EJERCICIOS_CAP_3_4

LA SERENA-CHILE LA SERENA-CHILE

EJERCICIOS ANALISIS NUMERICO PARA INGENIERIA EJERCICIOS ANALISIS NUMERICO PARA INGENIERIA

H´

H´ecectotor r AnAndr´dr´es es TTororres res ApApabablazlazaa

Versi´

1

1 IINNTTEERRPPOOLLAACCIIOON N E E IINNTTEEGGRRAACCIIOON N NNUUMMEERRIICCA A 33 11..1 1 EEJJEERRCCIICCIIOOS S RREESSUUEELLTTOOS S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 11..2 2 EEjjeerrcciicciioos s PPrrooppuueessttoos s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3300

INTERPOLACION E

INTEGRACION NUMERICA

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1.1.1.  Considerar la siguiente funci´ on: f (x) = e−2x2

a-)   Usando los puntos de interpolaci´on x0 =

 −

1, x1 = 0, x2 = 1 x3 = 2 y usando la

f´ormula de Newton, determinar el valor aproximado de  f (1.5).

Soluci´on: Primero determinamos la tabla para obtener las diferencia divididas, es decir, xi f [xi] f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, xi+1, xi+2, xi+3]

-1 e−2 1-e−2 2e−2−2 2 e−8 −4e−2+3 6 0 1 e−2-1 e−8−2e−2+1 2

1 e−2 _e−8_-e−2

2 e−8

Entonces,

N (x) = e−2 + (1

₋

e−2)(x + 1)

₋

(1

₋

e−2)(x + 1)x + e−

8

−

4e−2_{+ 3}

6 (x + 1)x(x

−

1)

es decir,

f (1.5)

_≈

N (1.5) = e−2 + (1

₋

e−2)(2.5)

₋

(1

₋

e−2)(2.5)1.5 + e−

8

−

4e−2_{+ 3}

6 (2.5)1.5(0.5)

=

₋

0.3125 + e−2+ 0.3125e−8

b-) Si agregamos el punto de interpolaci´on x4 = 0.5 con , determinar el error cometido

al aproximar f (1.5).s Soluci´on: xi f [xi] f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, xi+1, xi+2, xi+3] -1 e−2 _1-e−2 2e−2−2 2 e−8 −4e−2 +3 6 1 9e− 8 −89e− 2₊ 16 9e− 0.5 −1 0 1 e−2_-1 e−8−2e−2 +1 2 1 3e− 8 −2e−2₊ 8 3e− 0.5 −1 1 e−2 _e−8_-e−2 4 3e− 0.5₊2 3e− 8 −2e−2 2 e−8 −23e− 0.5₊ 2 3e− 8 0.5 e−0.5 Entonces,

N (x) = e−2 + (1

₋

e−2)(x + 1)

₋

(1

₋

e−2)(x + 1)x+ e−8

−

4e−2 _{+ 3} 6 (x + 1)x(x

−

1) + [ 1 9e− 8

−

 8₉e−2+ 16 9 e− 0.5

−

1](x + 1)(x)(x

₋

1)(x

₋

2) es decir,

f (1.5)

_≈

N (1.5) = e−2+ (1

₋

e−2)(2.5)

₋

(1

₋

e−2)(2.5)1.5+ e−8

₋

4e−2 + 3 6 (2.5)1.5(0.5) + [ 1 9e− 8

−

 8₉e−2 + 16 9 e− 0.5

−

1](2.5)(1.5)(0.5)(

₋

0.5) =

₋

0.3125 + 0.9375 + (1 + 5 6)e− 2 _{+ (0.3125}

−

₄₈5 )e−8

₋

 5 3e− 0.5

c-) Si se interpola con x0 = 0, x1 = 1 x2 = 2, determinar el error m´aximo que se puede

cometer en todo el intervalo [x0, x2].

Soluci´on: Sabemos que la cota para el error de interpolaci´on es

|

f (x)

₋

N (x)

_{| ≤}

sup

ξ_∈[0,2]

|

f (3)_(ξ )

|

3!

|

x

||

x

−

1

||

x

−

2

|

entonces el m´aximo error en el intervalo [0, 2] es

max x_∈[0,2]

|

f (x)

−

N (x)

| ≤

_ξsup ∈[0,2]

|

f (3)_(ξ )

|

3! xmax_∈[0,2]

|

x

||

x

−

1

||

x

−

2

|

.

Determinamos primero el valor de

sup

ξ_∈[0,2]

|

f (3)(ξ )

_|

3! ,

es decir, determinaremos el valor m´aximo de la funci´on f 3_{(x) dentro del intervalo cerrado}

[0, 2] (materia de c´ alculo I). Como f (3) _= e−2x2

_

_48x

−

64x3

_

_{, calculamos los puntos cr´ıticos}

con

f (4)(x) = 16e−2x2(16x4

₋

24x2 + 3) = 0 , los cuales son x =

 _±

 

3+₄√ 6 y x =

 _±

 

3−√ 6

4 , donde solo x∗ =

 

3+√ 6

4 y x∗∗ =

 

3₋√ 6 4 ,

estan dentro del intervalo [0, 2]. Ahora,

f (3)(x∗) =

₋

8

 

18 + 6

√ 

6e−3−2√ 6 =

−

2.9991754307143128, f (3)(x∗∗) = 8

 

18

₋

6

√ 

6e−3+2√ 6 = 11.0409523692859926 , f (3)(0) = 0 f (4)(2) =

₋

416e−8 =

₋

0.1395524532074449 Entonces sup ξ_∈[0,2]

|

f (3)(ξ )

_|

3! = 8

 

18

₋

6

√ 

6e−3+2√ 6 6 , Adem´as, max x_∈[0,2]

|

x

||

x

−

1

||

x

−

2

|

= maxx_∈[0,2]

|

x(x

−

1)(x

−

2)

|

considerando g(x) = x(x

₋

1)(x

₋

2), se tiene que g(x) = 3x2

₋

6x + 2, la cual se anula en x∗ = 3−√ 3

3 y x∗∗ =

3+√ 3

3 . Entonces, se tiene que g  tiene valores extremos dados por

g(x∗) = 2√ ₃3 y g(x∗∗) = −2₃√ 3 (notar obviamente que evaluando los extremos g(0) = 0, g(2) = 0). Es decir, max x_∈[0,2]

|

x

||

x

−

1

||

x

−

2

|

= maxx_∈[0,2]

|

x(x

−

1)(x

−

2)

|

= 2

√ 

3 3 . Finalmente, max x_∈[0,2]

|

f (x)

−

N (x)

| ≤

_ξsup ∈[0,2]

|

f (3)_(ξ )

|

3! xmax_∈[0,2]

|

x

||

x

−

1

||

x

−

2

| ≤

8 6

 

18

₋

6

√ 

6e√ 62−3 2

√ 

₃ 3

EJEMPLO 1.1.2.  Considerar los siguientes valores en la tabla: xi -2 0 1 3  

f (xi)   0.5 1.5 3 0.5  

a-) Usando la f´ ormula de Newton, determinar el valor aproximado de  f (2.5).

Soluci´ on: Primero, debemos determinar la tabla para las diferencias divididas, es decir,

xi f (xi) 0 1 3  -2 0.5 0.5   1₃

₋

1₄ 0 1.5 1.5  

₋

11 12 1 3 -1.25   3 0.5   entonces  N (x) = 0.5 + 0.5(x + 2) + 1 3(x + 2)x

−

 1 4(x + 2)x(x

−

1) f (2.5)

_≈

N (2.5) = 2.28125

b-)   Si agregamos un punto m´ as de interpolaci´ on  x4 = 4 con  f (x4) = 0.5   , entonces 

determinar el valor aproximado de  f (2.5).

