Analisis Numerico METODO STEFFENSEN

xtractivapulvimetalurgiafl

otacioncavayereverberom

enagangarelaveriegogang

aneienineciininknccatodoc

obreelectrowiningsolucion

tostaciontromelconcentra

dorougherreextraccionorg

anicocargadoplsmolibdeni

tascavengerplantademolib

denofundicionespesadors

ulfurosgrizzleyzarandasag

chancadosecundariohpgr

molinodebarrasrelaveraflo

tacioncleanerremoliendac

onvertidorcobreblistersec

Integrantes:

-BERNAL HEREDIA, Héctor Jesus

-CARRANZA LEVANO, Renato

-JARA SOLORZANO, Edinson

-MIRANDA MARCOS , Jhony

STEFFENSEN

12 de Setiembre del 2015

CONTENIDO:

1. Concepto Teorico del Método STEFFENSEN---02

2. Pasos a seguir para la resolución de un problema---05

3. Algoritmo del Metodo Steffensen---06

4. Problemas del Metodo Steffensen---07

MÉTODO DE STEFFENSEN

 Johan Frederik Steffensen descubrió un algoritmo que permite calcular las raíces en ecuaciones no lineales rápidamente.

 Este algoritmo es una combinación del Método del Punto Fijo y del Método de Aiken, este método también es conocido como Método de Punto Fijo acelerado.

 El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y cuadrática; y no requiere, como el caso del método de newton, la evaluación de derivada alguna.

 Solo necesita un punto inicial en el proceso de iteración. En cada iteración,el número de dígitos correctos en la respuesta se duplica.

 El problema de este método es la elección del valor inicial Xo.

Suponga que la ecuación es x=g ( x) . El algoritmo de Steffensen consiste en una combinación del método de aproximaciones sucesivas con el método de Aiken. Cuando conocemos 3 iteraciones del método de

aproximaciones sucesivas comenzamos a aplicar el método de Aitken. El método de Steffensen consiste en tomar este valor como nuevo punto de partida para calcular tres nuevas iteraciones del método de aproximaciones sucesivas y aplicar de nuevo el método Aitken.

El método se esquematiza de la forma siguiente:

En la iteración (n+1) se conoce xn _{y se calcula} xn+1 _así:

p0=xn p g(¿¿0) p1=¿ p g(¿¿1) p2=¿ xn+1=p2−

(

p₂−p₁

₎

2 p2−2 p1+p0

es la fórmula general de Steffensen .

Luego, la forma más simple de la fórmula para el método de Steffensen ocurre cuando se utiliza para encontrar los ceros o raíces de una función

, es decir, queremos encontrar el valor que satisface .

Para Steffensen, cerca de la solución , la función se supone que aproximadamente satisface:

Esta condición hace la función adecuada como una corrección para encontrar la solución, aunque no es necesaria para que este método trabaje eficientemente.

Para algunas funciones, el método de Steffensen puede funcionar incluso si esta condición no es cumplida, pero en tal caso, el valor de partida debe ser muy cercano a la solución , y la convergencia a la solución podría tornarse lenta (veremos que la condición no es necesaria para desarrollar el método, mas sí hace lenta la convergencia, mostramos esta “lentitud” relativa comparada contra el método de Newton Raphson en el problema N°4 el cual requiere menor número de iteraciones).

(*)Método Newton Raphson: hallamos la raíz con apenas 3 iteraciones (las demás son para efectos de comprobación).

Método Steffensen: hallamos la raíz con 14 iteraciones (las demás son para efectos de comprobación).

Dado un valor inicial adecuado , una secuencia de valores

puede ser generado usando la fórmula de abajo. Cuando esta empieza a trabajar o iterar, cada valor en la secuencia es mucho más cercano a la solución que el valor anterior. El valor del paso primero genera el valor para el siguiente paso, a través de esta fórmula:

Para valores n = 0, 1, 2, 3,..., donde la función pendiente f '

(

xn

)

_{en ( ) (para el ᾳ conocido} Método de Newton), será reemplazado por una función en (Ө), que es una composición en base a la función original , y se da de la siguiente forma:

x_n+1=x_n−f

(

xn

)

f'

…(Ө)

La función es el valor que reemplaza la función pendiente de , y es hallado a partir del segundo valor de la coordenada y la coordenada auxiliar , con la aclaración que

Es únicamente para propósito de encontrar para este punto auxiliar, que el valor inicial dado de la función debe estar adecuadamente cerca de su propia solución, y por esa razón cumplir el requisito de que:

Para todas las demás partes del cálculo, el método de Steffensen sólo requiere que la función sea continua y tener una solución cercana al valor inicial.

