Serie detaylor y Maclaurin:

Serie deTaylor y Maclaurin:

Theorem Si f tiene una representación en serie de potencias(expansion) ena, ésta es:

fx 



n0



cnxan |xa|  R

entonces los coeficientes están dados por la fórmula

cn  f

n_a

n!

Sustituyendo la fórmula paracn en la serie, obtenemos la siguiente forma paraf, llamada la serie deTaylor de la funciónfena( o alrededor de ocentrada ena):

fx  fa f_1!axa f_2!axa2 f_3!axa3. . . fx 



n0  fn_a n! xa n _ fa fa 1! xa fa 2! xa 2_ fa 3! xa 3_ . . .

En el caso especial dondea  0, obtenemos la siguiente serie, llamadala serie de Maclaurin:

fx 



n0  fn_0 n! x n _{ f0} f0 1! x f0 2! x 2_ f0 3! x 3_{. . .}

Las funciones que pueden ser representadas como series de potencias en "a" son llamadas analíticas ena.

Las funciones analíticas son infinitamente diferenciables ena;esto es, ellas tienen derivadas de todo orden ena. Sin embargo, no todas las funciones infinitamente diferenciables son

analíticas.

La suma parcial de una serie de Taylor está dada por:

Tnx 



i0 n fi_a i! xa i _ fa fa 1! xa fa 2! xa 2_ . . . f n_a n! xa n

Tn es un polinomio de gradonllamado el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en "a" Theorem Sifx  TnxRnx, dondeTnes el polinomio de Taylor def enay

lim

nRnx  0

para|xa|  R, entoncesfes iguala la suma de su serie de Taylor en el intervalo|xa|  R; esto es,fes analítica ena.

Theorem (Taylor’s Formula) Siftienen1derivadas en un intervaloIque contiene al número a, entonces paraxenIexiste un númerozestrictamente entrex yatal que el término residual en la serie de Taylor puede ser expresado como:

Rnx  f

n1_z

n1!xa

n1

Remark (1) Para el caso especialn  0, si sustituimos x  byz  cen la Fórmula de Taylor , obtenemos:

Este resultado es el Teorema del valor medio.

Remark La expresión forRnxes conocida como la forma de Lagrange del término residual

En la aplicación de la fórmula de Taylor, la siguiente ecuación es a menudo muy útil:

lim_n xn

n!  0 Para cada número realx

Series de Maclaurin importantes son

Maclaurin Series Interval of Convergence

1 1x 



n0  xn _{ 1xx}2_x3_{. . . 1, 1} ex _



n0  xn n!  1 x 1!  x2 2!  x3 3! . . . , sin x 



n0  1n_2nx2n_₁1_!  x _3!x3  x_5!5  x_7!7 . . . , cos x 



n0  1n x_2n2n_!  1 x_2!2  x_4!4  x_6!6 . . . , tan1_{x }



n0  1n x_2n2n_₁1  x x₃3  x₅5  x₇7 . . . 1, 1

Notabene: Obsérvese que si hacemosx  1enex _



n0  xn n!  1 x 1!  x2 2!  x3 3! . . ., Ud.

obtendrá una expresión para el númeroecomo una suma de infinitos términos:

e 



n0  1 n!  1 1 1!  1 2!  1 3! . . .

Serie de Taylor

La serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor más general. La serie de Taylordefexpandida sobrex  aestá dada por:



n0  fn_a n! xa n

y aquí se halla expandida en potencias de:xa.

Usando el SWP:

For Taylor series, enter the number of terms and the point of expansion in the Series dialog box. To find the Taylor series ofln xexpanded aboutx  1, choose Powers Series. In the dialog box, select the desired number of terms and expand about the pointx1.