Soluci´ on: Agregando este punto de interpolaci´ on , se tiene que 

xi f (xi) 0 1 3  -2 0.5 0.5   1₃

₋

1_{4 72}7 0 1.5 1.5  

₋

11₁₂ 1₃ 1 3 -1.25   ₁₂5 3 0.5 0   4 0.5   entonces  N (x) = 0.5 + 0.5(x + 2) + 1 3(x + 2)x

−

 1 4(x + 2)x(x

−

1) + 7 72(x + 2)x(x

−

1)(x

−

3) f (2.5)

_≈

N (2.5) = 1.4609375

c-)   Si se interpola por medio de un spline lineal (aunque los nodos no son equi-espaciados), determinar el valor de  f (2.5).

Soluci´ on: El interpolante spline lineal en el intervalo [1, 3] es (determinando la ecuaci´ on  de la recta que pasa por  (x2, f (x2)) y  (x3, f (x3)) )

S (x) = 3

₋

1.25(x

₋

1) entonces 

f (2.5)

_≈

S (2.5) = 3

₋

1.25(1.5) = 1.25 EJEMPLO 1.1.3.  Considerar los siguientes valores en la tabla:

xi -1 0 1 2 3  

f (xi)   1 0 1 4 9  

a-) Usando la f´ ormula de Lagrange (o Newton), determinar el grado del polinomio de  interpolaci´ on.

Soluci´ on:   Independiente de la f´ ormula de aproximaci´ on que usemos el polinomio de  interpolaci´ on es 

P (x) = x2

lo cual se puede ver por el comportamiento de los datos dados. Recordemos que si aprox-imamos un polinomio el resultado ser´ a el mismo polinomio.

b-) Si agregamos un punto m´ as de interpolaci´ on  x5 = 4 con  f (x4) = 16 , determinar el 

grado del nuevo polinomio de interpolaci´ on.

Soluci´ on: Obviamente, si consideramos mas puntos de interpolaci´ on, el polinomio ser´ a  el mismo.

P (x) = x2

c-) Si consideramos los 5 puntos de interpolaci´ on originales y se interpola por medio de  un spline cuadr´ atico, entonces determinar el valor de  f (0.5).

Soluci´ on: Si estamos interpolando por un interpolante cuadr´ atico una funci´ on que ya es  cuadr´ atica, entonces este interpolante, tambien ser´ a la misma funci´ on, entonces 

f (0.5) = P (0.5) = (0.5)2 = 0.25 EJEMPLO 1.1.4.  Dada la siguiente tabla 

xi -2 -1 0 3 6 7  

f (xi)   -6 0 2 -16 -70 -96  

a-) Usando la f´ ormula de Newton determinar y escribir explicitamente el polinomio de  interpolaci´ on.

SOLUCION: Para determinar el polinomio de Newton , debemos usar la siguiente tabla  xi f (xi) -2 -6 6 -2 0 0 0   -1 0 2 -2 0 0   0 2 -6 -2 0   3 -16 -18 -2   6 -70 -26   7 -96  

Entonces el polinomio de Newton esta dado por 

N (x) =

₋

6 + 6 (x + 2)

₋

2(x +2)(x +1)+0(x +2)(x +1)(x) + 0 (x +2)(x +1)(x)(x

₋

3)+ 0(x + 2)(x + 1)(x)(x

₋

3)(x

₋

6)

=

₋

6 + 6(x + 2)

₋

2(x + 2)(x + 1) , es decir,

N (x) =

₋

6 + 6(x + 2)

₋

2(x + 2)(x + 1) =

₋

2x2 + 2

b-) Usando la f´ ormula de Lagrange determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´ on.

SOLUCION: Se sabe de la te´ oria de interpolaci´ on, que el polinomio de Newton es el  de Lagrange escrito en forma conveniente, es decir,   no necesitamos hacer ningun  c´ alculo y se concluye que 

L(x) =

₋

2x2+ 2

c-) Si quitamos los puntos de interpolaci´ on  x3 y  x5 en la tabla, ahora usando la f´ ormula 

de Lagrange determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´ on.

SOLUCION: Como el resultado anterior es un polinomio de grado dos, se sabe de teor´ıa  que al usar tres o mas puntos de interpolaci´ on el resultado sera el mismo polinomio,

entonces al quitar dos puntos, tendremos 4 puntos de interpolaci´ on, por lo tanto sin  hacer ning´ un c´ alculo, se sabe que 

L(x) =

₋

2x2+ 2 EJEMPLO 1.1.5.  Considerar la siguiente funci´ on 

f (x) = xe−x

Considerar los puntos de interpolaci´ on  x0 =

−

2, x1 =

−

1, x2 = 1 y  x3 = 2.

a-) Usando la f´ ormula de Newton, determinar el valor aproximado de  f (1.5). Determinar  el error m´ aximo cometido al aproximar  f (1.5).

SOLUCION:

Para determinar la f´ ormula de Newton, consideremos la siguiente tabla  xi f i

-2 

₋

2e2

−

e + 2e2 (e−1_{+ 3e}

−

4e2_{)/6 (e−}2_+ e2

−

e−1

₋

e)/6 -1

₋

e (e−1 + e)/2 (4e−2

₋

3e−1

₋

e)/6

1 e−1 _2e−2

−

e−1

2  2e−2

, entonces el polinomio de Newton esta dado por  N (x) =

−

2e2+(2e2

₋

e)(x+2)+(e−

1_{+ 3e}

−

4e2)

6 (x+2)(x+1)+

(e−2+ e

₋

e−1

₋

e)

6 (x+2)(x+1)(x

−

1)

entonces 

f (1.5)

_≈

N (1.5) =

₋

2e2+(2e2

₋

e)(3.5)+(e−

1_{+ 3e}

−

4e2₎ 6 (8.75)+ (e−2_+ e2

−

e−1

−

e) 6 (4.375)

Por otro lado, para determinar el m´ aximo error cometido debemos usar la cota del error 

|

e(x)

_|

=

_|

f (x)

₋

N (x)

_{| ≤}

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)_(ξ )

|

4!

|

x + 2

||

x + 1

||

x

−

1

||

x

−

2

|

entonces 

|

e(1.5)

_|

=

_|

f (1.5)

₋

N (1.5)

_{| ≤}

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)_(ξ )

|

4!

|

3.5

||

2.5

||

0.5

||

0.5

|

|

e(1.5)

_|

=

_|

f (1.5)

₋

N (1.5)

_{| ≤}

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)(ξ )

_|

4! 2.1875

, donde queda calcular el supremo. Como

f (4) = (

₋

4 + x)e−x entonces  f (5) = (5

₋

x)e−x = 0

_⇐⇒

5 = x Ahora  f (4)(

₋

2) = (

₋

4

₋

2)e2 f (4)(2) = (

₋

4 + 2)e−2 y  f (4)(5) = (

₋

4 + 5)e−5 = e−5

Pero el punto cr´ıtico esta fuera del intervalo [

₋

2, 2], entonces evaluamos la funci´ on solo en los extremos del intervalo obteniendo que 

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)(ξ )

_|

4! =

 |

f (4)(

₋

2)

_|

4! = 6e2 4! Entonces el m´ aximo error de aprox. esta dado por 

|

e(1.5)

_|

=

_|

f (1.5)

₋

N (1.5)

_{| ≤}

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)_(ξ )

|

4!

|

3.5

||

2.5

||

0.5

||

0.5

|

= 6e2 4! 2.1875 b-) Determinar el error m´ aximo cometido en todo el intervalo [

₋

2, 2]

SOLUCION:

Para determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, debemos usar la cota del error 

|

e(x)

_|

=

_|

f (x)

₋

N (x)

_{| ≤}

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)_(ξ )

|

4!

|

x + 2

||

x + 1

||

x

−

1

||

x

−

2

|

entonces el m´ aximo error en todo el intervalo esta dado por 

maxx_∈[₋2,2]

|

e(x)

| ≤

maxx_∈[₋2,2]



supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)_(ξ )

|

4!

