cónicas. 1. Introducción. 9/ Las cónicas.

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1. Introducción.

Siguiendo la tradición clásica griega y como su nombre da a entender, las secciones cónicas resultan de seccionar una superficie cónica de revolución mediante un plano. Las correspondientes curvas que genera la intersección se denominan circunferencia, elipse, parábola, hipérbola y recta (como caso especial, no contemplado en la siguiente figura).

Apolonio de Perga (262-190 a. de C.) Nació en Perga y estudió en Alejandría.

Conoció las obras de Euclides y Arquímedes. No sólo enseñó en la Universidad de Alejandría, sino, también en la de Pérgamo. De ahí que sea conocido, así mismo, como Apolonio de Pérgamo. A pesar de su abundante producción científica, sólo han sobrevivido dos de sus tratados: Secciones en una razón dada y Cónicas.

Su mayor contribución matemática está contenida en su obra Cónicas, que constaba de ocho libros de los cuales cuatro se conservan en el texto original, los tres siguientes se conocen por la traducción al árabe reali- zada por Thabit ibn Qurra, y el octavo ha sido recons- truido en parte. En 1710, Edmund Halley, astrónomo inglés, amigo de Newton, publicó una traducción al latín de los siete libros.

Aunque estas ingeniosas creaciones de Apolonio no tenían posibilidad de ser aplicadas a la ciencia de su época, han pasado, no obstante, a quedar justificadas por el hecho de que las secciones cónicas llegan a ser un instrumento teórico fundamental en campos, tales como la dinámica terrestre o mecánica terrestre, pues no debemos olvidar que dichas sec-

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

Apolonio

9 Las cónicas.

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ciones son los caminos que siguen los satélites y los proyectiles por acción de la gravedad.

Esta obra de Apolonio que quedó almacenada durante más de quince siglos. Es fácil imaginar el entusiasmo de Johannes Kepler (1571-1630) cuando descubrió que los planetas tenían por trayecto- rias «curvas» estudiadas y sistematizadas por el matemático griego Apolonio más de dieciocho siglos antes.

Los cometas tienen órbitas elípticas e incluso algunos de ellos tienen órbitas hiperbólicas. En este último caso si alguna vez pasa por las proximidades del Sol, luego se aleja indefinidamente y nunca más vuelve hacia el Sol.

Esas secciones cónicas o simplemente cónicas serán presentadas, sin embargo, como lugares geométricos planos.

2. La parábola.

Definición:

Dados en un plano una recta (d) y, fuera de ella, un punto F, se llama parábola de foco F y directriz (d), al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta (d) y del punto F.

Vocabulario y propiedades.

Llamemos (e) a la recta que pasa por F y es perpendicular a (d). Esta recta es eje de simetría de la pará- bola, en efecto si M pertenece a la parábola entonces su simétrico M’

respecto de (e) también pertenece ya que FM = FM’ y HM = H’M’.

Si llamas K al punto de intersec- ción de (e) con (d), el punto medio

V del segmento [FK] pertenece a la parábola y se denomina vértice de la parábola.

Construcción punto por punto de la parábola.

A partir de un punto H de (d), se construye el punto M de la pará- bola como la intersección de la mediatriz de [HF] con la perpen- dicular a (d) por H.

Johannes Kepler

F

M

(d) H

V M’

(e)

K H’

H

(d) F

M

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Construcción de la parábola con escuadra, regla y cordel.

Se toma una escuadra y un cordel de longitud igual a uno de sus catetos, por ejemplo el AC y una regla.

Se fija uno de los extremos del cordel en F y el otro en A.

Luego se hace coin- cidir el borde de la regla con la directriz (d) y mientras el lado CB de la escuadra se desliza sobre el

borde de la regla, un lápiz que mantiene tenso el cordel permite dibujar puntos de la parábola.

Determinar un lugar geométrico.

Sea M el centro de una circunferencia que pasa por F y es tangente a (d) en H, entonces MF = MH y por lo tanto el punto M perte- nece a la parábola de foco F y directriz (d).

