Unidad 4 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA

Unidad 4

CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA Fasores

Según se pudo notar en el Ejercicio 1 (Parte A), para su solución se requiere de un trabajo no difícil pero arduo y lento además de la alta probabilidad de cometer errores. El circuito analizado es sumamente sencillo. Para circuitos mas

complejos dicho análisis se vuelve impráctico.

Veamos nuevamente el ejercicio 1 de la parte A (pdf)

Ante lo anterior se hace imperante la necesidad de disponer de un método alternativo de solución. Se deben notar las siguientes características de este tipo de problemas.

RL serie

RC serie

Según las ecuaciones (19), (22) y (25) de la parte A la respuesta de cualquier voltaje o corriente es de igual frecuencia que la de la función de excitación.

El ángulo de atraso o adelanto depende de los parámetros R, L, C y .

La suma o resta de sinusoides es otra sinusoide y sus amplitudes no se suman como escalares, como se puede observar en el ejemplo 3 (Parte A).

RLC serie

2

2 X

R

Z  

L C X

X

X _{L C}

 ¹





 



 



 



 



 



 ^

R t X

Z

i V^m cos  _v tan ¹

Ejemplo 3. Un circuito serie con R = 30 , L = 0.05 H y C = 50 F, tiene una tensión Determine la corriente y el voltaje en cada elemento.

voltios.

Se cumple que

) 25 500

cos(

200  

 t

v



^{500 5157}



^V

cos 9 .

178  

 t .

v_R



^{500t 141.57}



^V

cos 1 .

149  

L  v



^{500t 38.43}



^V

cos 5 .

238  

C  v

v v

v

v

_R



_L



_C



0.02 0.015 0.01 510^3 0 5 10 ^3 0.01 0.015 0.02

250

200

150

100

50 0 50 100 150 200 250

v t( ) vR t( ) vL t( ) vC t( )

t

0.02 0.015 0.01 510^3 0 5 10 ^3 0.01 0.015 0.02

250

200

150

100

50 0 50 100 150 200 250

v t( )

vR t( ) vL t ( )vC t( )

t

¿Cuáles son las reglas para sumar sinusoides?

Sean las sinusoides

Sea la operación x = x₁ + x₂

También

(a)

(b) Comparando (a) con (b)

(c) (d)

Veamos

) cos(

₁

1

1

 A  t  

x

) cos(

)

cos(

_{1 2 2}

1 2

1

        

 x x A t A t

x

2 2

2 2

1 1

1

1

cos  t cos  A sin  t sin  A cos  t cos  A sin  t sin  A

x    

t A

A t

A A

x  (

₁

cos 

₁



₂

cos 

₂

) cos   (

₁

sin 

₁



₂

sin 

₂

) sin 

t A

t A

t A

x  cos(    )  ( cos  ) cos   ( sin  ) sin 





 cos cos

cos

_{1 2 2}

1

A A

A   A

₁

sin 

₁

 A

₂

sin 

₂

 A sin  ) cos(

₂

2

2

 A  t  

x

Las ecuaciones (c) y (d) pueden interpretarse gráficamente de la siguiente manera

Puede verse que las amplitudes se combinan o se “suman” siguiendo la ley del paralelogramo como lo hacen los vectores y los números complejos.

Si se toma en cuenta que una sinusoide se forma si se proyecta un segmento de recta girando con velocidad angular  alrededor de uno de sus extremos en sentido

antihorario.

t 1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6 7 7

8 8 1

2



/2 3/2

 /4 t

Los vectores pueden tener más de dos direcciones en el espacio mientras que los segmentos giratorios asociados a sinusoides están limitados a un plano.

Entonces las ondas representadas mediante segmentos giratorios se parecen al

comportamiento de los números complejos. De hecho, un segmento de recta giratorio en un plano complejo se conoce como sinor.

Tomando en cuenta la igualdad de Euler

) sin(

)

)

cos(

(^{ }

  t    j  t  

e

^{j t}

j   1

Re significa: parte real de

Fo rm a te m po ral

t+

1 1

2 2

3 3

4 4

56 5 6

7 7

8 8

v



t Re

Im

V_m 1

Sinor Onda generada por el sinor

  ^{Re  cos( ) sin( ) }

Re )

cos(    

^{( )}

       

 V t V e

^

V t jV t

v

_{m m} ^{j t} _{m m}

 ^V

_m

^e

^{j t}

  ^V

_m

^e

^j

^e

^{j t}

  ^{V e}

^{j t}



v  Re

^{( )}

 Re

^{ }

 Re

^

La cantidad se llama sinor. El complejo se conoce como FASOR.

