MSc. Ennio Mérida
ADMINISTRATIVA I
UNIDAD III.
Probabilidad y funciones de
distribución
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Espacio muestral
Sas
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ω = {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}.
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas.
Un evento o suceso: es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles.
Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería la figura (diamantes, tréboles, corazones y picas).
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Espacio muestral
Ejemplo. En el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería:
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el
número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 posibles
espacios muestrales para modelar nuestra realidad:
Probabilidad clásica, empírica o de frecuencia relativa y subjetiva
Probabilidad clásica.
Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe qué resultado particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza si A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Este número es el que llamaremos P(A).
Definición Probabilidad clásica.
Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y m de ellas poseen una característica A
P(A)= 𝒎
𝑵 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔
Probabilidad clásica
P(A)=
𝒎𝑵
=
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔Ejemplo 1. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras al tirar dos monedas?
P(A)=
𝟏𝟒
Ω = {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}
Ejemplo 2. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una cara al tirar dos monedas?
P(A)=
𝟐𝟒
=
𝟏𝟐
Ejemplo 3. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un varón al tomar 2 bebés y observar su sexo?
P(A)=
𝟐𝟒
=
𝟏𝟐
Ejemplo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan el número 3 en el lanzamiento de un dado?
P(A)=
𝟏𝟔
E: Lanzar un dado A = que salga el n° 3 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ejemplo 5. ¿Cuál es la probabilidad de que salga oro al retirar una carta de un mazo?
P(A)=
𝟏𝟎𝟒𝟎
=
𝟏𝟒
E: Retirar una carta de un mazo A = que salga oro
Probabilidad clásica
Probabilidad empírica o de frecuencia relativa
Se define la frecuencia de un evento a como el cociente que resulta de dividir el número de veces que sucedió el evento entre el número total de veces que se repitió el experimento, bajo el supuesto de que en cada repetición de experimento el evento A tiene la misma oportunidad de ocurrir.
P(A)= 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒑𝒆𝒓𝒆𝒄𝒆 𝑨
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒊𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
EJEMPLO 1 Se lanza un dado 50 veces, el experimento sale el número 5 ocurre 8 veces, calcular la frecuencia relativa de dicho evento.
P(A)= 𝟖
𝟓𝟎
Probabilidad empírica o de frecuencia relativa
Probabilidad subjetiva
Hay determinados experimentos aleatorios que no son susceptibles de realizarse y sus resultados no son equiprobables.
Imaginemos que se quiere determinar la probabilidad: de que la economía de España crezca en el próximo año un 3%;
que las acciones de una empresa se revaloricen en un 10%
en un mes; que una empresa presente suspensión de pagos;
que un nuevo producto sea bien acogido en el mercado; que
ocurra un accidente nuclear; entre otros.
Probabilidad subjetiva
En estas circunstancias, donde los experimentos solo se pueden realizar una vez o ninguna o que se puedan repetir pero en condiciones distintas, no son aplicables ninguna de las dos definiciones dadas anteriormente, por lo que no es posible asignar probabilidades mediante un procedimiento objetivo, debiendo recurrir a procedimientos de tipo subjetivo, a opiniones de expertos. En estos casos la probabilidad expresa un grado de
creencia o confianza
individual en relación con la ocurrencia o no de un determinado
suceso. Se trata de un juicio personal sobre el resultado de un
experimento aleatorio. Además debemos admitir la posibilidad de
que distintos sujetos asignen probabilidades diferentes al mismo
suceso.
Eventos Mutuamente Excluyentes
Los eventos mutuamente excluyentes son dos resultados de un evento que no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.
Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son
eventos mutuamente excluyentes, ya que
puedes sacar perfectamente un rey rojo.
Reglas de Probabilidad
Probabilidad Total.
Sean A y B dos sucesos definidos en el experimento E, cada uno de los cuales puede presentarse o no cada vez que se realiza el experimento. Plantee estos dos sucesos en cada uno de los experimentos dados.
Nos interesa considerar el suceso aparición de “al menos uno de ellos”
P(A U B) o P(A + B)
Es decir, el suceso se cumplirá si aparece A, si lo hace B
o si lo hacen ambos.
Reglas de Probabilidad
Para calcular esta probabilidad se presentan 2 casos Caso 1.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A∩B)
Reglas de Probabilidad
Caso 2. A∩B = 0, luego son sucesos mutuamente excluyentes.
