MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 16

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

MATE 3031

Resumen de grá…ca de curvas

En los capítulos anteriores han recordado como hallar dominio y trazar las grá…cas de funciones; y han aprendido sobre límites, continuidad,

asíntotas, derivadas, rectas tangentes, valores extremos, números críticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, puntos de in‡exión y la regla de L’Hospital, en esta sección se ponen en práctica todo lo aprendido anteriormente para gra…car funciones.

Pasos para trazar la grá…ca de una función y =f (x):

1 Dominio: Determinar los valores de x para los cuales está de…nida f . 2 Interceptos: Determinar los interceptos con el eje X y eje Y.

3 Simetría: Determinar si la función es par, es decir, f ( x) =f (x), en ese caso tiene simetría con el eje Y. Analizar si la función es impar, es decir, f ( x) = f (x), en ese caso tiene simetría con el origen. Analizar si la función es periódica, es decir,

f (x+p) =f (x), para todo x en el dominio de f .

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4 Asíntotas:

a Horizontales: Si lim

x !∞f(x) =L o lim

x ! ∞f (x) =L, la grá…ca de f tiene una asítota horizontal, y=L.

b Verticales: La recta x =a es una asíntota vertical si:

x !alim⁺f(x) =∞ lim

x !a f (x) =∞ lim

x !a⁺f(x) = _∞ lim

x !a f(x) = _∞

c Oblicuas: La recta y=mx+b es una asíntota oblicua si:

x !∞lim [f (x) (mx+b)] =0.

5 Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Calcule la primera derivada de f , f⁰ y determine los intervalos en los cuales es positiva o negativa.

6 Valores máximos y mínimos locales: Determine los números críticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.

7 Concavidad y puntos de in‡exión: Calcule la segunda derivada de f , f⁰⁰ y determine los intervalos en los cuales es positiva o negativa.

Los puntos de in‡exión ocurren donde cambia la concavidad.

8 Trace la grá…ca de la curva: Use la información obtenida en los 7 pasos anteriores para trazar la grá…ca de la función.

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Ejemplos: Trace la grá…ca de las siguientes funciones. 1. f (x) = x³+7x 6

a. dom(f) = ( ∞, ∞). b. Interceptos: Eje X:

y =0) ^x3+7x 6=0)^x =1, x =2, x = 3 Eje X: x =0)^y = 6

c. Simetría: no tiene d. Asíntotas: no tiene.

e. Hallar: f⁰ = 3x²+7=0)^x = p 7/3 f⁰ >0 en p

7/3,p

7/3 , f⁰ <0 en ∞, p

7/3 , p 7/3,∞ f. Valores extremos: f posee un mínimo local en

x = p

7/3, f p

7/3 = p

7/3 ³+7 p

7/3 6=

13.128 451 08 y un máximo local en x =p

7/3, .f p

7/3 = p

7/3 ³+7 p

7/3 6=1.128451081 g. Hallar: f⁰⁰ = 3x =0)^x =0

f⁰⁰ >0 en( _{∞, 0}), f⁰⁰ <0 en(0,∞) Tiene un punto de in‡exión en x =0.

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−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−14

−13

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

x

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2. f (x) = ^x

x³ 1 = ^x

(x 1) (x²+x+1) a. dom(f) =R f¹g^.

b. Interceptos: Eje X: y =0) ^x =0 Eje X: x =0)^y =0

c. Simetría: no tiene

d. Asíntotas: Horizontal: . lim

x! ∞f (x) = lim

x! ∞

x

x³ 1 =0 Vertical: lim

x!¹

x

x³ 1 = ¹

0 = _{∞; lim}

x!¹⁺

x

x³ 1 = ¹ 0⁺ =_∞ e. Hallar: f⁰ = ^x

3 1 x 3x² (x³ 1)² = ^x

3 1 3x²

(x³ 1)² = ^2x

3 1

(x³ 1)² =0 ) ^{2x3 1}=0)^x = p³

1/2 f⁰ >0 en ∞, p³

1/2 , f⁰ <0 en p³

1/2, 1 ,(1,∞) f. Valores extremos: f posee un máximo local en

x = p³

1/2, f p³

1/2 =

p3

1/2 p3

1/2 ³ 1

=0.529133 6840

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g .Hallar : f⁰⁰= ^6x

2 x³ 1 ² 2x³ 1 2 x³ 1 3x² (x³ 1)⁴

= ^6x

2 x³ 1 x³ 1 2x³ 1 (x³ 1)⁴

= ^6x

2 x³+2

(x³ 1)³ =0) x =0yx³+2= 0)^x = p³

2 f⁰⁰ >0 en ∞, p³

2 ,(1,∞) f⁰⁰ <0 en p³

2, 0 ,(0, 1) Tiene un punto de in‡exión en x = p³

2 f p³

2 =

p3

2 p3

2

3

1

=0.419973 6833

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−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

x y

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3. f (x) = ^{sin x} 2+cos x a. dom(f) =.

b. Interceptos: Eje X: y =0) Eje X: x =0)^y = c. Simetría:

d. Asíntotas: . e. Hallar: f⁰ =

f⁰ >0 en , f⁰ <0 en ,

f. Valores extremos: f posee un mínimo local en x =, f () = y un máximo local en x =

g. Hallar: f⁰⁰ =

f⁰⁰ >0 en , f⁰⁰ <0 en Tiene un punto de in‡exión en

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−191π/100 −113π/71 −127π/100 −19π/20 −7π/11 −7π/22 7π/22 7π/11 19π/20 127π/100 113π/71 191π/100 223π/100

−7π/11

−7π/22 7π/22

x y

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4. f (x) = ^e

x

x² a. dom(f) =.

b. Interceptos: Eje X: y =0) Eje X: x =0)^y = c. Simetría:

d. Asíntotas: . e. Hallar: f⁰ =

f⁰ >0 en, f⁰ <0 en

f. Valores extremos: f posee un mínimo local en x = y un máximo local en x =

g. Hallar: f⁰⁰ =

f⁰⁰ >0 en , f⁰⁰ <0 en Tiene un punto de in‡exión en .

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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

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−1 1 2 3 4 5 6 7

x y

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