1401 14 MATEMATICA Números Complejos

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(2) Los Números Complejos. La necesidad de crear nuevos conjuntos numéricos (enteros, racionales, irracionales), fue surgiendo a medida que se presentaban situaciones que no tenían solución dentro de los conjuntos numéricos ya conocidos.. Problema 1) Resuelve las siguientes ecuaciones, indicando a qué conjunto numérico pertenecen sus soluciones N (naturales); Z (enteros) ; Q (racionales) ; I (irracionales) .. a) 3x  5  11. d). 3  x 1. b). 1 3  x 2. e) x 2 . 25 4. c). 1 6 x  5 5. 1 7 1 f) 2 3 x. Un desafío: Encuentra los valores de “x” que hacen cierta la ecuación: x² + 1=0. ¿Es posible encontrar en los conjuntos numéricos que conoces algún número “x” que verifique la ecuación? ¿Por qué? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. En el siglo XVIII, el matemático Euler introdujo el símbolo i (inicial de la palabra latina imaginarius) para nombrar un número cuyo cuadrado es igual a -1. Se define entonces el número i, al que llamamos unidad imaginaria, como aquel cuyo cuadrado es (-1).. Es decir: i² = -1. POLITECNICO. 1.

(3) Números Complejos Matemática Luego las soluciones de la ecuación x² = -1 son: x=i. pues i² = -1. o. x=-i. pues (- i)² = (- i).(- i) = -1. Más desafíos Resolvamos la siguiente ecuación: x2 + c = 0 x2 = - c  Si c  0. x   c.  Si c > 0. x2= - c.  . 2. 2.  x     1  c.  x     i  c. Luego. x1;2=  c i. Problema 2) Determina las soluciones de: a) x2 + 25 = 0 b) x2 + 5 = 4x. Una ampliación más del campo numérico: Los números complejos. Llamamos números complejos a los números de la forma a + bi donde a y b son números reales e i la unidad imaginaria.. Si z es un número complejo resulta: z = a + bi es la componente real Re(z). 2. POLITECNICO. es la componente imaginaria Im(z).

(4) Definimos al conjunto de los números complejos: C = {z / z = a + bi , a  R ; b R ; i2=-1}. Un complejo expresado de la forma z = a + bi se la conoce con el nombre de forma binómica del complejo z Por ejemplo, el número complejo: z = -3 + 0,4i tiene Re(z) = - 3 e Im(z) = 0,4 Problema 3) Completa el siguiente cuadro zi. Forma binómica del zi. z1. 5. Re(zi). Im(zi). -1. . 0. 3 4. 11. 0. 1 i 2. z2. z3 z4. Observaciones  Si z = a + bi. y a = 0 entonces, z = bi recibe el nombre de imaginario puro.  Si z = a + bi y b = 0 entonces z = a . En este caso el número complejo, cuya componente imaginaria es nula es un número real. Notemos entonces que el conjunto de los números reales es un subconjunto del de los números complejos. R. C RC. POLITECNICO. 3.

(5) Números Complejos Matemática.  Dos números complejos son iguales si son respectivamente iguales sus componentes reales e imaginarias a  c a  bi  c  di   b  d. Problema 4) Determina x e y pertenecientes al conjunto de los números reales de modo que z1 = z2. siendo z1 = x+y-(2x+y)i. z2 = -x+(1+y)i+3. Operaciones con números complejos.Propiedades Propuesta de trabajo: Resuelve la adición y multiplicación de los siguientes números complejos teniendo en cuenta que se expresan como binomios y tú ya sabes operar con ellos.. Dados. z =a+bi. w = c+di. Adición z + w = (a+bi)+(c+di)=…………. Multiplicación z .w = (a+bi).(c+di)=………….. 4. POLITECNICO. ¡Recuerda ! i2 = -1.

(6) Propiedades. Adición. Multiplicación z  C; w  C; v  C. z+ w = w + z. Conmutativa. z . w = w ..z. (z+ w) + v = z+ ( w + v ). Asociativa. (z . w) . v = z ( w . v). Z  C ;  0  C / Z  0  Z. Existencia de elemento neutro. z  C ;  1 C / z.1  z.  z  C;  (z)  C / z  (Z)  0 (- z) se denomina opuesto de z. Existencia de elemento inverso. z  0  C;  z 1  C / z.z 1  1. z-1 se denomina recíproco de z. Distributiva del producto con respecto a la adición (z + w ) . v = z. v + w .v. Resta de números complejos Dados z = a + bi , w = c + di definimos: z – w = z + (-w) =(a + bi)+(- c - di). Conjugado de un número complejo Si z = a + bi , llamamos conjugado de z y lo notamos z al complejo z = a – bi. POLITECNICO. 5.

(7) Números Complejos Matemática Propiedades Sean z = a + bi. y. w = c + di.  zz  z  z  2a  z  z  2bi  z . z  a 2  b 2 (Número real que recibe el nombre de norma del complejo z)  zw  zw  z.wz.w Problemas 5) Demuestra las propiedades del conjugado de un número complejo 6) Dados los complejos: z1  2  3i ; Calcula: a) z  z = 1 2 d) z12  z = 2. b) z . z = 1 2. . z. . 1. 2  2  2 i ;. z. 3  9. c) z1  z . z  2 3 1  f) z  z 3   z   2 1 2 . . e)  z  z 3 .  z  1 2. Nota: en operaciones combinadas con números complejos al resolver con a < 0 considera sólo la solución positiva. a. Para pensar Dados z = a + bi. w = c + di. ¿Cómo resolver el cociente de números complejos? En símbolos. z a  bi   w c  di. Te proponemos completar el siguiente procedimiento, teniendo en cuenta que el producto de un complejo por su conjugado (norma de un complejo) es un número real: artificio . z z w .......... ...... .......... ........  .  .  w w w .......... ....... .......... ......... . Ejemplo: 1  3i 1  3i 2 - 2i 1  3i . 2  2i .......... .......... .......... ......... .......... .......... ......  .     2  2i 2  2i 2 - 2i 2  2i . 2  2i .......... .......... .......... ... ………………………………………………………………. 6. POLITECNICO.

(8) Problema 7) Resuelve las siguientes ecuaciones: i   16.x 1 i x d) 5 – (-3 +2i) = 4i. 2i  3i x i 2  1  i c) 1 x 2. b) 1 . a). La unidad imaginaria y un producto que genera un ciclo. i0  1(por definición) i1  i i2  1 i3  i2 .i  ( 1).i  i. i6  .......... .......... . i7  .......... .......... .. …………………………………. ………………………………….. ………………………………….. nN in  ?. i 4  .......... .......... . i5  .......... .......... .. 0. Para resolver este problema recordemos que por aplicación del algoritmo de una división entera resulta: i. n. i. 4 c  r (1) 4c r (2)  4  c r (3) c r r  i i  i  . i  1 . i  i. . . (1) producto de potencias de igual base (2)potencia de otra potencia (3)potencia de la unidad imaginaria Luego: in  ir. con. 0<r<4 . n. 4. r. c. 0  r<4. . r N0. n = 4c + r. r  N0. De donde Si llamamos P al conjunto de todas las potencias de i es: P= 1; i;1;i. POLITECNICO. 7.

(9) Números Complejos Matemática Problemas 8) Calcula: a) i 431 . b) i1224 . c) i779 . 9) Determina: 1 a) el conjugado de x / i 421   i.  25 2x. b) (- w) si w + ( i – 2) 3 + i 1231 = 0 c) x si. 3  i 421 i x. 10) El producto entre un complejo y su conjugado es 80. Si la componente real es 4. ¿Cuál es la otra componente? 11) La suma de un complejo y su conjugado es 10 y el producto es 34. ¿Cuáles son los complejos? 1 1 12) Calcula: ; ; i 9 i i2 13) Determina el valor de x real para que el producto: (2 – 5i).(3 + xi) a) sea imaginario puro b) sea un número real 14 ) Escribe un número complejo tal que: i). su parte real sea el doble de su parte imaginaria. ii). su parte real sea la cuarta parte que su parte imaginaria. iii). sea un imaginario puro y su parte imaginaria sea un número irracional comprendido entre 5 y 6. Representación gráfica de los números complejos.. El número complejo z = a + bi se representa en el plano mediante el punto de coordenadas (a; b). El eje de las abscisas se llama eje real y el de las ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del plano le corresponde un número complejo.A dicho plano se los llama plano complejo 8. POLITECNICO.