 Power Series ln x  x1 1 2x1 2_ 1 3x1 3_ 1 4x1 4_ O x15

A comparison betweenln xand the polynomialx1 1₂x12 1₃x13 1₄x14is illustrated graphically in the following figure.

ln x x1 1 2x1 2_ 1 3x1 3_ 1 4x1 4 2 1.5 1 0.5 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 x y x y

You can produce the following power series expansions.  Power Series 1 x  1₂  1₄x2 1₈x2 2  1 16x2 3_ 1 32x2 4_ O x25 sin x  x 1 6x 3_ O x5 x  1 1₂x1 1₈x12 ₁₆1 x13 ₁₂₈5 x14O x15 csc x  1 1₂ x 1₂ 2 ₂₄5 x 1₂ 4O x 1₂ 5 2 sin2_{x  2x}2_ 2 3x 4_ O x6 1cos 2x  2x2 2₃x4O x5 Maclaurin Series

TheMaclaurin seriesof a functionfis the series



n0  fn_0 n! x n

wherefn_{0indicates thenth derivative offevaluated at0.}

To expand a functionfxin a Maclaurin series (power series aboutx  0), choose Power Series, specify desired Number of Terms, and then specify Expand in Powers ofx. With

fx  sin x

x and 10 terms, the result is as follows.

 Power Series sin x x  1 16x 2_ 1 120x 4_ 1 5040x 6_ 1 362880x 8_Ox9_

TheOx9_{term indicates that all the remaining terms in the series contain at leastx}9_{as a}

factor. (In fact, the truncation error is of orderx10_{in this case.) The odd powers ofxhave}

coefficients0.

Plot 2D provides an excellent visual comparison between a function and an approximating polynomial.  Plot 2DRectangular sin x x , 1 16x 2_ 1 120x 4  Plot 2DRectangular sin x x , 1 16x 2_ 1 120x 4 5 2.5 0 -2.5 -5 2 1.5 1 0.5 0 x y x y

To determine which graph corresponds to which equation, evaluate one of the expressions where the graphs show some separation. For example, sin 4

4  . 1892006238, and hence the

graph of sin x

x is the one that is negative atx  4.

The following are additional examples of Maclaurin series expansions.  Power Series ln1x  x 1₂x2_ 1 3x 3_ 1 4x 4_ 1 5x 5_Ox6_ tan1_{x  x} 1 3x 3_ 1 5x 5_ 1 7x 7_ 1 9x 9_Ox10_ sin2_{x  x}2_ 1 3x 4_ 2 45x 6_ 1 315x 8_Ox10_ ex _{ 1x} 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4_ 1 120x 5_ 1 720x 6_Ox7_ sin x  x 1 6x 3_ 1 120x 5_ 1 5040x 7_ 1 362880x 9_Ox10_ ex_{sin x  xx}2_ 1 3x 3_ 1 30x 5_ 1 90x 6_Ox7_

Remember that output can be copied and pasted (with ordinary word-processing tools) to create input for further calculations. In particular, select and delete theOxn_{expression to}

Maclaurin series forex _{are multiplied by the first few terms of the Maclaurin series forsin x, then}

the result is the same as the first few terms of the Maclaurin series forex_{sin x.}

 Expand, Polynomials Sort

1x 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4_ 1 120x 5 _x 1 6x 3_ 1 120x 5  x 1₃x3_ 1 30x 5_x2_ 1 90x 6_ 1 360x 7_ 1 2880x 9_ 1 14400x 10  1 14400x 10_ 1 2880x 9_ 1 360x 7_ 1 90x 6_ 1 30x 5_ 1 3x 3_x2_x

Taylor Series

The Maclaurin series is a special case of the more general Taylor series. TheTaylor seriesof

fexpanded aboutx  ais given by



n0  fn_a n! xa n

and hence is expanded in powers ofxa.

For Taylor series, enter the number of terms and the point of expansion in the Series dialog box. To find the Taylor series ofln xexpanded aboutx  1, choose Powers Series. In the dialog box, select the desired number of terms and expand about the pointx1.

 Power Series

ln x  x1 1₂x12 1₃x13 1₄x14O x15

A comparison betweenln xand the polynomialx1 1

2x1 2_ 1 3x1 3_ 1 4x1 4 is illustrated graphically in the following figure.

