Grado en Física. Problemas. Temas 1 4

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Grado en F´ısica

Problemas. Temas 1–4

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Matrices y sistemas de ecuaciones

Ejercicio 1.1.Hallar formas escalonadas por filas de las matrices siguientes:

a)   1 2 1 1 3 2 1 1 0  , b)   2 4 −3 −1 −2 3 −1 −2 −3  , c)   1 2 −3 −2 4 1 1 5 2 −3 7 9  , d)   1 −1 1 1 0 1 −1 −1 1 1 0 2  , e)   1 2 5 1 −1 1 2 0 1 1 3 1  , f)     1 0 1 2 −1 1 1 0 1 −1 0 1 1 −1 2 3     , g)     1 −1 1 1 2 1 1 0 5 2 3 1 1 0 1 1     , h)     −1 2 4 −4 −2 4 0 −2 1 −2 −2 2 −2 4 −1 −2     , i)     1 1 −3 −1 2 1 −2 1 1 1 1 3 1 2 −3 1     , j)     −1 3 3 3 4 4 1 1 1 −3 1 0 1 3 0 0 3 4 6 4     , k)     2 −1 1 −1 1 2 −1 0 −3 2 3 0 −1 1 −3 2 2 −2 5 −6     , l)     1 1 1 1 1 7 3 2 1 1 −3 −2 0 1 2 2 6 23 5 4 3 3 −1 12     , m)     1 −2 1 −1 1 0 2 1 −1 2 −3 0 3 −2 −1 1 −2 0 2 −5 1 −2 2 0     .

Ejercicio 1.2. Estudiar la compatibilidad de los siguientes sistemas, resolvi´endolos cuando sea posible. a) x + y = 5 2x − y = 0 , b) x + y = 5 2x + 2y = 6 , c) x + y = 5 2x + 2y = 10 , d) 2x − y + z = 2 x + y + z = 3 , e)    2x − y + z = 2 x + y + z = 3 x + 4y + 2z = 7 , f) −x + y + z = 5 x − y − 2z + 3t = −1 , g)    y + z = 1 x + y = 0 x + 4y + z = 8 , h)    y + z = 1 x + y = 0 2x − 2z = 0 , i)    x + z = 7 y = 3 3x − 2z = 10 , j) x + y + z = 6 2x + 2y + 2z = 12 , k) x + z = 2 x − z = 0 ,

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Ejercicio 1.3.Sobre el cuerpoQde los n ´umeros racionales se considera el siguiente sistema

lineal, en funci ´on de un par´ametroa:

S:        −x1 +(a−1)x3 = a−1 x1 −ax4 = 1−a ax2 +(a−1)x3 −ax4 = a −x1 +ax2 +(a−1)x3 −ax4 = a−1.

1. Hallar, seg ´un los valores dea, una forma escalonada por filas de la matriz ampliada del sistemaS.

2. Estudiar, seg ´un los valores dea, la compatibilidad del sistemaS. 3. Resolver el sistemaS para el casoa= 0.

Ejercicio 1.4. Estudiar la existencia y, en su caso, la unicidad de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones sobre el cuerpo de los n ´umeros reales para los diferentes valores del par´ametroa∈_R:        2ax +ay = 2,

2ax +ay +(2a+ 1)z +(2a+ 1)t = 1, (a+ 1)x +y +(2a+ 1)z +(2a+ 1)t = 1, x +(a+ 1)y +z +(a+ 1)t = 0. Resolver el sistema paraa= 1.

Ejercicio 1.5. Clasificar, en funci ´on del par´ametro correspondiente; y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas de ecuaciones:

   2ax1 + x2 + 3ax3 = 0 2x1 + ax2 + x4 = 1 ax2 − 3x3 = a    (α+ 2)x1 + x2 + x3 = α−1 αx1 + (α−1)x2 + x3 = α−1 (α+ 1)x1 + (α+ 1)x3 = α−1

Ejercicio 1.6.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

   2x1 − x2 − x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 + 3x5 = 0 2x1 + 4x2 − x3 + 3x4 = 0    x1 − 2x2 + x3 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 x3 − x4 + x5 = 0        x1 − x2 + x3 + x4 = 0 3x1 + 2x2 + 2x4 = 3 x1 + x2 + x3 = −1 −x1 + x2 + x3 − x4 = 0

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       −x1 + x3 + x4 = 1 x1 + x3 + x4 = 2 x1 + 3x3 = 0 x1 + 3x3 − x4 = 1

Ejercicio 1.7.Para los siguientes enunciados, decir si son verdaderos o falsos, razonando la respuestabrevemente.

1. Un sistema compatible determinado puede tener más inc ógnitas que ecuaciones. 2. Un sistema compatible determinado puede tener más ecuaciones que inc ógnitas. 3. Un sistema compatible determinado puede tener más ecuaciones independientes que

inc ´ognitas.

4. Para todo sistema incompatible se verifica que el n ´umero de ecuaciones independien-tes es mayor o igual que el de inc ´ognitas.

5. El n úmero de ecuaciones independientes de todo sistema compatible indeterminado es menor que el n úmero de inc ógnitas.

6. No existen sistemas compatibles indeterminados con el mismo n ´umero de ecuaciones que de inc ´ognitas.

Ejercicio 1.8.Demostrar que cada matriz cuadrada se descompone como suma de una ma-triz simétrica y de una mama-triz antisimétrica, y que, además, la descomposici ón es única.

Descomponer as´ı la matriz

M =   −2 3 −1 5 4 −1 1 −3 2  

Ejercicio 1.9.Sea la matriz:

A=

1 2 2 0

Calcular A8 _{con, a lo m´as, tres productos de matrices. En general, dada una matriz} _A_,

¿cu´antas multiplicaciones hacen falta, como mucho, para hallarAn?

Ejercicio 1.10.Se considera la matriz:

Z =     0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0    

1. Hallar las potencias deZ:Z2,Z3,... 2. HallarP(Z) =I4+ 2Z2+Z3+ 3Z4?

3. SeaQ(X) = Pn

i=1iX

i _∈

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Ejercicio 1.11.Consideremos la matriz diagonal: D=   a 0 0 0 b 0 0 0 c  

dondea,bycson tres n ´umeros complejos distintos. Estudiar cu´ales son las matrices cuadra-dasM de orden3que conmutan conD, es decir que verifican:

DM =M D

Ejercicio 1.12.Consideremos las tres matrices: A = 1 −2 3 3 1 2 B =   2 0 1 1 1 −2 −1 3 1   C =   1 0 3 2 3 −1 2 −1 2 0 1 −1  

Verificar la ley de asociatividad sobre el ejemplo particular del producto ABC. Es decir, efectuar el productoABC de las dos maneras:(AB)C yA(BC).

Ejercicio 1.13. Encontrar todas la matrices B tales que BA = I2 y las matrices C tales que

AC =I3 para A=   1 2 3 4 −1 4  .

Ejercicio 1.14.Determinar el rango de las matrices siguientes:

A=     5 2 20 −2 8 8 2 10 0 −6 2 2 2 −1 −3 3 −1 5 1 0     B =       1 0 2 −i i i 1 −2 1 −1 1 +i −1 +i 1 0 0 i 0 2i 1 −1 −1 −1−i −i −1 1      

Ejercicio 1.15.Determinar el rango de la matriz siguiente, seg ´un los valores dea:

A=     1 a2 ₋₁ ₋₂ 1 3 1 0 2 7 3 a 0 1 1 1    

Ejercicio 1.16.Calcular las inversas de las siguientes matrices, y descomponerlas como pro-ducto de matrices elementales:

A=   2 4 3 0 1 1 2 2 −1   B =   1 a a2 1 b b2 1 c c2   C =   i −1 2i 2 0 2 −1 0 1  

Ejercicio 1.17.Hallar los rangos de las matrices siguientes, en funci ´on de los correspondien-tes par´ametros: a)   −a 2 2a −1 a −1  , b)   a 1 0 1 1 0 0 0 0  , c)   a a+ 1 a 1 0 1 1 0 2  , d)   a 0 0 0 b 0 0 1 0  ,

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e)   2 −a 2 1 1 a 1 2 1 −a 1 0  , f)   −3 −a −1 b 2 a 0 0 −4 −a −2 b  , g)   2a b 4 a−b a 2b 5 a−b a b 3 a−b  , h)   2a 2b −c a 2b −c −a −b c  , i)   1 a −1 2 2 −1 a 5 1 10 6 1  , j)     a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a     .

Ejercicio 1.18.Calcular los determinantes siguientes:

D1 = 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 1 5 15 35 D2 = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 D3 = −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1

Ejercicio 1.19.Calcular los determinantes:

D4 = a b c d −a b α β −a −b c γ −a −b −c d D5 = x a a a a x a a a a x a a a a x D6 = a x x x x b x x x x c x x x x d

Ejercicio 1.20.SeaAla matriz

    1 1 2 1 −1 a −1 −2 1 1 +b 2 +b 1−b a 1 + 2a 1 + 2a 2a+b−1     Se pide:

1. Calcular el determinante deAen funci ´on deayb.

2. Determinar los posibles valores del rango de A al recorrer a y b todos los n ´umeros reales. Dar un ejemplo en el que se obtenga cada uno de los rangos posibles.

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Tema 2

Espacios vectoriales

Ejercicio 2.1.Se consideran los vectores siguientes delR–espacio vectorialR2: {(3,2), (4,−1), (5,−2)}

¿Son o no son linealmente dependientes?

Misma pregunta para los vectores siguientes deR3:

{(9,−3,7), (1,8,8), (5,−5,1)}

Y para los vectores siguientes deR4:

{(2,−1,5,7), (3,1,5,−2), (1,1,1,−4)} Ejercicio 2.2.En elR–espacio vectorialR4:

(a) Determinarλtal que los tres vectores

a = (3,1,−4,6), b = (1,1,4,4), c= (1,0,−4, λ), sean dependientes.

(b) Se consideran los vectores linealmente independientes: a = (2,−2,3,1), b = (−1,4,−6,−2). Completar la familia{a, b}hasta una base deR4.

Ejercicio 2.3.Determinar razonadamente la dimensi ´on de cada uno de losR–espacios

vec-toriales de matrices con coeficientes reales y ordenn×nsiguientes: El espacio de todas estas matrices.

El espacio de las matrices diagonales.

El espacio de la matrices triangulares superiores. El espacio de las matrices sim´etricas.

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Ejercicio 2.4.SeaV unK-espacio vectorial, y seaS ⊂ V. Demostrar los siguientes enuncia-dos.

1. SiS es un sistema linealmente dependiente yv ∈ V, entoncesS ∪ {v} es linealmente dependiente.

2. SiS es un sistema linealmente independiente yv ∈ S, entoncesS\{v} es linealmente independiente.

3. SiS es un sistema de generadores yv ∈V, entoncesS∪ {v}es un sistema de genera-dores.

4. SiSes un sistema de generadores yv ∈V \S, entoncesS∪ {v}es linealmente depen-diente.

5. SiSes un sistema linealmente independiente yv ∈S, entoncesS\{v}no es sistema de generadores.

6. Si una base deV est´a contenida dentro de otra, entonces son iguales.

Ejercicio 2.5.SeaB={(1,0,1,3),(0,1,−1,0),(1,0,1,2),(−1,0,0,1)}. Probar que es una base deR4. Calcular las coordenadas de los siguientes vectores respecto de la baseB.

v₁ = (1,0,1,0), v₂ = (1,1,1,1), v₃ = (1,−1,2,1).

Ejercicio 2.6.SeaV unQ–espacio vectorial de dimensi ´on 4, y consideramosB ={u1, u2, u3, u4}

yB0 ₌_{_u0

1, u02, u03, u04}dos bases deV relacionadas por:

       u0₁ = 2u₁ + u₂ − u₃ u0₂ = 2u₁ + u₃ + 2u₄ u0₃ = u₁ + u₂ − u₃ u0₄ = −u₁ + 2u₃ + 3u₄

1. Se consideran los vectores cuyas coordenadas respecto de la baseBse dan: a_B = (1,2,0,1), b_B = (3,−1,2,1), c_B = (0,1,−2,3), d_B = (1,2,1,2). Determinar sus coordenadas respecto deB0_.

2. Se consideran los vectores cuyas coordenadas respecto de la baseB0

se dan: xB0 = (0,1,1,−1); y

B0 = (2,1,0,1); zB0 = (−1,2,0,6).

Determinar sus coordenadas respecto deB.

Ejercicio 2.7.A cada n ´umero realθasociamos la familia de dos vectores:

B(θ) ={(cos(θ),sen(θ)), (−sen(θ),cos(θ))}. Demostrar que siempre es una base delR–espacio vectorialR2.

Paraαyβ n ´umeros reales, hallar la matriz de cambio de base deB(α)aB(β). ¿Cu´ales son las coordenadas del vector(1,1)en la baseB(π/3)?

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Ejercicio 2.8.Seaθ ∈_R. SeaV(θ)el subconjunto de Rformado por los n ´umerosx+yθ, con

x, y ∈_Q.