Recíprocamente, si un punto M pertenece a la parábola entonces equidista de F y de (d) y por lo tanto es centro de una circunferen- cia que pasa por F y es tangente a (d).

Enunciado: Sea una recta (d) del plano y un punto F no perteneciente a (d). Hallar el lugar geométrico de los puntos M que son centros de circunferencias que pasan por F y son tangentes a (d).

H F

M

(d) V

(e)

K

H (d)

F M

(4)

Otra construcción punto por punto de la parábola.

a. En efecto, por ejemplo el punto M₁ es tal que la distancia a la recta (d) es MK igual al radio de la circunferencia de centro F tra- zada, por lo tanto M₁H = M₁F.

Hemos así pro- bado que M₁ per- tenece a la parábola P de foco F y direc- triz (d).

b. Si M₁es un punto de P y H su proyección ortogonal sobre (d) es M₁F = M₁H y por ello pertenece a una circunferencia de centro F y radio MK, siendo M la proyec- ción ortogonal de M₁sobre el eje (e) de la parábola y a (r) paralela a (d) por M.

3. Eje y vértice de la parábola.

Sea P la parábola de foco F y directriz (d). F se proyecta ortogonalmente en K sobre (d). Sea M un punto de P (obte- nido, por ejemplo, por la construcción de la actividad anterior. Muestra que el simétrico M’ de M respecto de la recta (FK) también es un punto de P.

Se deduce que:

La recta que pasa por el foco de una parábola y es perpendicular a su directriz es un eje de simetría de la parábola.

Enunciado: Sea una recta (d) del plano y un punto F no perteneciente a (d).

Sea (e) la recta perpendicular a (d) por F que corta a (d) en K.

Dado un punto M de (e), se efectúan las construcciones siguientes:

La recta (r) que pasa por M y es perpendicular a (e).

La circunferencia de centro F y de radio KM.

Los puntos de intersección (si existen) M₁ y M₂ de esa circunferencia con la recta (r).

Mostrar que:

a. M₁ y M₂ pertenecen a la parábola P de foco F y de directriz (d).

b. Todos los puntos de P se obtienen haciendo variar M sobre (e).

(d) K

M M₂

(e)

H M₁

F

K (d) (e)

H M

F

M’

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Verifica que el punto medio V del segmento [FK]es un punto de la parábola P. Demuestra que V es el único punto de la parábola P, situado sobre el eje (FK).

Se llama vértice de la parábola P al punto V de la parábola situado sobre el eje de simetría.

4. Ecuación de la parábola.

Dados F y (d) designemos por p a la distancia de F a (d). Dicha distancia se denomina parámetro de la parábola.

Elijamos un sistema de coordenadas ortonormado de la siguiente manera: el eje (Ox) de las abscisas es la perpendicular al eje de la parábola que pasa por el vértice;

el eje (Oy) de las ordenadas es el eje de la parábola.

Muestra que las coordenadas de F pueden ser (0; ) y que en ese caso la ecuación de la directriz es y = − .

Si (x; y) son las coordenadas de un punto M de la parábola se tiene que: MF = MH y por lo tanto MF² = MH².

Luego la condición necesaria y suficiente para que M pertenezca a la parábola es que sus coordenadas verifiquen la siguiente ecuación o sus equivalentes:

⇔ ⇔

⇔ .

De otro modo los puntos de la parábola P son únicamente aquellos que verifican la ecuación: , la cual recibe el nombre de ecuación de la parábola.

Veamos ahora que toda ecuación del tipo y = ax² (con a ≠ 0) representa una pará- bola.

