Aplicaci´ on de la convoluci´ on a la teor´ıa de probabilidad:
densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes absolutamente continuas
Unas definiciones necesarias:
Funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria. Sea (Ω,F, P) un espacio de probabilidad, i.e. un espacio de medida con P(Ω) = 1, y sea ξ : Ω → R una variable aleatoria, i.e. una funci´onF-medible. La funci´on de distribuci´on de ξ se define por:
Fξ(x) := P(ξ ≤ x) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ x}).
La funci´on Fξ siempre es creciente (en el sentido amplio), Fξ(−∞) = 0, Fξ(+∞) = 1.
Funci´on de densidad de una v.a. absolutamente continua. Se dice que ξ es continua si Fξ es continua. Se dice que ξ es absolutamente continua si Fξ se puede escribir en forma
Fξ(x) =
x
Z
−∞
fξ(u) du,
donde fξ ∈ L1(R). En este caso fξ se llama funci´on de densidad de ξ.
1. Ejemplo: distribuci´on uniforme en un intervalo. Calcular Fξ si fξ = 1
b − a1[a,b]. Media y varianza. Sea (Ω,F, P) un espacio de probabilidad y sea ξ : Ω una variable aleatoria. La media de ξ se define por:
E(ξ) = Z
Ω
ξ(ω) dP(ω).
La varianza de ξ se define por:
Var(ξ) = E((ξ − E(ξ))2).
La desviaci´on t´ıpica de ξ se define comopVar(ξ).
Si ξ es absolutamente continua, entonces E(ξ) =
Z
R
x fξ(x) dx, Var(ξ) = Z
R
(x − E(ξ))2fξ(x) dx.
p´agina 1 de 2
Ejemplo: distribuci´on normal. Se dice que una variable aleatoria continua ξ sigue una distribuci´on normal de par´ametros a y σ y se denota ξ ∼ N (a, σ) si su funci´on de densidad est´a dada por:
fξ(x) = 1 σ√
2πe−(x−a)22σ2 .
2. Tarea: media y varianza de la distribuci´on normal. Sea ξ una v.a. de distribuci´on normal con par´ametros a y σ. Demostrar que E(ξ) = a, y la desviaci´on t´ıpica de ξ es σ, i.e. Var(ξ) = σ2.
Variables aleatorias independientes. Variables aleatorias ξ y η son independientes si su distribuci´on conjunta
Fξ,η(x, y) := P(ξ ≤ x ∧ η ≤ y) cumple la f´ormula Fξ,η(x, y) = Fξ(x)Fη(y).
Densidad de distribuci´on conjunta de variables aleatorias independientes. Si ξ y η son variables aleatorias independientes absolutamente continuas, entonces para todo subconjunto medible D de Rn se cumple la siguiente f´ormula:
P((ξ, η) ∈ D) = Z Z
D
fξ(u)fη(v) du dv.
3. Tarea: densidad conjunta de la suma de dos variables aleatorias independien- tes. Sean ξ y η variables aleatorias independientes absolutamente continuas. Demostrar que ξ + η tambi´en es absolutamente continua:
Fξ+η(x) =
x
Z
−∞
fξ+η(u) du,
donde fξ+η = fξ∗ fη, i.e.
fξ+η(x) = Z
R
fξ(x − y)fη(y) dy.
4. Tarea: suma de dos variables de distribuci´on normal. Sean ξ, η ∼ N (0, 1).
Demostrar que ξ + η ∼ N (0, 2).
p´agina 2 de 2