Demostrar queV(θ)es un subespacio vectorial delQ–espacio vectorialR.

¿Qué dimensi ón tieneV(2)? ¿Qué dimensi ón tieneV(√2)?

Indicar la regla que da la dimensi ´on deV(θ), dependiendo del valor deθ.

Ejercicio 2.9.En elR–espacio vectorial M=M(n;R)de las matrices cuadradas de ordenn

con coeficientes reales, consideremosA, el subespacio vectorial de las matrices antisim´ericas, yS, el subespacio vectorial de las matrices sim´etricas. Demostrar que

M=S ⊕ A.

Ejercicio 2.10. Sean V, W dos k–espacios vectoriales. Consideramos el producto cartesiano V ×W y, sobre sus elementos, las operaciones siguientes:

(v, w) + (v0, w0) = (v+v0, w+w0)

α(u, v) = (αu, αw)

Demostrar que estas operaciones definen, sobreV ×W, una estructura dek–espacio vecto-rial. Si tenemos quedim(V) =n,dim(W) =m, hallar la dimensi ´on deV ×W.

Ejercicio 2.11.En elR–espacio vectorialR4 se consideran los tres vectores:

a= (1,2,0,1), b = (2,3,0,3), c= (3,2,1,2).

Sea V el subespacio vectorial de R4 que generan. Hallar un sistema de ecuaciones lineales

que definaV, es decir tal queV sea su conjunto de soluciones. ¿Cu´al es la dimensi ´on deV?

Ejercicio 2.12. En el R–espacio vectorial R4 consideramos los subespacios vectoriales

si-guientes (V1definido por una familia de generadores, los otros por un sistema de ecuaciones

impl´ıcitas): V1 =h(1,1,2,1),(2,2,0,2),(−1,−1,6,−1)i V2 : x1 − x4 = 0 6x2 + x3 = 0 V3 =h(1,1,0,0),(0,0,6,−1)i V4 :        x1 + x2 = 0 x1 + x2 + 2x3 − x4 = 0 3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 0 x1 − x2 = 0

Hallar la dimensi ´on y una base deV1,V2,V3yV4.

Hallar una base o un sistema de ecuaciones impl´ıcitas para cada uno de los subespacios siguientes:

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Ejercicio 2.13(Primer parcial 2010).Se consideran los siguientes subespacios vectoriales del

R– espacio vectorialR4:

L1 =h(2,1,2,1),(1,3,1,3),(3,7,3,7)i L2 :x1+x2−x3+x4 = 0

a) Calcular unas ecuaciones impl´ıcitas para L1 y una base para L2. Hallar la dimensi ´on de

cada uno de los dos subespacios vectoriales.

b) Calcular el subespacioL1∩L2. Determinar el subespacioL1+L2.

c) Sea el vector u = (1,1,2,2). Encontrar dos vectores u₁ ∈ L1, u2 ∈ L2, de manera que

u=u₁+u₂. Encontrar otro par distinto de vectores,v₁ ∈L1 yv2 ∈L2, tales queu=v1+v2.

d) Razonar siR4 =L1⊕L2.

Ejercicio 2.14(Primer parcial 2011).SeaV unR-espacio vectorial, y seaB={v₁, . . . , v₄}una base deV. Consideremos los siguientes subespacios vectoriales deV:

L1 =hv1+v2, v2+v3, v3+v4, v1−v3i, L2 =

x1 − x4 = 0

x2 = 0

,

dondeL2 est´a definida mediante ecuaciones impl´ıcitas respecto deB.

a) Hallar una base deL1∩L2 y la dimensi ´on deL1+L2.

b) Hallar una baseB0_de_L

1+L2que contenga a la base deL1∩L2y hallar las coordenadas

del vectorv₁+v₂+v₃+v₄respecto deB0 .

c) Hallar, si es posible, un subespacio vectorialL0 ⊂L1tal queV =L0⊕L2.

Ejercicio 2.15 (Primer parcial 2012). Sean V ⊂ _R4 _{el subespacio generado por los vectores}

a = (1,2,0,1),b = (1,−1,1,2)yc = (1,−4,2,3); yW ⊂ _R4 _{el subespacio de soluciones del}

sistema

x1 +x2 +2x3 −x4 = 0

x1 −x2 −x4 = 0

1. Determinar la dimensi ´on deV y deW.

2. Hallar bases deV ∩W y deV +W. ¿Es la suma deV yW directa?

3. Calcular las coordenadas de a, b y c con respecto a la base de V +W hallada en el apartado anterior.

4. Encontrar un subespacioV0 ⊆_R4_{tal que}

R4 =V ⊕V0.

Ejercicio 2.16(Junio 2011).SeaV =M(2;_Q)el espacio de las matrices cuadradas2×2con coeficientes racionales. SeaBla base habitual de este subespacio, y sea

L= −1 1 0 1 , 1 0 −1 1 , 1 1 −2 3 .

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Ejercicio 2.17.En elR–espacio vectorialM(n;R), seaT+ el subespacio vectorial de las

ma-trices triangulares superiores, yT−el subespacio vectorial de las matrices triangulares infe-riores. Hallar la dimensi ´on deT+₊_T−_.

Ejercicio 2.18.SeaV elR–espacio vectorial de los polinomiosP(x)con coeficientes reales y

grado m´aximo3. Hallar un complementario del subespacioW definido por: W ={P ∈V |P(0) =P(1) = 0}.

Ejercicio 2.19.Para cada uno de los siguientes subespacios deV =_R4 hallar una base orto-normal, con respecto al producto escalar usual enV.

L1 =h(1,1,0,0), (1,0,1,2), (1,2,−1,−2)i,

L2 :x1−x2+x4 = 0,

L3 =L2∩L1.

Hallar as´ı mismo los complementos ortogonales deL1,L2 yL3, as´ı como las

coordena-das de los vectores del sistema generador dado en L1 con respecto a la base ortonormal

calculada.

Ejercicio 2.20. Para cada uno de los siguientes subespacios de V = _C4, hallar una base ortonormal con respecto al producto escalar usual enV.

L1 =h(i,1 +i,0,0), (i,0,1,−2i), (i,2 + 2i,−1,2i)i,

L2 :x1−(1−i)x2+x4 = 0,

L3 =L2∩L1.

Hallar tambi´en los subespacios ortogonales aL1,L2 yL3, as´ı como la expansi ´on de

Fou-rier del sistema generador dado enL1 con respecto a la base ortonormal calculada.