(10) Im(z) b. ·. 0. z. a. Re(z). Problema 15) Representa los siguientes números complejos: z  3  2i. 1. z. 2  2  4i. z =. 4  3i. z. 5  3  2i. z. z. 3. 1 i 2. 6 3 . Observación: cada punto del plano P (a; b) determina un vector posición OP  (a; b) ,a partir de allí establecemos que a cada complejo de la forma a + bi le corresponde un vector posición de extremo P. Entonces, llamamos módulo de un complejo, al módulo del vector que lo representa. . Es decir: OP  z . a2  b2. Nota: z se lee módulo del complejo z Problema 16) Siendo: w = 2 – i a) Calcula su módulo. ¿Qué relación vincula al módulo de un complejo con su norma? b) Representa en el plano complejo w ; (-w) ; w ;2w Argumento de un complejo: se llama argumento del complejo Z a la medida del ángulo ω, formado por el semieje positivo de las abscisas y la semirrecta de origen o que contiene al punto que representa el complejo. En símbolos: arg(z) = ω z. b ω o. a. POLITECNICO. 9.

(11) Números Complejos Matemática. Como ω puede tomar infinitos valores, consideraremos como argumento principal a aquel que verifique 0  ω < 360º. Para determinar el argumento de z = a + bi, debe tenerse en cuenta que Si a  0; tg ω =. b a.   b0 2 Si a  0;  3 b  0    2 . Problema 17) Determina el argumento principal de los siguientes complejos: z=1+i w = - 1,5 v = 0,5 – 3i Forma polar de un número complejo Si z = a + bi = z  0º  ω < 360º Forma polar del complejo z Problema 18) Escribe en forma polar los complejos del problema anterior Forma trigonométrica de un complejo Sabiendo que: senω =. cos ω=. b  b = |z| . senω z a  a = |z|. cosω z. resulta que: z = a + bi = | z |.cos ω+ | z |. senω i = |z |.( cosω+i.senω). Esta última expresión se conviene en escribir, por razones de simplicidad: |z | cisω 10. POLITECNICO.

(12) Resumiendo Tres formas de expresar a un número complejo z: z. a  bi  forma binómica. . z .  z cos   isen    . forma polar forma trigonométrica.   z cis  cis. El producto y el cociente de números complejos en forma trigonométrica y en polar Desafío: Demuestra que dados z1  11 y z 2   2 2 resulta: a) z1.z 2  11 .  2 2  (1. 2 )( 1 2 )  1 2cis(1  2 ). . b) z1   11 n. c). . n.  1n. n1.  1n cis(n 1 ). z1 1 1 1     1 cis1  2  z 2  2 2  2 1 2   2. Problemas 19) Expresa en forma polar y trigonométrica: a) el opuesto de (–1 – i) b) el conjugado de (2 – i). 20) Expresa en forma binómica los complejos a) 3. 1  7. b) 1 1  6. POLITECNICO. 11.

