Unidad 12: La elipse.

Unidad 12: La elipse.

12.1 Definición y elementos.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre constante.

𝐶: centro 𝑉1 y 𝑉2: vértices

𝐹₁ y 𝐹₂: focos

𝐵₁ y 𝐵₂: Extremos del eje menor 𝑉₁𝑉₂

̅̅̅̅̅̅ = 2 𝑎 (eje mayor) 𝐹̅̅̅̅̅̅ = 2 𝑐 (eje focal) ₁𝐹₂ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ = 2 𝑏 (eje menor) ₁𝐵₂

Condición: 𝑎²= 𝑏²+ 𝑐² ; 𝑎 > 𝑏, 𝑎 > 𝑐 Excentricidad: 𝑒 =^𝑐

𝑎(𝑒 < 1) 𝐿𝑅 =^2𝑏_𝑎² (lado derecho)

12.2 Fórmulas.

Elipse horizontal con centro en el origen:

▪ Su eje focal coincide con el eje 𝑋

▪ Su ecuación canónica es: ^𝑥2

𝑎²+^𝑦2

𝑏²= 1

▪ Vértices: 𝑉₁ (𝑎, 0), 𝑉₂ (−𝑎, 0)

▪ Focos: 𝐹₁ (𝑐, 0), 𝐹₂ (−𝑐, 0)

▪ Extremos del eje conjugado: 𝐵₁ (0, 𝑏), 𝐵₂ (0, −𝑏)

Elipse vertical con centro en el origen:

▪ Su eje focal coincide con el eje 𝑌

▪ Su ecuación canónica es: ^𝑥2

𝑏²+^𝑦_𝑎²₂= 1

▪ Vértices: 𝑉₁ (0, a), 𝑉₂ (0, −𝑎)

▪ Focos: 𝐹₁ (0, 𝑐), 𝐹₂ (0, −𝑐)

▪ Extremos del eje conjugado: 𝐵 (𝑏, 0), 𝐵 (−𝑏, 0) Y

𝐶 X

P (x, y)

𝑉₁

𝑉₂ 𝐹₂ 𝐹₁

𝐿₂

𝑅₂

𝐵₂ 𝐵₁

𝐿₁

𝑅₁

Elipse horizontal con centro en el punto (ℎ, 𝑘):

▪ Su eje focal coincide con el eje 𝑋

▪ Su ecuación canónica es: ^{(𝑥−ℎ)2}

𝑎² +^{(𝑦−𝑘)2}

𝑏² = 1

▪ Vértices: 𝑉₁ (ℎ + 𝑎, 𝑘), 𝑉₂ (ℎ − 𝑎, 𝑘)

▪ Focos: 𝐹₁ (ℎ + 𝑐, 𝑘), 𝐹₂ (ℎ − 𝑐, 𝑘)

▪ Extremos del eje conjugado: 𝐵₁ (ℎ, 𝑘 + 𝑏), 𝐵₂ (ℎ, 𝑘 − 𝑏)

Elipse vertical con centro en el punto (ℎ, 𝑘):

▪ Su eje focal coincide con el eje 𝑌

▪ Su ecuación canónica es: ^{(𝑥−ℎ)2}

𝑏² −^{(𝑦−𝑘)2}

𝑎² = 1

▪ Vértices: 𝑉₁ (ℎ, 𝑘 + 𝑎), 𝑉₂ (ℎ, 𝑘 − 𝑎)

▪ Focos: 𝐹₁ (ℎ, 𝑘 + 𝑐), 𝐹₂ (ℎ, 𝑘 − 𝑐)

▪ Extremos del eje conjugado: 𝐵₁ (ℎ + 𝑏, 𝑘), 𝐵₂ (ℎ + 𝑏, 𝑘)

12.3 Ecuación general.

𝐴𝑥²+ 𝐶𝑦²+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 con 𝐴 ≠ 𝐶 y de igual signo

Ejemplos:

1.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una elipse?

a) 𝑦²= 4𝑥 b) 𝑥²+ 𝑦²= 4 c) ^𝑥2

3 +^𝑦2

4 = 1 d) ^𝑥2

4 −^𝑦2

9 = 1 Solución:

Para que una ecuación represente una elipse los coeficientes de los términos cuadráticos deben ser diferentes y de igual signo:

▪ En la ecuación 𝑦² = 4𝑥, solo tiene un término al cuadrado, representa una parábola.

▪ En la ecuación 𝑥²+ 𝑦²= 4, los coeficientes son iguales y de igual signo, representa una circunferencia.

▪ En la ecuación ^𝑥2

3 +^𝑦2

4 = 1, los coeficientes son diferentes y de igual signo, representa una elipse.