Ejercicio 2.21 (Primer parcial 2012). SeaV = _Cn_{. Se pide resolver las siguientes cuestiones}

razonadamente:

1. SeaB={u₁, u₂, u₃}una base de un subespacio vectorialL⊆V. Hallar una expresi ´on, en funci ´on de los vectores de B, de una nueva base B0 ₌ _{_v

1, v2, v3} de L que sea

ortogonal. Hallar una tercera baseB00

que sea ortonormal.

2. SiV = _C4 yL = h(1, i,0,0),(0,1,−1,0),(0,1,0,−1)i, hallar una base ortonormal Bde L.

3. HallarL⊥paraL=h(1, i,0,0),(0,1,−1,0),(0,1,0,−1)i.

4. Extender la baseBdeLobtenida en(b)a una base ortonormal deC4.

Ejercicio 2.22(Junio 2012).En el espacioC4consideramos el sobespacioW generado por los

vectores

v1 = (1,1,1,1),v2 = (1,1,0,0),v3 = (0,0,1, i)

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2. Usar el algoritmo de Gram-Schmidt para calcular una base ortonormal deW.

3. Hallar las coordenadas de v1,v2 yv3 con respecto a la base calculada en el apartado

anterior.

Ejercicio 2.23(Diciembre 2013).Consideremos, paraa ∈_R, el sistema de ecuaciones:

2x1+x2+x3 +x4 = 0

ax1+ax2+ax3 = 0

(a−1)x1+ (a−1)x2 = 0

x1 = 0

y seaL1 el subespacio vectorial deR4 definido por esas ecuaciones y

L2 =h(1,2,3,−1),(1,0,2,0),(3,4,8,−2)i

Se pide:

1. DescribirL1, seg ´un los distintos valores dea, calculando una base.

2. Paraa= 1, hallar unas ecuaciones impl´ıcitas deL1∩L2 y una base deL1 +L2.

Ejercicio 2.24(Junio 2015). 1. Dar un ejemplo, si es posible, o justificar por qué no es po-sible, de (1) un espacio vectorial de dimensi ón 2 y un sistema generador suyo con 3 elementos, (2) un espacio vectorial de dimensi ón 3 y un sistema generador suyo con 2 elementos.

2. SeaV =_R4_{, y}_W _{el subespacio}_h_(1,_1,_0,_1),_(1,_2,₋_1,₋_1),_(1,_0,_1,₃₎_i_{. Hallar una base de}

W y su dimensi ´on.

3. Extender la base deWcalculada en el apartado anterior a una base deR4de dos formas

distintas.

Ejercicio 2.25 (Junio 2015). Sean L1, L2 ⊂ R3 los siguientes subespacios vectoriales: L1 =

h(1,2,1); (0,1,0)iyL2: x1−2x2+x3 = 0.

1. Hallar una base de la intersecci ´onL1∩L2 y calcular la dimensi ´on de la sumaL1 +L2.

¿Es directa?

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Tema 3

Homomorfismos de espacios vectoriales

Ejercicio 3.1.Para cada una de las aplicaciones siguientes, estudiar si son homomorfismos y, en caso afirmativo, elegir una base para el espacio de partida y una base del espacio de llegada, y dar la matriz del homomorfismo con respecto a estas bases.

1. La aplicaci ´on traza:

Tr:M(2;_R) −→ _R a b c d 7−→ a+d 2. La derivaci ´on: D:_R[X]2 −→ R[X]1 P(X) 7−→ P0(X) 3. La derivaci ´on: D:V −→ V f 7−→ f0

dondeV es el subespacio deC(_R)generado porcos(x)y sen(x). 4. La multiplicaci ´on porX−1:

µ:_R[X]2 −→ R[X]3

P(X) 7−→ (X−1)·P(X)

5. El cambio de variableX =Y −1:

ϕ:_R[X]2 −→ R[Y]2

P(X) 7−→ P(Y −1)

Para cada uno de los homomorfismos, determinar si es inyectivo o no, y determinar si es sobreyectivo o no, hallando n ´ucleo e imagen.

Ejercicio 3.2.Se considera el espacio vectorialM(2;_Q)y en ´el la matriz A=

7 5 1 −3

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1. Probar quef es un endomorfismo de espacios vectoriales.

2. Hallar las ecuaciones def respecto de la base habitual deM(2;_Q). ¿Esf un automor-fismo?

Ejercicio 3.3.Se consideran los homomorfismosf, f0 : _Q2 _−→

Q3 yg, g0 : Q3 −→ Q2 cuyas

matrices, respecto de las bases habituales, son :

A=   2 −1 −1 0 3 3  , A 0 =   1 2 2 −1 4 −3  , B = 1 2 3 2 1 0 , B0 = 2 1 0 1 3 3 .

1. Hallar las matrices, respecto de las bases habituales, de los homomorfismos: (f +f0)◦g ; (f+f0)◦g0; f◦(g+g0) ; f0◦(g+g0) ; g◦(f +f0) g0◦(f+f0) ; (g+g0)◦f0 ; (g+g0)◦(f+f0) ; (f +f0)◦(g+g0).

2. Estudiar la inyectividad, suprayectividad y biyectividad de las anteriores aplicaciones.

Ejercicio 3.4.SeaV unC–espacio vectorial de dimensi ´on 4 yB ={u1, u2, u3, u4}una base de

V. Consideramos los subespaciosLyL0 deV,

L= x − y − z = 0 2x − y − t = 0 L 0 =hu₁+u₄, u₁+u₃+ 2u₄i

y el endomorfismof definido por:

       f(u₁) = u₂ + u₃ + u₄ f(u₂) = u₁ − 2u₂ − u₃ f(u₃) = u₂ + u₃ + 2u₄ f(u₄) = 2u₁ + u₂ + 3u₃ + 10u₄ Se pide:

1. Hallar un sistema de ecuaciones impl´ıcitas de Img(f) respecto de B y una base de Ker(f).

2. Hallar una base y un sistema de ecuaciones impl´ıcitas respecto deB, de los siguientes subespacios:L, L0, L∩L0 yL+L0.

3. Hallar una base y un sistema de ecuaciones impl´ıcitas respecto deB, de los subespacios f(L), f(L+L0)yf(L∩L0).

4. Hallar una base y un sistema de ecuaciones impl´ıcitas respecto deBdef−1_(L)_.

Ejercicio 3.5.Seaf el ´unico endomorfismo deQ3 tal que:

f(0,0,1) = (2,3,5), f(0,1,1) = (1,0,0), f(1,1,1) = (0,1,−1).

Hallar la matriz def con respecto a la base habitual C deQ3, y tambi´en con respecto a la

base:

(16)

15

Ejercicio 3.6.SeanV =M(2;_Q)el espacio vectorial de las matrices2×2sobreQ,Bla base

habitual deV yf :V −→V el endomorfismo definido por la relaci ´onf(X) =A·X−X·A, dondeAes la matriz 1 1 1 2 Se pide:

1. Calcular las ecuaciones def respecto deB. 2. Probar queV =Img(f)⊕Ker(f).

3. Usando el apartado anterior, probar que Img(f) = Img(f2₎_{. Deducir de aqu´ı que}

Img(f) = Img(fn₎_{, para cada}_{n >}₀_.

4. Sea B0 = 1 1 0 1 , −1 0 0 1 , 0 1 1 1 , 0 0 0 1 .

Estudiar siB0 _{es base de}_V _{y, en caso afirmativo, hallar}_MB

0(f).

Ejercicio 3.7(Primer parcial 2014). 1. SeaV el espacio vectorial de matrices2×2con co-eficientes reales, yB ∈ V una matriz fija no nula. Determinar justificadamente cu´ales de las siguientes aplicacionesf :V →V son endomorfismos deV

f(A) = A+B. f(A) = A·B. 2. SiB es la matriz 1 1 2 2

yf(A) = A·B, hallar la matriz def con respecto a la base habitual deV.

3. Calcular el n ´ucleo y la imagen de laf definida en el apartado anterior. ¿Esf inyectiva o sobreyectiva? ¿Es un isomorfismo?

Ejercicio 3.8.Encontrar los autovalores y los autovectores de las matrices siguientes, deter-minando si son o no diagonalizables. En caso afirmativo, dar una base formada por auto-vectores. A =   2 −1 −1 0 −1 0 0 2 1  , B =   −1 −2 2 0 1 0 0 0 1  , C =   2 −1 0 0 1 −1 0 1 3  , D=     0 0 1 −1 −1 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 1     .

Ejercicio 3.9.Dadas las matrices complejas:

A=   3 −2 0 −2 3 0 0 0 5  , B =   −14 1 12 −13 0 12 −17 1 15  , C =   −1 2 −1 −2 3 −2 −2 2 −1  . Se pide:

(17)

1. Hallar los autovalores y los subespacios de autovectores correspondientes a dichas matrices.

2. En caso de que proceda, calcular una base deC3 formada por autovectores de dicha

matriz, la correspondiente matriz diagonal D y una matriz de cambio de base a la forma diagonal.

3. CalcularCn_{para todo entero positivo}_n.

Ejercicio 3.10.Responder las siguientes cuestiones:

1. Sea λ ∈ _C. Consideramos A = λI2 y seaP ∈ M2(C)una matriz invertible. ¿Cu´anto

valeP−1_AP _?

2. Demostrar que la siguiente matriz no es diagonalizable (idea: utilizar la reducci ´on al absurdo): B = λ 1 0 λ .

Ejercicio 3.11.Sea la matriz

A=     1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 −1 0 0 1 −1 −a     .

1. Calcular los valores deapara los cuales la matrizAes diagonalizable.

2. Paraa = 0, calcular una matriz diagonalDy una matriz de cambio de baseP tal que D=P−1_AP_.

Ejercicio 3.12.Dada la matriz

A=       0 a 0 0 b a 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 a       ∈ M(5;_R), donde |λI−A|= (λ−a)3(λ+a)2, se pide:

1. Calcular los valores deaybpara los cuales la matrizAes diagonalizable.

2. Calcular, en cada caso, una matriz diagonalDas´ı como una matriz de cambio de base Q, tal queD=Q−1AQ.

Ejercicio 3.13.SeaV unR-espacio vectorial de dimensi ´onn,B={u1, . . . , un}una base deV

yf un endomorfismo deV definido por

f(u₁) =f(u_n) = u₁+u_n

(18)

17 1. Demostrar que los autovalores def sonλ1 = 0, λ2 = 1yλ3 = 2.

2. Averiguar sif es diagonalizable y hallar, si procede, una base de autovectores y una matriz de cambio de base.

3. DescomponerV como suma directa de tres subespacios invariantes.

Ejercicio 3.14.Se considera el subespaciof :_R3 _−→

R3 tal que:

a) Los autovalores def son1y−1.

b) G={(x, y, z)|x−y+z = 0}es un subespacio invariante def. c) f(1,1,1) = (−1,−1,−1).

Se pide:

1. Probar quef es diagonalizable.

2. SiC es la base habitual deR3, comprobar que

A=MC(f) =   −1 2 −2 −2 3 −2 −2 2 −1  .

3. CalcularAnpara todo entero positivon.

Ejercicio 3.15(Septiembre 2010).La aplicaci ´on linealf :_R4 _−→

R4viene determinada por:

f(u) = −usiu∈V, donde V : x1 − x2 = 0 x2 − x3 = 0 f(u) = usiu∈W, donde W =h(2,1,0,0), (0,1,0,0)i.

1. Calcular la matriz de la aplicaci ón f en términos de la base can ónica. Estudiar si f es aplicaci ón inyectiva y si se trata también de una biyecci ón. Calcular el n úcleo y la imagen de la aplicaci ón.

2. Razonar sin calcular el polinomio caracter´ıstico si se trata de una aplicaci ´on diagonali-zable.

3. SiAes la matriz def en t´erminos de la base can ´onica, calcularA100_.

4. Dadas los subespacios

L1 =h(0,1,1,0),(0,1,1,1)i, L2 =h(2,1,1,0),(0,1,1,0)i,

(19)

Ejercicio 3.16 (Primer parcial 2010). Sea a ∈ _R ⊂ _C un n ´umero real y fa: C4 −→ C4

el endomorfismo de C–espacios vectoriales cuya matriz respecto de la base can ´onica C es

MC(fa) = A, A=     −1 2 −a 2a −1 1 −a 1 + 2a 0 0 −a 2a 0 0 −a a     .

1. ¿Para qu´e valores deaesfadiagonalizable?

2. Para los valores deaobtenidos en el apartado anterior, hallar una baseBdeC4tal que

MB(fa)sea diagonal.

3. Para los valores deaobtenidos en el primer apartado y para todo enteron ≥1, hallar la matrizAn.

Ejercicio 3.17(Primer parcial 2011). Sea f : _C3 _−→

C3 el endomorfismo dado porf(v)t =

A·vt_{, donde} A=   0 2/3 −2/3 −2/3 0 −1/3 2/3 1/3 0  

1. Hallar bases del n ´ucleo y de la imagen def. ¿EsAnormal?

2. Hallar una baseB deC3 tal que MB(f) sea diagonal. Si es posible, hallar una B

orto-normal con esa propiedad. 3. Calcularf4000_((1,_0,₀₎₎_.

Ejercicio 3.18 (Junio 2011). Se considera la aplicaci ´on f, definida en el k–espacio vectorial k[X]3(los polinomios con coeficientes enk y grado menor o igual que3)

f :k[X]3 −→ k[X]3

P(X) 7−→ P(1)−P0(X)

dondeP(1)es el resultado de sustituirXpor1en el polinomioP(X), yP0(X)es la derivada usual.

1. Estudiar sifes un homomorfismo dek–espacios vectoriales. En caso afirmativo, hallar la matriz def respecto de la base habitual dek[X]3.

2. Calcularker(f)e Img(f).

3. Estudiar sif es o no diagonalizable.

Ejercicio 3.19(Septiembre 2011).De un endomorfismof :_R3 _−→

R3sabemos que

f(1,0,0) = (1,−1,−1), f(1,1,0) = (1,0,1), f(0,1,−1) = (0,0,2).

1. Calcular la matrizM def con respecto a la base habitual deR3.

2. Determinar si existe una base B deR3 tal que la matriz N de f con respecto a B sea

(20)

19 3. ¿Existe alg ´un entero positivon tal quef ◦ · · · ◦f (n veces) sea la identidad? Justificar

la respuesta.

Ejercicio 3.20(Primer parcial 2012).Seaf el ´unico endomorfismo deQ3tal que:

f(0,0,1) = (−1,0,1), f(0,1,1) = (−2,−1,3), f(1,1,1) = (0,−1,3)

1. Hallar la matriz def,MC(f), respecto de la base habitualC deQ3.

2. Calcular los autovalores def y los subespacios invariantes asociados a cada uno de ellos.

3. ¿Esf diagonalizable? Razonar la respuesta.

4. En caso de que proceda, hallar una baseB de Q3 tal que MB(f) sea diagonal, la

co-rrespondiente matriz diagonal D y una matriz de cambio de base P tal que: D = P−1_M

C(f)P.

Ejercicio 3.21 (Junio 2012). Para cada a ∈ _R se considera el endomorfismo fa : R3 −→ R3

cuya matriz respecto de la base habitualC es

A=   a 0 0 −2 3 4 2 −2 −3  

Se pide resolver las siguientes cuestiones justificando la respuesta:

1. Dar una base de la imagen defapara cadaa∈Ry decir para qu´e valores deaesfaun

isomorfismo.

2. Obtener los autovalores defa, sus multiplicidades y una base de cada subespacio

in-variante para cadaa∈_R.

3. ¿Para qu´e valores dea esfa diagonalizable? En los casos en quefa es diagonalizable

calcular una baseBatal queMBa(fa)sea diagonal, dando tambi´en dicha matriz

diago-nalD=MB_a(fa).

4. Paraa= 2, obtener la matriz del cambio de baseP tal queP−1MC(fa)P =D.

Ejercicio 3.22(Septiembre 2012). 1. Determinar razonadamente qu´e debe verificar el par´ame-troa∈_Rpara que la matriz

A=   1 a a −1 1 −1 1 0 2  

sea diagonalizable sobreR.

2. Paraa = 0, hallar la correspondiente matriz diagonalDy matriz de cambio de baseP tal queD=P−1_AP_.

(21)

Ejercicio 3.23(Diciembre 2013).Sea el homomorfismof :_R4 →_R4 _{dado por la matriz:} Mf =     −7 12 6 6 0 −1 0 0 −6 12 5 6 −3 6 3 2    

1. Demostrar que la matrizMf es diagonalizable sabiendo quedet(Mf−λI) = (λ−2)(λ+

1)3.

2. Dar una matrix invertibleP y una diagonalDtales queP−1MfP =D.

3. Demostrar quef es un isomorfismo.

Ejercicio 3.24. Se consideran los siguientes endomorfismos sim´etricos de R4, dados todos

ellos por sus matrices respecto de la base habitualC:

MC(f) =     2 0 6 0 0 2 0 −6 6 0 2 0 0 −6 0 2     MC(g) =     3 0 5 0 0 −2 0 0 5 0 3 0 0 0 0 −2     , MC(h) =     2 0 0 0 0 0 −2 4 0 −2 0 4 0 4 4 2    

Para cada uno de ellos, hallar una base ortonormal formada por autovectores y la matriz diagonal correspondiente.

Ejercicio 3.25.Se consideran los siguientes endomorfismos ortogonales deC3, dados todos

ellos por sus matrices respecto de la base habitualC: MC(f) =   1 0 0 0 0 1 0 1 0   MC(g) =   √ 3/2 −1/2 0 1/2 √3/2 0 0 0 −1  

Para cada uno de ellos, hallar una base ortonormal formada por autovectores y la matriz dia-gonal correspondiente. Hallar tambi´en una matriz semejante, real y diadia-gonal por bloques, dando la base correspondiente.

Ejercicio 3.26(Junio 2015).Sea

A=   4 −4 −4 0 2 0 2 −4 −2  

1. Calcular los autovalores deA. Decidir si la matrizAes diagonalizable.

2. En caso de ser la matrizA diagonalizable, hallar matrices P y Λ tales que Λ sea una matriz diagonal, yA=PΛP−1.

3. La matrizAes la matriz de un endomorfismo de R3 con respecto a la base can ´onica.

A partir de los autovalores hallados en el apartado anterior calcular la dimensi ´on del kernel deAy de la imagen deA.

(22)

21 4. Decidir siAes diagonalizable por una matriz ortogonal.

Ejercicio 3.27(Septiembre 2015). 1. Seaf: _Rn _→

R32un homomorfismo sobreyectivo de R-espacios vectoriales tal que dim kerf = 56. ¿Qu´e valores puede tomar n? ¿Puede

f ser inyectivo? ¿Y un isomorfismo? ¿Qu´e rango tiene la matriz de f respecto de las bases can ´onicas? ¿Y respecto de otras bases?

2. Sobre el cuerpoR, encontrar una matriz invertibleP y una matriz diagonalDtales que

P−1   0 1 0 4 0 2 0 0 3  P =D.

(23)

Espacio af´ın. Afinidades y movimientos

Ejercicio 4.1. Para las variedades afines Yi deA4(k) que se dan, calcular D(Yi), y dar una

base deYi. Y1 :    x1 + x2 − x3 − 2x4 = 1 x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = −1 x1 − 3x2 − 5x3 − 2x4 = 5 Y2 : x1 − x2 − 3x4 = 3 x1 + x2 + 2x4 = 1 Y3 :    x1 − x2 + x3 + 2x4 = 1 −x1 + 2x3 + x4 = −2 5x1 − 3x2 − x3 + 4x4 = 6

Ejercicio 4.2.SeaX un espacio af´ın de dimensi ón 4 ó 5 seg ún los casos.

a) Hallar las ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de la variedad dada por un puntoP y un sistema generador de su subespacio de direcciones, en cada uno de los siguientes casos:

(1) P = (1,0,1,0) a₁ =−−−−−−−→(1,1,2,−1) a₂ =−−−−−−−→(0,1,−3,0) a₃ =−−−−−−−→(1,2,−1,1) a₄ =−−−−−−−→(2,3,1,−2) (2) P = (2,0,0,−2) a₁ =−−−−−−→(1,1,0,1) a₂ =−−−−−−→(0,0,0,1) a₃ =−−−−−−→(1,0,1,2) a₄ =−−−−−−→(2,1,1,4) (3) P = (−1,1,0,0,1) a₁ =−−−−−−−−−→(1,1,2,−1,0) a₂ =−−−−−−−−−→(0,1,−3,0,1) a₃ =−−−−−−−−−−→(−1,0,−5,1,1) a₄ =−−−−−−−−−→(0,2,−6,0,2)

b) Dar un punto y una base del subespacio de direcciones, las ecuaciones param´etricas, y un conjunto de puntos af´ınmente independientes que generen la variedad lineal af´ın dada.

Y1 :    x1−x2+x4 = 0 3x1+ 2x2−x3−2x4 = 1 2x1+ 3x2−x3−3x4 = 1 Y2 :        x1+x2+x4 = 1 x2+x3+x4 = 2 −x1+ +x3+x4 = 1 x1+ 2x2+x3+ 2x4 = 3 Y3 :        x1−x2+x3 −x4 +x5 = 3 −x2−x4 = 0 x1+x3+x5 = 2 x1−2x2+x3−2x4+x5 = 1 Y4 :    x1−x3+x4 =−1 2x1−2x3 + 2x4 =−2 3x1−3x3 + 3x4 =−3

Ejercicio 4.3.En el espacio af´ınA4(k):

a) Estudiar las posiciones relativas de dos hiperplanos. Determinar la condici ´on de parale-lismo de hiperplanos.

(24)

23 b) Estudiar las posiciones relativas de un plano y un hiperplano.

c) Estudiar las posiciones relativas de dos planos.

d) Estudiar las posiciones relativas de un hiperplano y una recta. Determinar las condiciones de paralelismo de recta e hiperplano.

e) Estudiar las posiciones relativas de una recta y un plano. Determinar las condiciones de paralelismo de recta y plano.

f) Estudiar las posiciones relativas de dos rectas.

Ejercicio 4.4. Hallar una f ´ormula para la distancia entre dos hiperplanos paralelos en el espacio eucl´ıdeo.

Ejercicio 4.5(Junio 2010).En el espacio af´ın eucl´ıdeo A4(R)se consideran las rectasY1,Y2 e

Y3 dadas por: Y1 : (1,0,1,1) +h −−−−−−→ (1,0,1,0)i, Y2 : (1,0,0,0) +h −−−−−−→ (0,1,0,1)i Y3 :x2 =x3 = 1−x1 +x4 = 0 Se pide:

1. Calcular las posiciones relativas deY1 eY2 y deY1 eY3.

2. Calcular un hiperplano que contenga aY1 y aY2. Razonar, utilizando la f ´ormula de la

dimensi ´on, si es ´unico. Efectuar la misma tarea paraY1eY3.

3. Calcular un plano perpendicular com ´un a las rectasY1 yY2. Razonar si es ´unico.

4. Razonar si pueden existir, enA4(R), una recta y dos planos de manera que la recta se

cruce con uno de los planos, est´e contenida en el otro y los dos planos sean paralelos.

Ejercicio 4.6 (Septiembre 2010). Se consideran las siguientes variedades en el espacio af´ın eucl´ıdeoR4: Y1 : (0,0,1,1) +h −−−−−−→ (0,1,0,0)i, Y2 : x1 − x2 = 0 x2 + x3 + x4 = 1

1. Hallar la posici ´on relativa deY1 eY2.

2. Hallar una perpendicular com ´un aY1 eY2, razonando si es ´unica.

Ejercicio 4.7(Septiembre 2011).Responder a las siguientes cuestiones:

1. Consideremos dos planos en el espacio eucl´ıdeo de dimensi ón 5. Estudiar sus posibles posiciones relativas. En los casos en que los planos sean disjuntos, estudiar la unicidad y la dimensi ón de su perpendicular com ún.

2. Calcular la distancia, en el espacio eucl´ıdeo de dimensi ´on 5, entre los planos Π1 = (0,0,0,0,0) + D−−−−−−−−→ (1,0,0,0,0),−−−−−−−−→(1,1,0,0,0)E y Π2 =    x1+x4 = 0 x1−x4 = 0 x1+x5 = 3

(25)

Ejercicio 4.8 (Diciembre 2013). Sea L1 la menor variedad lineal que pasa por los puntos

(1,1,1),(1,0,1)y(0,1,1), y seaL2 el plano de ecuaci ´onz−x= 1.

¿ Son(1,1,1),(1,0,1)y(0,1,1)af´ınmente independientes? Hallar las ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas paraL1 yD(L1).

Describir un sistema de referencia paraL1 y otro paraL2.

CalcularL1+L2 yL1∩L2,y describir las posiciones relativas deL1 yL2.

Ejercicio 4.9(Segundo parcial 2014).En el espacio euc´ıdeoA4(R), consideremos las

varieda-des lineales:

L1 :x1 =x2 =x3 = 0

L2 :x1 =x3 = 0

L3 :x4 = 0

Se pide:

a) Estudiar las posiciones relativas de las tres variedades linealesL1,L2yL3.

b) Calcular la distancia entreL2 y la rectar= (0,0,1,0) +h

−−−−−−→

(1,1,1,1)i.

Ejercicio 4.10.Se consideran, enA4(k), el puntoQ= (1,0,1,0)y el plano:

π :

x1+x2+x3+x4 −4 = 0

x1−x2+x3−x4 = 0

Hallar todas las rectas que pasen por Q, sean coplanarias con r, y cohiperplanarias con π, siendorla recta:

a)r= (2,2,0,0) +h−−−−−−−→(1,0,−1,0)i; b)r= (2,2,0,0) +h−−−−−−→(1,1,1,1)i.

Ejercicio 4.11.SeaX un espacio af´ın de dimensi ´on 4. Consideremos el hiperplanoH : x1−

x3−x4 = 0, la rectar: (0,0,1,1) +h −−−−−−→ (1,0,1,1)iy los planos: π1 : x1 +x2−x3 = 0 x1 +x2−x4 = 0 π2 : x1−x3−x4 = 0 x1+ 2x3 = 0

1) Estudiar las posiciones relativas deryH; y deπ1yπ2.

