ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

(1)

EPOEM 187

O

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Ángulos en la circunferencia

Definiciones

Circunferencia: Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Círculo: Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y todos los puntos interiores a ella.

Radio: Es el trazo que une el centro de la circunferencia con cualquier otro punto de ella(

OC

).

Cuerda: Es el trazo que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia (

DE

).

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia(

BC

).

Secante: Recta que intersecta la circunferencia en dos puntos (

PA

).

Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia.

Arco: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella (

CE

).

Angulo del centro: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de ella. (

AOB

)

Angulo inscrito: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella(

PTR

).

A. MEDIDA DEL ANGULO DEL CENTRO: A

El ángulo del centro mide lo mismo que el arco correspondiente.

< BOA = 90º, entonces arco BA = 90º ^B

A

B. MEDIDA DEL ANGULO INSCRITO:

El ángulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente. B

1

^C

BCA  arco BA

2

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C. MEDIDA DEL ANGULO INTERIOR:

C

 X  arco DC  arco AB 2

D. MEDIDA DEL ANGULO EXTERIOR:

 X  arco AB  arco DC

_P

2

P x

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E. MEDIDA DEL ANGULO SEMI-INSCRITO:

Angulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda.

 X  AQP  1

arco AP 2

EJERCICIO -1: En la figura AB  BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE , entonces el ángulo  mide:

A) 10º B) 40º C) 20º D) 70º E) 80º

EJERCICIO -2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y BAC = 20°. El valor del x es A) 20°

B) 35°

C) 40°

D) 55°

E) 70°

EJERCICIO -3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es

A) 68°

B) 66°

C) 57°

D) 44°

E) ninguno de los valores anteriores

EJERCICIO -4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es A) 32º

B) 26º C) 38º D) 52º E) 64º

EJERCICIO -5: En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el  BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I)  CBO = 20°

II)  CAO =  AOD III)  AOD =  BOD A) Sólo I

B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

EJERCICIO -6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el  BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el  AED en el triángulo isósceles AED?

A) 70º B) 50º C) 40º D) 20º

E) Ninguno de los valores anteriores.

Q

O x P

A B

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EJERCICIO -7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el  x mide

A 55°

B 70°

C 110°

D 125°

E 220°

EJERCICIO -8: ¿Cuál es el valor de si O es el centro de la circunferencia en la figura y

 BAC  

? A)



2

B)

2

C)

  90

⁰

D)

 180

⁰

E)





EJERCICIO -9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la medida del ángulo x?

A) 20º B) 40º C) 70º D) 110º E) 160º

EJERCICIO -10: ¿Cuánto mide el

 X

en la figura, si O es centro de la circunferencia, además A)

80

⁰

B)

100

⁰

C)

110

⁰

D)

60

⁰

E)

130

⁰

y  50

⁰?

EJERCICIO -11: En la circunferencia de la figura de centro O,

y  70

⁰.

 X  ?

A)

15

⁰

B)

10

⁰

C)

20

⁰

D)

30

⁰

E)

50

⁰

EJERCICIO -12: Si O e es centro de la circunferencia de la figura y

 ABC  60

⁰,

 X  ?

A) 60°

B) 90°

C) 30°

D) 120°

E) Ninguna de las anteriores

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EJERCICIO -13: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC?

A) 12°

B) 24°

C) 48°

D) 132°

E) 156°

EJERCICIO -14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo  es

A) 80º B) 100º C) 120º D) 125º E) 130º

EJERCICIO -15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:

A) 1  r 3 B) 1  r

6 C) 2  r

3 D) 1  r

12

E) Ninguna de las anteriores

EJERCICIO -16: En la circunferencia de centro O de la figura, si α  β  32º , entonces el valor del ángulo γ es:

A) 16º B) 32º C) 48º D) 64º

E) Indeterminable

Respuestas:

Ejercicio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Alternat. b b a b b c d b c e c d c b a b