▪ En la ecuación ^𝑥2−^𝑦2= 1, los coeficientes son diferentes y de diferente signo, representa

2.- Las coordenadas de los vértices de la elipse cuya ecuación es ^𝑥2

16+^𝑦2

25= 1, son:

a) (−5, 0)(5, 0) b) (0, −5)(0, 5) c) (−4, 0)(4, 0) d) (0, −4)(0, 4)

Solución:

Para determinar los elementos de una elipse se deben de tomar en cuenta las siguientes condiciones:

1. Una elipse es horizontal si el mayor de los denominadores se encuentra debajo de 𝑥². 2. Una elipse es vertical si el mayor de los denominadores se encuentra debajo de 𝑦². Por consiguiente, la elipse cuya ecuación es ^𝑥2

16+^𝑦₂₅²= 1 es vertical con centro en el origen y tiene la forma ^𝑥2

𝑏²+^𝑦2

𝑎²= 1, entonces:

𝑎²= 25

𝑎 = 5 ; 𝑏²= 16

𝑏 = 4

Las coordenadas de los vértices son:

(0, −𝑎), (0, a) = (0, −5), (0, 5)

3.- ¿Cuál es la longitud del lado recto de la elipse cuya ecuación es 4𝑥²+ 9𝑦²− 36 = 0?

a) ³

8 b) ⁸

3 c) 4 d) 9

Solución:

Se transforma la ecuación a su forma canónica:

4𝑥²+ 9𝑦²− 36 = 0 → 4𝑥²+ 9𝑦²= 36 → 4𝑥² 36 +9𝑦²

36 =36

36 → 𝑥²

9 +𝑦² 4 = 1 La elipse es horizontal ya que el mayor de los denominadores se encuentra debajo de 𝑥² y tiene la forma ^𝑥2

𝑎²+^𝑦2

𝑏²= 1, por tanto:

𝑎² = 9

𝑎 = 3 ; 𝑏² = 4

𝑏 = 2

El lado recto se define por:

𝐿𝑅̅̅̅̅ =2𝑏²

𝑎 =2(2)²

3 =2(4) 3 =8

3

4.- La forma ordinaria de la ecuación 5𝑥²+ 9𝑦²+ 30𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0 es:

a) ^(𝑥+3)2

9 +^(𝑦−2)2

5 = 1 b) ^(𝑥−3)2

9 +^(𝑦−2)2

5 = 1 c) ^(𝑥+3)2

9 −^(𝑦−2)2

5 = 1 d) ^(𝑥+3)2

5 +^(𝑦−2)2

9 = 1 Solución:

5𝑥²+ 9𝑦²+ 30𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0 → 5𝑥²+ 9𝑦²+ 30𝑥 − 36𝑦 = −36 5(𝑥²+ 6𝑥) + 9(𝑦²− 4𝑦) = −36

5(𝑥²+ 6𝑥 + 9) + 9(𝑦²− 4𝑦 + 4) = −36 + 45 + 36 5(𝑥 + 3)²+ 9(𝑦 − 2)²= 45

Se divide entre 45 5(𝑥 + 3)²

45 +9(𝑦 − 2)²

45 =45

45 (𝑥 + 3)²

9 +(𝑦 − 2)²

5 = 1

5.- Las coordenadas de los focos de la ecuación ^(𝑥+1)2

25 +^(𝑦−3)2

9 = 1, son:

a) (3, 3), (3, −5) b) (4, 0)(−4, 0) c) (3, 3)(−5, 3) d) (0, 4)(0, −4)

Solución:

La elipse es horizontal y es de la forma:

(𝑥 − ℎ)²

𝑎² +(𝑦 − 𝑘)² 𝑏² = 1

El centro tiene coordenadas en (−1, 3), 𝑎 = 5 y 𝑏 = 3, para determinar 𝑐 se utiliza la condición:

𝑎²= 𝑏²+ 𝑐² → (5)²= (3)²+ 𝑐² → 25 = 9 + 𝑐² 5 − 9 = 𝑐²

16 = 𝑐²

Las coordenadas de los focos son:

(ℎ + 𝑐, 𝑘) = (−1 + 4, 3) = (3, 3) ; (ℎ − 𝑐, 𝑘) = (−1 − 4, 3) = (−5, 3)

6.- La ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4, 0), (−4, 0) y focos en los puntos (3, 0), (−3, 0) es:

a) ^𝑥2

7 +^𝑦2

16= 1 b) ^𝑥2

16−^𝑦2

7 = 1 c) ^𝑥2

7 −^𝑦2

16= 1 d) ^𝑥2

16+^𝑦2

7 = 1 Solución:

Los vértices y los focos son de la forma: (± 𝑎, 0) y (± 𝑐, 0), por consiguiente 𝑎 = 4, 𝑐 = 3, se aplica la condición para obtener el valor de 𝑏:

𝑎²= 𝑏²+ 𝑐² → 𝑏²= 𝑎²− 𝑐² → 𝑏²= 4²− 3²= 16 − 9 = 7 La elipse es horizontal con centro en el origen con ecuación:

𝑥² 𝑎²+𝑦²

𝑏² = 1 → 𝑥²

16+𝑦² 7 = 1