En efecto si a > 0 alcanza hacer a = y por lo tanto se obtiene una parábola de parámetro p = . En este caso la concavidad de la curva es hacia las ordenadas positivas.

x

K H

M

F

O y

i j

p 2---

y p 2---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞² x² y p

2---

⎝ – ⎠

⎛ ⎞²

+

= y² py p²

---4

+ + x² y²–py p² ---4

+ +

=

2py = x² y 1

2p---x²

=

y 1

2p---x²

=

1 2p--- 1

2a---

(6)

Si a < 0, será entonces −a > 0 y por lo tanto la repre- sentación gráfica de los puntos cuyas coordenadas verifican la ecuación y = ax² será simétrica respecto del eje (Ox) de la curva y = −ax² y por lo tanto será una parábola de parámetro p = y concavidad hacia las ordenadas negativas.

Si el sistema de coordenadas se hubiera elegido de manera que el eje (Ox) de las abscisas coincide con el eje de la parábola y el origen de coordenadas con el vértice, la parábola tendría una ecuación del tipo:

x= ay² y las coordenadas del foco F serían( ; 0) y la ecuación de la directriz: x = − .

Ejercicios:

Halla la ecuación de la parábola, cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo que:

a) la parábola está situada en el semiplano inferior, es simétrica con respecto al eje (Oy) y su parámetro p = 3.

b) la parábola está situada en el semiplano superior es simétrica con respecto al eje (Oy) y su parámetro p = 0,5;

c) la parábola está situada en el semiplano inferior, es simétrica con respecto al eje (Oy) y su parámetro p = ;

d) la parábola está situada en el semiplano derecho, es simétrica con respecto al eje (Ox) y su parámetro p = 3.

Determina el valor del parámetro y la situación de las parábolas siguientes respecto a los ejes coordenados:

1) y² = 6x; 2) x² = 5y; 3) y² = −4x; 4) x² = −y.

Halla la ecuación de la parábola, cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo que:

a) la parábola está situada simétricamente con respecto al eje (Ox) y pasa por el punto A (9; 6);

b) la parábola está situada simétricamente con respecto al eje (Ox) y pasa por el punto B (−1; 3);

c) la parábola está situada simétricamente con respecto al eje (Oy) y pasa por el punto C (1; l);

d) la parábola está situada simétricamente con respecto al eje (Oy) y pasa por el punto D (4; −8).

x

H M

F O

y

i j

1 2a--- –

p 2--- p

2---

1

1 4---

2

3

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Un cable de acero está colgado por los dos extremos; los puntos de sujeción están situados a una misma altura y a una distancia de 20 m. La magnitud de depresión, a la distancia de 2 m de los puntos de sujeción, en sentido horizontal, es igual a 14,4 cm. Determina la magnitud de depre- sión de este cable en el punto medio de los puntos de sujeción, supo- niendo que el cable tiene la forma de un arco de parábola.

5. Ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo a un eje coordenado.

Veremos que forma tiene la ecuación de una parábola cuando se trasladan los ejes paralelamente a si mismos.

Las ecuaciones que nos permiten efectuar dicha traslación son:

siendo (x₀; y₀) las coordenadas del nuevo origen.

Entonces sustituyendo en la ecuación y = ax² se tiene:

y′ + y₀ = a(x′ + x₀)² = ax′² + 2ax₀x′ + ax₀². O sea:

y′ = ax′² + 2ax₀x′ + ax₀² – y₀. La ecuación resulta ser de la forma y′ = ax′² + bx′ + c.

Veamos ahora si toda ecuación de esta forma representa una parábola referida a ejes paralelos a su eje y a su tangente en el vértice. Para ello efectuemos un cambio de ejes de modo de llevar una ecuación del tipo y = ax² + bx + c a una del tipo y′ = ax′² que sabemos representa una parábola.

y = ax² + bx + c = = =

Es decir .

Entonces efectuando el cambio de ejes: se tiene y′ = ax′². 4

x = x'+x₀ y = y'+y₀

⎩⎨

⎧

a x² b a---x

⎝ + ⎠

⎛ ⎞ +c a x b

2a---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞² c b²

4a--- –

+ a x b

2a---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞² 4ac–b²

---4a +

y 4ac–b² ---4a

– a x b

2a---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞²

=

x' x b

2a--- +

=

y' y 4ac–b² ---4a –

=

⎩⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧

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Tenemos así la parábola referida a los ejes (Ox′) y (Oy′)

Las coordenadas del nuevo origen O′

son las coordenadas del vértice de la

parábola: V .