Entonces podemos resumir la fórmula a:

x_n+1=x_n− (f (xn))

2

f

₍

x_n+f

(

x_n

)

₎

−f (x_n) ; n=0, 1,…

PASOS A SEGUIR PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA:

- Tenemos una función cualquiera: f ( x )=anx n +an−1x n−1 +...+a2x 2 +a1x 1 +a0

g (x )=

√

n−an−1x n−1

−… … ..−a₂x2−a₁x1−a₀ an

- Considerando el punto inicial p₀=x₀ x_n p₁=g(p0) p g(¿¿1) p2=¿

- Finalmente, teniendo los puntos p0 _{, p}1 _{, p}2 _{. Estos datos lo}

reemplazamos en la formula general de Steffensen: x_n+1=p₂− (p2−p1)

2

p₂−2 p₁+p₀

- Hacemos la tabla correspondiente:

n p₀ p₁ p₂ x_n+1 %E

0 1

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

PROBLEMA 1

Dada la función f ( x)=x−e−x calcule la raíz de la ecuación con error absoluto de, con x0=1

f ( x )=x−e−x g(x)=x=e −x p0=xo=1 p₁=g_(x 0)=g(1) p₂=g_(p 1) PRIMERA ITERACIÓN n=0 p₀=x_o=1 p1=g₍x0)=g(1)=e −x =e−1_=0.367879441 p2=g₍p1)=g(0.367879441)=e −x =e−0.367879441 =0.692200628 Entonces en: x_n+1=p₂− (p2−p1) 2 p₂−2 p₁+p₀ x1=p2−

(

p₂−p₁

₎

2 p2−2 p1+p0 0.367879441+1 0.692200628−2¿ ¿0.692200628−(0.692200628−0.367879441) 2 ¿

x₁=0.582226097 SEGUNDA ITERACIÓN n=1 p₀=0.582226097 p1=g₍x0)=g(0.582226097)=e −x =e−0.582226097=0.558653365 p2=g(p1)=g(0.558653365)=e −x =e−0.558653365 =0.571978792 Entonces en: x_n+1=p₂− (p2−p1) 2 p₂−2 p₁+p₀ x2=p2−

(

p₂−p₁

)

2 p2−2 p1+p0 ¿0.571978792− (0.571978792−0.558653365) 2 0.571978792−2(0.558653365)+0.582226097 x₂=0.0567166438 TERCERA ITERACIÓN n=2 p₀=0.0567166438 p1=g(x0)=g(0.0567166438)=e −x =e−0.0567166438=0.567130162 p2=g₍p1)=g(0.567130162)=e −x =e−0.567130162_=0.567150736 Entonces en:

x_n+1=p₂− (p2−p1) 2 p₂−2 p₁+p₀ x3=p2−

(

p₂−p₁

)

2 p2−2 p1+p0 ¿0.56150736− (0.56150736−0.567130162) 2 0.56150736−2(0.567130162)+0.0567166438 x₃=0.567143290 CUARTA ITERACIÓN n=3 p₀=0.567143290 p1=g₍x0)=g(0.567143290)=e −x =e−0.567143290_=0.567143291 p2=g₍p1)=g(0.567143291)=e −x =e−0.567143291 =0.567143290 Entonces en: x_n+1=p₂− (p2−p1) 2 p₂−2 p₁+p₀ x4=p2−

(

p₂−p₁

)

2 p2−2 p1+p0 ¿0.567143290− (0.567143290−0.567143291) 2 0.567143290−2(0.567143291)+0.567143290 x₄=0.567143290