 Plot 2DRectangular ln x x1 1 2x1 2_ 1 3x1 3_ 1 4x1 4 2 1.5 1 0.5 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 x y x y

 Power Series 1 x  1₂  1₄x2 1₈x2 2_ 1 16x2 3_ 1 32x2 4_ O x25 sin x  x 1 6x 3_ O x5 x  1 1₂x1 1₈x12 ₁₆1 x13 ₁₂₈5 x14O x15 csc x  1 1₂ x 1₂ 2 ₂₄5 x 1₂ 4O x 1₂ 5 2 sin2_{x  2x}2  2 3x 4_ O x6 1cos 2x  2x2 2₃x4O x5

1.- Desarrollar la serie de Taylor para la función:fx  ex _{en potencias de "x"} fx  ex _{ 1x} 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4_ 1 120x 5_ 1 720x 6_Ox7_ 4 2 0 -2 -4 50 37.5 25 12.5 0 x y x y

En la figura se muestran las gráficas asociadas afx  ex _{y a la nueva función dada por} gx  1x 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4_ 1 120x 5_ 1 720x 6_{en dondefx  gx}

Como se observa, en la figura,hay presente un intervalo, en donde ambas gráficas "casi" coinciden.e4 _{ 54. 598} gx  1x 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4_ 1 120x 5_ 1 720x 6

se calcularán algunos valores para visualizar la diferencia entre ellas, con algunos valores en el intervalo4, 4 g4f4 g3f3 g2f2 g1f1 g0f0  2. 137 2 0. 312 71 0. 020 22 1. 761 1104 0. 0 g1f1 g2f2 g3f3 g3. 5f3. 5 g4f4  2. 262 7104 3. 350 1102 0. 673 04 2. 162 6. 042 6

Aplicaciones posibles: Cálculo de algunos límites: lim x0 sin x x sin x  x 1 6x 3_ 1 120x 5_ 1 5040x 7_ 1 362 880x 9_Ox10_ lim x0 sin x x  limx0 x 1 6x 3_ 1 120x 5_ 1 5040x 7_ 1 362 880x 9 x lim x0 1 120x 4_ 1 6x 2_ 1 5040x 6_ 1 362 880x 8_{1  1} lim x0 1cos x x 1cos x  1 2x 2_ 1 24x 4_ 1 720x 6_ 1 40 320 x 8_Ox10_ lim x0 1cos x x  limx0 1 2x 2_ 1 24x 4_ 1 720x 6_ 1 40 320x 8 x : lim x0 1 2x 1 24x 3_ 1 720x 5_ 1 40 320x 7 _{ 0}

Estos ejemplos son sólo una muestra de lo que se podría hacer.

Resolución de ecuaciones trascendentes(no son posibles resolver mediante métodos elementales)

por ejemplo: 3xex _{ 0, Solution is:x  0. 619 06}

2 1 0 -1 -2 0 -1.25 -2.5 -3.75 -5 x y x y

según la gráfica tiene a lo menos dos soluciones, el SWP entrega una de ellas, usando solvenumeric, por otro método que se estudiará más adelante, es posible determinar ambas(pero nó simultáneamente.)

Con la expansión deex _{en uns serie de potencioas de x, veremos qué ocurre:} ex _{ 1x} 1 2x 2_Ox3_ 3x 1x 1 2x 2 _{ 0  2x} 1 2x 2_{1  0  x}2_{4x2  0, Solution is:} x  0. 585 79,x  3. 414 2

el valorx  0. 585 79obtenido mediante esta burda aproximación es sin embargo bastante cercano al valor obtenido por el programax  0. 619 06, al aproximar a un decimal.

Comprobemos la situación: 3xex _{ 0; seafx  3xe}x f0. 585 79 f0. 619 06  0. 039 04 1. 470 5106  0. 039 04 0. 000001 470 5

Suponiendo que el valor calculado por el programa es "sufientemente bueno" calcularemos el porcentaje de error:

0. 619 060. 585 79

0. 619 06 100  5. 374 3%

Puede ser que en un ejemplo como el presente no tenga mucho sentido realizar este

trabajo,pero sí lo tiene en otras situaciones, en cualquier caso, la idea era mostrar una aplicación sencilla.