|

x + 2

||

x + 1

||

x

−

1

||

x

−

2

|



maxx_∈[₋2,2]

|

e(x)

| ≤

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)(ξ )

_|

4! maxx∈[−2,2]



|

x + 2

_||

x + 1

_||

x

₋

1

_||

x

₋

2

_|



calculemos  maxx_∈[₋2,2]



|

x + 2

_||

x + 1

_||

x

₋

1

_||

x

₋

2

_|



consideremos  h(x) = (x + 2)(x + 1)(x

₋

1)(x

₋

2) = (x2

₋

4)(x2

₋

1) = x4

₋

5x2+ 4

para obtener el m´ aximo de esta funci´ on en el intervalo [

₋

2, 2], debemos encontrar los  puntos cr´ıticos  h(x) = 4x3

₋

10x = 0

_⇐⇒

x(4x2

₋

10) = 0

_⇐⇒

x = 0, x =

_±

 

5 2 donde  h(0) = 4 h(

 

5 2) = 2.25 Entonces 

maxx_∈[₋2,2]

|

e(x)

| ≤

supξ_∈[₋2,2]

|

f (4)(ξ )

_|

4! (4) = 6e2

4! (4)

c-) Agregar un nuevo punto de interpolaci´ on  x4 = 0, entonces determinar el valor

aprox-imado de  f (1.5). SOLUCION: xi f i -2  ₋2e2 −e + 2 e2 (e−1_{+ 3e} −4e2)/6 (e−2_+ e2 −e−1 −e)/6 (e−2 −e2−2e−1_{+ 2e)/12} -1 ₋e (e−1_{+ e)/2 (4e}−2 −3e−1 −e)/6 (2e−2 −3e−1_+ e)/6 1 e−1 _2e−2 −e e−2 −e−1 2  2e−2 _e−2 0 0  N 1(x) = N (x) +

 (e−2

₋

e2

₋

2e−1+ 2e)

12 (x + 2)(x + 1)(x

−

1)(x

−

2) entonces  f (1.5)

_≈

N (1.5) + (e− 2

−

e2

−

2e−1_{+ 2e)} 12 (

−

2.1875)

EJEMPLO 1.1.6.  considerar la funci´ on 

a.-  Determinar el polinomio de Newton usando los puntos de interpolaci´ on  x0 =

 −

1,

x1 = 2 y  x2 = 3.

b.- Determinar el valor aproximado en  x∗ = 0 y estimar el error m´ aximo cometido en  x∗. c.- Determinar el error m´ aximo cometido en todo el intervalo.

SOLUCION: Determinarmos el polinomio de Newton usando la siguiente tabla  xi f (xi)

−

1 e 4e−2−e 3 27e−3 −16e−2+e 12

2 4e−2 9e−3

₋

4e−2 3 9e−3 , entonces  P N (x) = e + (4e− 2

−

e 3 )(x + 1) + (

27e−3

₋

16e−2 + e

12 )(x + 1)(x

−

2). Entonces, P N (0) = e + ( 4e−2

−

e 3 )

−

2( 27e−3

−

16e−2_+ e 12 ).

Estimamos el error en  x∗ = 0, es decir,

|

P N (x∗)

−

f (x∗)

| ≤

supξ_∈[₋1,3]

|

f (ξ )

_|

3!

|

x∗ + 1

||

x∗

−

2

||

x∗

−

3

|

donde  f (x) = (

₋

6 + 6x

₋

x2_)e−x _y 

f (x) = (12

₋

8x + x2)e−x = 0

_⇐⇒

12

₋

8x + x2 = 0

_⇐⇒

x = 6, x = 2 donde solo x = 2

_∈

[

₋

1, 3], es decir,

|

f (

₋

1)

_|

= 13e = 35, 33766377

|

f (3)

_|

= 3e−3 = 0, 149361205

|

f (2)

_|

= 2e−2 = 0, 270670566 entonces 

|

P N (0)

−

f (0)

| ≤

supξ_∈[₋1,3]

|

f (ξ )

_|

3! 6 = 13e.

Finalmente para determinar el error m´ aximo cometido en todo el intervalo supx_∈[₋1,3]

|

P N (x)

−

f (x)

| ≤

supx_∈[₋1,3]



supξ_∈[₋1,3]

|

f (ξ )

_|

3!

|

x + 1

||

x

−

2

||

x

−

3

|



= supξ_∈[₋1,3]

|

f (ξ )

_|

3! supx∈[−1,3]



|

x + 1

_||

x

₋

2

_||

x

₋

3

_|



donde se debe calcular solo el supremo que esta mas a la derecha. Consideremos 

|

x + 1

_||

x

₋

2

_||

x

₋

3

_|

=

_|

(x + 1)(x

₋

2)(x

₋

3)

_|

=

_|

x3

₋

4x2+ x + 6

_|

donde  h(x) = x3

₋

4x2 + x + 6 entonces  h(x) = 3x2

₋

8x + 1 = 0

_⇐⇒

x1 = 4/3

−

√ 

13/2, x2 = 4/3 +

√ 

13/2 entonces  h(x1) = 5, 69139185 h(x2) = 0, 639585651 , es decir, supx_∈[₋1,3]

|

P N (x)

−

f (x)

| ≤

13e

×

5, 69139185

EJEMPLO 1.1.7.  Sea la funci´ on 

f (x) = x3 + ln(x + 1)

usando los nodos  x0 = 0, x1 = 1 y  x2 = 2   se puede calcular el polinomio de Lagrange 

L(x).

a-) Calcular entonces 

 

₀2_{L(x) dx.}

SOLUCION:

Se sabe de la te´ oria que al usar tres puntos de interpolaci´ on dados por los extremos y punto medio , lo que estamos haciendo es usar la regla Simpson para aproximar la integral de  f (x), entonces sin necesidad de calcular  L(x)

  

2 0 f (x) dx

_≈

  

2 0 L(x) dx = 2

−

0 6



f (0) + 4f (1) + f (2)



entonces 

 

2 0 L(x) dx = 2 6



ln(0 + 1) + 4(1 3_{+ ln(1 + 1)) + 2}3 _{+ ln(2 + 1)}

_

= 2

6



4(1 + ln(2)) + 8 + ln(3)



= 2

6



4ln(2) + 12 + ln(3)



b-) Determinar el error m´ aximo cometido al aproximar la integral 

 

₀2f (x) dx por medio de 

 

₀2L(x) dx.

SOLUCION:

Para determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, debemos usar la cota del error  para la regla de Simpson 

|

 

f (x)

₋

 

L(x)

_{| ≤}

(2

−

0) 5 2880 supξ∈[0,2]

|

f  (4)_(ξ )

|

donde 

|

f (4)(x)

_|

= 6 (x + 1)4

la cual alcanza su m´ aximo en el intervalo en  x = 0, es decir , supξ_∈[0,2]

|

f (4)(ξ )

|

=

|

f 4(0)

|

= 6

Finalmente 

|

 

f (x)

₋

 

L(x)

_{| ≤}

(2

−

0)

5

2880 6 = 0.06666666 EJEMPLO 1.1.8.  Considerar la siguiente funci´ on 

f (x) = xe−x

Considerar los puntos de interpolaci´ on  x0 = 0, x1 = 2, x2 = 4.

a-) Determinar el polinomio de Newton regresivo N R(x).

b-) Calcular la integral 

 

₀4N R(x) dx y usando la regla de Simpson determinar la

aproxi-maci´ on de la integral 

 

