Generación de variables aleatorias continuas

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Generaci´on de variables aleatorias continuas

Se dice que una variable aleatoria X es continua, o m´as propiamente, absolutamente continua, si existe f : R 7→ R tal que

F (x) := P (X ≤ x) = Z x

−∞

f (t) dt.

Al igual que para las v.a. discretas, analizaremos dos métodos de generación para variables continuas, con las respectivas mejoras en cada caso particular. Estos métodos también se denominan:

Método de la transformada inversa. Método de aceptación y rechazo.

1. M´etodo de la transformada inversa

La generación o simulación de valores de una v.a. por el método de la transformada inversa, requie-re conocer la función de distribución acumulada de la variable X a simular. Si X es (absolutamente) continua, entonces existe f : R 7→ R tal que su función de distribución está dada por:

F (x) = Z x

−∞

f (t) dt, y f se denomina la funci´on de densidad de X.

La funci´on F es continua, no decreciente, y se cumple que: l´ım

x→−∞F (x) = 0, x→∞l´ım F (x) = 1.

En esta sección nos referiremos a variables aleatorias X cuya función de distribución sea monótona creciente sobre el conjunto F−1(0, 1) = {x | 0 < F (x) < 1}. De esta manera, la función F tiene inversa sobre el intervalo (0, 1).

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Modelos y Simulación - 2017 Proposición 1. Sea U ∼ U (0, 1) una variable aleatoria. Para cualquier función de distribución continua F , monótona creciente en F−1(0, 1), la variable aleatoria X definida por:

X = F−1(U ) tiene distribuci´on F .

Notemos que U toma valores en el intervalo (0, 1), excluyendo los puntos 0 y 1. La propiedad de monoton´ıa de F asegura que F tiene inversa en (0, 1).

As´ı, si X = F−1(U ), su función de distribución está dada por: FX(x) = P (X ≤ x) = P (F−1(U ) ≤ x).

Como F es creciente, entonces a ≤ b si y s´olo si F (a) ≤ F (b). Tomando a = F−1(U ) y b = x, resulta: FX(x) = P (F (F−1(U )) ≤ F (x)) = P (U ≤ F (x)) = F (x).

Luego X tiene distribuci´on F .

Esta proposici´on da un m´etodo en principio simple para simular una variable aletoria continua:

1 def Tinversa(F):

2 U=random()

3 return G(U) # G = F−1

Sin embargo, pueden existir algunas complicaciones. Por ejemplo, que la inversa de F involucre fun-ciones computacionalmente costosas. (pf(x), log(x), etc.), o que no pueda ser calculada expl´ıcitamenten

(p. ej., distribuci´on de la normal, de una gamma).

As´ı, para ciertas distribuciones deben utilizarse otras estrategias, por ejemplo expresando a F como distribuci´on del m´ınimo y/o del m´aximo de v. a. independientes,

distribuci´on de suma de variables aleatorias independientes, distribuci´on de una v. a. condicional a otra,

u otros m´etodos espec´ıficos.

Ejemplo 1.1. Escribir un m´etodo para generar el valor de una v. a. X con funci´on de densidad f (x) = −x

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Modelos y Simulaci´on - 2017 F (x) =          0 x ≤ 0 −x₄2 + x 0 < x < 2 1 x ≥ 2

F resulta entonces mon´otona creciente en el intervalo (0, 2).

Para simular X debemos determinar la inversa de F en (0, 1). Es decir, para cada u ∈ (0, 1), encon-trar el valor x tal que

−x

2

4 + x = u. Esta ecuaci´on tiene dos soluciones para x:

         x = 2 + 2√1 − u o x = 2 − 2√1 − u

pero sólo la segunda pertenece al intervalo (0, 2). Luego el algoritmo de generación será:

def inversaX(): U=random()

return _2-2*sqrt(U)

Ejemplo 1.2. Escribir un m´etodo para generar el valor de una v. a. Y con funci´on de densidad

f (x) =          0.25 0 ≤ x ≤ 2 0.5 2 < x < 3 0 c.c.