Recordemos que el parámetro es en valor absoluto y para una ecuación de la forma y′ = ax′² el foco

es F , por lo tanto las coordenadas del foco se obtienen de las del vértice

sumándole a la ordenada: F .

Para la ecuación de la directriz basta restarle a la ordenada del vértice por lo que

se tiene (d)

Resumen: Si a ≠ 0 la ecuación y = ax² + bx + c es la de una parábola P cuyos elementos principales son:

Ejercicios:

Dada, en un sistema ortonormal, la ecuación de la parábola P y = x² − 4x + 3, halla las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz.

Identifica las curvas dadas por las siguientes ecuaciones y da analíticamente sus elementos geométricos: focos, vértices y directrices.

x² + 3 y = 1 y² = x + 3 x² − y = 3x −1.

Conociendo el vértice de una parábola A(−2; −1) y la ecuación de su directriz (d) x + 2y −1 = 0, halla la ecuación de esta parábola aplicando la definición.

Foco Vértice Directriz

F

V

F V (d)

x y

O

x ′ y ′

O ′ b

2a---

– 4ac–b² ---4a

⎝ ; ⎠

⎛ ⎞

1 2a--- = p

0 1

4a---

⎝ ; ⎠

⎛ ⎞

1

4a--- b

2a---

– 4ac–b²+1 ---4a

⎝ ; ⎠

⎛ ⎞

1 4a--- y 4ac–b²–1

---4a

=

b 2a---

– 4ac–b²+1 ---4a

⎝ ; ⎠

⎛ ⎞ b

2a---

– 4ac–b² ---4a

⎝ ; ⎠

⎛ ⎞ y 4ac–b²–1

---4a

=

5

6

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6. Intersección de recta y parábola.

Sea la parábola P de ecuación y = ax² + bx + c. Si la recta es paralela al eje (Oy), supongamos de ecuación x = k entonces hay un único punto de intersección y sus coordenadas corresponden a la solución del sistema siguiente:

El punto de intersección tiene por coordenadas (k; ak² + bk + c).

Supongamos ahora que la recta (r) es secante al eje (oy), su ecuación será y =mx + p.

Los eventuales puntos de intersección se hallan resolviendo el sistema siguiente:

Igualando ambas ecuaciones se tiene:

mx + p = ax² + bx + c

Ecuación e segundo grado que se puede escribir también así:

ax² + (b − m)x + c − p = 0 Vamos a calcular el discriminante Δ de esta ecuación:

Δ = (b − m)²− 4a (c − p)

y según que Δ sea mayor, igual o menor que cero, habrán dos, una o ninguna solu- ción.

Por lo tanto (r) será secante tangente o exterior a la parábola.

Observa que en el caso en que la recta es paralela al eje (Oy) hay siempre una solu- ción.

Si Δ = 0 la recta (r) es tangente a la parábola y se obtienen las siguientes relaciones:

Por lo que la ecuación de (r) se puede escribir así:

que es la ecuación de la tangente a la parábola P en función del coeficiente angular m o también, la ecuación de la tangente paralela a una dirección dada.

7. Tangentes a una parábola.

Vamos a utilizar la ecuación anterior para hallar las tangentes a una parábola P de ecuación y = ax² + bx + c trazadas desde un punto cualquiera del plano de coordena- das (x₀; y₀). Para ello sustituimos en la ecuación:

x y y por x yy y nos queda la ecuación en m:

y = ax²+bx+c x = k

⎩⎨

⎧

y = ax²+bx+c y = mx+p

⎩⎨

⎧

b–m

( )²

---4a = c–p p c (b–m)² ---4a –

=

y mx c (b–m)² ---4a –

+

=

y mx c (b–m)² ---4a –

+

=

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Desarrollando y ordenando según m:

m² − 2m(2ax_o+b) + 4ay_o + b²− 4ac = 0

cuyas raíces, si son reales, son los coeficientes angulares de las tangentes a P que pasan por el punto P de coordenadas por (x₀; y₀).