₀4_xe−x _{dx. Que se puede concluir.}

SOLUCION: a) Para determinar la f´ ormula de Newton regresiva, consideremos la sigu-iente tabla 

xi f i

0 0  2e−2 _4e−4

−

4e−2

2  2e−2 4e−4

₋

2e−2 4 4e−4

, entonces el polinomio de Newton regresivo esta dado por  N R(x) = 4e−4+  [4e−4

−

2e−2_] 1! 21 (x

−

4) +  [4e−4

−

4e−2_] 2! 22 (x

−

4)(x

−

2) = 4e−4 + [4e− 4

−

2e−2_] 2 (x

−

4) +  [4e−4

−

4e−2_] 8 (x

−

4)(x

−

2). b) Se tiene que 

 

4 0 N R(x) dx =

 

4 0 4e−4 + [4e− 4

−

2e−2] 2 (x

−

4) +  [4e−4

₋

4e−2] 8 (x

−

4)(x

−

2) dx

= 16e−4+ [4e−4

₋

2e−2](

₋

4) + [4e−

4

−

4e−2] 3 (2) = 8e−2 + [8e− 4

−

8e−2] 3 = [16e−2+ 8e−4] 3 = 8 3



2e−2 + e−4



Ahora, usando la regla de Simpson 

 

4 0 xe−x dx = 4 6



0 + 4(2e−2) + 4e−4



= 8 3



2e−2 + e−4



Se concluye que los dos valores son iguales, YA QUE en este caso al calcular la integral  de  N R, en el intervalo [0, 4], esto no es nada m´ as que usar la f´ ormula de Simpson para la 

integral de la funci´ on interpolada.

EJEMPLO 1.1.9.  Dada la siguiente tabla 

xi -2 0 2  

f (xi)   -6 2 -6  

a-) Usando la f´ ormula de Newton regresiva  N R(x) determinar el polinomio de

interpo-laci´ on.

b-) Usando la f´ ormula de Lagrange  L(x) determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´ on.

c-) Calcular la integral 

 

2

−2N R(x) dx y usando la regla de Simpson determinar la aprox-imaci´ on de la integral 

 

2

−2(2

−

2x

SOLUCION: a) Para determinar la f´ ormula de Newton regresiva, consideremos la sigu-iente tabla  xi f i -2 -6 8 -16   0 2 -8   2 -6 

, entonces el polinomio de Newton regresivo esta dado por  N R(x) =

−

6 +

−

8 1! 21(x

−

2) +

 −

16 2! 22(x

−

2)(x) =

₋

6

₋

4(x

₋

2)

₋

2(x

₋

2)(x) = 2

₋

2x2. b) Usamos a) P (x) = 2

₋

2x2. c)

 

2 −2 N R(x) dx =

 

2 −2 2

₋

2x2 dx =

₋

8/3. Usando Simpson 

 

2 −2 (2

₋

2x2) dx = 2 3



(

−

6) + 4(2) + (

−

6)



=

−

8/3

Se concluye que los dos valores son iguales, YA QUE en este caso al calcular la integral  de  N R, en el intervalo [

−

2, 2], esto no es nada m´ as que usar la f´ ormula de Simpson para 

la integral de la funci´ on interpolada.

EJEMPLO 1.1.10.  Considerar la siguiente funci´ on  f (x) = x + 1

2

a-) Usando el punto de interpolaci´ on  x0 = 2 calcular el polinomio de Newton  N 1(x).

b-) Usando los puntos de interpolaci´ on  x0 = 1, x1 = 3 calcular el polinomio de Newton 

N 2(x).

Newton  N 3(x).

d-) Calcular los valores de 

 

₁3N 1dx,

 

₁3N 2dx y 

 

₁3N 3dx . Cual de las integrales se acerca 

mas al valor 

 

₁3f (x) dx y porque ?.

SOLUCION: a) Como tenemos un solo punto de interpolaci´ on, en este caso N 1(x) = 3₂

b)   Como la funci´ on interpolada es un polinomio de grado 1 y tenemos dos puntos de  interpolaci´ on, se tiene que  N 2(x) = x+1₂ .

c) Si agregamos otro punto de interpolaci´ on el resultado sera el mismo, es decir,  N 3(x) = x+1 2 d)

 

3 1 N 1dx =

 

3 1 3 2dx = 3

 

3 1 N 2dx =

 

3 1 N 3dx =

 

3 1 x + 1 2 dx = 3 Ahora,

 

₁3f (x) dx = 3.

Las tres integrales, tienen el mismo valor, ya que  N 2 y  N 3 son iguales a  f (x). Adem´ as,

 

₁3N 1dx es el area bajo el polinomio constante 3/2 en en  [1, 3], que tiene la misma area 

del trapecio formado en  [1, 3] por la funci´ on  f (x).

EJEMPLO 1.1.11. Sea  f (x)   una funci´ on definida en  [a, b]. Considerar los puntos de  interpolaci´ on  x0 = a, x1 = a+b₂ , x2 = b.

a-) Determinar el polinomio de Newton  N (x) de la funci´ on  f (x). SOLUCI ´ ON: Usando la tabla correspondiente se tiene que 

N (x) = f (a) + 2



f ( a+b 2 )

−

f (a) b

₋

a



(x

₋

a) + 2



f (a)

−

2f ( a+b 2 ) + f (b) (b

₋

a)2



(x

₋

a)(x

₋

 a + b 2 )

b-) Calcular el valor de 

 

_abN (x) dx. Que obtuvo?.

SOLUCI ´ ON: Obviamente si el alumno sabe la teor´ıa BASICA, se dar´ a cuenta que es  la regla Simpson, es decir,

 

b a N (x) dx = b

−

a 6 (f (a) + 4f ( a + b 2 ) + f (b))

En este caso π(x) = (x

₋

a)(x

₋

a+b₂ )(x

₋

b)

c-) Demostrar que  π(x) cambia de signo en  [a, b].

SOLUCI ´ ON: Basta ver la gr´ afica de este polinomio para darnos cuenta que cambia de  signo (polinomio de grado 3 con raices en  a,(a + b)/2 y  b).

d-) Calcular 

 

_abπ(x) dx.

SOLUCI ´ ON: De la misma gr´ afica de la funci´ on se tiene que 

 

_abπ(x) dx = 0.

e-) Por  c-) y  d-)   se tiene que  E  = f _4!(ξ)

 

_abπ(x)(x

₋

x3) dx. Considerar  x3 = x1 y 

calcular el valor de esta expresi´ on.

SOLUCI ´ ON: El alumno sabe que el error usando Simpson esta dado por  E  = f (ξ )

2880 (b

−

a)

5

y como estamos usando Simpson se tiene que  E  = f (ξ ) 2880 (b

−

a) 5 ₌ f (ξ ) 4!

 

b a π(x)(x

₋

x3) dx

 f-) Determinar una cota de error para  E .

SOLUCI ´ ON: Aplicar valor absoluto en ambos lados.

EJEMPLO 1.1.12.  Dada la integral doble 

  

A

f (x, y)dydx, donde  A :=

_{

(x, y)

_∈

R2 / 0

_≤

x

_≤

1 , 0

_≤

y

 _≤

1

_}

.

a-) Determinar y escribir la f´ ormula del trapecio para esta integral. SOLUCION: Sabemos que la f´ ormula del trapecio esta dada por 

 

b

a

g(x)dx

_≈

(b

−

a)

aplicando esta misma f´ ormula a la integral doble se tiene que 

 

1 0

  

1 0 f (x, y)dy



dx

_≈

 

1 0



1 2[f (x, 0) + f (x, 1)]



dx = 1 2

  

1 0 f (x, 0)dx +

 

1 0 f (x, 1)dx



= 1 2



1 2[f (0, 0) + f (1, 0)] +  1 2[f (0, 1) + f (1, 1)]



= 1 4



f (0, 0) + f (1, 0) + f (0, 1) + f (1, 1)



b-) Si subdividimos el ´ area de integraci´ on en 4 cuadrados iguales, entonces determinar la   f´ ormula del trapecio compuesta para este caso.