Para esta variable aleatoria, la función de distribución está dada por:

F (x) =                0 x ≤ 0 x 4 0 ≤ x ≤ 2 x−1 2 2 < x < 3 1 x ≥ 3

(4)

Modelos y Simulaci´on - 2017 def inversaY(): U=random() if U<0.5: return _4*U else: return 2U+1

Ejemplo 1.3. Consideremos X1, X2, . . . , Xn n variables aleatorias independientes, con funciones de

distribuci´on F1, F2, . . . , Fn, respectivamente:

Fi(a) = P (Xi≤ a).

Llamamos X a la variable aleatoria que es el m´aximo de las Xi, 1 ≤ i ≤ n:

X = m´ax{X1, X2, . . . , Xn}.

Entonces la función de distribución de X está dada por:

FX(a) = F1(a) · F2(a) . . . Fn(a).

En particular, si X1, X2, . . . , Xnson uniformes en (0, 1), independientes entre s´ı, tenemos que Fi(x) =

x, 0 ≤ x ≤ 1 e 1 ≤ i ≤ n. Luego el m´aximo de las Xi tiene una distribuci´on dada por:

FX(x) = xn, 0 ≤ x ≤ 1.

As´ı, si se desea simular una variable aleatoria con distribuci´on FX(x) = xn, en lugar de tomar una

ra´ız n-´esima es conveniente generar n uniformes y tomar su m´aximo.

def raizn(n): Maximo=0 for i in range(n): U=random() If Maximo<U: Maximo=U return Maximo

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1.1 Generación de una v. a. Poisson X ∼ P(λ) Modelos y Simulación - 2017 Luego, si u ∈ (0, 1), entonces F (x) = u si y sólo si 1 − e−x= u, es decir:

x = − ln(1 − u).

Dado que si U ∼ U (0, 1) entonces (1 − U ) tambi´en es uniforme en (0, 1), el algoritmo por el m´etodo de la transformada inversa es:

def exponencial(): U=random()

return -log(U)

Notemos además que si X es exponencial con parámetro 1, esto es, X ∼ E(1), entonces 1_λX ∼ E (λ). Luego el método para generar Y ∼ E(λ) es

def exponencial(lambda): U=random()

return -log(U)/lambda

1.1. Generaci´on de una v. a. Poisson X ∼ P(λ)

Si P (t), t ≥ 0 es un proceso de Poisson homogéneo de parámetro λ, entonces sabemos que: los tiempos de llegada entre eventos son v. a. exponenciales de parámetro λ.

el número de eventos en un intervalo de tiempo de longitud t es una v. a. Poisson de media λ · t. En particular, N (1) es una v. a. Poisson de media λ que indica el número de arribos hasta el tiempo t = 1, y los tiempos entre arribos en el intervalo [0, 1] son exponenciales de parámetro λ.

Por lo tanto, si se generan variables exponenciales Xi ∼ E(λ), i ≥ 1, hasta que X1+X2+· · ·+Xn≤

1 y X1+ X2+ · · · + Xn+ Xn+1> 1, entonces n representa el n´umero de arribos hasta t = 1. Esto es:

N (1) = m´ax{n | X1+ X2+ · · · + Xn≤ 1}

Empleando v.a. uniformes para generar las exponenciales, tenemos que N (1) = m´ax{n | X1+ X2+ · · · + Xn≤ 1}

= m´ax{n | −1

λ(log(U1) + log(U2) + · · · + log(Un)) ≤ 1} = m´ax{n | −1

λ(log(U1· U2· · · Un)) ≤ 1} = m´ax{n | log (U1· U2· · · Un) ≥ −λ}

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1.2 Generación de una variable aleatoria con distribución Gamma(n,λ) Modelos y Simulación - 2017 Luego:

N (1) = m´ın{n | U1· U2· · · Un< e−λ} − 1

1.2. Generaci´on de una variable aleatoria con distribuci´on Gamma(n,λ)

En otras secciones hemos visto que la suma de n variables aleatorias exponenciales, independientes, con parámetro λ, es una variable aleatoria Xcon distribución Gamma(n, λ). Esta propiedad nos permite dar un algoritmo de generación de X. Notemos que

X = −1 λlog(U1) − 1 λlog(U2) · · · − 1 λlog(Un) = −1 λlog (U1· U2· · · Un)

def Gamma(n,lambda): U=1

for _ in range(n): U_*=random()

return -log(U)/lambda

Notemos que este método utiliza n variables uniformes y calcula un único logaritmo, mientras que, para generar n exponenciales es necesario calcular n logaritmos. Veamos cómo puede utilizarse la gene-ración de una Gamma(n, λ) para generar n exponenciales independientes de parámetro λ.

Teorema 1.1. Si X, Y ∼ E(λ), independientes, entonces fX|X+Y(x | t) =

1

tI(0,t)(x), es decir, X condicional a X + Y = t es uniforme en (0, t).

La demostraci´on de este teorema y del caso general para n exponenciales est´a disponible en el mate-rial complementario.

Luego, para generar X, Y exponenciales independientes, de par´ametro λ podemos aplicar el siguien-te algoritmo:

def DosExponenciales(lambda):

t= -1/lambda _* log(random() _* random()) # valor de una Gamma(2,lambda)

U=random() X=t*U Y=t-X

(7)

Modelos y Simulación - 2017 Este algoritmo requiere el cálculo de un único logaritmo, y tres uniformes.

En el caso general, para simular n exponenciales a partir de una X ∼ Gamma(n, λ) se requiere calcular un ´unico logaritmo y n − 1 uniformes adicionales: V1, V2, . . . , Vn−1. En primer lugar se ordenan

los valores de las Vi:

Vi1 < Vi2 < . . . < Vin−1.

Si X = t, entonces el intervalo (0, t) se divide en n subintervalos no superpuestos, de longitud: tVi1, t (Vi2 − Vi1), t (Vin−1− Vin−2), t(1 − Vin−1).

Cada uno de estos valores tiene distribuci´on exponencial E(λ).

NEXPONENCIALES(λ)

1 X = log(U1· U2· · · Un) # Ui= random()

2 t = −1_λX

3 Generar V1, V2, . . . , Vn−1 ∼ U (0, 1)

4 Ordenarlos de menor a mayor

5 return [t V1, t (V2− V1), . . . , t (Vn−1− Vn−2), t − t Vn−1]

2. El m´etodo de aceptaci´on y rechazo

Supongamos que se quiere generar una variable aleatoria X con funci´on de densidad f : F (x) = P (X ≤ x) =

Z x

−∞

f (t) dt,

y que se tiene un m´etodo para generar otra variable Y , con densidad g, tal que f (y)

g(y) ≤ c, para todo y ∈ R tal que f (y) 6= 0.

El m´etodo de rechazo para generar X a partir de Y tiene el siguiente algoritmo:

M ´ETODO DE RECHAZO 1 repeat

2 Generar Y , con densidad g

3 U = random()

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Modelos y Simulaci´on - 2017 El siguiente teorema establece que el M ´ETODO DE RECHAZOes eficaz para generar X con densidad f : Teorema 2.1. 1. La variable aleatoria generada por elMETODO DE RECHAZO´ tiene densidad f .

2. El n´umero de iteraciones del algoritmo es una variable aleatoria geom´etrica con media c.

Este algoritmo requiere determinar una cota c para el cociente f (x)_g(x), válida para todo x ∈ R. Para determinar este valor es útil recordar algunos resultados del Análisis Matemático.