El término se conoce como FACTOR DE TIEMPO.

Forma temporal

Forma fasorial

El Fasor viene a ser como la fotografía del sinor en el instante t = 0 en el plano complejo y se conoce como la transformada fasorial de v.

Variable temporal

(En el dominio del tiempo) Transformada fasorial

(En el dominio de la frecuencia)

t

e

j

V

^ V V_me^j

t

e

j^

) cos( 

V t

v _m



m V

) cos(  t  

V

_m ^ _{ }

m j

me V

V )

90 cos(

)

sin(



t 



V



t 



 

V_{m m} V_me^{j(90)} V_m/ 90

Para la notación fasorial se acostumbra usar como referencia la función coseno para la cual se expresa v(t) como la parte real del producto del fasor por el factor de tiempo

.

Si

Similar se puede demostrar que la operación integral es

V ^e

^jt



^{j t}



m

t V e

V

v  cos(    )  Re

^



^{  }



^



^

















 V_msin( t ) V_m cos( t 90 ) Re V_me^{j( t 90 )} Re V_me^{j t}e^j e^j90 dt

dv        _{ }  _{ }

  

m ^{j j t}

 

^{j t}



j t j

m

e e j jV e e j V e

dt V

dv  Re 

_{ }

 Re 

_{ }

 Re 

_



 



 



^{vdt Re V}_j^e_^jt

Representación temporal Representación fasorial

) cos(  t  

V

_m V_me^j V_m

dt

dv _j_V

dt



v _

j V

Revisión de conceptos sobre números complejos El número complejo z puede expresarse como

Forma rectangular:

Forma polar:

Forma exponencial:

Conversión Rectangular  Polar / Exponencial:

Magnitud:

Argumento:

Dado

jy x

z  





 r z

j

re z 

2

2

y

x z

r   



 



 ^  x

1 y

 tan

 re

^j

r

z   

jy x

z  

Conversión Polar / Exponencial  Rectangular:

,

Dado

Operaciones básicas de números complejos

Adición

Sustracción

Producto

 cos r

x  y  r sin 

 re

^j

r

z   

jy x

z  

1 1

1 1

1

1

 x  jy  r e

^1

 r  

z

^j

z

₂

 x

₂

 jy

₂

 r

₂

e

^j2

 r

₂

 

₂

) (

)

(

_{1 2 1 2}

2 2

1 1

2

1

z x jy x jy x x j y y

z         

) (

) (

) (

)

(

_{1 1 2 2 1 2 1 2}

2

1

z x jy x jy x x j y y

z         

2 1

2 1 )

( 2 1 2

1 2

1

 z  r e

^1

r e

^2

 r r e

^22

 r r   

z

^{j j j}

División

Raíz Cuadrada:

Raiz n-ésima

k = 0, 1, 2 . . . n 1, (argumento en radianes)

k = 0, 1, 2 . . . n 1, (argumento en grados)

2 1

2 ) 1

( 2 1 2

1 2

1 ^{1 2}

/

2

1 ^{ }

 





  



^

r e r

r r e

r e r z

z

_j

j j

  ^z

^1/2

  ^re

^{ 1/2}

^{r e}

^/2

^{r /  / 2}

z  

^j



^j



  ^ 

^{ }

 ^

^{ }

^{   }

 z

^1/2

re

^{( 2 ) 1/2}

r e

^/2

r / / 2

z

^{j j}

 re

^j

r

z   

 

^{re re r n k n}

z^1/n  ^{j 1/n}  ^{n j(k2)/n}  ⁿ /



/  2



/

n k n

r

z^1/n  ⁿ /



/  360 /

Potenciación:

Conjugado complejo de

Parte Real de

Parte Imaginaria de

Producto por su conjugado

  ^re

^

^{r e}

^

^{r n }

z

ⁿ



^{j n}



^{n jn}



ⁿ

/

jy x

z  



  