SOLUCION: Se sabe de la teor´ıa que las f´ ormulas compuestas consisten en aplicar una  regla de integraci´ on en cada subconjunto de integraci´ on, en este caso, aplicamos las regla  del trapecio a cada cuadrado, usando la regla anterior, es decir,

 

1 0

 

1 0 f (x, y)dydx =

 

12 0

 

12 0 f (x, y)dydx +

 

1 2 0

 

1 1 2 f (x, y)dydx +

 

1 1 2

 

12 0 f (x, y)dydx +

 

1 1 2

 

1 1 2 f (x, y)dydx

≈

₁₆1



f (0, 0)+f (1, 0)+f (0, 1)+f (1, 1)+2(f (1 2, 0)+f (0,  1 2)+f (1,  1 2)+f ( 1 2, 1))+4f ( 1 2,  1 2)



c-) Si  f (x, y) = x2+ y2, determinar y escribir una aproximaci´ on para la integral usando a  y  b .

SOLUCION:  Aplicado solo las f´ ormulas anteriores y considerando la evaluaciones en  la funci´ on  f (x, y)

f (0, 0) = 0 f (0, 1) = 1 f (1, 0) = 1 f (1, 1) = 1 + 1

f (0, 1/2) = 1/4 f (1/2, 0) = 1/4 f (1, 1/2) = 1 + 1/4 f (1/2, 1) = 1/4 + 1 f (1/2, 1/2) = 1/4 + 1/4 entonces, usando a 

 

1 0

  

1 0 f (x, y)dy



dx

_≈

1 4



f (0, 0) + f (1, 0) + f (0, 1) + f (1, 1)



= (1 + 1)/2 Y usando b 

 

1 0

  

1 0 f (x, y)dy



dx

_≈

3 8(1 + 1) EJEMPLO 1.1.13.  Considerar la siguiente integral 

 

√ ₂

2

−√ 22

e−x2 dx

a-)  Determinar una aproximaci´ on de la integral usando la f´ ormula del punto medio . b-)  Determinar una aproximaci´ on de la integral usando la f´ ormula del trapecio.

c-)  Determinar una aproximaci´ on de la integral usando la f´ ormula de Simpson.

d-) Cual de las aproximaciones anteriores se aproxima m´ as al valor real y por que? (jus-tifique). SOLUCION: a-)

 

√ ₂ 2 −√ 22 e−x2 dx = (

√ 

₂ 2 +

√ 

₂ 2 )e 0 ₌

√ 

₂ b-)

 

√ ₂ 2 −√ 22 e−x2 dx = ( √ ₂ 2 + √ ₂ 2 2 )(e− 1 2 + e−12) =

√ 

2e−12 c-)

 

√ ₂ 2 −√ 22 e−x2 dx = ( √ ₂ 2 + √ ₂ 2 6 )(e− 1 2 + 4e0+ e− 1 2) =

√ 

₂ 6 (2e− 1 2 + 4) =

√ 

₂ 3 (e− 1 2 + 2)

d-) Viendo la gr´ afica de la funci´ on  e−x2 (figura 1), sabemos que la integral que m´ as se  aproxima en este intervalo es la obtenida por la regla de Simpson, cuyo polinomio de in-terpolaci´ on es una par´ abola, la cual aproxima de mejor manera la funci´ on.

Figure 1.1: Gr´afica de e−x2

EJEMPLO 1.1.14.  Considerar la siguiente integral 

 

1

−1

 

1

−1

xy + e−(x2+y2) dydx

a-) Usando regla del trapecio compuesta, subdividiendo la regi´ on de integraci´ on en cuatro cuadrados, determinar la aproximaci´ on de esta integral.

Soluci´ on:  La idea de las reglas de integraci´ on compuesta, es aplicar la cada f´ ormula  de integraci´ on en cada subintervalo de integraci´ on, en este caso los nodos en eje  X  son  x0 =

 −

1, x1 = 0, x2 = 1 y en el eje  Y  por  x0 =

 −

1, x1 = 0, x2 = 1. Usando las reglas 

compuestas en las dos integrales se obtiene 

 

1 −1

 

1 −1 xy + e−(x2+y2) dydx =

 

1 −1

  

1 −1 xy + e−(x2+y2) dy



dx =

 

1 −1

  

1 −1 xy + e−(x2+y2) dy



dx =

 

1 −1



1 2



−

x + e− (x2₊₁₎ + 2(e−(x2)) + x + e−(x2+1)





dx =

 

1 −1



e−(x2+1)+e−x2



dx = 1 2



e−

2_+e−1_+2(e−1_+1)+e−2_+e−1

_

₌ 1

2



2e−

2_+4e−1₊₂

_

_= e−2_+2e−1₊₁

= 1.8710941655794973

b-) Usando regla del Simpson compuesta, subdividiendo la regi´ on de integraci´ on en cuatro cuadrados, determinar la aproximaci´ on de esta integral.

Soluci´ on: De la misma maanera que es (a), se tiene 

 

1 −1

 

1 −1 xy + e−(x2+y2) dydx =

 

1 −1

  

1 −1 xy + e−(x2+y2) dy



dx = =

 

1 −1



1 6[

−

x+e− (x2₊₁₎ +4(

−

x 2 +e− (x2₊1 4))+4(x 2+e− (x2₊1 4))+2(e−(x2))+x+e−(x2+1)]



dx = =

 

1 −1



1 6[2e− (x2₊₁₎ + 8(e−(x2+14)) + 2(e−x2)]



dx = = 1 3

 

1 −1



[e−(x2+1) + 4(e−(x2+14)) + e−x2]



dx =

= 1

18([e−

2_{+ 4(e−}(5₄)_{) + e−}1_{] + 4[e−}(₄5) _{+ 4(e−}(1₂)_{) + e−}1_4]

+4[e−(54) + 4(e−( 1 2)) + e− 1 4] + 2[e−1 + 4(e−( 1 4)) + 1] + [e−2 + 4(e−( 5 4)) + e−1]



= = 1 18(2e−

2_{+ 16e−}(5₄) _{+ 4e−}1 _{+ 16e−}(1₄) _{+ 32e−}(1₂) _{+ 2) = 2.2331143733815990944}

EJEMPLO 1.1.15.  Considerar la siguiente integral 

 

1

−1

 

1

−1

xy + e−(x2+y2) dydx

a-) Usando regla del trapecio, determinar la aproximaci´ on de esta integral. Soluci´ on:

 

1 −1

 

1 −1 xy + e−(x2+y2) dydx =

 

1 −1

  

1 −1 xy + e−x2e−y2 dy



dx =

 

1

−1



2 2



−

x + e−x2e−1 + x + e−x2e−1



dx =

 

1

−1



2e−1e−x2



dx = 2e−1

 

1

−1

e−x2dx = 2e−1



2

2(e−

1_+ e−1₎



_{= 2e−}1



_(2e−1₎



_{= 4e−}2 _{= 0.5413411329464508}

b-) Usando regla de Simpson, determinar la aproximaci´ on de esta integral. Soluci´ on:

 

1 −1

 

1 −1 xy + e−(x2+y2) dydx =

 

1 −1

  

1 −1 xy + e−x2e−y2 dy



dx =

 

1 −1



2 6



−

x + e−x2e−1 + 4(e−x2) + x + e−x2e−1



dx =

 

1 −1



1 3



2e−x2e−1+ 4(e−x2)



dx =



1 3



2e−1 + 4

  

1 −1 e−x2dx =



1 3



2e−1 + 4



1 3



e−1 + 4 + e−1



=



1 3



2e−1 + 4



2



= 2.4919346879655031 EJEMPLO 1.1.16.  Considerar la siguiente integral 

 

1

−1

 

1

−1

e−(x2+y2) dydx

a-) Usando regla del trapecio, determinar la aproximaci´ on de esta integral. Soluci´ on:

 

1 −1

 

1 −1 e−(x2+y2) dydx =

 

1 −1

 

1 −1

e−(x2)e−(y2) dydx =

  

1 −1 e−(x2) dx

  

1 −1 e−(y2) dy



Podemos usar la regla del trapecio para cada una de estas integrales por separado, es decir,

 

1

−1

e−(x2) dx

_≈

1

−

(

−

1) 2



e−1+ e−1



= 2e−1 y 

 

1 −1 e−(y2) dy

 _≈

1

−

(

−

1) 2



Entonces 

 

1

−1

 

1

−1

e−(x2+y2) dydx

_≈

4e−2

b-) Usando regla de Simpson, determinar la aproximaci´ on de esta integral.

