ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO

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ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO

“LIBERTADOR GENERAL SAN MARTÍN”

MATEMATICA

4 ^to AÑO

Números irracionales

2018

Números irracionales

Dl,ctm

¿Cuánto mide el lado de cada loseta azul? ¿Cuánto mide el perímetro de cada loseta marrón?

2.

A 8

G

o

e

El rectángulo ^ABCD tiene la curiosa pro­

piedad de que si le quitamos el cua­

drado, ^ABGF. el rectángulo que queda es semejante al primero (tienen los lados proporcionales).

Se llama rectángulo áureo.

Si la longitud de AB fuese 1 dm, ¿cuál debería ser la longitud de AD?

Intenta resolver estos dos problemas por

!u cuenta antes de continuar leyendo.

En las soluciones de estos dos problemas aparecen los nú- 1 + y'5

meros

\!2 ,

y'5 , 4 + 4

\!2 ,

₂ ^.

¿Qué tipo de números son éstos?

¿Cómo se expresan en forma decimal?

Resolución del primer problema

El lado de la loseta azul es la diagonal de un cuadrado de lado 1 dm. Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras:

L

= V

^{12 + 12}

⁼ V2

^dm

Cada loseta marrón tiene cuatro lados de 1 dm y otros cuatro de

\!2

dm. Por tanto su perímetro es, en decímetros:

4 + 4

V2

Resolución del segundo problema

Como AB = OC = 1, si llamamos x al lado AD descom'.>cido, ten­

dremos:

FO

=

^AD - AF

=

^x

-

1.

Por la semejanza, los lados de los rectángulos han de ser propor­

cionales:

AB FO --1 FO

AD

oc

^AD

Por tanto:

X� 1 x2-x=1 lx2-x- 1=ül

X 1

Esto es una ecuación de segundo grado. ¿Recuerdas cómo se re­

suelve?

X=

±

v(-1 )^{2 -} 4 . 1 . (-1 l 2

Soluciones:

1

± \/1+4

2 + \Í5

2

-

\Í5 2

±

y'5 2

En la Revista Matemática de este tema se demuestra que, en efecto, \Í2 no se puede expresar como cociente de dos números enteros.

\Í2 = l;414 213 562 3 ...

0

= 1,732 050 80 ...

V5

⁼ 2,236 067 97 ...

Longitud = n · diámetro Área = n · (radio)²

Superficie = n · (diámetro)² Volumen =

3

4

.

n . (rad,o)³

1t =3,141 592 653 5 ...

Como la longitud de un segmento es positiva, sólo nos vale la pri­

mera solución. Por tanto, el lado AD del rectángulo debe medir 1 + y'5

---dm.2

Un nuevo tipo de números: los irracionales

El número y'2 no es racional, es decir, no se puede expresar como cociente de dos números enteros ni, por tanto, como decimal exacto o periódico. Su expresión decimal es:

y'2 = 1,414 213 562 3 ...

Tiene infinitas cifras decimales sin ninguna periodicidad. A este tipo de números se les llama irracionales.

También es irracional el número 1 + y'5

2 = 1,618 033 988 7 ...

A los números cuya expresión decimal tiehe infinitas cifras no pe­

riódicas se les llama números irracionales.

Veamos algunos tipos de números irracionales importantes:

Radicales

La raíz cuadrada de un número natural, si no es entera, es irracio­

nal. Por tanto son irracionales:

y'2 '

V3 '

^{y'5 '}

V6 '

^\Í7

'

y'a ' \Í10 ' y-11 , También son irracionales los resultados de operar (sumar, restar, multiplicar o dividir) un número irracional con números racionales.

Por ejemplo:

1 +

\13;

El número re

1 + y'5

2 y'5 - 1

2 2+\13' etc.

Es el primer número irracional que tú has manejado, concreta­

mente, para calcular la longitud de una circunferencia o el área de un círculo aunque, posiblemente, hasta ahora no supieras que es irracional.

Su expresión decimal es 3, 141 592 653 5... aunque, en la prác­

tica, se utilizan como valores aproximados 3, 14 o 3, 1416.

Los griegos, que en un principio, creyeron que era racional sos­

pecharon más tarde que podía no serlo. Sin embargo su irracio­

nalidad no se probó hasta el siglo XVIII.

El número <l>

Se llama así al número 1 +

\IS

dida de un lado del rectángulo áureo. 2

que ya obtuvimos como me-

Los griegos pitagóricos (seguidores de las teorías de Pitágoras) lo obtuvieron como relación entre la diagonal AC de un pentágono regular y su lado AB:

-=

AC et>

AB

/

Cuando llegaron a la conclusión de que esta relación no se podía expresar como cociente de dos números enteros, se quedaron es­

pantados, y les pareció tan contrario a toda lógica que lo llamaron irracional. Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia de que lo era.

Posteriormente, los propios griegos consideraron que el rectángulo cuyos lados a y b estaban en la relación

b

a = et>, era especialmente armonioso, y lo llamaron rectángulo áureo (de oro), ya que la ar­

monía era considerada como una virtud excepcional.

Al número et> lo llamaron número de oro.

Esta proporción de medidas se ha usado con mucha frecuencia en el arte.

El número e

Es, posiblemente, el número más importante en matemáticas su­

periores. Su valor decimal es 2,718281 ...

Aparece en ciertos procesos de crecimiento (por ejemplo, creci­

miento de una población animal o vegetal, crecimiento de la concha del molusco Nautilus, ... ), en la desintegración radiactiva y en la fór­

mula de la catenaria, que es la curva que describe una cadena o cualquier hilo flexible, que pende sujeto sólo por sus extremos.

<l> = 1,6180339887 ...

Hay una fórmula· matemática que ex­

presa el crecimiento de un bosque (fór­

mula -0el crecimiento continuo).

Otra fórmula, describe la curva que for­

man los cables del tendido eléctrico (ca­

tenaria).

En ambas fórmulas aparece el número e.

'íee¡te� ---

• Deseas construir un cuadrado de área A y un cubo de volumen V.

¿ Qué valor tendrán el lado del cuadrado y la arista del cubo?

/ / /

1

'v

1

)---

a? a?

X Halla mentalmente:

v' 64

\J

²⁷

vM

^\/12s

X Calcula entre qué números ente­

ros están comprendidas las si­

guientes raíces:

v'7s 193 v 62 \169 X Justifica que la raíz de índice par

de un número negativo no es posi­

ble en R.

X Expresa como potencias de expo­

nente positivo:

• (21sr315.

• (3/7)213 . (3nr3 .

• (314r312: (3/4)6'5.

• cc2111r²¹¹r'.

· Para saber más

1. RADICALES

1.1. Raíz n-sima (enésima)

Las dimensiones de las figuras propuestas en el «Reflexiona», cumplen las siguientes relaciones:

• En el caso del cuadrado: ^--+ a²

=

A.

• En el caso del cubo: ^--+ a³ = V.

A un número a cuya potencian-sima (enésima) es otro.número conocido, b, se le llama su raíz n-sima, y se simboliza así:

j

vti

^{=a�a" =b}

(n es el índice de la raíz y bel radicando).

• Si el índice es 2, la raíz se llama cuadrada.

• Si el índice es 3, la raíz se lama cúbica.

El lado del cuadrado de área A, es la raíz cuadrada de A: -> a

=

\/A.

La arista del cubo de volumen V, es la raíz cúbica de V: ^--+ a

= vv.

El cálculo de raíces se puede realizar mediante aproximaciones o utilizan- do la calculadora; salvo en casos sencillos, como los siguientes:

va=

^{2 �23}

= ^a

yg = ±3 � 3² = 9 y (-3)² = 9

En general, siempre que tengamos una raíz de índice par tendremos dos soluciones: una positiva y otra negativa.

1.2. Potencias de exponente racional

Definimos a^m1" como y a^m . Es decir, una raíz de índice el denominador del exponente y como radicando a^m; siendo m el numerador del exponente.

Ejemplos:

Esta definición debe cumplir las cinco propiedades válidas para los expo­

nentes enteros y naturales.

Ejemplos:

2113 • 2215

=

^{2113 + 2/5 =} 25115 + 6115 = ₂¹¹¹¹⁵ (3215f7

=

^{3215 · 211}

=

^34/35

Veamos si la definición anterior tiene sentido:

• Si tenemos que y a^m

=

^b, significa que b"

=

^am.

• Como b"

=

^(vam )", tenemos que: (va^m )"

=

_a^m_.

• Por otro lado, (a^m1")"

=

^{amtn ·n}

=

_a^m_.

Teniendo en cuenta que: 1/2 = 2/4 = 3/6 = ... , se puede afirmar que:

Por lo tanto, tiene sentido nuestra definición, ya que los dos términos de la igualdad elevados a n dan el mismo resultado.

ª(1/2) = ^ª(2/4) = ^ª(3161 = ...

y por definición, tenemos:

va=

Va²

=

va'.

Ejemplo: V3³

=

V3^6•

A las expresiones en las que apare­

cen raíces, las llamaremos expresio­

nes radicales.

1l.3. Op1eraciones· con expresiones radicales

• Producto de raíces con igual índice:

El producto de raíces de igual índice es otra raíz del mismo índice, y cu­

yo radicando es el producto de los radicandos.

Ejemplo:

le {132 .

v5 ₌

3213 . 5113

=

(32)1/3 . 51/3

=

(32 . 5)1'3 = {132 . 5

-���·= ^{Á -·�����}

CAMBIAR A

FRACCIONES POTENCIA ELEVADA PRODUCTO CON EL A OTRA POTENCIA MISMO EXPONENTE

Luego:

v

^{32 •}

v5

^{= \132 • 5}

• Cociente de raíces con igual índice:

-� t: =\/1

El cociente de dos raíces de igual índice es otra raíz del mismo índice, y cuyo radicando es el cociente de radicandos.

Ejemplo:

1e v3 = ,.•/ 3

vs

^{V 5}

• Raíz de una raíz:

La raíz de una raíz es otra raíz de índice el producto de los índices, y como radican.do el mismo radicando.

Ejemplo:

le

vv5

⁼

vs

1.

Calcula, descomponiendo el radicando en factores primos:

\/81 \164 v625 \1343

v1 764 \/3 600 \18 ooo v1 296

2. Averigua entre qué números enteros están comprendidas las siguientes raíces:

\/67

3. Expresa, e� términos de raíces, las siguientes expresiones:

C,.

$.

6.

f.

. 22/3 Calcula 3-z : (3⁴)². Simplifica 5"' · lS-"'.

5-•n

Si x" = y, ¿cuánto valen y" e/'"?

Calcula:

W16 vvm

(2/5)7111 (3/4f²/5

Vv6561 V\/'4o96

UNIDAD

X Comprueba, aplicando las propie­

dades, que las igualdades de los ejemplos de la izquierda son co­

rrectas.

X Simplifica:

• v2³ • ../6. • \l-16. v-1.

• v-2 7 · v-1.

• Va¹x: VX.

X Agrupa bajo un radical único:

• </s· v1-

• \/12:

\14 .

• \/3·

y7fí.

•

\13:

yJff.

•

\1213

·

\/312

.

• Yalx · \/x/a.

X Saca fuera de la raíz los factores que sea posible:

• \112.

•

\1600.

• v'l0125.

• \1 21600.

X Calcula:

•

s \Is ^-

^{3 v'3 -}

^s

^{v27 +}

+ 11 v'll - S \133.

• vs + v'18 - v'98.

•

\145 + viso - \120.

• 3 vs1 + 3 v'375.

• v'ns -

s

v'63 + 2 v112.

• \/250 - \/16 - 6 \/2.

2. CÁLCULOS CON RADICALES

2 .1. Producto y cociente de raíces de distinto índice

Para multiplicar o dividir raíces con distinto índice se deben obtener otras con índices comunes. Para ello, se efectúan los pasos siguientes:

1. Expresar las raíces como potencias de exponente racional.

2. Reducir los exponentes a común denominador.

3. Expresar las potencias anteriores como raíces de igual índice .

4. Multiplicar o dividir, según la operación indicada, cofno raíces de igual índice .

Ejemplos:

• \15·

\/6

= 5112. 5113 = 53/6. 5216 = \153. {/52 = \153. 52 y

3

3112 33/6

v

_{33 16}

/2?

• {/5 - 51/3 - ^{5216 -} {152

-v

⁵²

2.2. Sacar números fuera de una raíz

Algunos radicales son números racionales camuflados. Para calcularlos, se debe aplicar la estrategia de descomponer el radicando en producto de factores primos.

Ejemplo:

\164 = Y2⁶ = 2³

Observa que el exponente del radicando·es un múltiplo del índice de la raíz; se trata de un radical camuflado.

En general:

Si el exponente del radicando es múltiplo del índice de la raíz, la raíz se obtiene dividiendo el exponente por el índice del radicando . Esta regla, junto a la propiedad del producto de radicales de igual índice, permite sacar algunos factores fuera del signo radical.

Ejemplo:

v'5^{5 •} 313 = v5^{4 •} 5 · 312 · 3 = \15^{4 •} 312 · v'5 · 3 = 52 · 36 · v"fs 2 .3. Sumar raíces semejantes

Se llaman radicales semejantes a los que tienen el mismo radicando y el mismo índice.

Ejemplo:

3\16 y

son radicales semejantes.

Los radicales semejantes se pueden sumar y restar, como se muestra en el siguiente ejemplo:

5 \13 + 3 v'2 - 3 \13 + 11 v'13 = 2 \13 + 3 v2 + 11 \113 A veces, aunque tengan radicandos distintos, se pueden sumar si conse­

guimos radicales semejantes.

Ejemplo:

3 v'2 +va= 3 v'2 + v2 3 = 3 v2 + 2 v'2 = 5 v2

UNIDAD 1

---

2 .4. Racionalizar·

. 2 3

Las expresiones: , 15 y tienen el denominador irracional.

v v5 + v3

Se llama racionalizar las expresiones anteriores, a encontrar otra expre­

sión con el mismo valor, en las que el denominador sea racional.

Estudiaremos dos casos:

• El denominador es un radical cuadrático. En estos casos, se multiplica numerador y denominador por el radical.

Ejemplo:

2 2 v5 2 v5

V5 = V5 .

v5 = v5 · V5 5

• El denominador es una expresión, suma o diferencia, con radicales cua­

dráticos. En estos casos, se multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.

Ejemplo:

3 3

5 + v3 5 + v3 3 · (5 - v3)

5² -(\1'3)²

5 -\13 3 · (5 -\13) 5 - v3 (5 + \13 ) (5 -v3 )

3 · (5 -v3) 15 - 3 v3

25 - 3 22

La expresión·conjugada del denominador es la que resulta al cambiar el signo colocado en medio de los términos del denominador.

1.

Simplifica:

a) v3 · v3^2•

\14

e)

VS· h.

b) v3!4 · v'4!3. d) ,.¡--¡;. vxia. t) v213 · \1213 · \/312.

2.

Saca los factores fuera de la raíz:

a) V500. b) v64s.

3. Calcula:

- 1 - 3 -

a) 3y2+2v2 -_-¡-v2.

b) 3vs+ 4 v5o -6v1s.

c) 2 v27 -2 v12 + 9 v75.

4.

Racionaliza:

6 c) 7

a) ---=· 5\13 vu·

b) 1 d) 1

v3 -v2 v3 + v2

c) \116875. d) V24x¹ 7² z¹.^1•

2 - - -

d)

5

v 5o-vs+3vrn.

e) 5 v1112 + 2 vl/3 + v1127.

t) v25 -vso + 3 {1125.

e) 6 5 - vs

3-v3· g)

'/3 + vil

f) 1 h) 3v2+2v3

vx -vy 3v2-2v3

X Halla la conjugada de las siguien­

tes expresiones:

• v2 - v7.

• 5 +

vs.

• v3 + vu.

• vu - 3.

X Racionaliza:

3

•

4

2,.¡3· 3v2·

3 4

•

v1 + 1 vs-v3·

lictividades de Síntesis

1. Escribe en forma de fracción los siguientes números:

2,3333 ... 12,654 4,0001 O, 12 3,897272 ...

2. Representa los siguientes números racionales:

4/13 -3/5 7/11 2/7

3. Indica, entre los siguientes, los números que son irracionales:

2,3334 2,030030003 ... 3,121212 ...

4. Representa los números V5, Vn y sus opuestos.

5. Representa los números 5 + V3 y 5 -V3.

6. Expresa en forma de fracción:

5 (1,333 ... - 1,7) 1,5 + 3 (1/2 - 1/6)

7. Se aproxima el número 20, 1236, mediante redondeo, en las milé­

simas. Calcula el error relativo de esta aproximación.

8.

Dado el número 5,27, escribe dos aproximaciones a las décimas y decídete por la mejor.

9.

Si el resultado de una medida es 23, 1 con un error de 0,01, ¿entre qué valores se encuentra la medida exacta?

10. Utiliza la calculadora para obtener V3 y V5. ¿Cuántos decimales emplearás para calcular V3 + V5, con tres cifras decimales exac­

tas? Halla el resultado de la suma.

11. Simplifica:

12. Expresa, en forma decimal:

4,36 · 10-J · 2,57 · 10⁸ (2,489. 10¹²): (4,123 . 10⁷)

13. Expresa, en términos de raíces, las siguientes expresiones:

14.

15.

16.

17.

4315 7-²13

Calcula 5-2: (5')². Simplifica:

V5³ • V5' va•. Va⁵

Saca factores fuera de la raíz:

V2 352 V3920 Calcula:

- 4 - 2 - 5V3 +-V3 --V3 5 3

(3/4)³¹⁷ (2/3¡-'13

v25 va•

v125 · V5 va² • Va v675 v125x7t

5 V21 + 8 V75 - 6 V 147

18. Racionaliza las siguientes expresiones:

V7

7 ^{5V3 3 3-V5V3 2V5 5}

19. Desarrolla: (2 + V3) · (2 -V3); (3 + V11Y; (V5 -V3)².