EN LA TABLA: n p0 p1 p2 xn+1 %E 0 1 0.367879441 0.692200628 0.582226097 ----1 0.582226097 0.558653365 0.571978792 0.567166438 2.66 2 0.0567166438 0.567130162 0.567150736 0.567143290 4.09x1 0-3 3 0.567143290 0.567143291 0.567143290 0.567143290 ≈0

Entonces la raíz de la ecuación será: 0.567143290

PROBLEMA 2:

.Calcular la raíz de f ( x )=x3+x cos (x )− x ln ( x )−9 por el método de

Steffensen hasta que el error sea menor a 0.5% con punto inicial x0=1

Se separa la variable de mayor exponente para obtener g(x) f ( x )=x3

+x cos (x )− x ln ( x )−9 0=x3+x cos ( x )−x ln ( x )−9 9=x3

g(x)= 9 x2+cos(x)−ln(x)=x Primera iteración x0=1 y0=g(x0) y₀= 9 x2+cos(x)−ln(x)=5.843008847 z0=g( y0) z₀= 9 y2 +cos(y)−ln(y)=0.270431205 x1=x0−

(

y₀−x₀

)

2 z0−2 y0+x0 =3.251888045 segunda iteración x1=3.251888045 y0=g(x0) y₁= 9 x2_+cos(x) −ln(x)=1.071222430 z0=g( y0) z₁= 9 y2+cos(y)−ln(y)=5.777494830 x2=x1−

(

y₁−x₁

₎

2 z1−2 y1+x1 =2.561406656

tercera iteración x2=2.561406656 y0=g(x0) y₂= 9 x2_{+cos (x )−ln ( x)}=1.881315431 z0=g( y0) z₂= 9 y2_{+cos ( y )−ln ( y )}=3.459112339 x3=x2−

(

y₂−x₂

)

2 z2−2 y2+x2 =2.356558565 cuarta iteración x3=2.356558565 y3=g(x3) y₃= 9 x2_{+cos ( x)−ln ( x )}=2.256316685 z0=g( y0) z₃= 9 y2+cos ( y )−ln ( y )=2.469708081 x3=x0−

(

y0−x0

)

2 z0−2 y0+x0 =2.324519763 quinta iteración x4=2.324519763

y4=g (x4) y₄= 9 x2+cos ( x )−ln( x )=2.322268869 z0=g( y0) z4= 9 y2_{+cos ( y )−ln ( y )}=2.326980850 x5=x0−

(

y₀−x₀

)

2 z0−2 y0+x0 =2.323792115 ERROR=

|

(2.323792115−2.324519763) 2.323792115

|

× 100 =0.031312958 <0.05 PROBLEMA 3:

Calcular la raíz de f ( x )=x3+9 x+9 por el método de Steffensen, hasta

|

εa

|

<0,5 con punto inicial x0=−1

f ( x )=0 x3+9 x +9=0 x

(

x2 +9

)

=−9 x= −9

(

x2 +9

)

y₀=g

(

x₀

)

y₀= −9

(

(−1)2+9

)

y₀=−0 , 9 z₀=g

(

y₀

)

z0= −9

(

(−0,9)2 +9

)

z₀=−0 , 9174311927 x=x0−

(

y₀−x₀

₎

2 z0−2 y0+x0 x=−1−

(

−0,9−(−1)

)

2 −0,9174311927−2(−0,9)+(−1) x=−0 . 91484375

2da. Aproximación sabiendo que x0=−0.91484375

y₀=g

₍

x₀

₎

y₀= −9

(

(−0.91484375)2₊₉

₎

y₀=−0 , 914918748 z₀=g

₍

y₀

₎

z₀= −9

(

(−0,914918748)2+9

)

z₀=−0 , 914905985 x=x0−

(

y₀−x₀

)

2 z0−2 y0+x0 x=−1−

(

−0,914918748−(−0.91484375)

)

2 −0,914905985−2(−0,914918748)+(−0.91484375) x=−0 , 914907841 Recordando x= −9

(

x2 +9

)

Por lo tanto conocemos x0=−1

y₀=g

₍

x₀

₎

z₀=g

(

y₀

)

x=x0−

(

y₀−x₀

)