(13) Números Complejos Matemática 21) Dados los complejos: z= 1 – 3i. w= 5. v = 3 cis 180º 1  2 Expresa previamente en forma binómica y luego, calcula: . z. w – v. . w:v. . w – z + 2v (escribe el resultado en forma trigonométrica). (escribe el resultado en forma polar). 22) Dado el complejo: z = 2 1  3 Escribe el conjugado de z en forma binómica y representa gráficamente el opuesto de z 23) Describe dónde se localizan en el plano complejo todos los números que poseen: a) parte real igual a 1. b) parte imaginaria igual a 1. c) módulo igual a 3. d) argumento igual a 180º. Y más problemas!!!! 24) Representa gráficamente los números complejos z tal que: z  z  i . 3   25) Si A = z  C / Rez  1  0  arg(z)   , decide si los siguientes complejos 4  . pertenecen a A. Justifica tu respuesta: a) z = 1 + i b) v = 0,5 c) w = 0,5i. 12. POLITECNICO.

(14) 26) Contesta Verdadero o Falso. Justifica tu respuesta. a) ningún número complejo es igual a su conjugado b) ningún número complejo es igual a su opuesto c) los complejos: z = - 6 + 6i y w= 6 2 315 son opuestos d) el producto de dos números complejos imaginarios puros es un número complejo imaginario puro. e) (2 2i) es solución de la ecuación x3 + 8x = 0. 27) Siendo: z . 3k  ki , determina k para que z  10 1  3i. 28) La suma de dos complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 10. ¿Cuáles son esos números complejos?. 29) Resuelve los siguientes sistemas en los que z y w son números complejos.  zi  (1  i).w  2i a)  (1  i).z  (5  i).w  1 (1  i).z  (3  i).w  5i b)  z  wi  2  3i . 30) Averigua que número complejo verifica que la suma entre el duplo de dicho número y el cuadrado de su conjugado da por resultado cero. 31) Determina el z si: z +. 1 i = 2 45 2  2i. 32) El cociente de dos números complejos es 520°y el dividendo es el cuadrado del divisor. Calcula sus módulos y sus argumentos. 33) Dados: z1  2(cos 60  isen60) ; z2   3i ; z3  5  6. ,Calcula: rad. a. en forma polar: z1.z2 b. en forma trigonométrica:. z1 z3. POLITECNICO. 13.

(15) Números Complejos Matemática c. en forma binómico: (z1  z2 ).z3 1 z1  2 d. el argumento de w si w  2 z2. 34) Expresa en forma trigonométrica a) z1 / z11 . b)  z2 / z2  1  2  i. 1 2i. 35) Representa en el plano complejo:. A  z / z  C  z  7    B  x / x  C, arg x   x  5 6  . C  y / y  C  2  y  5  3   D  y / y  C;  arg y    1  y  4 4 4  . 36) Determina el complejo z en las siguientes ecuaciones.    a) 3( z  i)  4 z i(2  3i)  47  40i   b) z(2  3i)  z(4  2i)  z  (5  5i). c). z  (2  3i)2  z 3  3i. . 7 2. . 1 2. i. 37) ¿Se verifica la siguiente igualdad? z 1 . 38) Demuestra que: 14. POLITECNICO. 2z 2 z 2  z  ( z  z)2. .

(16) a). w  4 30 º   q  3 60 º  z  2 50 º . . z .q. b). w  4 30 º   q  3 60 º  z  2 50 º  . . w : q : z 2 : (q 2 .z 3 ) 1  2 260º. 1. 1. .3z  4 60 º. . . 2. 39) Determina el ángulo que forman el conjugado de un número complejo con su recíproco.. Bibliografía Apunte IPS “Números Complejos”. Código 1252 Matemática. Polimodal. Números y Sucesiones de Silvia Altmar, Claudia R Comparatore y Liliana Kurzrock. Editorial Longseller.Libro 3. Respuesta a los problemas presentados 1) a) x=2 c) x=-1 e). x=  5 2. b) x= . pertenece a Z;Q. d) x= 1. pertenece a I. f) x=. pertenece a Q. pertenece a Q .. 2) a) x= 5i 3) zi. 4) x =. 7 2. 2 3. pertenece a N;Z;Q.. b) x1=2+i. 3 11  21. pertenece a I. x2 = 2 - i. Re(zi). z1. Forma binómica del zi 1 5 i 2. z2. -1+  i. -1. . 3 i 4. 0. z3. 3 4. z4. 11. 11. 0. 5. Im(zi). -. 1 2. y=-4. POLITECNICO. 15.