^



x jy re r /

z

^j

 cos )

Re( z  x  r









 x jy r z









 x jy r z

 sin )

Im( z  y  r

2

/ 0

2

) )(

( x jy x jy re re r z

z

z 

^

   

^{j j}

  

Relaciones fasoriales en elementos de circuito

Resistor Dado Por Ley de Ohm

: Impedancia compleja

Diagrama fasorial



^{j t}



m t Ve

V

v  cos(







)  Re ^

R I

V  R

V I



^{j t}



^{j t}

 

^{Iej t}

R e V R

e V R

i v ^





Re Re Re

 



 



 





Dado

: Impedancia compleja Inductor

Por la relación

Diagrama fasorial



^{j t}



m t Ve

V

v  cos(







)  Re ^

L I jV 



_I ^{j L}

V 





 vdt i L1

 

^{j t}

t j t

j

e L I

j e V j

e V vdt L

i L ^









^{Re Re}

1 Re

1  



 



 



 



 





Dado

: Impedancia compleja Por la relación

Capacitor

Diagrama fasorial



^{j t}



m t Ve

V

v  cos(







)  Re ^

I C j

V 

1



I j C

V



 1

dt C dv i 



^{j Vej t}

 

^{j CVej t}

  

^{Iej t}

dt C C dv

i   Re  ^  Re  ^  Re ^

Transformación de variables y transformación de circuitos

También los circuitos se pueden transformar de acuerdo a las relaciones entre e .

para cada uno de los elementos de circuito

Así como se dice que el fasor es la transformada de la función , es la transformada de la función

el fasor

Circuito RLC serie

Dado el voltaje aplicado a los terminales, se vio antes que Transformando

Ecuación en el dominio el tiempo Ecuación en el dominio de la frecuencia

V I

V v (t )

I

^i(t)

)

cos( _v

m t

V

v   

 ^{ }



 1 cos( )

v

m

t

V C idt

dt L di

Ri   _{I V}

_{m v}

C I j

L j I

R 

    



^{_ _}

_

1

La ecuación transformada es la que corresponde al circuito de la derecha

Resolviendo para la ecuación transformada

V C I

L j j

R  



 



  

  ¹

C L j

j R I V

   ¹





La cantidad

se conoce como impedancia compleja y se puede expresar en forma polar

En forma temporal:

jX C R

L j C R

L j j R

Z   



 



 









  

 ^{1 1}

 

   



 



 



 Z

L C j R

Z 1

2

2 1



 



 



 R L C

Z  















 

 ^

R L C

 



1 tan ¹

Z V

Z V C

L j j R

I V ^{m v m} ( ^v )

1









 



 



 





































 







 



 



 ^

R L C t

L C R

i V^m _v  





 

1 tan

1 cos

1 2

2

Ejemplo 1. Resuelva el ejercicio 1 de la parte A

Resolver para i₁,, i₂ e i con v_S = 155.6cos(200t) voltios

La fuente transformada es voltios

Las ramas tienen impedancias ohmios

ohmios





155.6 0 VS

20 15

1 . 0 200

1 15 j j

Z     

10 10 10

500 200

10 1 ₆

2 j j

Z  



 

 _

La impedancia de entrada vista por la fuente es Z = 5 Ω + Z₁||Z₂.

Por división de corriente

Poniendo las variables en forma temporal Circuito transformado

10 10

20 15

) 10 10

)(

20 15

5 ( 5

2 1

2 1

j j

j j

Z Z

Z Z Z









 

 





A 91 . 9 63 . 91 8 . 9 03

. 18

0 6 .

155   





 

 Z I V ^S

A 89 . 56 53

. 4 91 . 9 63 . 10 8 10

20 15

10 10

2 1

1 2     







 

 

j j

I j Z Z I Z

A 24 . 41 01 . 8 91 . 9 63 . 10 8 10

20 15

20 15

2 1

2 1     







 

 

j j

I j Z Z I Z

A ) 91 . 9 200

cos(

63 .

8  

 t

i

A ) 89 . 56 200

cos(

53 .

1

 4 t  

A i ) 24 . 41 200

cos(

01 .