 

1 −1

 

1 −1 e−(x2+y2) dydx =

 

1 −1

 

1 −1

e−(x2)e−(y2) dydx =

  

1 −1 e−(x2) dx

  

1 −1 e−(y2) dy



Podemos usar la regla de Simpson para cada una de estas integrales por separado, es decir,

 

1

−1

e−(x2) dx

_≈

1

−

(

−

1) 6



e−1 + 4e0+ e−1



= 4 + 2e−

1 3 y 

 

1 −1 e−(y2) dy

 _≈

1

−

(

−

1) 6



e−1 + 4e0 + e−1



= 4 + 2e−

1 3 Entonces 

 

1 −1

 

1 −1

e−(x2+y2) dydx

_≈



4 + 2e−

1

3



2

EJEMPLO 1.1.17.  Recordemos que la f´ ormula de cuadratura para aproximar la integral  de una funci´ on  f (x) esta dada por 

 

b a f (x)dx

_≈

n



i=0 A_{if (xi) =} A_{0f (x0) +}A_{1f (x1) + ... +}A_{nf (xn), (1)}

Donde  [a, b] es el intervalo de integraci´ on,

 _{

xi

}

ni=0 son los  (n + 1) puntos de interpolaci´ on 

dados y los A_{i son los valores num´ericos a determinar. Para simplificar el c´ alculo de los}  valores de A_{i, podemos resolver el sistema lineal de  (n+1) ecuaciones y  (n+1) incognitas}  (las cuales son los A_{i) dado por} 

n



i=0 A_ixk i = bk+1

₋

ak+1 k + 1 , para cada  k = 0, 1,...,n.

(Las  (n + 1)  ecuaciones se obtienen considerando cada valor de  k. En el lado derecho de  la igualdad es el lado derecho del sistema lineal y en el lado izquierdo aparecen las  (n + 1) incognitas A_i)

Consideremos la funci´ on  f (x) = e−x2 y los puntos de interpolaci´ on  x0 = 0, x1 = 2, x2 =

4. Entonces,

a-) Determinar el  sistema lineal  para encontrar los valores de A_i.

b-) Resolver el sistema lineal de a-) usando el  m´etodo de factorizaci´ on LU . c-) Usando (1) determinar el   valor num´erico de 

 

₀4_e−x2

dx. [Si quiere  comprobar  este resultado, debe darse cuenta de la regla de integraci´ on usada, ya que 

 

_abf (x)dx

 _≈

 

_ab L(x)dx =

 

n_i=0A_{if (xi). La comprobaci´ on asegura que lo hecho en a-), b-) y c-) esta} 

bueno] 

d-) Calcular la  matriz de Jacobi  del sistema lineal en a-). e-) Calcular   el espectro de la matriz de Jacobi .

 f-) Determinar si el m´etodo de Jacobi es  convergente.

g-) Calcular la  matriz de Gauss-seidel  del sistema lineal en a-). h-) Calcular  el espectro de la matriz de Gauss-Seidel .

i-) Determinar si el m´etodo de Gauss-Seidel es  convergente. SOLUCIONES: a-) A_0 + A_1 +A_{2 = b}

₋

_{a, para cada  k = 0} A_0x1 0 +A1x1₁ + A2x1₂ = b 2 −a2 2 , para cada  k = 1 A_0x2 0 +A1x2₁ + A2x2₂ = b 3 −a3 3 , para cada  k = 2 ,es decir, A_0 + A_1 + A_{2 = 4} 2A_{1 + 4}A_{2 = 8} 4A_{1 + 16}A_{2 =} 64 3

Matricialmente podemos escribir:









1 1 1 0 2 4 0 4 16

















A₀ A₁ A₂









=









4 8 64 3









⇐⇒

AX  = B

b-)









1 1 1 0 2 4 0 4 16









=









1 0 0 0 1 0 0 2 1

















1 1 1 0 2 4 0 0 8









Entonces 

AX  = B

_⇐⇒

LU X  = B

_⇐⇒

LY  = B y U X  = Y  Primero LY  = B

_⇐⇒









1 0 0 0 1 0 0 2 1

















y1 y2 y3









=









4 8 64 3









⇐⇒









y1 y2 y3









=









4 8 16 3









Segundo UX  = Y 

_⇐⇒









1 1 1 0 2 4 0 0 8

















A₀ A₁ A₂









=









4 8 16 3









⇐⇒









A₀ A₁ A₂









=









2 3 8 3 2 3









c-) Se tiene que 

 

4 0 e−x2dx

_≈

2 3f (0) + 8 3f (2) +  2 3f (4) = 2 3 +  8 3e− 4 ₊ 2 3e− 16_.

Para comprobar, usamos la regla de Simpson (con la cual se esta trabajando implicita-mente)

 

4 0 e−x2dx

_≈

4 6[f (0) + 4f (2) + f (4)] = 2 3[1 + 4e− 4_+ e−16_].

los cuales son iguales. d-) J  = D−1(E  + F ) =









1 0 0 0 1/2 0 0 0 1/16

















0

₋

1

₋

1 0 0

₋

4 0

₋

4 0









=









0

₋

1

₋

1 0 0

₋

2 0

₋

1/4 0









e-) Espectro

|

λI 

₋

J 

_|

=

















λ 1 1 0 λ 2 0 1/4 λ

















= λ3

₋

 λ 2 = λ(λ 2

−

 1₂) = 0

_⇐⇒

λ1 = 0, λ2,3 =

±

√ 

₂ 2 entonces, ρ(J ) = max

_{

0,





_



−

√ 

₂ 2









,





_



√ 

₂ 2









}

=

√ 

₂ 2 .  f-) ρ(J ) =

√ 

₂ 2 < 1, es decir, el m´etodo de Jacobi es convergente.

g-) Gs = (D

−

E )−1F  =









1 0 0 0 1/2 0 0

₋

1/8 1/16

















0

₋

1

₋

1 0 0

₋

4 0 0 0









=









0

₋

1

₋

1 0 0

₋

2 0 0 1/2









h-) Espectro

|

λI 

₋

Gs

|

=

















λ 1 1 0 λ 2 0 0 λ

₋

1/2

















= λ2(λ

₋

1/2) = 0

_⇐⇒

λ1,2 = 0, λ3 = 1/2 entonces, ρ(Gs) = max

{

0,









−

 1 2









,









1 2









}

= 1 2. i-) ρ(Gs) = 1 2 < 1, es decir, el m´etodo de G-S es convergente.

EJEMPLO 1.1.18.  Considerar la integral 

 

4

1

ln(x) dx

a.-Aproximar la integral, usando las reglas del trapecio y Simpson.

b.-Aproximar la integral, usando la regla del trapecio compuesta, subdividiendo el intervalo en 3 subintervalos de igual longitud.

c.-Determinar el n´ umero m´ınimo de intervalos necesarios para que al usar la regla del  trapecio compuesta, el error sea menor a  0.3. Con ´este n´ umero m´ınimo de intervalos  determinar el valor de la integral 

SOLUCION: Usando la reglas del trapecio

 

4 1 ln(x) dx

_≈

4

−

1 2 (ln(1) + ln(4)) = 3 2(ln(4)) = 3ln(2) Regla de Simpson 

 

4 1 ln(x) dx

_≈

4

−

1 6 (ln(1) + 4ln(2.5) + ln(4)) = 1 2(4ln(2.5) + 2ln(2)) Usando la regla del trapecio compuesta ( h = 1)

 

4 1 ln(x) dx = h 2(ln(1) + 2ln(2) + 2ln(3) + ln(4)) = 1 2(4ln(2) + 2ln(3)) Para c-) se tiene que 

|

Error

_{| ≤}

(b

−

a)

3

12n2 supξ∈[1,4]

|

f (ξ )

|

entonces, para que el error sea menor que 0.3, se debe tener que 

(b

₋

a)3 12n2 supξ∈[1,4]

|

f (ξ )

|

< 0.3 es decir, (b

₋

a)3 3, 6 supξ∈[1,4]

|

f (ξ )

|

< n 2 donde  f (x) =

 −

1 x2

entonces 

supξ_∈[1,4]

|

f (ξ )

|

= 1

entonces 

7.5 < n2 2.738612788 < n

es decir, n = 3. Por lo tanto se necesitan 3 intervalos, los mismo que b), por lo tanto no hay nada que calcular.

EJEMPLO 1.1.19. La  f´ ormula del trapecio corregida  se obtiene considerando 4 puntos de interpolaci´ on, tomando x0 = x1 = a y  x2 = x3 = b, lo cual nos da 

 

b a f (x)dx

_≈

b

−

a 2



f (a)

−

f (b)



+  (b

₋

a)2 12



f (a)

−

f (b)



.

Determinar para este caso la estimaci´ on del error. Comparar esta estimaci´ on con la esti-maci´ on del error para la f´ ormula del trapecio simple.



_{AYUDA: Recordar que la f´ ormula para el error esta determinada por  π(x). En algun} 

momento usar la f´ ormula de integraci´ on 

 

_ab(x

₋

a)m_(x

−

b)n_dx =

−

n+1m

 

b

a(x

−

a)m−1(x

−

b)n+1dx



SOLUCION: En este caso se tiene que 

π(x) = (x

₋

a)(x

₋

a)(x

₋

b)(x

₋

b) =

la cual no cambia de signo, ya es siempre positiva. Entonces el error cometido es 

|

E 

_{| ≤}

supξ_∈[a,b]

|

f (ξ )

_|

4!

 

b a π(x) dx. Usando la f´ ormula 

 

b a π(x) dx =

 

b a (x

₋

a)2(x

₋

b)2 dx =

₋

2 3

 

b a (x

₋

a)(x

₋

b)3 dx = 1 6

 

b a (x

₋

b)4 dx = 1 6( (x

₋

b)5 5 )









b a = (b

−

3

1.2 Ejercicios Propuestos

1.- Encontrar el polinomio de interpolaci´ on de Lagrange usando f´ ormula original para  los siguientes datos 

xi

−

1 0 1

f (xi) 0 1

−

1

Adem´ as, usar la formula de Newton para determinar el polinomio de interpolaci´ on. Tambi´en  usar las f´ ormulas de Newton progresivas y regresivas.

2.- En estudios de polimerizaci´ on inducida por radiaci´ on, se emplea una fuente de rayos  gamma para obtener dosis medidas en radiaci´ on. Sin embargo, la dosis var´ıa con la  posici´ on del aparato, seg´ un los datos que se dan a continuaci´ on.

Posici´ on (centimetros) 1.0 1.5 2.0 3.0

Dosis  2.71 2.98 3.20 3.20

i)Cu´ al es la estimaci´ on para el nivel de dosis en 2.5 centrimetros? 

ii)Si se efect´ ua una nueva medici´ on que indica que a 3.5 cms el nivel de dosis correspon-diente es de  2.98, cu´ al ser´ a ahora la estimaci´ on para el nivel de dosis en  2.5 pulgadas?  3.- Para los valores siguientes 

xi 40 60 80 100 120

f i 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93

donde  xi  son los voltios y  f i  los kilovatios en una curva de p´erdida en el n´ ucleo para 

un motor el´ectrico. Calcular el polinomio de interpolaci´ on con f´ ormula de Newton de se-gundo grado para  xi = 80, 100, 120 . Utilizarlo para estimar el valor de  f i correspondiente 

a  xi = 90 voltios.

4.- Dados los datos de la siguiente tabla,

xi 10.50 29.49 42.70 60.01 75.51 91.05

Usando la f´ ormula de Newton, determinar el polinomio de interpolaci´ on. Determinar el  valor para  x = 90.

Usando Newton progresivo y regresivo determinar el valor de aproximaci´ on en  x = 90. Que se puede concluir?.

5.- Determinar el valor aproximado de  P (1), donde  P  es un polinomio de tercer grado, tal que  P (0) = 1, P (2) = 3 y 

 

₀2P (x) dx = 4.

6.- Un fabricante de refrigeradores desea saber la densidad del agua, dada cierta temper-atura. Sin embargo, solo tiene datos sobre temperaturas distintas a las de inter´es, como la siguiente tabla:

T  18 20 22

Densidad [Kg/m3] 998.5 998.2 997.7

Le pide su ayuda, porque no sabe qu´e hacer y necesita calcular la densidad cuando T  = 20.256. Calcule la densidad para  T  = 20.256 usando los m´etodos m´ as adecuados de inter-polaci´ on conocidos en el curso .

7.- Aproximar el valor de la funci´ on  f (x) = cos(x)

_∀

x

_∈

[0, 2π] en  x = 5π₄  considerando la partici´ on  P  =

_{

0, π/2, π, 3π/2, 2π

_}

 usando la f´ ormula de Newton. Determinar el error  cometido.

8.-   Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´ on  f (x) = log(x) con  los puntos 

 _{

1, 2, 4, 6, 8

_}

. Determinar la funci´ on del error y acotar el error cometido al  aproximar el valor de  log(3).

9.- Considerar la funci´ on 

f (x) =

√ 

x y los puntos de interpolaci´ on  x0 = 1, x1 = 4, x2 = 9.

puntos de Interpolaci´ on.

b-) Desarrollar el polinomio de Lagrange (usando f´ ormula original ) para estos puntos de  Interpolaci´ on.

c-) Estimar el error al calcular 

√ 

2.5.

10.- Como en el ejemplo anterior aproximar el valor 

√ 

115 y determinar el error cometido. 11.- Considerar la funci´ on 

f (x) = x1/3 y los puntos de interpolaci´ on  x0 = 1, x1 = 8, x2 = 27.

a-) Desarrollar el polinomio de Newton para estos puntos de interpolaci´ on.

b-) Desarrollar el polinomio de Lagrange (usando f´ ormula original ) para estos puntos de  interpolaci´ on.

c-) Estimar el error al calcular  201/3.

12.-   Aproximar el valor de la funci´ on  f (x) = sin(x)

 _∀

x

_∈

[0, π] en  x = 3π₈   con-siderando la partici´ on  P  =

_{

0, π/4, π/2, 3π/4, π

_}

. Determinar el error cometido

13.- Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´ on  f (x) = xlog(x) con  los puntos 

_{

1, 2, 4, 6

_}

. Determinar la funci´ on del error y acotar el error cometido al aprox-imar el valor de la funci´ on en  x = 5.

14.- Encontrar los polinomios de Newton progresivo y regresivo para los siguientes datos  xi

−

1 0 1 2

f (xi) 0 1

−

1

−

2

Ademas, para cada interpolaci´ on encontrar la estimacion en  x = 1.5. Que se puede con-cluir?.

rayos gamma para obtener dosis medidas en radiaci´ on. Sin embargo, la dosis var´ıa con la  posici´ on del aparato, seg´ un los datos que se dan a continuaci´ on.

Posici´ on (centimetros) 1.0 2.0 3.0

Dosis  2.6 2.9 3.2

i)Cu´ al es la estimaci´ on para el nivel de dosis en  2.5 cms? 

ii)Si se efect´ ua una nueva medici´ on que indica que a  4.5 cms el nivel de dosis correspon-diente es de  4.1, cu´ al ser´ a ahora la estimaci´ on para el nivel de dosis en  2.5 cms? 

16.- Sea  A(x)   un interpolante de  f (x)  en los puntos de interpolaci´ on  x0, x1,...,xn₋1 y 

sea  B(x)  otro interpolante de  f (x)   en los puntos  x1, x2,...,xn. Demostrar que  C (x) =

A(x) + x0₋x

xn₋x0



A(x)

−

B(x)



 interpola a  f (x) en los puntos  x0, x1,...,xn.

17.-   Sean  P (x) = 3 + 1₂(x

 ₋

 1) + 1₃(x

 ₋

 1)(x

 ₋

 1.5)

 ₋

 2(x

 ₋

 1)(x

 ₋

 1.5)x y  Q(x) = 5 3

−

2 3(x

−

2)

−

5

3(x

−

2)x

−

2(x

−

2)x(x

−

1.5), dos polinomios que interpolan a una funci´ on.

Obtener las tablas de las diferencias divididas de cada polinomio.

18.- Considerar la funci´ on  f (x) = _1+x1 2. Sean los puntos de interpolaci´ on 

 −

5,

−

4,..., 4, 5.

Segun Ud. que interpolaci´ on ser´ıa mas ´ util: Lagrange o por splines cubicos.

20.-   Construir un polinomio de grado 3 que pasa por los puntos  (0, 10), (1, 15), (2, 5) y cuya recta tangente en  (0, 10) tiene pendiente  1.

21.- Aproximar por splines c´ ubicos para los siguientes datos 

xi 3 4.5 7 9

f (xi) 2.5 1 2.5 0.5

22.- Sabemos que el error cometido al interpolar una funci´ on  f (x) por  P (x) en un punto especifico z  esta dado porque 

|

E (z )

_|

=

_|

f (z )

₋

P (z )

_{| ≤}

max∈I 

|

f 

n+1_()

|

Ahora, demostrar  que el m´ aximo error cometido en todo el intervalo I  esta dado por  max

x_∈I 

|

f (x)

−

P (x)

| ≤

maxx_∈I 

|

f n+1(x)

|

(n + 1)! maxx_∈I 

|

(x

−

x0)(x

−

x1)

· · ·

(x

−

xn)

|

(ojo con esto, lo deben saber). Dada la funci´ on 

f (x) = x

3

−

5

x2 _{+ 1}

y los puntos de interpolaci´ on 

 ₋

2,

₋

1, 1, 2, determinar el error de interpolaci´ on en  x = 0 y determinar el error m´ aximo cometido en el intervalo [

₋

2, 2]. Que se puede concluir?. 23.- Consideremos los puntos equiespaciados  xi = x0 + ih, donde  h es la distancia entre 

puntos consecutivos.

a) Determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´ on  lineal (polinomio de interpolaci´ on de grado 1).

b) Determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´ on  cuadr´ atica (polinomio de interpolaci´ on de grado 2).

c) Determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´ on  c´ ubica (polinomio de interpolaci´ on de grado 3).

(ojo: usar ejercicio anterior)

24.-   Se desea interpolar la funci´ on  f (x) = cos(x)ex _{en el intervalo [}

−

π, π]   con nodos  equiespaciados.

a) Usando splines de orden 1: Cuantos nodos se debe tomar para que el error cometido en todo el intervalo [

₋

π, π] no sea mayor a  0.5? (usar a) ejercicio anterior)

b) Usando splines de orden 2: Cuantos nodos se debe tomar para que el error cometido en todo el intervalo [

₋

π, π] no sea mayor a  0.5? (usar b) ejercicio anterior)

25.- Considerar 

I  =

 

π 0

sen(x) dx

a-) Calcular una aproximaci´ on de  I , usando la regla del trapecio compuesta, considerando 4 subintervalos de igual longitud.

b-) Estimar el error cometido.

c-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un  error menor a  0.001?.

26.- Considerar 

I  =

 

π/2 0

cos(x) dx

a-) Calcular una aproximaci´ on de  I , usando la regla del trapecio compuesta, considerando 4 subintervalos de igual longitud.

b-) Estimar el error cometido.

c-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un  error menor a  0.0001?.

27.- Considerar 

I  =

 

1 0

e−x2 dx

a-) Calcular una aproximaci´ on de  I , usando la regla del punto medio, trapecio y Simpson, estimar el error cometido.

b-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un  error menor a  0.01, usando las reglas compuestas?.

28.- Considerar 

I  =

 

1 0

cos

√ 

x dx

a-) Calcular una aproximaci´ on de  I , usando la regla del Simpson compuesta, considerando 4 subintervalos de igual longitud.

b-) Estimar el error cometido.

c-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un  error menor a  0.0001?.

29.- Considerar 

I  =

 

π 0

a-) Calcular una aproximaci´ on de  I , usando la regla del Simpson.

b-) Interpolando la funci´ on  sen(x) en los puntos  0, π/2, π, obtener el valor de  I . b-) Que se deduce al comparar los resultados en a) y b).

30.- Considerar 

I  =

 

1 0

ex dx

a-) Calcular una aproximaci´ on de  I , usando las reglas del trapecio y Simpson compuestas, estimar el error cometido.

b-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un  error menor a  0.01?.

31.- Determinar la f´ omula de integraci´ on para la integral 

 

b

a

f (x)dx si se consideran los siguientes puntos de interpolaci´ on 

x0 = x1 = a, x2 = x3 = b. 32.- Considerar  I  =

 

1 0 xe−x dx

a-) Usando 3 subintervalos de igual longitud calcular una aproximaci´ on de  I , usando las  reglas del trapecio y Simpson compuestas.

b-) Estimar el error cometido en  a-) para cada regla compuesta.

c-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un  error menor a  0.01, usando las reglas compuestas?.

33.- Si  f (x) es  n  veces diferenciable y suave en el intervalo [c, d]   que contiene al in-tevalo [a, b], entonces  f (x) se puede escribir como

, donde  N (x) es el polinomio (dado por la f´ ormula de Newton) que interpola a  f (x) en los  n+1 puntos 

_{

x0, x1,...,xn

}

, donde  Φn(x) = (x

−

x0)(x

−

x1)

···

(x

−

xn) y  f [x0, x1,...,xn, x]

es una funci´ on de  x continua e integrable en  (c, d). El error de integraci´ on estimado esta dado

E (f ) =

 

b a f (x) dx

₋

 

b a N (x) dx =

 

b a f [x0, x1,...,xn, x]Φn(x) dx

Si  Φn no cambia de signo en  (a, b) y si se considera que  f (x) es  n + 1 veces diferenciable 

en  (c, d), se tiene que  E (f ) = f 

n+1_()

(n + 1)!

 

b

a

Φn(x) dx, para alg´ un  

∈

(c, d) (2)

Ahora, si  Φn cambia de signo en  (a, b) y 

 

_abΦn(x) dx = 0 y si se considera que  f (x) es 

n + 2 veces diferenciable en  (c, d), se tiene que  E (f ) = f 

n+2_()

(n + 2)!

 

b

a

Φn+1(x) dx, para alg´ un  

∈

(c, d) (3)

Entonces,

a-)  Usando la representaci´ on  (1)   para  f (x), deducir la regla del trapecio para calcular 

 

_abf (x) dx.

b-) Usando (2) o (3) determinar la f´ ormula para acotar el error.

34.- Demostrar las siguientes propiedades de la integraci´ on num´erica: a)  (Invarianza bajo traslaciones) Si 

 

b a f (x)dx

_≈

n



i=0 Aif (xi) y 

 

b+d a+d f (x)dx

_≈

n



i=0 Bif (xi + d) entonces  Ai = Bi,

∀

i = 0, 1,...,n.