P(A U B) = P(A) + P(B)
Reglas de Probabilidad
Caso especial
Dado el suceso A, llamaremos con 𝑨 , al suceso no ocurrencia de A (es decir, suceso complementario o contrario)
P(A U 𝑨) = P(A) + P( 𝑨) = 1
P(A) = 1 - P( 𝑨)
EJERCICIOS
Ejercicio 2. Se extrae al azar una carta de un juego de naipes españoles. Halla las siguientes probabilidades:
a) Que sea un rey o un as. Sol P =8/40
b) Que sea una copa o figura Sol. P = 19/40 c) Que sea un oro o una espada. Sol. P = 20/40 d) Que no sea figura. Sol. P = 28/40
Ejercicio 1. Un gerente de ventas después de revisar los
datos dice que la probabilidad de una venta es de 0,80. ¿La
probabilidad de no hacer una venta será?
EJERCICIOS
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Esperanza Matemática
Es el valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Nota:
Si E(X) = 0, el juego es equitativo.
Es un promedio ponderado donde ésta se obtiene
por el producto de la variable aleatoria x y su
correspondiente probabilidad.
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Esperanza Matemática
Ejemplo 1. En una bolsa se tienen 8 canicas: 6 rojas y 2 negras. El juego consiste en sacar una canica, si es roja se pierde 50 dólares y gana 200 dólares si es negra. ¿Cuál es la esperanza matemática?
Sean los eventos:
P: pierde el juego P= 𝟔
𝟖 = 𝟑
𝟒 G: gana el juego P= 𝟐
𝟖 = 𝟏
𝟒
E(x)= (-50) 𝟑
𝟒 + (𝟐𝟎) 𝟏
𝟒
E(x)= 12,5 dólares
Conclusión: al realizar varias veces el juego se espera
obtener un valor de $12,5 en promedio
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Esperanza Matemática
Ejemplo 2. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 o 2 $ si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5$ si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
X = { (c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}
G: gana el juego P(1)= 𝟐
𝟒 = 𝟏
𝟐
P(2)= 𝟏
𝟒 P: pierde el juego
P(-5)= 𝟏
𝟒 Sean los eventos:
E(x)= (1) 𝟏
𝟐 + 𝟐 𝟏
𝟒 + (−𝟓) 𝟏
𝟒
E(x)= − 𝟏
𝟒 Conclusión: Desfavorable
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Esperanza Matemática
Ejemplo 3. Calcular el valor esperado para un juego que consiste en extraer una bola de una urna que contiene 100 bolas de las que sola una tiene premio de 500$ si nos cobran por la extracción 10$.
G: gana el juego P(1)= 𝟏
𝟏𝟎𝟎
P: pierde el juego
P(99)= 𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎 Sean los eventos:
E(x)= (−𝟏𝟎) 𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎 + (490) 𝟏
𝟏𝟎𝟎
E(x)= −5 Conclusión: el valor
esperado es perder 5$ si
jugamos muchas veces.
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Esperanza Matemática
Ejemplo 4. ¿Cuánto tendría que valer el boleto para que el juego sea equitativo o justo?
(−𝒙) 𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎 + (500 - x) 𝟏
𝟏𝟎𝟎 = 𝟎 X = 5
Conclusión: el valor del boleto valdría 5$ para que el juego sea justo.
Nota:
1. Si E(X) = 0, el juego es equitativo.
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Esperanza Matemática
Ejemplo 5. En una caja se tienen 12 canicas: 8 azules y 4 rojos. El juego consiste en extraer una canica, si es azul gana $40 y pierde $80 si es rojo. ¿Cuál es nuestra esperanza matemática de ganar al extraer una canica?
𝑬 𝒙 = (𝟒𝟎) 𝟖
𝟏𝟐 + (-80) 𝟒
𝟏𝟐
Conclusión: el juego es justo y limpio.
𝑬 𝒙 = (𝟒𝟎) 𝟐
𝟑 + (-80) 𝟏
𝟑
𝑬 𝒙 = 𝟎
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Esperanza Matemática
Ejemplo 6. En un club deportivo se organiza una rifa para lo cual se hacen imprimir 1000 boletos, cada boleto cuesta $20 y el premio será de $2000. ¿ Cuál es la esperanza matemática de ganar el premio, si compro un boleto?
𝑬 𝒙 = (𝟏𝟗𝟖𝟎) 𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎 + (-20) 𝟗𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑬 𝒙 = −𝟏𝟖
Conclusión: el juego es desfavorable, es decir, por cada boleto
vamos a perder un promedio de 18 dólares.
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