2

 8 t  

i













17.759 j3.103 18.03 9.91 Z

¿Cuáles son las reglas para operar sinusoides usando fasores? Veamos Sean las sinusoides

Supongamos que se trata de un cociente, o sea

Se convierten a fasor

) cos(

₂

2

2

 A  t  

x )

cos(

₁

1

1

 A  t   x

2 1

x

x

Se hace la operación correspondiente con las formas fasoriales.

La última expresión se convierte a forma temporal

) (

_{1 2}

2 1 2

2 1 1 2

1

 



 _{ }

 

 



 



 

A A A

A X

X

) cos(

) /

( _{1 2 1 2}

2

1  A A t  

x x

.3.

Represente cada elemento de circuito por su impedancia (o su admitancia)

.4.

Resuelva el circuito fasorial, utilizando las herramientas vistas antes para análisis de circuitos.

.5.

Convierta la o las respuestas fasoriales a su correspondiente en el dominio del tiempo.

El procedimiento aplicado a circuitos eléctricos es como sigue:

.1.

Identifique la(s) fuentes sinusoidal(es) y observe la frecuencia de excitación

.2.

Convierta la(s) fuente(s) a la forma fasorial

Notas importantes:

En relación al numeral 1, se pueden combinar excitaciones de la misma frecuencia, no así cuando son excitaciones de diferente frecuencia, dado que el circuito presenta

diferente impedancia o admitancia para diferentes frecuencias. Cuando éste sea el caso, se analiza el circuito para cada frecuencia de excitación (aplicando

superposición) y al final se suman las respuestas sin combinar. (Se deja la suma indicada).

En relación al numeral 4, hay que destacar que se pueden aplicar todas las leyes y teoremas vistos anteriormente, como son: Métodos de mallas y de Nodos,

Superposición, Linealidad, Reducción serie/paralelo, Transformaciones

delta/estrella, Equivalentes de Thevenin y de Norton, etc. Aquí las Impedancias sustituyen a las Resistencias y las admitancias sustituyen a las conductancias. Se respetan las mismas convenciones de signos, igual que antes.

Impedancia y Admitancia De la ley de Ohm fasorial

La impedancia compleja es la relación entre los fasores voltaje y corriente

La admitancia compleja es la relación entre los fasores corriente y voltaje en ohmios, 

en siemens, S (1 S = 1 ^1)

Componentes rectangulares de Z y Y.

Dado Z = R + jX en donde R: resistencia en ohmios, X: reactancia en ohmios

I Z V 

I Z  V

V

Y  I

En donde G = Conductancia = Re(Y), y B = Susceptancia = Im(Y)

Note que en general

Así mismo, dado Y = G + jX en donde G: conductancia es siemens, B: susceptancia, en siemens

En donde R = Resistencia = Re(Z), X = Reactancia = Im(Z)

jB X G

R j X X

R R X

R

jX R

jX R

jX R

jX R

jX R

Y Z  



 

 



 



 

 

 

 1 1 1

_{2 2 2 2 2 2}

2

2

X

R G R

  R

2

X

2

B X



 

G  R1

jX B R

G j B B

G G B

G

jB G

jB G

jB G

jB G

jB G

Z Y  



 

 



 



 

 

 

 1 1 1 _{2 2 2 2 2 2}

Note que, en general

En forma polar

Así mismo

2

2

B

G R G

 

_{2 2}

B G

X B



 

R G 1



Z Z

Z  

Combinaciones de impedancias Combinaciones de admitancias

Transformaciones delta-estrella y estrella-delta

Ayuda para recordar las transformaciones. Se superponen los dos arreglos.

Z₁

Z₃

Z₂ Z_c

1 2

3

Z_b Z_a

Z₁

Z₃

Z₂ Z_c

1 2

3

Z_b Z_a

Cada impedancia de la red Y es el producto de las impedancias de las dos ramas  adyacentes dividida entre la suma de las tres impedancias en .

Cada impedancia de la red  es la suma de todos los productos posibles de las impedancias Y tomados de dos en dos, dividido entre la impedancia opuesta en Y.

Ejemplo de aplicación:

Ejemplo 3. Un circuito serie con R = 30 , L = 0.05 H y C = 50 F, tiene una tensión Determine la corriente y el voltaje en cada elemento.

voltios.

) 25 500

cos(

200  

 t

v