Cálculo de integrales:

Hay integrales(muchísimas en verdad...) que no se pueden resolver mediante métodos elementales(métodos de integración vistos anteriormente), y la utilización de series de potencias puede ser de gran ayuda.

Así por ejemplo:



ex2

dx ex2  1x2_ 1 2x 4_ 1 6x 6_ 1 24x 8_ 1 120x 10_Ox12_



ex2 dx 



1x2_ 1 2x 4_ 1 6x 6_ 1 24x 8_ 1 120x 10 _dx



ex2 dx  x 1 3x 3_ 1 10x 5_ 1 42x 7_ 1 216x 9_ 1 1320x 11

Se puede observar los resultados numéricos asociados a cada integral definida,los cuales son bastante cercanos, el primero obtenido mediante el SWP y el segundo mediante la aproximación empleada.



₀.6 ex2 dx  0. 383 93   0. 680 50



₀.6 1x2_ 1 2x 4_ 1 6x 6_ 1 24x 8_ 1 120x 10 _{dx  0. 680 49}

Ahora bien, esta aproximación será mejor o peor según el intervalo en donde estemos integrando. ex2 , 1x2_ 1 2x 4_ 1 6x 6_ 1 24x 8_ 1 120x 10

1 0.75 0.5 0.25 0 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 x y x y

la gráfica anterior está definida en el intervalo0, 1, observemos otro intervalo.

ex2 , 1x2_ 1 2x 4_ 1 6x 6_ 1 24x 8_ 1 120x 10 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 100 75 50 25 0 x y x y

En la gráfica,obtenida en el intervalo1, 3, se observa cómo los valores obtenidos para cada función:ex2

y su aproximación,se van alejando uno de otro. Para una mayor exactitud,ex2

se deberían considerar una mayor cantidad de términos para la expansión.

Resolución de ecuaciones diferenciales:

dy dx e x _{ x} ex _{ 1x} 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4_Ox5_ dy dx 1x 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4 _{ x } dy dx   1 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4



dy  



1 1 2x 2_ 1 6x 3_ 1 24x 4 _dx y  x 1 6x 3_ 1 24x 4_ 1 120x 5

dy dx e

x _{ x }



_{dy }



_xex_{dx  y } x2

2 e

x

aunque la apariencia de ambos resultados es diferente, veamos qué tan cercana es una función de la otra. x2 2 e x_,x 1 6x 3_ 1 24x 4_ 1 120x 5 4 2 0 -2 -4 12.5 0 -12.5 -25 -37.5 x y x y

Ejercicios: Obtenga los primeros seis términos del desarrollo en serie de Taylor de las siguientes funciones en potencias de "x": (la respuestas se dan después del signo igual)

1.-fx  1 x2   1 2  1 4x 1 8x 2_ 1 16x 3_ 1 32x 4_ 1 64x 5_O_x6 2.-rx  e_xx  1_x 1 1 2x 16x 2_ 1 24x 3_ 1 120x 4_Ox5_ 3.-hx  ex2  1x2_ 1 2x 4_Ox6_ 4.-kx  lnx2_x _{ ln xx} 1 2x 2_ 1 3x 3_ 1 4x 4_Ox5_ 5.-lx  x x2  12x 14x 2_ 1 8x 3_ 1 16x 4_ 1 32x 5_ 1 64x 6_Ox7_

Obtenga los primeros seis términos del desarrollo en serie de Taylor de las siguientes funciones en potencias de "x-1": (la respuestas se dan después del signo igual)

1.-gx  x3 _{ 13x33x1}2_ x13O x16 2.-rx  e_xx  e 1 2ex1 2_ 1 3ex1 3_ 3 8ex1 4_ 11 30ex1 5_ O x16 3.-hx  ex2  e2ex13ex12 10 3 ex1 3_ 19 6 ex1 4_ 13 5 ex1 5_ O x16 4.-lx  x x2  1 3  2 9x 2 9  2 27x1 2_ 2 81x1 3  ₂₄₃2 x14 2 729x1 5_ O x16