2 z0−2 y0+x0 i x y=g ( x ) z=g ( y ) ε_a 0 -1 - 0,9 - 0,9174311927 -1 -0,9-1484375 -0,914919748 -0,914905985 -9.31 2 -0,914907841 -0.914907841 -0,914907841 0.00752 3 -0,914907841

Comparación con otros métodos

Función: f ( x )=x3−x−1

PROBLEMA 4

Dada la siguiente función:

Hallar la raíz a partir del valor inicial x0=4, por el Método de

Steffensen y compare con Newton Raphson. Luego determine con

f (x)

₌₂

x3_{−11.7 x}2_{+17.7 x−5}

n Secante Newton Steffensen

0 1.000000 1.000000 1 2.000000 1.000000 1.325510 2 1.166667 1.500000 1.324718 3 1.253112 1.347826 4 1.337206 1.325200 5 1.323850 1.324718 6 1.324708

el valor x0=5 , y compare el número de iteraciones necesarias

para hallar la raíz. Solución: Método Steffensen: x_n+1=x−f ( x ) g ( x ) g (x )=f

(

x+f (x )

)

- f (x ) f (x)

Página 17 3 3.88943767 4.52534976 507.1599975 111.070895 9% 4 3.84869478 3.83342455 347.2184001 89.5765578 8% 5 3.80589983 3.14736211 224.7534255 70.4100944 7% 6 3.761199 39 2.474288 65 135.3446991 53.70044 86 6% 7 3.71512363 1.82594792 74.10661328 39.5852832 4% 8 3.6689967 1.22192924 35.68506751 28.2038739 3% 9 3.62567182 0.69459622 14.36471944 19.6806761 2% 10 3.59037851 0.2929616 4.419358182 14.0851105 1% 11 3.56957913 0.06778328 0.833130507 11.2910909 0% 12 3.563575 88 0.004359 18 0.050344164 10.54900 38 0% 13 3.563162 64 1.9108E-05 0.000219727 10.49894 73 0% 14 3.56316082 3.6866E-10 4.23911E-09 10.4987472 0% 15 3.56316082 1.4211E-14 1.56319E-13 10 0% 16 3.56316082 - 2.1316E-14 -2.27374E-13 9.66666667 0% 17 3.56316082 1.4211E-14 1.7053E-13 11 0% 18 3.563160 82 7.1054E-15 7.81597E-14 10 0% 19 3.563160 82 - 2.1316E-14 -2.27374E-13 9.666666 67 0%

Comparando con Método Newton Raphson: n x f(x) f '(x) %ER 0 4 6.6 20.1 12% 1 3.671641 79 1.2553685 13 12.66930 27 3% 2 3.57255437 0.099476002 10.6810961 0% 3 3.5632411 0.000842799 10.500281 0% 4 3.56316083 6.23576E-08 10.4987272 0% 5 3.56316082 7.10543E-15 10.4987271 0% 6 3.56316082 7.10543E-15 10.4987271 0% 7 3.563160 82 -2.13163E-14 10.49872 71 0% 8 3.563160 82 1.42109E-14 10.49872 71 0% 9 3.56316082 7.10543E-15 10.4987271 0% 10 3.56316082 -2.13163E-14 10.4987271 0% 11 3.56316082 1.42109E-14 10.4987271 0% 12 3.56316082 7.10543E-15 10.4987271 0% 13 3.563160 -2.13163E- 10.49872 0% xn+1=x− f (x) f ' (x)

82 14 71 14 3.563160 82 1.42109E-14 10.49872 71 0% 15 3.563160 82 7.10543E-15 10.49872 71 0% 16 3.56316082 -2.13163E-14 10.4987271 0% 17 3.56316082 1.42109E-14 10.4987271 0% 18 3.56316082 7.10543E-15 10.4987271 0% 19 3.56316082 -2.13163E-14 10.4987271 0% 20 3.56316082 1.42109E-14 10.4987271 0%

En la última tabla, notamos claramente que no se cumple la condición:

De igual manera se llega a la raíz de valor: