos No siempre el método de Gauss-Seidel converge mas rápido que el de Jacobi, pero en general, si lo hace. Es posible probar que si el valor absoluto del elemento de la diagonal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos fuera de la diagonal (matriz diagonalmente dominante) esto será suficiente para garantizar la convergencia. Esto debe ser tomado en cuenta a la hora de preparar programas de cálculo.. 79.


(81) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS En el caso de sistemas no lineales, deseamos encontrar la solución de f1 ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = 0. f 2 ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = 0 ..... f n (x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = 0. el cual consiste en n funciones reales de n variables reales. Uno de los métodos mas utilizados es el de las sustituciones sucesivas (tipo punto fijo). En este método, las funciones fi se reescriben de manera que f i ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = 0. xi = Fi (x1 , x2 , x3 ,..., xn ). 81.

(82) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS para utilizar luego un esquema de iteraciones tal como el utilizado en los métodos de Jacobi o GaussSeidel para sistemas lineales. Ejemplo: Considere la solución del sistema no lineal 3 x1 − cos( x2 x3 ) − 1 = 0 2 2 x12 − 81( x2 + 0.1) + sin( x3 ) + 1.06 = 0 e. − x1 x2. 10π − 3 + 20 x3 + =0 3. Las funciones fi se reescriben de manera que x1 = x2 =. cos( x2 x3 ) +1 3 6 x12 + sin( x3 ) + 1.06 − 0 .1 9. 1 − x1x2 10π − 3 x3 = − e − 20 60. 82.

(83) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS Luego, iteramos sobre las ecuaciones ( k +1) 1. x. x2( k +1) x3( k +1). =. (. cos x2( k ) x3( k ). (x ). ). 3. +1. 6. (k ) 2 1. + sin( x3( k ) ) + 1.06 = − 0 .1 9 1 − x1( k ) x2( k ) 10π − 3 =− e − 20 60. Si partimos de la aproximación inicial x(0)=(0,0,0) tenemos k 1 2 3 Dif= Norma L2 =. 0 1 2 3 0 0,50000000 0,49999053 0,50000000 0 0,01439589 0,00000000 0,00001859 0 -0,52359878 -0,52324017 -0,52359878 0,52436292 0,00020737 1,2903E-07 1 0,00039592 2,4617E-07. 4 0,50000000 0,00000000 -0,52359831 3,4566E-10 6,5946E-10. 5 0,50000000 0,00000002 -0,52359878 2,1652E-13 4,1308E-13. 6 0,50000000 0,00000000 -0,52359877 6,1734E-16 1,1778E-15. 7 0,50000000 0,00000000 -0,52359878 3,867E-19 7,3775E-19. 83.

(84) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS En la variante de Gauss-Seidel obtenemos ( k +1) 1. x. x2( k +1) x3( k +1). =. (. cos x2( k ) x3( k ). (x ). ). 3. +1. 6. ( k +1) 2 1. + sin( x3( k ) ) + 1.06 = − 0 .1 9 1 − x1( k +1) x2( k +1) 10π − 3 =− e − 20 60. Si partimos de la aproximación inicial x(0)=(0,0,0) tenemos k 1 2 3 Dif= Norma L2 =. 0 1 2 3 0 0,50000000 0,49996635 0,50000000 0 0,02717248 0,00003399 0,00000005 0 -0,52292406 -0,52359793 -0,52359877 0,52418791 0,00073695 2,2855E-09 1 0,00140607 4,3603E-09. 4 0,50000000 0,00000000 -0,52359878 2,0591E-15 3,9285E-15. 5 0,50000000 0,00000000 -0,52359878 3,6779E-21 7,0167E-21. 6 0,50000000 0,00000000 -0,52359878 6,568E-27 1,2531E-26. 7 0,50000000 0,00000000 -0,52359878 1,2326E-32 2,3516E-32. 84.

(85) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS Comparando ambas versiones del método tenemos. Diferencia, L2. Comportamiento del Error 10 0,1 0,001 1E-05 1E-07 1E-09 1E-11. 1. 2. 3. 4. 5. 6 Jacobi (Dif) Jacobi (L2). 1E-13 1E-15 1E-17 1E-19 1E-21 1E-23 1E-25 1E-27. Gauss-Seidel (Dif) Gauss-Seidell (L2). Iteración. 85.

(86) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS Las condiciones que garantizan la convergencia de estos métodos están ligadas con la naturaleza de las funciones Fi. Si éstas son continúas en una región del sub-espacio de vectores (x1,x2,...,xn) donde los xi pertenecen a un intervalo definido (ai,bi) y las derivadas parciales de las Fi también son continuas y acotadas en ese sub espacio, entonces las funciones Fi tienen un punto fijo en dicho sub-espacio.. 86.


(88) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR No siempre es posible despejar la variable de cada ecuación de manera que el método de las sustituciones sucesivas converja a la solución. Una opción distinta la constituye el método de NewtonRawson. En el caso de ecuaciones de una variable, este método se expresa como x. ( n +1). =x. (n). ( ) ( ). f x(n) − f ′ x(n). pudiendo ser reescrito como g (x ) = x −. f (x ) f ′( x ). y el problema se remite a conseguir los puntos fijos de la función g(x).. 88.

(89) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Este método puede aún escribirse como g (x ) = x − φ (x ) f (x ). donde la nueva función se expresa como φ (x ) = [ f ′(x )]−1. En el caso de un problema de varias incógnitas, este se podría expresar como. {G (x )} = {x}− [A(x )]−1{F (x )} siendo ahora. {G (x )} = {G (x1 , x2 ,..., xn )} {F (x )} = F ( f1 ( xi ), f 2 ( xi ),..., f n ( xi ) )t. [A(x )]−1 = [bij ] ∝ ∂f k. ∂xl. i = 1,2,..., n. 89.

(90) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Es posible mostrar que la matriz A puede escogerse igual a la matriz Jacobiana definida como ⎡ ∂f1 ( x ) ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂f 2 ( x ) J ( x) = ⎢ ∂x1 ⎢ ... ⎢ ∂f n ( x ) ⎢ ⎣ ∂x1. ∂f1 ( x ) ∂f1 ( x ) ⎤ .... ∂x2 ∂xn ⎥ ⎥ ∂f 2 ( x ) ∂f 2 ( x ) ⎥ ... ∂x2 ∂xn ⎥ ... ... ... ⎥ ∂f n ( x ) ∂f n ( x ) ⎥ ... ⎥ ∂x2 ∂xn ⎦. Luego, la función G(x) se puede definir como. {G (x )} = {x}− [J (x )]−1{F (x )} en perfecta correspondencia con el método de punto fijo para una variable.. 90.

(91) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Entonces, el procedimiento de iteración se realizará según. {x}( k +1) = {G (x ( k ) )} = {x}( k ) − [J (x ( k ) )]−1 {F (x ( k ) )} Este es el método de Newton para sistemas no lineales. En general, el 2do término de la derecha se estima a partir de la resolución del sistema lineal. [J (x )]{y }= {F (x )} (k ). (k ). (k ). para obtener luego. {x}( k +1) = {x}( k ) − {y}( k ). 91.

(92) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Ejemplo: Resolver utilizando el método de Newton el sistema de ecuaciones 3 x1 − cos( x2 x3 ) − 1 = 0 2 2 x12 − 81( x2 + 0.1) + sin( x3 ) + 1.06 = 0 e − x1 x2 + 20 x3 +. 10π − 3 =0 3. Las funciones fi vienen dadas por f1 (x ) = 3 x1 − cos(x2 x3 ) − 1. 2 2 f 2 (x ) = x12 − 81( x2 + 0.1) + sin( x3 ) + 1.06 f 3 (x ) = e. − x1 x2. 10π − 3 + 20 x3 + 3. 92.

(93) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Luego, el vector F(x) se construye como ⎡ ⎤ 1 3x1 − cos( x2 x3 ) − ⎢ ⎥ 2 2 F ( x ) = ⎢ x12 − 81( x2 + 0.1) + sin( x3 ) + 1.06⎥ ⎢ ⎥ π 10 3 − ⎢ ⎥ e − x1 x2 + 20 x3 + ⎢⎣ ⎥⎦ 3. La matriz Jacobiana se construye a partir de ∂f1 =3 ∂x1 ∂f1 = x3 sin( x2 x3 ) ∂x2 ∂f1 = x2 sin( x2 x3 ) ∂x3. ∂f 2 = 2 x1 ∂x1 ∂f 2 = −162( x2 + 0.1) ∂x2 ∂f 2 = cos( x3 ) ∂x3. ∂f 3 = − x2 e − x1 x2 ∂x1 ∂f 3 = − x1e − x1 x2 ∂x2 ∂f 3 = 20 ∂x3. 93.

(94) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR quedando expresada como 3 ⎡ J = ⎢⎢ 2 x1 ⎢⎣− x2 e − x1 x2. x3 sin( x2 x3 ) x2 sin( x2 x3 )⎤ cos( x3 ) ⎥⎥ − 162( x2 + 0.1) ⎥⎦ 20 − x1e − x1x2. Las iteraciones se realizan a partir de. (. ) ). (. ). (. ⎡ 3 x3( 0 ) sin x2( 0 ) x3( 0 ) x2( 0 ) sin x2( 0 ) x3( 0 ) ⎢ (0) − 162 x2( 0 ) + 0.1 J = ⎢ 2 x1( 0 ) cos( x3( 0 ) ) − x1 x2( 0 ) − x1 x2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ⎢ − x2 e − x1 e 20 ⎣ ⎤ ⎡ (0) (0) (0) 1 3 cos x x x − − 1 2 3 ⎥ ⎢ 2 2 (0) 2 (0) (0) ⎢ F ( x) = x1 − 81 x2 + 0.1 + sin( x3( 0 ) ) + 1.06⎥ ⎥ ⎢ (0) (0) 10 3 π − ⎥ ⎢ e − x1 x2 + 20 x3( 0 ) + ⎥⎦ ⎢⎣ 3. (. (. ). )⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. 94.

(95) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Si como aproximación inicial de x tomamos (0,0,0) tendremos J (0). 0 0⎤ ⎡3 = ⎢⎢0 − 16.2 1 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 20⎥⎦. 3.00000 0.00000 0.00000. 0.00000 -16.20000 0.00000. ⎤ ⎡ 1 − − 0 1 ⎥ ⎢ 2 F ( 0 ) ( x) = ⎢0 − 0.81 + 0 + 1.06⎥ ⎢ 10π − 3 ⎥ ⎥ ⎢ 1+ 0 + 3 ⎦ ⎣. 0.00000 1.00000 20.00000. -1.50000 0.25000 10.47198. Luego, la primera iteración la obtendremos al hacer x (1) = {x} − {y} (0). (0). con y solución de. J (x ( 0 ) ){y ( 0 ) } = F (x ( 0 ) ). 95.

(96) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR x1 0.50000000. x2 -0.01688882. x3 Dif Iter Anterior -0.52359877 1.00000000. Continuando las iteraciones obtenemos x1 0.50000000 0.50001569 0.50000013 0.50000000 0.50000000. x2 -0.01688882 0.00172003 0.00001456 0.00000000 -0.00000001. x3 Dif Iter Anterior -0.52359877 1.00000000 -0.52355365 0.00066070 -0.52359841 0.00000555 -0.52359879 0.00000000 -0.52359879 0.00000000. 96.

(97) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR n=3 x1=0. x2=0. x3=0.. 97. Algunos detalles computacionales Entrada de aproximación inicial. x(1)=x1 x(2)=x2 x(3)=x3 niter=5 do k=1,niter ! ... Construyendo el vector F(x) ... f(1)=f1(x1,x2,x3) f(2)=f2(x1,x2,x3) f(3)=f3(x1,x2,x3). Cálculo de las componentes de f.

(98) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR ! ... Construyendo la matriz Jacobiana J(1,1)= df1dx1(x1,x2,x3) J(1,2)= df1dx2(x1,x2,x3) J(1,3)= df1dx3(x1,x2,x3) J(2,1)= df2dx1(x1,x2,x3) J(2,2)= df2dx2(x1,x2,x3) J(2,3)= df2dx3(x1,x2,x3) J(3,1)= df3dx1(x1,x2,x3) J(3,2)= df3dx2(x1,x2,x3) J(3,3)= df3dx3(x1,x2,x3) ! ... Matriz ampliada J(1,4)=f(1) J(2,4)=f(2) J(3,4)=f(3) !... Resolviendo J*y=F call GaussJordan(n,J,y) !... Iteración .... 98. Cálculo de la matriz Jacobiana. Matriz ampliada Solución del sistema Jy=F.

(99) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR !... Iteración ... do i=1,n x(i) = x(i) - y(i) enddo suma1=0. suma2=0. do i=1,n suma1=suma1+(x1-x(1))**2.+(x2-x(2))**2.+(x3-x(3))**2. suma2=suma2+(x(1))**2.+(x(2))**2.+(x(3))**2. enddo dif=suma1/suma2 x1=x(1) Probando la convergencia x2=x(2) x3=x(3) enddo. 99.

(100) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR function f1(x1,x2,x3) double precision x1,x2,x3 f1=3.*x1-cos(x2*x3)-0.5 end function df1dx1(x1,x2,x3) double precision x1,x2,x3 df1dx1=3. end. 100. Definiendo las funciones para cada matriz.

(101) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR MATLAB posee un comando para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Para ello debe crear un archivo .m con las funciones no lineales y luego usar el comando fzero. Veamos la secuencia de pasos. En nuestro ejemplo:. function F = myfun(x) F = [3*x(1) - cos(x(2)*x(3)) - 1/2; x(1)^2 - 81*((x(2)+0.1)^2) + sin(x(3)) + 1.06 ; exp(-x(1)*x(2))+ 20*x(3)+(10*pi-3)/3]; Luego define el punto de partida >> x0 = [0; 0; 0]; >> [x,fval] = fsolve(@myfun,x0) Para obtener x= 0.5000 0.0000 -0.5236 fval = 1.0e-007 * 0.0003 -0.1721 0.0003. 101.

(102) 102. Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción 2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares 2.3 Eliminación de Gauss 2.4 Eliminación de Gauss-Jordan. 2.5 Determinación de la matriz inversa. 2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. 2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de las sustituciones sucesivas 2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de Newton-Raphson (Apéndice).

(103) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR La expresión de G(x) en los términos expuestos requiere del siguiente teorema. Teorema: Supongamos que p es una solución de G(x)=x para alguna función G=(g1,g2,...,gn)t que mapea Rn en Rn. Si existe un número δ>0 con la propiedad de que (i) ∂gi/∂xj sea continua en Nδ={x/|x-p |< δ} para toda i=1,2,...,n; (ii) ∂2gi/∂xj∂xk sea continua y |∂2gi/∂xj∂xk |≤ M para alguna constante M siempre que x ∈ Nδ para toda i,j,k=1,2,...,n (iii) ∂gi/∂xk (p) =0 para toda i,k=1,2,...,n entonces existe un número δ’≤ δ tal que la sucesión generada por. x ( k +1) = G (x ( k ) ). converge cuadráticamente a p para cualquier elección de x(0) a condición que |x(0)-p | < δ’ .. 103.

(104) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR x2 x-p x. δ’ δ. p. x1. Representación de las condiciones del teorema anterior para n=2. 104.

(105) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Puesto que x es un vector con n componentes, la ecuación −1 G ( x ) = {x}− [A( x )] F ( x ). corresponde a n ecuaciones del tipo. {. }. g i ( x ) = xi − [A( x )] F ( x ) i −1. g i (x ) = xi − ∑ bij f j ( x ). siendo ahora n ⎧ ∂f j ( x ) ⎛ ∂bij ( x ) ⎞ f j (x ) + bij ( x )⎟⎟ ⎪1 − ∑ ⎜⎜ ∂xk ∂g i ( x ) ⎪ j =1 ⎝ ∂xk ⎠ =⎨ n ∂xk ⎪ − ⎛⎜ ∂bij ( x ) f ( x ) + ∂f j ( x ) b ( x )⎞⎟ j ij ⎜ ∂x ⎟ ⎪⎩ ∑ ∂ x j =1 ⎝ k k ⎠. La condición (iii) expresada como. ∂g i ( p ) =0 ∂xk. n. j =1. i=k i≠k. 105.

(106) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR nos lleva a. n ⎧ ∂f j ( p ) ⎛ ∂bij ( p ) ⎞ f j ( p) + bij ( p )⎟⎟ ⎪1 − ∑ ⎜⎜ ∂xk ∂g i ( p ) ⎪ j =1 ⎝ ∂xk ⎠ 0= =⎨ n ∂xk ⎪ − ⎛⎜ ∂bij ( p ) f ( p ) + ∂f j ( p ) b ( p )⎞⎟ j ij ⎜ ∂x ⎟ ⎪⎩ ∑ ∂ x j =1 ⎝ k k ⎠. i=k i≠k. Pero como p es la solución de fj(x)=0, entonces fj(p)=0, luego la ec. anterior se reduce a las ecuaciones ⎛ ∂f j ( p ) ⎞ 1 − ∑ ⎜⎜ bij ( p )⎟⎟ = 0 j =1 ⎝ ∂xk ⎠. i=k. ⎛ ∂f j ( p ) ⎞ ⎜⎜ bij ( p )⎟⎟ = 0 ∑ j =1 ⎝ ∂xk ⎠. i≠k. n. n. 106.

(107) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR que se reducen a. ⎛ ∂f j ( p ) ⎞ ⎜⎜ bij ( p )⎟⎟ = 1 ∑ j =1 ⎝ ∂xk ⎠. i=k. ⎛ ∂f j ( p ) ⎞ ⎜⎜ bij ( p )⎟⎟ = 0 ∑ j =1 ⎝ ∂xk ⎠. i≠k. n. n. Definiendo la matriz Jacobiana J como ⎡ ∂f1 ( x ) ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂f 2 ( x ) J ( x) = ⎢ ∂x1 ⎢ ... ⎢ ∂f n ( x ) ⎢ ⎣ ∂x1. ∂f1 ( x ) ∂f1 ( x ) ⎤ .... ∂x2 ∂xn ⎥ ⎥ ∂f 2 ( x ) ∂f 2 ( x ) ⎥ ... ∂x2 ∂xn ⎥ ... ... ... ⎥ ∂f n ( x ) ∂f n ( x ) ⎥ ... ⎥ ∂x2 ∂xn ⎦. 107.

(108) Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR Con esta definición las ecuaciones se escriben como. ∑ (b ( p )J ) = δ n. j =1. ij. jk. ik. i=k. donde se ha utilizado la delta de Kronecker δij (0 para i≠j, 1 si i=j). Luego, A( p ) −1 J ( p ) = I. Podemos concluir entonces que A( p ) = J ( p ). En consecuencia una elección adecuada de A viene dada por A( x ) = J ( x ). 108.

(109) 109. ALGORITMOS Eliminación Gaussiana Eliminación de Gauss-Jordan (con cálculo de matriz inversa) Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Métodos de las sustituciones sucesivas para ecuaciones no-lineales Métodos de Newton-Rawson para ecuaciones nolineales.

(110) 110. MECÁNICA COMPUTACIONAL I Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones.

(111)