Por otro lado si calculamos el discriminante Δ de la ecuación anterior obtenemos:

Δ = 16a(ax₀² + bx₀ + c − y₀) Si Δ > 0 hay dos tangentes y el punto es exterior.

Si Δ = 0 hay una tangente y el punto pertenece a la parábola.

Si Δ < 0 no hay tangentes y el punto es interior.

Por consiguiente:

Δ > 0 es la ecuación de la región de los puntos exteriores; y Δ < 0 es la de la región de los puntos interiores.

Vamos a encontrar ahora la ecuación de la tangente a P en función de las coordenadas (x₀; y₀) del punto de P contacto.

Como en este caso es Δ = 0, en la ecuación:

ax² + (b − m)x + c − p = 0 la suma de las raíces será:

en consecuencia m = 2ax₀ + b y la tangente tendrá por ecuación:

y − y₀ = (2ax₀ + b)(x − x₀) que se puede escribir:

y − y₀ = 2ax₀x + bx − 2ax₀²− bx₀ y como el punto pertenece a la parábola se debe verificar que:

2y₀ = 2(ax₀² + bx₀ + c)

sumando estas dos últimas igualdades se tiene finalmente la ecuación:

y + y₀ = 2ax₀x +bx +bx₀ + 2c

de donde resulta la ecuación de la tangente a una parábola P en un punto P de ella de coordenadas (x₀; y₀):

. Ejercicios:

Hallar los puntos de intersección de:

la recta x + 4y −3 = 0 y la parábola x² = 4y.

la recta 3x + 4y −12 = 0 y la parábola y² = −9x.

y₀ mx₀ c (b–m)² ---4a –

+

=

2x₀ m–b

---a

=

y+y₀

---2 axx₀ b(x+x₀) ---2 c

+ +

=

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9

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la recta 3x − 2y + 6 = 0 y la parábola y²= 6x.

Determinar en los casos siguientes la posición de la recta dada con relación a la parábola dada: si la corta, si es tangente o pasa por fuera de ella:

1) x− y + 2=0, y²= 8x;

2) 8x + 3y −15 = 0, x² = − 3y;

3) 5x − y − l5 = 0, y²= −5x.

Determinar para qué valores del coeficiente angular k, la recta y = kx + 2:

1) corta a la parábola y²= 4x;

2) es tangente a ella;

3) pasa por fuera de esta parábola.

Deducir la condición, según la cual, la recta y = kx + b es tangente a la pará- bola y²= 2px.

Demostrar, que se puede trazar una y solamente una tangente a la parábola y²

= 2px, cuyo coeficiente angular sea igual a k ≠ 0.

Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y²= 2px en su punto M(x₀; y₀).

Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la parábola y²= 8x y paralela a la recta 2x + 2y − 3 = 0.

Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la parábola l6y = x²y perpendi- cular a la recta 2x + 4y + 7 = 0.

Trazar una tangente a la parábola y² = 12x que sea paralela a la recta de ecua- ción 3x − 2y + 30 = 0 y calcular la distancia d entre esta tangente y la recta dada.

Hallar en la parábola x² = 64y el punto M, más próximo a la recta 3x + 4y − 14 = 0 y calcular la distancia d del punto M a esta recta.

Hallar las ecuaciones de las tangentes a la parábola x² = 64y trazadas desde el punto A (9; 2).

Se ha trazado una tangente a la parábola y²= 2px. Demostrar, que el vértice de esta parábola está en medio del punto de intersección de la tangente con el eje (Ox) y de la proyección del punto de contacto sobre el eje (Ox).

Desde el puntoA(9; 5) se han trazado tangentes

a la parábola x²= 5y. Hallar la ecuación de la cuerda que une los puntos de contacto.

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