DESARROLLO DE ALGORITMOS PARA EL ANALISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO CON BASE EN LA NSR-10
CARLOS CESAR DOMINGUEZ VEGA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Ambiental Ingeniería Civil Medellín 2013
DESARROLLO DE ALGORITMOS PARA EL ANALISIS Y DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO CON BASE EN LA NSR-10
CARLOS CESAR DOMINGUEZ VEGA
Trabajo para optar al título de Ingeniera Civil
Director
CARLOS ALBERTO RIVEROS JERES I.C. M. Eng Dr. Eng.
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Ambiental Ingeniería Civil Medellín 2013
IV
NOTA DE ACEPTACIÓN
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V Medellín, Octubre de 2013 A Dios A mi familia A mis profesores A mis amigos
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AGRADECIMIENTOS
A mi familia la base de mi esfuerzo y dedicación, de no haber sido por ellos no estaría dando mil gracias y pidiéndole a Dios que recompense a mis padres y hermanos por tan grandes concejos que recibí de ellos.
Al ingeniero Carlos Alberto Riveros, mil y mil gracias por apoyarme en esta meta, por hacer de mi y mi trabajo un compromiso por el futuro. Gracias profesor por acompañarme en este logro.
Agradezco a cada uno de mis compañeros y amigos que estuvieron a mi lado en ésta etapa de mi vida, a todos aquellos que lloraron, rieron, sufrieron y celebraron por algún logro obtenido en el transcurso de este tiempo .
A aquellas personas que incondicionalmente me dieron su apoyo durante este proceso, a las cuales les ofrezco todos los frutos de mis esfuerzos.
VII
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ___________________________________________________ 144
JUSTIFICACIÓN 15 OBJETIVOS _______________________________________________________ 166
1 ESTADO DEL CONOCIMIENTO _________________________________ 177
1.1 MARCO TEORICO 18 2 METODO DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA ___ ¡Error! Marcador no definido.20 2.1 COEFICIENTE DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA Φ __ ¡Error! Marcador no definido.20 3 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO A FLEXION __________________________________________________________ 201
3.1 REQUISITOS GENERALES DE LA NORMA NSR-10 PARA VIGAS _______________ 202 3.1.1 DEFINICIÓN DE VIGA, SEGÚN LA NORMA NSR-10 2¡Error! Marcador no definido. 3.1.2 METODO DE RESISTENCIA - SUPOSICIONES DE DISEÑO — C.10.2 ___ ¡Error!
Marcador no definido.3
3.1.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES — C.10.3 _______ ¡Error! Marcador no
definido.4
3.1.4 REFUERZO MÍNIMO EN ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN — C.10.5
¡Error! Marcador no definido.6
3.1.5 LIMITES DEL RECUBRIMIENTO DE ELEMENTOS A FLEXION (PROTECCIÓN DE CONCRETO PARA EL REFUERZO — C.7.7) __________ ¡Error! Marcador no definido.6 3.1.6 LIMITES DEL ESPACIAMIENTO DE ESTRIBOS DE ELEMENTOS A FLEXION (ESTRIBOS — C.7.10.5) ________________________________ ¡Error! Marcador no definido.7 3.1.7 LIMITES DEL ESPACIAMIENTO DE LAS BARRAS LONGITUDINALES DE ELEMENTOS A FLEXION (LÍMITES DEL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO— C.7.6)
¡Error! Marcador no definido.8
3.1.8 MÓDULO DE ELASTICIDAD — C.8.5 _____________ ¡Error! Marcador no definido.9 3.1.9 MAXIMA DEFORMACION UNITARIA UTILIZABLE (ϵu) _____________________ 30 3.1.10 RESISTENCIA DE DISENO (∅) — C.9.3___________________________________ 30 3.1.11 COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL METODO DE RESISTENCIA (RESISTENCIA REQUERIDA — C.9.2.) ____________________________ 30 3.1.12 CONTROL DE DEFLEXIONES — C.9.5 __________________________________ 30 3.1.13 SISTEMAS DE VIGAS T— C.8.12 ________________________________________ 31 3.1.14 REFUERZO CORRUGADO— C.3.5.3 ____________________________________ 32 3.1.15 CUANTÍA DE REFUERZO _______________________________________________ 33 3.2 MÉTODO APROXIMADO DE ANÁLISIS PARA FLEXIÓN ______________________ 33 3.3 ANÁLISIS DE VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS __________________________ 35
3.3.1 RELACION ENTRE COEFICIENTE DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA Φ, EL EJE NEUTRO, C, Y ALTURA EFECTIVA PARA UNA O VARIAS CAPAS DE REFUERZO, dt 37 3.3.2 TIPOS DE FALLAS ____________________________________________________ 38 3.3.2.1 FALLA A TENSION _____________________________________________________ 38 3.3.2.2 FALLA A COMPRESION ________________________________________________ 41 3.3.2.3 FALLA BALANCEADA ___________________________________________________ 43
VIII
3.3.3 DIGRAMAS DE FLUJO PARA LOS ALGORITOMOS DEL ANALISIS DE VIGAS. 44 3.3.3.1 ANALISIS DE VIGAS RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO ____ 44 3.4 DISEÑO A FLEXIÓN DE VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS __________________ 49 3.4.1 DIGRAMAS DE FLUJO PARA LOS ALGORITOMOS DEL DISEÑO DE VIGAS 50 3.4.1.1 As = DESCONOCIDO; b, h = CONOCIDOS ________________________________ 50 3.4.1.2 As, b, h = DESCONOCIDO ______________________________________________ 56 3.5 VIGAS “T” _________________________________________________________ 61 3.5.1 ANALISI DE VIGAS T ___________________________________________________ 66 3.5.1.1 DIGRAMAS DE FLUJO PARA LOS ALGORITOMOS DEL ANALISIS DE VIGAS T 67 3.5.2 DISEÑO DE VIGAS T ___________________________________________________ 77 3.5.2.1 DIGRAMAS DE FLUJO PARA LOS ALGORITOMOS DEL DISEÑO DE VIGAS T As = DESCONOCIDO; b, h, hf = CONOCIDOS ____________________________________ 77
4 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO A COMPRESION AXIAL _______________________________________________ 93
4.1 INTRODUCCIÓN: COMPRESIÓN AXIAL __________________________________ 93 4.2 REQUISITOS GENERALES DE LA NORMA NSR-10 PARA COLUMNAS ___________ 94 4.2.1 METODO DE RESISTENCIA - SUPOSICIONES DE DISEÑO — C.10.2 ______ 95 4.2.2 LÍMITES DEL REFUERZO DE ELEMENTOS A COMPRESIÓN (COLUMNAS- C.10.9) 96 4.2.3 LIMITES DEL NUMERO DE BARRAS DE ELEMENTOS A COMPRESION ____ 97 4.2.4 LIMITES DEL RECUBRIMIENTO DE ELEMENTOS A
COMPRESION(PROTECCIÓN DE CONCRETO PARA EL REFUERZO — C.7.7) _____ 97 4.2.5 LIMITES DEL ESPACIAMIENTO DE ESTRIBOS DE ELEMENTOS A
COMPRESION (ESTRIBOS — C.7.10.5) _________________________________________ 97 4.2.6 LIMITES DEL ESPACIAMIENTO DE LAS BARRAS LONGITUDINALES DE ELEMENTOS A COMPRESION ( LÍMITES DEL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO— C.7.6) 99 4.2.7 MÓDULO DE ELASTICIDAD — C.8.5 _____________________________________ 99 4.2.8 MAXIMA DEFORMACION UNITARIA UTILIZABLE (ϵ_u) ___________________ 100 4.2.9 RESISTENCIA DE DISENO (∅) — C.9.3__________________________________ 100 4.2.10 COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL METODO DE RESISTENCIA (RESISTENCIA REQUERIDA — C.9.2.):___________________________ 100 4.3 ANALISIS DE COLUNAS CORTAS CON PEQUEÑAS EXCENTICIDADES __________ 100 4.4 COMPRESIÓN MÁS FLEXIÓN DE COLUMNAS RECTANGULARES______________ 102 4.5 ANÁLISIS DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES Y DIAGRAMAS DE
INTERACCIÓN ___________________________________________________________ 104 4.5.1 FALLA BALANCEADA __________________________________________________ 109 4.6 DIAGRAMAS DE FLUJO DE LOS ALGORITMOS PARA COLUNAS ______________ 111 4.6.1 ANALISIS DE COLUMNAS CORTAS CON PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES 111 4.6.2 DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS CON PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES _ 114 4.6.2.1 Ag=CONOCIDA, Ast =DESCONOCIDA __________________________________ 114 4.6.2.2 Ag y Ast= DESCONOCIDOS __________________________________________ 119 4.6.3 ANALISIS DE COLUMNAS CORTAS CON GRANDES EXCENTRICIDADES USANDO DIAGRAMAS DE INTERACCION. _____________________________________ 122
IX
4.6.4 DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS CON GRANDES EXCENTRICIDADES. Ag , Ast = DESCONOCIDAS ________________________________________________________ 129
5 DEFINICIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO _______________ 138 5.1 MATLAB PROGRAMA BASE DEL DISEÑO ________________________________ 139 6 VALIDACIÓN DE PROGRAMA __________________________________ 140
6.1 ANÁLISIS DE VIGAS RECTANGULARES __________________________________ 140 6.2 DISEÑO DE VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS __________________________ 143 6.3 DISEÑO VIGAS “T” _________________________________________________ 144 6.4 DISEÑO DE COLUMNAS CON PEQUEÑAS EXCENTRICIDADES ________________ 148 6.5 ANALISIS DE COLUMNAS CORTAS CON GRANDES EXCENTRICIDADES USANDO DIAGRAMAS DE INTERACCION. _____________________________________________ 150 7 MANUAL DEL PROGRAMA _____________________________________ 161 CONCLUSIONES __________________________________________________ 165 BIBLIOGRAFÍA ____________________________________________________ 167
X
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Espesores mínimos, hmin, NSR-10 Tabla C.9.5(a).
Tabla 2. Dimensiones nominales de las barras de refuerzo C.3.5.3-2 NSR-10 (Diámetros basados en octavos de pulgadas).
Tabla 3. Coeficientes para calcular momentos mayorados Mu. Tabla 4 Características del diseño subreforzado
Tabla 5 Características del diseño sobreresforzado Tabla 6 Resultados del ejercicio de análisis de vigas.
Tabla 7 Resultados diseño de vigas simplemente reforzadas Tabla 8 Resultados diseño de vigas T.
Tabla 9 Resultados diseño de columnas con pequeñas excentricidades Tabla 10 Resultados análisis de columnas cortas con grandes
excentricidades. Calculo manual.
Tabla 11 Resultados análisis de columnas cortas con grandes excentricidades. Calculado con Programa.
XI
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Distribución rectangular de esfuerzos equivalentes.
Figura 2 Relación entre la deformación del acero y la falla que se presenta Figura 3 Espaciamiento mínimo entre barras de una o dos capas
Figura 4 Distribución rectangular de esfuerzos equivalentes en el concreto a compresión.
Figura 5 Relación entre Φ y c/dt Figura 6 Falla controlada por Tensión
Figura 7 Distribución de los esfuerzos de compresión Figura 8 Falla a compresión
Figura 9 Falla balanceada
Figura 10 Distribución de esfuerzos en una sección de concreto reforzada. Figura 11 Diagrama de Flujo. Análisis de Vigas Rectangulares de Concreto
Reforzado.
Figura 12 Dimensiones de una sección de concreto reforzada.
Figura 13 Diagrama de Flujo. Diseño de Vigas, b, h=Conocidas, As=Desconocido.
Figura 14 Diagrama de Flujo. Diseño de Vigas, b, h, As=Desconocido. Figura 15 Viga "T", Dimensiones y Partes.
Figura 16 Vigas "T" con losas a ambos lados Figura 17 Vigas "T" o L, con losa a un solo lado.
XII
Figura 19 Matriz de las combinaciones del refuerzo para vigas simplemente reforzadas (momento positivo)
Figura 20 Matriz de despiece para vigas simplemente reforzadas (momento positivo)
Figura 21 Viga "T" analizada como sección rectangular. Figura 22 Sección analizada como viga "T".
Figura 23 Diagrama de Flujo. Análisis de vigas T. Caso (a) y Caso (b). Figura 24 Zona a compresión, solo en el ala de la viga "T".
Figura 25 Zona a compresión, solo en el alma de la viga "T".
Figura 26 Diagrama de Flujo. Diseño de vigas T. Caso (a) y Caso (b). Figura 27 Refuerzo principal para columnas.
Figura 28 Excentricidad equivalente para la carga y el momento en una columna.
Figura 29 Columna sometida a compresión excéntrica.
Figura 30 Diagrama de interacción para una columna sometida a flexión y carga axial.
Figura 31 Diagrama de Flujo. Análisis de columnas cortas con pequeñas excentricidades.
Figura 32 Diagrama de Flujo. Análisis de columnas cortas con pequeñas excentricidades. Ag = conocido, Ast = desconocido.
Figura 33 Diagrama de Flujo. Análisis de columnas cortas con pequeñas excentricidades. Ag, Ast = desconocido.
Figura 34 Diagrama de Flujo. Análisis de columnas cortas con grandes excentricidades.
Figura 35 Diagrama de Flujo. Diseño de columnas cortas con grandes excentricidades. Ag, As = Desconocidas.
XIII
Figura 37 Geometría de la sección analizada para vigas “T”. Figura 38 Diagrama de interacción calculado manualmente. Figura 39 Diagrama de interacción calculado con el Programa. Figura 40 Ventana principal de Matlab.
Figura 41 Ventana en Matlab para abrir archivos. Figura 42 Ventana del editor de Matlab.
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INTRODUCCIÓN
Con las actuales facilidades que existen en el campo computacional y el gran número de lenguajes para programar existentes, se crea la necesidad de introducir herramientas de programación que sirvan de base en el proceso de diseño de elementos estructurales. Hoy en día se cuenta con herramientas computacionales de gran capacidad y fácil manejo que han permitido automatizar y optimizar procedimientos en muchas áreas de la ingeniería. En el campo la ingeniería estructural el uso de las herramientas computacionales ha sido vital en el desarrollo de soluciones a problemas de todo tipo. Los lenguajes de programación se constituyen en la vía de comunicación entre el usuario y el sistema computacional, por lo tanto es muy importante tener herramientas de programación que permitan generar la mejor solución en el menor tiempo.
El objetivo de éste trabajo de grado es desarrollar una herramienta fundamental para el diseño y análisis de elementos de estructuras en concreto reforzado ante diferentes solicitaciones, principalmente el diseño a flexión y compresión. En el programa que se va a realizar se aplican las disposiciones reglamentarias de la Norma Colombiana de Diseño y Construcción Sismo-resistente (NSR-10) y las normas americanas ACI (Building Code Requirements for Structural Concrete, ACI 318-05).
Dentro de los temas desarrollados se encuentra la revisión de secciones, el análisis y diseño de secciones simple a flexión, diseño y análisis de vigas “T”, y análisis y diseño de columnas.
En el trabajo se incluirán los diagramas de flujo de los programas en los diferentes temas tratados, tanto para el diseño y análisis de las secciones de los elementos, garantizando que cualquier persona que pueda utilizarlo con facilidad. El lenguaje utilizado para programar lo plasmado en los diagramas de flujo será MATLAB.
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JUSTIFICACIÓN
La actividad diaria del ingeniero estructural consiste en el análisis y diseño de estructuras. Las estructuras de concreto reforzado son de las más utilizadas en la infraestructura existentes en nuestro medio. Con el avance de la tecnología y la necesidad de optimización en tiempo y precisión de los cálculos estructurales, se hace necesario herramientas útiles para el calculista tales como software especialmente diseñado para el análisis y diseño de estructuras de concreto reforzado.
A pesar de que existen programas comerciales que realizan el análisis y diseño de este tipo de estructuras, no es fácil para los estudiantes acceder a las licencias por su alto costo y las versiones académicas suelen ser en ocasiones muy limitadas en su contenido. Otro aspecto importante es capacitar a los estudiantes en el uso de lenguajes que como el MATLAB tienen mucha aplicación en desarrollos investigativos.
Un aporte importante a la comunidad estudiantil es la elaboración de un nuevas herramientas que facilite el cálculo e incorpore los casos comunes en el diseño y análisis de estructuras en concreto reforzado.
La finalidad principal de desarrollar este programa es generar una herramienta que pueda ser usada libremente por la comunidad estudiantil de la Universidad de Antioquia, que facilite los cálculos, y que pueda ser modificado en un futuro, desarrollando nuevos instrumentos de estudio.
Desarrollar una herramienta como lo es un programa que incluye el análisis y el diseño de elementos estructurales permitiendo incluir métodos que sirvan de base para la creación de proyectos, convirtiéndose en el puente de enlace entre el estudiante y la actividad profesional, el futuro diseñador y el proyecto.
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OBJETIVOS
El objetivo general del presente estudio es Desarrollar y codificar algoritmos para procedimientos de diseño y análisis de elementos estructurales expuestos a flexión, compresión, y sus respectivas solicitaciones de cargas de servicio, con base en la NSR-10, utilizando como plataforma el lenguaje de programación MATLAB.
Los objetivos específicos, apuntan a:
• Plantear los diferentes comportamientos de los elementos de concreto reforzado que se van a analizar y a trabajar con el programa.
• Elaborar los algoritmos y diagramas de flujo de manera ordenada y secuencial para permitir su fácil sistematización.
• Programar cada uno de los diferentes algoritmos que conforman el programa en general utilizando como base de programación MATLAB.
• Desarrollar manual para que el usuario pueda acceder al programa de forma fácil y rápida.
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1 ESTADO DEL CONOCIMIENTO
A partir de los diferentes problemas que surgen en el campo de la ingeniería, se han desarrollado diferentes programas que han facilitado este entorno, programas que van desde C++, Fortran, Matlab, hasta programas más específicos como Sap 2000, entre otros. Estos programas se han convertido en grandes herramientas de análisis y cálculos numéricos en distintas aéreas de la ingeniería, estos también se utilizan con fines de investigación y para resolver problemas prácticos.
Desde los años setenta surgen los primeros lenguajes de programación M, para ser incluidos en el programa Fortan, pero solo hasta 1984 se conoció la primera versión oficial de estas subrutinas, y desde entonces Matlab que fue creado por the MathWorks a mejorado su eficiencia hasta el punto de convertirse en una de las herramientas más utilizadas en las universidades gracias a sus características, haciendo un aporte muy importante en el campo de la investigación a nivel de pregrado y posgrado.
En el medio se encuentran diferentes colecciones de libros, manuales y artículos, en donde se incluye toda la información del programa que se ha recopilado durante los últimos años gracias a las diferentes investigaciones en donde ha participado, creando una base de datos a partir de ejercicio prácticos en diferentes áreas.
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1.1 MARCO TEORICO
El concreto reforzado es por excelencia en nuestro medio el más utilizado como material estructural, debido a que se caracteriza por ser un material sobre el cual se tiene mucha experiencia de trabajo, es resistente a las condiciones de intemperie, al fuego, a la compresión, posee alto grado de manejabilidad, bajo costo comparado con las estructuras de acero.
El aporte del acero lo hace altamente resiste a la tensión, ductilidad, tenacidad. La combinación de esto dos excelentes materiales permite soportar las exigencias de cargas y servicio de los elementos estructurales que con ellos se construye, logrando en complicidad con la escasa producción de perfiles en acero estructural, que este sea el materia predominante en la construcción de infra estructura en nuestro país.
Los componentes de concreto reforzado son el concreto, material altamente resistente a la compresión, muy poca resistencia a la tracción, razón por la cual es limitado el empleo de este como material estructural. Para resistir tracciones el concreto se refuerza con acero en las zonas donde se requiere refuerzo.
El acero de refuerzo tiene como función estructural soportar las tracciones, restringir el agrietamiento, incrementar la resistencia del elemento estructural y proporcionar confinamiento lateral al hormigón, mejorando la ductilidad de la estructura.
El proceso para el diseño de estructuras, independientemente del material utilizado, consiste inicialmente en un análisis para determinar las fuerzas internas a las que está sometido cada elemento de la estructura (momento flector, fuerza axial, fuerza cortante y momento torsor) de acuerdo a las cargas a las que pueda estar sujeta en su vida útil. Una vez se conozcan estas fuerzas se continúa el proceso con el diseño de los elementos estructurales; diseño
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que consiste en la selección apropiada de los materiales en cuanto a resistencia, cantidad y geometría.
En estructuras es muy común encontrar los elementos tipo viga, elementos cuya característica principal es que las cargas actúan en la dirección normal al eje longitudinal. En la etapa de diseño, los elementos vigas se diseñan de manera independiente de los demás elementos presentes en la estructura. En cualquier sección transversal de una viga existen fuerzas internas que pueden descomponerse en fuerzas normales y tangenciales a la sección. Las componentes normales a la sección son los esfuerzos de flexión (tensión en un lado del eje neutro y compresión en el otro); su función es la de resistir el momento flector que actúa en la sección. Las componentes tangenciales se conocen como esfuerzos cortantes que resisten las fuerzas transversales o cortantes.
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2 MÉTODO DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA
En el método de la resistencia última se estudia el comportamiento de la estructura en el instante de falla (se estudia por lo general los estados límites de servicio y resistencia). Es importante mencionar que los elementos de hormigón reforzados diseñados a flexión por cualquier método apropiado, deben fallar cuando el acero a tracción alcance su limita elástico.
Para diseñar a partir del momento último de una sección, es necesario que la probabilidad de que dicho momento se presente sea casi nula, por lo cual se coloca un factor de seguridad apropiado. La Norma NSR-10 recomienda un factor de seguridad obtenido de aumentar las cargas o momentos por medio de los “coeficientes de de carga” y adicionalmente disminuyendo la resistencia de las secciones por medio de los “coeficientes de reducción de resistencia”.
2.1 COEFICIENTE DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA
Φ
Las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR-10 especifica el coeficiente de reducción de resistencia (título C.9.3) como ϕ=0,90 para elementos diseñados a flexión, coeficiente que se utiliza para multiplicar la resistencia nominal para convertirla en resistencia de diseño. La NSR-10 define la aplicación del coeficiente (ϕ) como “la resistencia de diseño que tiene un elemento, sus conexiones con otros miembros y cualquier parte o sección de él, en términos de momento flector y carga axial, debe ser igual a su resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Título C de la Norma NSR-10 multiplicada por un coeficiente de reducción de resistencia ϕ. Por lo tanto:
Resistencia de diseño= ϕ x Resistencia nominal ≥ Resistencia requerida”
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3 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE
HORMIGÓN ARMADO A FLEXION
El hormigón armado es un material altamente utilizado en nuestro medio para la construcción de estructuras debido a factores como el costo relativamente bajo, la buena resistencia al clima y al fuego, la buena resistencia a la compresión y la excelente capacidad de moldeo del hormigón con la alta resistencia a la tensión y la aún mayor ductilidad y tenacidad del acero. Es precisamente esta combinación la que permite el casi ilimitado rango de usos y posibilidades del hormigón reforzado en la construcción de edificios, puentes, presas, tanques, depósitos y muchas otras estructuras.
Los componentes del hormigón armado son el hormigón, material altamente resistente a la compresión, pero ofrece baja resistencia a la tracción, lo cual limita su empleo como material estructural. Para resistir tracciones el hormigón se refuerza con acero en las zonas donde éstas deben desarrollarse. El acero de refuerzo tiene como función estructural soportar las tracciones, restringir el agrietamiento, incrementar la resistencia del elemento estructural y proporcionar confinamiento lateral al hormigón, con lo cual se mejora la ductilidad de la estructura.
El proceso para el diseño de estructuras, independientemente del material utilizado, consiste inicialmente en un análisis para determinar las fuerzas internas a las que está sometido cada elemento de la estructura (momento flector, fuerza axial, fuerza cortante y momento torsor) de acuerdo a las cargas a las que pueda estar sujeta en su vida útil. Una vez se conozcan estas fuerzas se continúa el proceso con el diseño de los elementos estructurales; diseño que consiste en la selección apropiada de los materiales en cuanto a resistencia, cantidad y geometría.
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En estructuras es muy común encontrar los elementos tipo viga, elementos cuya característica principal es que las cargas actúan en la dirección normal al eje longitudinal. En la etapa de diseño, los elementos vigas se diseñan de manera independiente de los demás elementos presentes en la estructura. “En cualquier sección transversal de una viga existen fuerzas internas que pueden descomponerse en fuerzas normales y tangenciales a la sección” (Arthur H.Nilson pág. 62). Las componentes normales a la sección son los esfuerzos de flexión (tensión en un lado del eje neutro y compresión en el otro); su función es la de resistir el momento flector que actúa en la sección. Las componentes tangenciales se conocen como esfuerzos cortantes que resisten las fuerzas transversales o cortantes.
3.1 REQUISITOS GENERALES DE LA NORMA NSR-10
PARA VIGAS
Para la elaboración de los códigos de programación, se tuvieron en cuenta diferentes parámetros para lograr un diseño óptimo y acorde a las diferentes solicitaciones, en este capítulo se encuentra consignadas las propiedades de los materiales, las definiciones y requisitos generales de la norma NSR-10 para vigas.
3.1.1 DEFINICIÓN DE VIGA, SEGÚN LA NORMA NSR-10:
Viga (Beam, girder) - Elemento estructural, horizontal o aproximadamente horizontal, cuya dimensión longitudinal es mayor que las otras dos y su solicitación principal es el momento flector, acompañado o no de cargas axiales, fuerzas cortantes y torsiones.
Vigueta, o nervadura (Joist) - Elemento estructural que forma parte de una losa nervada, el cual trabaja principalmente a flexión.
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3.1.2 METODO DE RESISTENCIA - SUPOSICIONES DE DISEÑO
— C.10.2:
C.10.2.1 — El diseño por resistencia de elementos sometidos a flexión y cargas axiales debe basarse en las hipótesis dadas en C.10.2.2 a C.10.2.7, y debe satisfacer las condiciones de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones.
C.10.2.2 — Las deformaciones unitarias en el refuerzo y en el concreto deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro.
C.10.2.3 — La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0.003.
C.10.2.4 — El esfuerzo en el refuerzo cuando sea menor que f debe tomarse como E veces la deformación unitaria del acero. Para deformaciones unitarias mayores que las correspondientes a f , el esfuerzo se considera independiente de la deformación unitaria e igual a f .
C.10.2.5 — La resistencia a la tracción del concreto no debe considerarse en los cálculos de elementos de concreto reforzado sometidos a flexión y a carga axial.
C.10.2.6 — La relación entre la distribución de los esfuerzos de compresión en el concreto y la deformación unitaria en el concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que de origen a una predicción de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos representativos.
C.10.2.7 — Los requisitos de C.10.2.6 se satisfacen con una distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto, definida como sigue:
C.10.2.7.1 — Un esfuerzo en el concreto de 0.85f´ uniformemente distribuido en una zona de compresión equivalente, limitada por los bordes de la sección
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transversal y por una línea recta paralela al eje neutro, a una distancia a = β c de la fibra de deformación unitaria máxima en compresión.
C.10.2.7.2 — La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima al eje neutro, c, se debe medir en dirección perpendicular al eje neutro.
Figura 1 Distribución rectangular de esfuerzos equivalentes en el concreto a compresión
C.10.2.7.3 — Para f´ entre 17 y 28 MPa, el factor β se debe tomar como 0.85. Para f´ superior a 28 MPa, β se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7 MPa de aumento sobre 28 MPa, sin embargo, β no debe ser menor de 0.65.
β 0.85 0.05 f c 287 0.65 3.1.2.1
3.1.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES — C.10.3
C.10.3.1 — El diseño de las secciones transversales sometidas a cargas de flexión, ó cargas axiales, o a la combinación de ambas (flexo-compresión) debe basarse en el equilibrio y la compatibilidad de deformaciones, utilizando las hipótesis de C.10.2.
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C.10.3.2 — La condición de deformación balanceada existe en una sección transversal cuando el refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria última supuesta de 0.003.
C.10.3.3 — Las secciones se denominan controladas por compresión si la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, ϵ#, es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de 0.003. El límite de deformación unitaria controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción del refuerzo en condiciones de deformación unitaria balanceada. Para refuerzo Grado 420, y para todos los refuerzos preesforzados, se permite fijar el límite de deformación unitaria controlada por compresión en 0.002.
C.10.3.4 — Las secciones son controladas por tracción si la deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción, ϵ#, es igual o mayor a 0.005, justo cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación unitaria asumido de 0.003. Las secciones con ϵ# entre el límite de deformación unitaria controlada por compresión y 0.005 constituyen una región de transición entre secciones controladas por compresión y secciones controladas por tracción.
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3.1.4 REFUERZO MÍNIMO EN ELEMENTOS SOMETIDOS A
FLEXIÓN — C.10.5
C.10.5.1 — En toda sección de un elemento sometido a flexión cuando por análisis se requiera refuerzo de tracción, el As proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:
A ,&'( max +0.25,f ´
f bd , 1.4bf 0 (3.1.4.1)d
3.1.5 LIMITES DEL RECUBRIMIENTO DE ELEMENTOS A
FLEXION (PROTECCIÓN DE CONCRETO PARA EL
REFUERZO — C.7.7):
C.7.7.1 — Concreto construido en sitio (no preesforzado): A menos que se exija un recubrimiento mayor de concreto por ambientes corrosivos o protección contra el fuego, el recubrimiento especificado para el refuerzo no debe ser menor que lo siguiente:
Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a él ……….…... 75mm
Concreto expuesto a suelo o a la intemperie:
Barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) a No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm)... 50mm Barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), alambre MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) y menores... 40mm
Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo:
Vigas, columnas:
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3.1.6 LIMITES DEL ESPACIAMIENTO DE ESTRIBOS DE
ELEMENTOS A FLEXION (ESTRIBOS — C.7.10.5):
En general hay cuatro principales razones para que una viga tenga estribos:
1. Mantienen el refuerzo longitudinal en su lugar durante la construcción.
2. Proporciona un núcleo confinado, que incrementa la capacidad de resistencia de la viga y la ductilidad.
3. Actúa como refuerzo a cortante.
4. Proporciona soporte lateral para las barras longitudinales y evita el pandeo elástico.
C.7.11 — Refuerzo transversal para elementos a flexión
C.7.11.1 — El refuerzo a compresión en vigas debe confinarse con estribos que cumplan las limitaciones de tamaño y espaciamiento de C.7.10.5, o bien con un refuerzo electrosoldado de alambre de un área equivalente. Tales estribos deben colocarse a lo largo de toda la distancia donde se requiera refuerzo a compresión.
Los estribos para elementos sometidos a flexión deben cumplir con lo siguiente:
C.7.10.5.1 — Todas las barras no pre esforzadas deben estar confinadas por medio de estribos transversales de por lo menos diámetro No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm), para barras longitudinales No. 10 (1-1/4”) ó 32M (32 mm) o menores; y diámetro No. 4 (1/2”) ó 12M (12 mm) como mínimo, para barras longitudinales No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36mm), No. 14 (1-3/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm) y paquetes de barras. En estructuras de capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se permiten estribos de barra Nº 2 (1/4") ó 6M(6 mm) cuando las columnas soportan únicamente uno o dos pisos.
28
C.7.10.5.2 — El espaciamiento de los estribos no debe exceder 16 diámetros de barra longitudinal, 48 diámetros de barra o alambre de los estribos, o la menor dimensión del elemento.
S&23 min61678, 4879, :;< = (3.1.6.1)
Donde d>, es el diámetro de las barras longitudinales, d? , es el diámetro de los estribos y b&'( , es la mínima dimensión de la viga.
C.7.10.5.3 — Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135º, y ninguna barra longitudinal debe estar separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente.
S@= b − (N°de barras × d(N°de barras − 1)> 2(Recubrimiento + d?)≤ 150mm
(3.1.6.2)
3.1.7 LIMITES DEL ESPACIAMIENTO DE LAS BARRAS
LONGITUDINALES DE ELEMENTOS A FLEXION (LÍMITES
DEL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO— C.7.6):
C.7.6.1 — La distancia libre mínima entre barras paralelas de una capa debe ser d>, pero no menor de 25 mm. Véase también C.3.3.2.
C.3.3 — Agregados
C.3.3.2 — El tamaño máximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a:
• 3/4 del espaciamiento mínimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo, paquetes de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos.
29
C.7.6.2 — Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o más capas, las barras de las capas superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre entre capas no menor de 25 mm.
Para los chequeos de la distancia libre entre barra longitudinales se pueden utilizar tablas que dan el máximo número de barras que pueden ser colocadas en una viga, basadas en los requerimientos de espaciamientos de barras longitudinales mínimos. También se puede utilizar la siguiente ecuación, que se deduce de la gráfica 3:
MN :O P°7Q :RSSRT × 7(P°7Q :RSSRT − 1)8 2(UQVW:SXYXQZ[\ + 79)≥ YR]678, 25YY=
(3.1.7.1)
Figura 3 Espaciamiento mínimo entre barras de una o dos capas
3.1.8 MÓDULO DE ELASTICIDAD — C.8.5:
C.8.5.2 — El módulo de elasticidad, E , para el acero de refuerzo no preesforzado puede tomarse como 200 000 MPa.
30
3.1.9 MAXIMA DEFORMACION UNITARIA UTILIZABLE (
^
_):
C.10.2.3 — La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0.003.
3.1.10
RESISTENCIA DE DISENO
∅
— C.9.3.
C.9.3.2— El factor de reducción de resistencia, ∅ , debe ser el dado en C.9.3.2.1 y C.9.3.2.2:
C.9.3.2.1— Secciones controladas por tracción como se define en C.10.3.4... ∅ 0.90 C.9.3.2.2. Secciones controladas por compresión:
a. Elementos con refuerzo en espiral……... ∅ = 0.75 b. Otros elementos reforzados…... ∅ = 0.65
3.1.11
COMBINACIONES
DE
CARGAS
MAYORADAS
USANDO EL METODO DE RESISTENCIA (RESISTENCIA
REQUERIDA — C.9.2.):
C.9.2.1 — La resistencia requerida U debe ser por lo menos igual al efecto de las cargas mayoradas.
U = 1.4D (3.1.11.1) U = 1.2D + 1.6L (3.1.11.2)
3.1.12
CONTROL DE DEFLEXIONES — C.9.5
C.9.5.1 — Los elementos de concreto reforzado sometidos a flexión deben diseñarse para que tengan una rigidez adecuada con el fin de limitar cualquier
31
deflexión que pudiese afectar adversamente la resistencia o el funcionamiento de la estructura.
C.9.5.2 — Elementos reforzados en una dirección (no preesforzados)
C.9.5.2.1 — Las alturas o espesores mínimos establecidos en la tabla C.9.5(a) deben aplicarse a los elementos en una dirección que no soporten o estén ligados a particiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes, a menos que el cálculo de las deflexiones indique que se puede utilizar un espesor menor sin causar efectos adversos.
C.9.5.2.6 — La deflexión calculada no debe exceder los límites establecidos en la tabla C.9.5(a). NSR-10.
Tabla 1 Espesores mínimos, hmin, NSR-10 Tabla C.9.5(a)
ELEMENTO
ESPESOR MÍNIMO, hmin Simplemente apoyados Un apoyo continuo Ambos apoyos continuos Voladizos Losas macizas l 20 24l 28l 10l
Vigas o losas con nervios armadas en una dirección
l
16 18.5l 21l 8l
3.1.13
SISTEMAS DE VIGAS T— C.8.12
C.8.12.1 — En la construcción de vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o, de lo contrario, deben estar efectivamente unidas entre sí.
32
C.8.12.2 — El ancho efectivo de la losa usada como ala de las vigas T no debe exceder 1/4 de la luz de la viga, y el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:
1. 8 veces el espesor de losa, y
2. la mitad de la distancia libre a la siguiente alma
• :9e fRSR gXhRT i
:9e L YXZ j 4 , :k O + 16le, Tm (3.1.13.1
C.8.12.3 — Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala no debe exceder:
1. 1/12 de la luz de la viga
2. 6 veces el espesor de la losa, y
3. La mitad de la distancia libre a la siguiente alma.
• :9e fRSR gXhRT n
:9e L YXZ o :OK12 , :k O + 6le,(:O2+ T) p 3.1.13.2
C.8.12.4 — En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar con el ala un área adicional de compresión, el ala debe tener un espesor no menor de 1/2 del ancho del alma, y un ancho efectivo no mayor de 4 veces el ancho del alma.
3.1.14
REFUERZO CORRUGADO— C.3.5.3
La resistencia a la fluencia debe corresponder a la determinada por ensayos sobre barras de tamaño completo. Los esfuerzos obtenidos por medio del
33
ensayo de tracción deben calcularse utilizando el área nominal de la barra tal como se indica en la Tabla C.3.5.3-2. NSR-10.
Tabla 2. TABLA C.3.5.3-2 NSR-10
DIMENSIONES NOMINALES DE LAS BARRAS DE REFUERZO (Diámetros basados en octavos de pulgadas)
Designación Diámetro DIMENSIONES NOMINALES
de la barra de referencia Diámetro Área Perímetro Masa
(véase la nota) en pulgadas mm mm˄2 mm Kg/m
No. 2 1/4 6.4 32 20 0.250 No. 3 3/8 9.5 71 30 0.560 No. 4 1/2 12.7 129 40 0.994 No. 5 5/8 15.9 199 50 1.552 No. 6 3/4 19.1 284 60 2.235 No. 7 7/8 22.2 387 70 3.042 No. 8 1 25.4 510 80 3.973 No. 9 1-1/8 28.7 645 90 5.060 No. 10 1-1/4 32.3 819 101.3 6.404 No. 11 1-3/8 35.8 1006 112.5 7.907 No. 14 1-3/4 43.0 1452 135.1 11.380 No. 18 2-1/4 57.3 2581 180.1 20.240
Nota: El No de la barra indica el número de octavos de pulgada del diámetro de referencia
3.1.15
CUANTÍA DE REFUERZO
La cuantía geométrica de acero se determina conociendo de antemano el área total de acero de refuerzo, el ancho y la altura efectiva de la viga. Para el caso del análisis de vigas esta cuantía se determina a partir de la siguiente ecuación:
qr<st : ∗ 7 3.1.15.1)uT
3.2 MÉTODO APROXIMADO DE ANÁLISIS PARA
FLEXIÓN
Las vigas deben diseñarse para resistir los efectos máximos producidas por las cargas mayoradas (cargas de servicio multiplicadas por los factores de carga
34
apropiados), el cálculo de la carga de diseño se realiza de acuerdo a la ecuación (4.1.1):
wx 1.2wy + 1.6wN (3.2.1.1)
Donde WL corresponde a las cargas vivas y WD representa la carga muerta.
El método aproximado de análisis de estructuras se puede emplear como alternativa en el diseño de vigas continuas, dado que los valores calculados son razonables para las condiciones indicadas cuando las vigas forman parte de un pórtico o de una estructura continua, siempre y cuando se cumplan los siguientes requisitos:
(a) Haya dos o más luces.
(b) Las luces sean aproximadamente iguales y la diferencia máxima entre dos luces adyacentes no sean más de 20 por ciento de la menor,
(c) Las cargas estén uniformemente distribuidas,
(d) La carga viva unitaria no exceda de 3 veces la carga muerta unitaria, y
(e) Los elementos sean prismáticos.
Los requisitos mencionados anteriormente son determinados en la Norma NSR-10.
El cálculo de los momentos y fuerzas cortantes se hace a partir de los coeficientes especificados en la tabla 3.
35
Tabla 1 Coeficientes para calcular momentos mayorados Mu
MOMENTO POSITIVO Luces exteriores
El extremo discontinuo no está restringido wu*Ln2 /11
El extremo discontinuo se construye en forma integral con el elemento de
soporte wu*Ln2/14
Luces interiores wu*Ln2/16
MOMENTO NEGATIVO Cara exterior del primer apoyo interior
Dos luces wu*Ln2/9
Más de dos luces wu*Ln2/10
En las demás caras de apoyos interiores wu*Ln2/11
Apoyo interior de losas con luces menores de 3.50 m o elementos que llegan
a apoyos muy rígidos wu*Ln2/12
Apoyo exterior de elementos construidos monolíticamente con sus apoyos
Apoyados sobre una viga wu*Ln2/24
Apoyados sobre una columna wu*Ln2/16
Para el cálculo de los momentos negativos, la luz se toma como el promedio de las luces adyacentes.
3.3 ANÁLISIS DE VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS
El análisis de vigas a flexión parte de unas condiciones iníciales que se determinan a partir de la viga y sus propiedades, entre las que se encuentran las dimensiones conocidas de la sección, las resistencias de los materiales utilizados y el área de acero calculada.
La Norma Sismo Resistente Colombiana NSR-10 (Sección C.10.2- Suposiciones de Diseño) se basa en las suposiciones de diseño, que la máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema a compresión del concreto debe suponerse como 0,003. Los diferentes requisitos establecidos se
36
pueden cumplir utilizando la distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto que se define con la suposición de que el esfuerzo en el concreto de 0.85 f’c se distribuya uniformemente sobre una zona equivalente de compresión, limitada por los bordes laterales de la sección transversal y por una línea recta paralela al eje neutro a una distancia a=β1c de la fibra de máxima deformación sometida a compresión.
Figura 4 Distribución rectangular de esfuerzos equivalentes en el concreto a compresión
El coeficiente β1, debe tomarse como 0.85 para resistencia nominales a la compresión del concreto hasta 28 MPa inclusive. Para resistencias por encima de 28MPa, β1 debe reducirse a razón de 0.05 por cada 7 MPa de resistencia por encima de 28 MPa, pero β1 no puede ser menor que 0.65. Entonces:
z 0.85 0.05 { V 287 0.65 3.3.1
37
El análisis de la sección de una viga se realiza de acuerdo a la porción de acero de ésta, ya que permite determinar la clase de diseño de la sección.
3.3.1 RELACION ENTRE COEFICIENTE DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA Φ, EL EJE NEUTRO, C, Y ALTURA EFECTIVA PARA
UNA O VARIAS CAPAS DE REFUERZO, dt
Figura 5 Relación entre Φ y c/dt
De la gráfica 5, si:
V 7|L
3
8 (3.3.1.1)
Si se cumple lo anterior la viga está en la zona de falla de tensión controlada; ∅ = 0.9. Si no se cumple lo anterior, pero }c d
#
~ ≤ 3 7~ •, la viga está en la zona de transición, y el factor ∅ debe de ser ajustado, utilizando la siguiente ecuación:
38
Donde las constantes A€ y B€ dependen del esfuerzo de fluencia del acero utilizado, para un:
f = 280 MPa, A€ 0.345 y B€ = 0.208. f = 420 MPa, A€ 0.233 y B€ = 0.250. f = 525 MPa, A€ 0.067 y B€ = 0.312. Si }c d
#
~ > 3 7~ •, la sección de la viga está en la zona de compresión controlada, la sección no cumple los requisitos de falla dúctil, dado que ϵ# < 0.004 cuando ϵ = 0.003. (Concrete structures, Mehdi setareh. Robert Darvas; pág. 68)
3.3.2 TIPOS DE FALLAS
A continuación se analizan las clases de fallas y su análisis correspondiente:
3.3.2.1 FALLA A TENSION
El acero entra en fluencia antes de que falle el concreto. El concreto se aplasta en un fallo de compresión secundaria. La viga es conocida como una una viga sub – reforzada o una sección controlada por tensión.
“La proporción del refuerzo es escasa en la sección, de tal manera que si se llevara a la falla, esta se iniciaría en el acero (falla lenta)” (Estructuras de concreto I, Jorge I. Segura Franco, pág. 15), esta falla se produce por que el contenido del acero de la sección analizada es bajo y el acero alcanza la resistencia fy de cedencia antes que el concreto alcance su capacidad máxima a compresión. “La fuerza del acero As*fy permanece entonces constante a mayores cargas. Una ligera carga adicional ocasiona una elongación plástica grande en el acero a través de grietas de flexión” (Estructuras de concreto Reforzado, R Park. T Paulay; pág. 66), lo que produce en la sección de la viga grandes deflexiones, un agrietamiento ancho y un aumento grande de la deformación en la fibra extrema a compresión del concreto.
39
A la hora de un diseño es prudente exigir que las vigas se han diseñadas de tal forma que la falla en el caso que ocurra sea por la fluencia del acero y no por el aplastamiento del concreto, dado los diferentes comportamientos de las fallas.
Figura 6 Falla controlada por Tensión
El diseño sub reforzado se caracteriza en que la fluencia del acero es mayor que la deformación que sufre el concreto a compresión (figura 6); lo que produce una reducción en la profundidad del eje neutro. Respecto a las relaciones de las cuantías de la viga; la cuantía geométrica de la viga es menor que la cuantía balanceada, es debido a las anteriores características que se presenta una falla a tracción.
Tabla 2 Características del diseño Subreforzado Subreforzado
Єs > Єuc
ρviga < ρb
Falla a tracción Figura 4
40
El diseño sub reforzado se basa en el método de Whitney que trata de obtener una expresión de momento resistente último para vigas rectangulares sometidas a flexión con armadura a tracción, suponiendo una distribución rectangular de los esfuerzos de compresión como diagrama equivalente con un esfuerzo unitario de 0.85 f’c.
Figura 7 Distribución de los esfuerzos de compresión
Para una falla a tracción, fs=fy en donde fy es la resistencia de cedencia del acero; por equilibrio C=T en el instante de falla.
0.85{ VR: = uT{ˆ (3.3.2.1.1) ∴ R =Œ.•Že •8Še‹ (3.3.2.1.2)
La anterior ecuación permite calcular la profundidad del bloque de Whitney en función de ρ (cuantía) y los materiales.
Se encuentra el momento nominal con la siguiente ecuación:
Z = uT{ˆ }7 −R2• (3.3.2.1.3)
El momento último se conoce a partir del momento nominal y el coeficiente de reducción de resistencia para flexión:
W = ∅ Z (3.3.2.1.4)
41
c =β (3.3.2.1.5)a Y se determinar si:
c
d#≤ 38 (3.3.1.1)
Si se cumple lo anterior la viga está en la zona de falla de tensión controlada. ∅ = 0.9
3.3.2.2 FALLA A COMPRESION
El acero entra en fluencia después de que se presenta la falla en el concreto. Se trata de un fallo repentino (frágil). La viga es conocida como una viga sobre-reforzada o una sección controlada por compresión.
“La proporción del refuerzo es excesiva en la sección, de tal manera que si se llevara a la falla, esta se iniciaría en el concreto (falla súbita)” (Estructuras de concreto I, Jorge I. Segura Franco, pág 15), la falla súbita se produce por que el contenido de acero de la sección es grande y el concreto puede alcanzar su capacidad máxima antes de que ceda el acero. En esta falla súbita pueda haber poca advertencia visible, debido a que los anchos de las grietas de flexión en la zona a tracción del concreto en la sección de la falla son pequeños, esto debido al bajo esfuerzo del acero.
42
Figura 8 Falla a compresión
En el diseño sobre-reforzado la deformación del concreto a compresión es mayor que la fluencia del acero (figura 8), en este caso aumenta considerablemente la profundidad del eje neutro, lo que provoca un aumento en la fuerza de compresión. En este caso la cuantía geométrica de la viga es mayor que la cuantía balanceada. Por todas estas características es que se presenta una falla a compresión.
Tabla 3 Características del diseño Sobrereforzado Sobrereforzado Єs≤Єuc ρviga > ρb Falla a compresión Figura 7
La NSR-10, no permite este de diseño de vigas, por lo tanto si:
}c d~ > 3 7# ~ • (3.3.2.2.1)
La sección de la viga está en la zona de compresión controlada, la sección no cumple los requisitos de la NSR-10, de falla dúctil, dado que ϵ# < 0.004 cuando ϵ = 0.003. (Concrete structures, Mehdi setareh. Robert Darvas; pág. 68)
43 3.3.2.3 FALLA BALANCEADA
El acero entra en fluencia al mismo tiempo que el concreto falla. La viga es conocida como una viga en condición balanceada o una sección en transición.
Figura 9 Falla balanceada Si:
}3 8~ ≤ c d~ ≤ 3 7# ~ • (3.3.2.3.1)
la viga está en la zona de transición, y el factor ∅ debe de ser ajustado, utilizando la siguiente ecuación:
∅ = u€+ •€7V (3.3.1.2)|
Donde las constantes A€ y B€ dependen del esfuerzo de fluencia del acero utilizado, para un:
f = 280 MPa, A€ = 0.345 y B€ = 0.208. f = 420 MPa, A€ = 0.233 y B€ = 0.250. f = 525 MPa, A€ = 0.067 y B€ = 0.312.
44
3.3.3 DIGRAMAS DE FLUJO PARA LOS ALGORITOMOS DEL
ANALISIS DE VIGAS.
3.3.3.1 ANALISIS DE VIGAS RECTANGULARES DE CONCRETO REFORZADO.
El análisis de una viga rectangular de concreto reforzado consiste en encontrar el valor de M• ∅M(. Esto es necesario cuando se chequea una estructura o elemento existente y se debe determinar si la fuerza proporcionada por la sección es suficiente para satisfacer el momento ultimo M‘ que es calculada de las cargas que actúan sobre la sección.
El análisis solo puede ser realizado cuando todos los parámetros que influyen en la carga última de la sección son conocidos. Hay cinco parámetros que influyen en la carga última, que son:
Las dimensiones de la sección, b y d, las propiedades de los materiales utilizados en la viga, f´ y f , y el área del reforzamiento a tensión en la viga A . CÁLCULO DE ’“:
Figura 10 Distribución de esfuerzos en una sección de concreto reforzada.
La figura 10 muestra la distribución de esfuerzos y cargas de una viga rectangular de concreto reforzado para la resistencia última. Se muestra el caso más general, donde la sección de la viga presenta varias capas de
45
refuerzo a tensión. El momento resistente puede ser calculado las fuerzas internas y las ecuaciones siguientes:
T A f C 0.85f´ba z d a 2⁄
M( Tz A f d a 2⁄ 3.3.3.1.1.1
M( Cz 0.85f´ba d a 2⁄ 3.3.3.1.1.2
M• ∅M(
El diagrama de flujo de la Figura 11 muestra los pasos para los cálculos, y son los siguientes:
Paso 1. Calcular la cuantía de acero ρ: ρ bdA Y chequear si ρ ρ&'(:
ρ&'( max +0.25,f ´
f ,1.4f 0
Si no se cumple lo anterior la viga no satisface los requerimientos mínimos de cuantía de acero de la NSR-10, C.10.5.1, la viga no puede ser utilizada para soportar cargas. También se debe chequear si ρ L ρ&23:
ρ&23 0.364β f ´
f .dd 3.3.3.1.1.3# Si la viga solo tiene una capa de acero a tensión d# d y ρ&23:
ρ&23 0.364β f ´
46
Si no se cumple lo anterior, la viga no satisface los requerimientos de cuantía máxima de acero de la NSR-10, C.10.3.4 y C.10.3.5. Una solución práctica para lo anterior, es asumir que la sección esta en zona de transición y continuar los cálculos con la máxima cantidad de refuerzo permisible ρ&23.
Paso 2. Calcular la altura del bloque de esfuerzos equivalente, con la ecuación siguiente:
T = C A f = 0.85f´ba
a 0.85fA f´b
Paso 3. Calcular la localización del eje neutro, con la siguiente formula:
c βa
El coeficiente β1, debe tomarse como 0.85 para resistencia nominales a la compresión del concreto hasta 28 MPa, inclusive. Para resistencias por encima de 28MPa, β1 debe reducirse a razón de 0.05 por cada 7 MPa de resistencia por encima de 28 MPa, pero β1 no puede ser menor que 0.65. Entonces:
β = 0.85 − 0.05 f c − 287 ≥ 0.65
En donde f’c corresponde a la resistencia nominal del concreto en MPa.
Paso 4. Determinar si:
c d# ≤
3 8
47
Si se cumple lo anterior la viga está en la zona de falla de tensión controlada; ∅ 0.9, y se va directamente al paso 5. Si no se cumple lo anterior, pero }c d~ L 3 7# ~ •, la viga está en la zona de transición, y el factor ∅ debe de ser
ajustado, utilizando la siguiente ecuación:
∅ = A€+ B€dc#
Donde las constantes A€ y B€ dependen del esfuerzo de fluencia del acero utilizado, para un:
f = 280 MPa, A€ 0.345 y B€ = 0.208. f = 420 MPa, A€ 0.233 y B€ = 0.250. f = 525 MPa, A€ 0.067 y B€ = 0.312. Si }c d
#
~ > 3 7~ •, la sección de la viga está en la zona de compresión controlada, la sección no cumple los requisitos de falla dúctil, dado que ϵ# < 0.004 cuando ϵ = 0.003.
Paso 5. Calcular la resistencia de diseño M•:
M•= ∅M(= ∅A f }d −2•a
Paso 6. Después de calcular M•, cerciorarse que la viga puede soportar con seguridad las cargas, comparando M•, con el momento máximo mayorado (M‘). Además, revise la altura de la viga para determinar si se requieren cálculos de deflexión de acuerdo con la NSR-10, C.9.5 (véase la Tabla 1).
48
Figura 11 Diagrama de Flujo. Análisis de Vigas Rectangulares de Concreto Reforzado.
∅ 0.90 V = zR
La viga no cumple con los requisitos de la NSR-10 C.10.5.1 Análisis de vigas rectangulares de
concreto reforzado. Calculo de
R =0.85{u™{‹ •´: F V q =:7 ≥ qu™ ;< q =:7 ≤ qu™ ;tœ q > q;tœ. Solo la
parte del refuerzo que es igual a q;tœ puede ser tomada en cuenta en los cálculos de F V V 7|≤ 3 8 ∅ = u€+ •€7V| = ∅u™{‹}7 −R2• F V
49
3.4 DISEÑO
A
FLEXIÓN
DE
VIGAS
SIMPLEMENTE
REFORZADAS
“Las vigas de hormigón simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión debido a que la resistencia a la tensión en flexión (módulo de rotura) es una pequeña fracción de la resistencia a la compresión. En consecuencia, estas vigas fallan en el lado sometido a tensión a cargas bajas mucho antes de que se desarrolle la resistencia completa del concreto en el lado de compresión” (Arthur H.Nilson pág. 64). Por esta razón se colocan barras de acero de refuerzo en el lado sometido a tensión tan cerca como sea posible del extremo de la fibra sometida a tensión, conservando un recubrimiento adecuado del acero contra el fuego y la corrosión. En una viga de concreto, el acero de refuerzo resiste la tensión causada por los momentos flectores, mientras que el concreto usualmente es capaz de resistir sólo la compresión correspondiente.
La resistencia última de una viga depende de cinco parámetros. Estos son, las propiedades del material (f y f´), las dimensiones de la sección (b y d) y la cantidad de refuerzo (A ). Los tres últimos términos pueden expresarse en la forma de la cuantía de acero ρ.
Hay solo una ecuación, o más precisamente una inecuación, que expresa el problema:
M‘≤ M•
El lado izquierdo de la ecuación solo depende de las cargas aplicadas. El lado derecho de la ecuación depende de los cinco variables mencionadas anteriormente. Este problema tiene un número infinito de soluciones, pero si cuatro de las cinco variables son conocidas o asumidas, la inecuación puede ser resuelta. Esto es a lo que se trata de llegar en el diseño de vigas.
50
3.4.1 DIGRAMAS DE FLUJO PARA LOS ALGORITOMOS DEL DISEÑO DE VIGAS.
3.4.1.1 As = DESCONOCIDO; b, h = CONOCIDOS.
El diagrama de flujo de la Figura 13 muestra los pasos para el diseño:
Paso 1. Encontrar el momento flector mayorado máximo, M‘. Para una carga uniformemente distribuida sobre una viga simplemente apoyada, se tiene por ejemplo:
w‘ = 1.2wžK 1.6w@
M‘ =w‘L €
8 3.4.1.1.1
Recuerde incluir el peso propio de la viga en la carga muerta wž.
Paso 2. Debido a que el tamaño de las barras no es conocido, se asume la distancia del borde del concreto a tensión a el centro de las barras de refuerzo (yŸ), como 70mm. Se llega a este valor tomando como datos iniciales, recubrimiento de 40mm, estribos de barras N°3, y las barras de refuerzo longitudinal entre la N°6 y la N°10, asumiendo que solo hay una capa de refuerzo. Además, asumir ∅ 0.90. El valor de d, se puede calcular de siguiente forma: d h yŸ 3.4.1.1.2 b h y ˆŸ
51
Paso 3. Se supone un valor de la profundidad del bloque de esfuerzos equivalente (a), menor que d, y cercano a d/3.
Paso 4. La resistencia requerida a la flexión M‘ se iguala con la resistencia de diseño M•: M‘= M• M• = ∅M( ∅Tz ∅A f }d a2• M‘ Se despeja para A : A M‘ ∅f }d a2• 3.4.1.1.3
Paso 5. Se verifica el valor supuesto de la profundidad del bloque de esfuerzos equivalente (a):
T C A f 0.85f´ba
a 0.85fA f´b
El valor calculado de (a) se compara con el valor supuesto de (a), si los valores están cercanos o coinciden se toma este valor como el valor real de (a), si no se toma el valor calculado como el valor supuesto y se regresa al paso 3. Esto se repite hasta que el valor supuesto sea igual al valor calculado. Cuando se llega a la igualdad se toma el A del último cálculo.
Paso 6. Calcular la cuantía de acero ρ: ρ bdA
52 Y chequear si ρ ρ&'(:
ρ&'( max +0.25,f ´
f ,1.4f 0
Si no se cumple lo anterior la viga no satisface los requerimientos mínimos de cuantía de acero de la NSR-10, C.10.5.1, lo que nos dice que la viga tiene unas dimensiones (b y h), más grandes, que las que se necesitan, para las cargas dadas, por lo anterior, se deben disminuir las dimensiones de la viga, o se debe asumir ρ = ρ&'( , debido a que las vigas deben tener siempre el refuerzo mínimo requerido, que es lo que normalmente se hace en estos casos.
También se debe chequear si ρ ≤ ρ&23: ρ&23= 0.364β f
´
f .dd#
Si la viga solo tiene una capa de acero a tensión d# = d y ρ&23: ρ&23 = 0.364β ff´
Si no se cumple lo anterior, la viga no satisface los requerimientos de cuantía máxima de acero de la NSR-10, C.10.3.4 y C.10.3.5. Se deben incrementar las dimensiones de la viga (b y h).
El coeficiente β1, debe tomarse como 0.85 para resistencia nominales a la compresión del concreto hasta 28 MPa, inclusive. Para resistencias por encima de 28MPa, β1 debe reducirse a razón de 0.05 por cada 7 MPa de resistencia por encima de 28 MPa, pero β1 no puede ser menor que 0.65. Entonces:
53
En donde f’c corresponde a la resistencia nominal del concreto en MPa.
Paso 7. Utilizar las tablas de área de grupos de barras estándares para selecciona el diámetros y numero de barras de refuerzo. Se debe tratar que las barras queden en una sola capa. Para que las barras se puedan colocar en una sola capa, deben cumplir los límites del espaciamiento del refuerzo. La distancia libre mínima entre barras paralelas de una capa debe ser d> , pero no menor de 25 mm. NSR-10, C.7.6.1. Para una capa de refuerzo, esto se chequea con la siguiente fórmula:
S@= b − N°de barras F dN°de barras 1> − 2 Recubrimiento K d? max6d>, 25mm=
Donde d>, es el diámetro de las barras longitudinales, d? , es el diámetro de los estribos y b , es el ancho de la viga.
Paso 8. Calcular la localización del eje neutro, con la siguiente formula:
c βa Paso 9. Determinar si:
c d# L
3 8
Si se cumple lo anterior la viga está en la zona de falla de tensión controlada; ∅ 0.9, y se va directamente al paso 9. Si no se cumple lo anterior, pero }c d~ L 3 7# ~ •, la viga está en la zona de transición, y el factor ∅ debe de ser
ajustado, utilizando la siguiente ecuación:
54
Donde las constantes A€ y B€ dependen del esfuerzo de fluencia del acero utilizado, para un:
f 280 MPa, A€ 0.345 y B€ = 0.208. f = 420 MPa, A€ 0.233 y B€ = 0.250. f = 525 MPa, A€ 0.067 y B€ = 0.312. Si }c d
#
~ > 3 7~ •, la sección de la viga está en la zona de compresión controlada, la sección no cumple los requisitos de falla dúctil, dado que ϵ# < 0.004 cuando ϵ = 0.003.
Paso 10. Como el diámetro de las barras de refuerzo es conocido, se puede calcular yŸ , a continuación encontrar d = h − yŸ. Estos cálculos se hacen tomando un recubrimiento de 40mm y estribos de barras N°3. Si el (d) calculado es mayor que él (d) asumido inicialmente, el diseño es conservador y la viga tendrá más capacidad de momento que lo demandado. Si el (d) calculado es menor que él (d) asumido inicialmente, se toma el valor calculado como el valor asumido y se regresa al paso 2. También se debe tener en cuenta si el valor calculado de ∅ en el paso 9, es diferente del asumido en el paso 2, si esto ocurre, se toma el valor calculado, como el asumido y se regresa al paso 2, debido a que este es el factor de reducción de resistencia, y afecta el cálculo de las dimensiones de la viga.
Paso 14. Comparar la altura de la viga con la mínima requerida para el control de deflexiones. NSR-10 Tabla C.9.5(a)
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Figura 13 Diagrama de Flujo. Diseño de Vigas, b, h=Conocidas, As=Desconocido.
Se toma el valor calculado de (a) como el valor supuesto Rt™ ;<¡¢ R 7t™ ;<¡¢ ℎ ˆŸ , ˆŸ 70YY
Calcular el máximo , (recordar incluir el peso propio de la viga en la
carga muerta)
Diseño de vigas rectangulares de concreto reforzado; b, h=conocidas,
As=desconocido
Suponer la profundidad del bloque de esfuerzos equivalente (a), Rt™ ;<¡¢= 7 3⁄
|Rt™ ;<¡¢− R| ≤ 0.1 F V u™= ∅{‹}7 − R2• R =0.85{u™{‹ •´: q =:7 ≤ qu™ ;tœ V Se necesita aumentar dimensiones de la viga (b y h). F 7t™ ;<¡¢ = 7
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Figura 13 Diagrama de Flujo. Diseño de Vigas, b, h=Conocidas, As=Desconocido.
3.4.1.2. As, b, h = DESCONOCIDO.
La figura 14 muestra los pasos para el proceso de diseño:
Paso 1. Calcular las cargas y momento máximo mayorado (w‘, M‘). Para una carga uniformemente distribuida sobre una viga simplemente apoyada, se tiene por ejemplo:
w‘ 1.2wž+ 1.6w@ M‘ =w‘L € 8 VRkVWkRS ˆŸ, QZV\Z[SRS 7 = ℎ − ˆŸ 7 ≥ 7t™ ;<¡¢ FIN V F q =:7 ≥ qu™ ;<
u™ = q:7, seleccionar el diámetro y número de
barras, verificar NSR-10, C.7.6.1 V
F La viga no cumple NSR-10 C.10.5.1,