(17) Números Complejos Matemática 5) no se presentan las demostraciones correspondientes a este problema 5 6) a) i 2. 7) a) . b)  1 3  i 5 5. 8) a) - i 9) a) x  . b)1. 3 c) 20  i 2. 5  7i 2. b). 1 3  i 8 8. c) 1. d) - 3+. 25 i 2. e) . 41 23  i 2 2. f)  11 4i. d) 8 + 32i. c) - i. 5 1 2 136  i b) -w=   i 52 52 125 125. c ) x = - 1 – 3i. 10) b =  8 11) z = 5 + 3i ;. t = 5 – 3i. 12) a) – i. b) –1. 13) a) x = 14). 6 5. c) – i. b) x =. i) 2 + i ; 4 + 2i. 15 2. entre otros. (Existen infinitas posibilidades). ii) 2 + 8i ; 3 + 12i entre otros. (Existen infinitas posibilidades) iii) 29 i ; ai donde a = 5,12122122212222... entre otros. (Existen infinitas posibilidades) 15) Im(z). Re(z). 16. POLITECNICO.

(18) 16)a) w  2 2  12  5 El módulo al cuadrado de un complejo es igual a su norma. b) Im(z). Re(z). 1  1    45º 1 0 b) tg    0    180º pues a  0  1,5 3   6    279º 27' 44' ' ,3 c) tg   1 2. 17) a) tg  . 18) a) z  2 45º. b) w  1,5 180º. 19) a) Forma Polar: z  2 45º. c) v . 37 2 279º 27' 44'',3. Forma Trigonométrica:. 2 cis 45º. b) Forma Polar: z  5 26º 33' 54'',18 Forma Trigonométrica: 20) a) z = 2,7 + 1,3i. 5 cis 26º 33' 54' ' ,18. b) z =. 3 1  i 2 2. 21) z. w  v  349 15º 31' 26'',8 5 w:v  i 3 w  z  2v  113 cis131º 11' 9' ' ,33 Im(z) 22) z  1  3i. Re(z). POLITECNICO. 17.

(19) Números Complejos Matemática. 23) a) z= 1 + bi. Recta paralela al eje imaginario que corta al eje real en 1 c) z  3. b) z= a + i. Recta paralela al eje real que corta al eje imaginario en 1 d) z  z 180.   180º. Sobre la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y de radio 3 unidades 1 24) Son z  a  i ;  a  R 2. Sobre el semieje real negativo. 25) a) z A b) v  A c) w  A. 26) a)Falso, Ej. z=2= z b)Falso ,Ej z = 0 c)Verdadero d) Falso, Ej (2i) (3i)= - 6 no es un imaginario puro e)Verdadero 27) k  10 18 POLITECNICO.

(20) 28) z1  4  3 i ; z 2  4  3 i 14 3 1 7 7 1 29) a) z  b) z  2  i ; w   i ; w  i 5 5 10 10 2 2 30) z  0  z  2  z  1 3 i  z  1 3 i 1 31) z  1  i 2 32) z  w 2  25 y arg(Z)  arg(W 2 )  40º ; w  5 y arg(w )  20º 33) a) z1.z 2  2 3 330º b) 0,4.(cos30º + i.sen30º) 5 5 c) d) arg(w)=114º 20’ 34’’ 3 i 2 2 34) a) z1= 5 (cos153º26´5´´i´sen153º26´5´´) b) - z2= 10 cos198º26´5´´ isen198º26´5´´ 35). Im[z] Im[z]. 0 2. 5. Re[z] 0. 36) a) z = 2-3i 37) sí, se verifica 39) 0º. b) z = 5 - 2i. c) z = 7 + bi. Re[z].  b. POLITECNICO. 19.

(21) Números Complejos Matemática Resolución de los problemas propuestos:. 20. POLITECNICO. Prof. Juan Carlos Bue.

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