Aplicaci´ on de la convoluci´ on a la teor´ıa de probabilidad:

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(1)

Aplicaci´ on de la convoluci´ on a la teor´ıa de probabilidad:

densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes absolutamente continuas

Unas definiciones necesarias:

Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria. Sea (Ω,F, P) un espacio de probabilidad, i.e. un espacio de medida con P(Ω) = 1, y sea ξ : Ω → R una variable aleatoria, i.e. una funci´onF-medible. La funci´on de distribuci´on de ξ se define por:

Fξ(x) := P(ξ ≤ x) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ x}).

La funci´on Fξ siempre es creciente (en el sentido amplio), Fξ(−∞) = 0, Fξ(+∞) = 1.

Funci´on de densidad de una v.a. absolutamente continua. Se dice que ξ es continua si Fξ es continua. Se dice que ξ es absolutamente continua si Fξ se puede escribir en forma

Fξ(x) =

x

Z

−∞

fξ(u) du,

donde fξ ∈ L1(R). En este caso fξ se llama funci´on de densidad de ξ.

1. Ejemplo: distribuci´on uniforme en un intervalo. Calcular Fξ si fξ = 1

b − a1[a,b]. Media y varianza. Sea (Ω,F, P) un espacio de probabilidad y sea ξ : Ω una variable aleatoria. La media de ξ se define por:

E(ξ) = Z

ξ(ω) dP(ω).

La varianza de ξ se define por:

Var(ξ) = E((ξ − E(ξ))2).

La desviaci´on t´ıpica de ξ se define comopVar(ξ).

Si ξ es absolutamente continua, entonces E(ξ) =

Z

R

x fξ(x) dx, Var(ξ) = Z

R

(x − E(ξ))2fξ(x) dx.

p´agina 1 de 2

(2)

Ejemplo: distribuci´on normal. Se dice que una variable aleatoria continua ξ sigue una distribuci´on normal de par´ametros a y σ y se denota ξ ∼ N (a, σ) si su funci´on de densidad est´a dada por:

fξ(x) = 1 σ√

2πe(x−a)22σ2 .

2. Tarea: media y varianza de la distribuci´on normal. Sea ξ una v.a. de distribuci´on normal con par´ametros a y σ. Demostrar que E(ξ) = a, y la desviaci´on t´ıpica de ξ es σ, i.e. Var(ξ) = σ2.

Variables aleatorias independientes. Variables aleatorias ξ y η son independientes si su distribuci´on conjunta

Fξ,η(x, y) := P(ξ ≤ x ∧ η ≤ y) cumple la f´ormula Fξ,η(x, y) = Fξ(x)Fη(y).

Densidad de distribuci´on conjunta de variables aleatorias independientes. Si ξ y η son variables aleatorias independientes absolutamente continuas, entonces para todo subconjunto medible D de Rn se cumple la siguiente f´ormula:

P((ξ, η) ∈ D) = Z Z

D

fξ(u)fη(v) du dv.

3. Tarea: densidad conjunta de la suma de dos variables aleatorias independien- tes. Sean ξ y η variables aleatorias independientes absolutamente continuas. Demostrar que ξ + η tambi´en es absolutamente continua:

Fξ+η(x) =

x

Z

−∞

fξ+η(u) du,

donde fξ+η = fξ∗ fη, i.e.

fξ+η(x) = Z

R

fξ(x − y)fη(y) dy.

4. Tarea: suma de dos variables de distribuci´on normal. Sean ξ, η ∼ N (0, 1).

Demostrar que ξ + η ∼ N (0, 2).

p´agina 2 de 2

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