En primer lugar, considerar la funci´on h(x) = f (x)

g(x), x tal que f (x) 6= 0, y para esta funci´on determinar:

1. Puntos cr´ıticos: Esto es, f0(x) = 0 o f0(x) no existe.

2. Analizar cu´ales de estos puntos corresponden a m´aximos locales.

3. Evaluar h en los extremos de su dominio, si es acotado, o los l´ımites correspondientes. Ejemplo 2.1. Se quiere generar una variable aleatoria X con funci´on de densidad:

f (x) = 20x(1 − x)3, 0 < x < 1. En particular, X tiene distribuci´on Beta(2, 4):

f (x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β)x

α−1_{(1 − x)}β−1

I(0,1)(x) Variable β(2, 4)

Dado que f (x) 6= 0 en el intervalo (0, 1), se podr´ıa utilizar el m´etodo de rechazo generando una variable Y ∼ U (0, 1). Tenemos entonces que

fX(x) = 20x(1 − x)3, fY(x) = 1, x ∈ (0, 1),

y h(x) = fX_fY_(x)(x) = fX(x).

Los pasos para analizar una cota de h son los siguientes:

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Modelos y Simulaci´on - 2017 f (1) = 0, luego x = 1 no es un m´aximo.

x = 1/4 es el otro punto cr´ıtico, luego es el m´aximo por ser h ≥ 0. h(1/4) = f (1/4) = 135/64 es el valor m´aximo de h

c = 135

64 = 2.109375 El algoritmo utilizando el M ´ETODO DERECHAZOresulta:

BETA(2,4) 1 repeat 2 Y = random() 3 U = random() 4 until U < 256 · Y · (1 − Y ) 3 27 5 return Y

Este m´etodo requiere un n´umero promedio de ciclos del orden de c = 135

64 ≈ 2.11.

Ejemplo 2.2. Veamos c´omo es posible generar una variable aleatoria X, con densidad Gamma(3₂, 1):

f (x) =    Kx1/2e−x x > 0 0 c.c. , K = 1 Γ(3₂) = 2 √ π. En general, si X ∼ Γ(α, β), su funci´on de densidad est´a dada por

g(x) = β α Γ(α)e −βx_xα−1_, _{x > 0,} y su valor esperado es E[X] = α β.

En este caso, α = 3₂ y β = 1, por lo cual E[X] = 3₂. Dado que una variable exponencial tiene el mismo rango que X, una posibilidad entonces es utilizar el m´etodo de rechazo con una variable exponencial Y ∼ E (λ) que tenga igual media que X, es decir, Y ∼ E(2₃).

El m´etodo de rechazo implica calcular la constante c tal que fX(x)_fY_(x) ≤ c, si x > 0. Esto es, debemos hallar una cota superior para la funci´on:

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Modelos y Simulaci´on - 2017 Tenemos que h0(x) = 0 si y s´olo si

(1 2− 1 3x)x −1 2e− 1 3x= 0

Dado que l´ımx→∞h(x) = 0 y l´ımx→0+h(x) = 0, el valor máximo estará dado en algún punto cr´ıtico.

En este caso, el valor de x tal que 1 2 − 1 3x = 0, x = 3 2. Para este punto cr´ıtico, el valor m´aximo alcanzado por la funci´on es:

c = 3 3 2πe 1/2 ≈ 1.257 As´ı el algoritmo resulta:

GAMMA(3/2, 1) 1 repeat 2 Y = −2₃ · log(random()) 3 U = random() 4 until U < 2e₃1/2Y1/2e−Y /3 5 return Y

Podr´ıamos preguntarnos en el Ejemplo 2.2 si es razonable rechazar con una exponencial de igual media que la Gamma a generar. Para ello, deber´ıamos encontrar una cota de:

f (x) λe−λx

y determinar el valor de λ para la cual la cota es m´ınima. Notemos que: f (x)

λe−λx =

Kx1/2e−(1−λ)x

λ ,

y esta función es no acotada si λ ≥ 1. Luego corresponde analizar los casos en que 0 < λ < 1. Analizando puntos cr´ıticos, podemos ver que el punto de máximo está en:

x = 1

2(1 − λ), 0 < λ < 1. y el valor m´aximo es igual a

cλ =

K

λ(2(1 − λ))

−1/2_e−1/2_.

El valor máximo cλserá m´ınimo si λ(1 − λ)1/2es máximo, y esto ocurre si λ = 2₃. Por lo tanto λ = 2₃

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Modelos y Simulaci´on - 2017

3. Generaci´on de variables aleatorias normales

Las variables aleatorias normales tienen un uso extensivo, por lo cual es importante obtener un buen m´etodo para simularlas. En primer lugar, recordemos que si Z ∼ N (0, 1), entonces

X = σ · Z + µ ∼ N (µ, σ).

Por lo tanto es suficiente tener un buen m´etodo para generar variables normales est´andar.

El método de la transformada inversa no es una opción, puesto que la función de distribución acumulada: F (x) = √1 2π Z x −∞ e−t22 dt

no tiene una expresi´on cerrada y por lo tanto no se conoce una forma expl´ıcita de su inversa.

Una observación es que la función de densidad de Z es par, por lo cual puede intentarse un método para generar |Z| y usar luego un método de composición:

FZ(x) = 0.5 · F|Z|(x) + 0.5 · F−|Z|(x),

con el consiguiente algoritmo:

NORMAL-M ´ETODO1 1 U = random() 2 if U < 0.5 3 return |Z| 4 else 5 return −|Z|

Es necesario entonces un m´etodo para generar |Z|. Su densidad est´a dada por:

f|Z|(x) =    2 √ 2πe −x2_/2 x > 0 0 c.c.

Una posibilidad es utilizar el m´etodo de rechazo con una exponencial, por ejemplo, X = E(1). Debemos encontrar una cota para:

f|Z|(x) e−x = 2 √ 2πe −x2₂ +x_.

Este máximo corresponde al valor máximo del exponente de la exponencial, que ocurre en x = 1. El valor máximo y por consiguiente la cota m´ınima c está dada por:

c = r

2e

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Modelos y Simulaci´on - 2017 Para describir el algoritmo, calculamos:

f (x) cg(x) = exp −(x − 1) 2 2 .

Luego el m´etodo de rechazo simula Y1 ∼ E(1), U uniforme, e itera hasta que:

U ≤ exp −(Y1− 1) 2 2 , es decir: log(U ) ≤ −(Y1− 1) 2 2 o equivalentemente − log(U ) ≥ (Y1− 1)2 2 .

Dado que Y2 = − log(U ) genera una exponencial E(1), el algoritmo por el m´etodo de rechazo para

generar Z se traduce en:

def Normal(mu,sigma):

while True: Y1=-log(random) Y2=-log(random) if Y2 >=(Y1-1)_**2/2: break if random()<0.5: return Y1_*sigma + mu else: return -Y1_*sigma + mu

Recordemos que una variable con distribuci´on exponencial posee la propiedad de falta de memoria: P (X > s + t | X > t) = P (X > s).

Es decir, condicional a que la variable X sea mayor a t, la cantidad que excede a este valor tambi´en tiene distribuci´on exponencial. En particular, en el paso del algoritmo amterior en que se acepta el valor de Y1,

ocurre que Y2supera a (Y1− 1)2/2 y por lo tanto la cantidad que excede:

Y2− (Y1− 1)2/2

tiene distribuci´on exponencial E(1).

De esta manera, el m´etodo de rechazo para generar Z ∼ N (0, 1) permite generar tambi´en una exponencial. Esta exponencial podr´ıa ser utilizada en pasos sucesivos como el primer valor de Y1, y

as´ı disminuir en 1 el número de exponenciales generadas. Como el método tiene un promedio de c ∼ 1.32 iteraciones, el número de exponenciales necesarias será del orden de

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3.1 M´etodo polar Modelos y Simulaci´on - 2017

3.1. M´etodo polar

Otro m´etodo eficiente para generar variables normales es el m´etodo polar. El nombre se refiere al uso de coordenadas polares para referenciar puntos del plano:

x = r cos θ, y = r sen θ, r ≥ 0, , 0 ≤ θ < 2π. (1) Consideramos dos variables aleatorias X e Y , normales est´andar, independientes. Dado que toman cual-quier valor real, entonces el par (X, Y ) denota a alg´un punto del plano que podr´ıa ser cualcual-quiera. Las coordenadas polares correspondientes a este punto, R y Θ, verifican:

R2 = X2+ Y2, Θ = arctan Y X. La funci´on de densidad conjunta de X e Y est´a dada por:

fX,Y(x, y) = fX(x) · fY(y) =

1 2πe

−(x2_+y2₎

. La transformaci´on de coordenadas (r2, θ) a (x, y) es:

r2= x2+ y2, θ = arctany x, y por lo tanto la matriz jacobiana est´a dada por:

∂ ∂x(x 2_{+ y}2₎ ∂ ∂y(x 2_{+ y}2₎ ∂ ∂x(arctan y x) ∂ ∂θ(arctan y x) ! = 2x 2y − y x2_+y2 _x2_+yx 2 !

con determinante jacobiano igual a 2. Por lo tanto, la densidad conjunta de R2y Θ satisface: fX,Y(x, y) = 2 fR2_,Θ(d, θ), x2+ y2 = d, tan(θ) = y/x.

As´ı, formalmente resulta:

fR2_,Θ(d, θ) = 1 2 1 2πe −d/2 I[0,∞)(d)I[0,2π)(θ) = 1 2πI[0,2π)(θ) | {z } Θ∼U (0,2π) · e−d/21 2I[0,∞)(d) | {z } R2_∼E(1 2

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3.1 Método polar Modelos y Simulación - 2017 def DosNormales(): Rcuadrado=-2*log(random()) Theta= 2*Pi_*random() X= sqrt(Rcuadrado)_*cos(Theta) Y= sqrt(Rcuadrado)_*sen(Theta) return (X,Y) Las transformaciones: _   X =p−2 log(U1) cos(2πU2) Y =p−2 log(U1) sen(2πU2) (2) se denominan transformaciones de Box-Muller. Una desventaja de estas transformacioneses que re-quieren el cálculo de dos funciones trigonométricas: seno y coseno. Para mejorar este paso, notemos que si (X, Y ) son las coordenadas de un punto aleatorio en el c´ırculo unitario, entonces:

P (X2+ Y2 ≤ r) = P (pX2_{+ Y}2_≤√_{r) =} π r 2 π = r, 0 < r < 1, P (0 < arctanY X < α) = α/2 π = 1 2πα, 0 ≤ α < 2π.

As´ı, S2 = X2+ Y2 y Θ = arctanY_X resultan variables independientes, uniformemente distribuidas en [0, 1) y [0, 2π) respectivamente. Adem´as, cos Θ = √ X X2_{+ Y}2 = X √ S2, sen Θ = Y √ X2_{+ Y}2 = Y √ S2. (3)

En resumen, para generar cos Θ y sen Θ debemos: 1. Generar un punto aleatorio (X, Y ) del c´ırculo unitario. 2. Calcular cos Θ y sen Θ usando (3).

La generaci´on de puntos aleatorios en el c´ırculo se reduce a generar pares de puntos (V1, V2) en el

cuadrado unitario hasta obtener uno en el c´ırculo unitario. Las transformaciones de Box-Muller se reescriben entonces como:

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Modelos y Simulaci´on - 2017 Ahora, como S2 = V₁2+ V₂2es uniforme en (0, 1) y es independiente de Θ, puede ser utilizado como U en (4) y (5), resultando las ecuaciones:

X =p−2 log U ·√V1 U = V1· r −2 log U U (6) Y =p−2 log U ·√V2 U = V2· r −2 log U U (7)

Finalmente, el m´etodo polar para generar dos variables normales resulta:

def DosNormales():

#Generar un punto aleatorio en el c´ırculo unitario. while True: V1, V2 = 2*random()-1, 2*random()-1 if V1_**2+V2_**2<=1: break S=V1_**2+V2_**2 X=V1_*sqrt(-2*log(S)/S) Y=V2_*sqrt(-2*log(S)/S) return (X,Y)

4. Generaci´on de un Proceso de Poisson

En un proceso de Poisson homogéneo de razón λ, los tiempos de llegada entre eventos sucesivos son exponenciales con razón λ (media 1/λ). As´ı, para generar los primeros n eventos de un Proceso de Poisson homogéneo, generamos exponenciales Xi∼ E(λ), 1 ≤ i ≤ n:

Primer evento: al tiempo X1.

j-´esimo evento: al tiempo X1+ X2+ · · · + Xj, para 1 ≤ j ≤ n.

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Modelos y Simulaci´on - 2017 def eventosPoisson(T): t=0 I=0 S[0]=0 while True: U=random()

if t-log (U)/lambda >T:

break else:

t= t-log (U)/lambda

I+=1

S[I]=t

Ahora bien, sabemos que N (T ), el número de eventos hasta el tiempo T , es una variable aleatoria con distribución Poisson P(λT ). Además, conocido N (T ), los tiempos de arribo se distribuyen unifor-memente en (0, T ):

Proposición 2. Dado N (T ), la distribución de los tiempos de arribo en un Proceso de Poisson ho-mogéneo de razón λ es uniforme en (0, T ).

Por lo tanto, un m´etodo alternativo para generar los tiempos de arribo hasta el tiempo T consiste en: Generar una variable aleatoria Poisson de media λT , y tomar n = N (T ).

Generar n variables aleatorias uniformes U1, U2, . . . , Un.

Ordenarlas: Ui1 < Ui2 < . . . < Uin.

Los tiempos de arribo son: T Ui1, T Ui2, . . . , T Uin.

Si bien este algoritmo posee la ventaja de no generar una secuencia de exponenciales, requiere reali-zar un ordenamiento de n = N (T ) n´umeros.

5. Generaci´on de un proceso de Poisson no homog´eneo

Consideremos un proceso de Poisson no homog´eneo con funci´on de intensidad λ(t), y sea λ tal que λ(t) ≤ λ.

Si ahora N1(t) es un proceso homog´eneo, de tasa λ, y consideramos N (t) el proceso que cuenta los

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Modelos y Simulaci´on - 2017 N (0) = 0, pues N1(0) = 0.

Los incrementos son independientes, pues los incrementos de N1lo son.

l´ım h→0 P (N (t + h) − N (t) = 1) h = l´ımh→0 P (N1(t + h) − N1(t) = 1, U ≤ λ(t)_λ h = λ · λ(t) λ = λ(t). l´ım h→0 P (N (t + h) − N (t) ≥ 2) h = l´ımh→0 P (N1(t + h) − N1(t) ≥ 2, U ≤ λ(t)_λ h = 0

Luego N (t) es un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad λ(t). Por lo tanto, estas propiedades nos permiten deducir el siguiente algoritmo de generación de un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad λ(t):

PROCESOPOISSON NO HOMOGENEO(λ(t))´ 1 t = 0 2 I = 0 3 while True 4 U = random() 5 if t − _λ1log U > T 6 break 7 else 8 t = t −_λ1log U 9 V = random() 10 if V < λ(t)_λ 11 I = I + 1 12 S[I] = t

Nuevamente, I finaliza con el n´umero de eventos hasta el tiempo T , es decir, N (T ), y S[0], S[1], . . . , S[T ] son los tiempos de cada evento.

Notemos que el algoritmo es más eficiente cuánto más cerca esté λ de λ(t), ya que cuanto más grande sea λ más iteraciones tendrá el método. Una mejora de este algoritmo es particionar el intervalo (0, T ) en subintervalos, y aplicar el algoritmo anterior en cada uno de ellos con un valor λiadecuado. Esto es,

considerar k intervalos consecutivos [ti−1, ti), 1 ≤ i ≤ k tales que:

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Modelos y Simulaci´on - 2017 y valores λ1, λ2, . . . , λkque cumplan

λ(s) ≤ λi, s ∈ [ti−1, ti).

El m´etodo resulta entonces: 1 t = 0 # acumula tiempos 2 J = 1 # recorre intervalos