2) Estudiar si existen y son ´unicos los hiperplanosHi, que contienen aryπi, parai= 1,2.

3) Calcular todas las rectas del espacio que pasen por(1,1,1,1)y corten aH, r, π1yπ2.

Ejercicio 4.12.SeaR={O;u, v}un sistema de referencia af´ın deA2(k). Calcular las

ecuacio-nes de los cambios de sistema de referencia a{O0;u0, v0}, donde

a)O0 = (0,0); u0 =u+v, v0 =u−v; b)O0 = (1,−1); u0 =−2u, v0 =−2v. y hallar, en el nuevo sistema, las ecuaciones de{x= 0}y de{y= 0}.

(26)

25

Ejercicio 4.13.SeaR={O;u, v, w}un sistema de referencia af´ın deA3(k). Estudiar si

R0 ={(0,1,0);−−−−→(1,1,0), −−−−−−→(0,1,−1),−−−−→(0,1,0)}

(elementos dados en coordenadas respecto de R), es a su vez un sistema de referencia. En caso afirmativo darM(R,R0₎

,M(R0_,_R₎

y las ecuaciones, respecto deR0

, de la rectaY dada, respecto deR, por el sistema

Y :x1+x3 =x2−2x3 = 0.

Ejercicio 4.14.En el espacio af´ın eucl´ıdeoA4(R), fijado un sistema de referencia, se dan los

planos: π1 : x1+x2−3x3+ 4 = 0 x1+x2−3x4+ 1 = 0 π2 : (0,0,0,0) +h −−−−−−→ (1,2,1,1), −−−−−−→(1,0,0,0)i. Se pide:

1. Estudiar su posici ´on relativa.

2. Determinar una perpendicular com ´un a ambos planos y sus respectivos pies. ¿Es ´uni-ca? Hallar la distancia entre ambos planos.

Ejercicio 4.15. En el espacio eucl´ıdeo de dimensi ´on4, y con respecto a un sistema de refe-rencia fijo, se consideran las siguientes variedades lineales:

L1 : x1−x2+x3 −2x4 = 0 x1+x2 +x3+x4 = 0 L2 = (1,−1,3,3) +h −−−−−−−→ (2,0,2,−1), −−−−−−→(1,3,1,4)i, L3 = (1,−2,5,0) +h −−−−−−→ (1,1,1,2)i. Se pide: 1. Averiguar siL1 ⊥L2.

2. Hallar los hiperplanos que pasan porL3y son paralelos aL1. ¿Cu´antas soluciones hay?

3. Dar una condici ón para que tenga más de una soluci ón el problema de hallar un hi-perplano que pase por una recta y sea paralelo a un plano.

4. Hallar una perpendicular com ´un aL2 yL3. ¿Cu´antas soluciones hay?

Ejercicio 4.16.Supongamos que el universo U es un espacio eucl´ıdeo de dimensi ´on n > 3, la tierraT es una variedad lineal af´ın tridimensional T ⊂ U, y que existe otra tierraT0 ⊂ U tridimensional y no paralela aT0.

Se pide:

1. Discutir seg ´un los valores den= 4 ´o 5 siT ∩T0 puede ser vac´ıo. Idem siT ∩T0 puede ser un punto.

(27)

2. Seann= 5, T : x4 = 0 x5 = 1 T0 : x1+x4 = 1 x4 = 1

Estudiar desde qué puntos del universo, que no estén en T ∪T0, se puede emitir un rayo que toque a las dos tierras T yT0. Hallar el punto de T desde donde ser´ıa más econ ómico emitir un rayo que llegara aT0, Indicando el punto de llegada.

Ejercicio 4.17.EnA4(R)se consideran, respecto de una cierta referencia, la rectary el plano

πdados por:

r: (1,0,0,0) +h−−−−−−→(a,0,0,1)i, π : (1,4,0,5) +h−−−−−−→(1,2,0,3), −−−−−−→(2,3,0,4)i, dondea∈_Res un par´ametro. Se pide:

1. Determinar la posici ón relativa deryπ seg ún los valores del parámetroa.

2. Discutir la existencia de la perpendicular com ún aryπseg ún los valores dea. Cuando existe, ¿es única?

3. Paraa=−1, hallar la distancia entreryπ.

Ejercicio 4.18. Dados dos puntos distintos P, Q ∈ _An₍

R), hallar el conjunto de puntos que

distan lo mismo de P y de Q. Probar que este conjunto es un hiperplano perpendicular al vector −→P Q, y que pasa por el punto medio del segmento P Q. Se denomina el hiperplano mediadordeP yQ.

Ejercicio 4.19(Segundo parcial 2012). 1. Determinar la posici ´on relativa de siguientes rec-tas enA3(R):

r : (1,2,−1) +h−−−−→(1,0,1)i

s : (0,0,1) +h−−−−−−→(1,−1,0)i

2. Hallar una perpendicular com ´un arys. ¿Es ´unica?

Ejercicio 4.20.Se considera el espacio af´ınA3(R)con el sistema de referencia af´ın habitual,

respecto del cual se tomar´an coordenadas y ecuaciones. Seaf: _A3(_R)−→_A3₍

R)la afinidad de matriz     1 0 0 0 0 −1 −2 −1 1 0 2 0 −2 12 8 6     ,

1. Calcular los puntos, planos y rectas fijas def.

2. ¿Existen planos tales que la restricci ´on defsea una homotecia? Si es el caso, calcularlos y dar el centro y raz ´on de cada homotecia.

Ejercicio 4.21. 1. Sif :_An(k) →_An_(k)_{es una traslaci ´on de vector}_v ₆₌_{0, probar que una}

(28)

27 2. Sif : _An(k) → _An_(k) _{es una dilataci ´on de centro}_O _{y raz ´on}_λ ₆_{= 0,}_{1, probar que una}

variedad linealL⊆_An_(k)_{es fija por}_f _{si y s ´olo si}_O _∈_L_.

Ejercicio 4.22. Una afinidad f de A2(R) se llama una cizalladura si existe un sistema de

referencia af´ınRen el que la matriz def es del tipo

  1 0 0 a λ 0 b 0 µ  ,

conλ6=µ, que se llamaraforma can´onicade la cizalladura. 1. Calcular las direcciones fijas de una cizalladura.

2. Discutir las configuraciones de puntos fijos de una cizalladura, as´ı como de la homo-graf´ıa asociada.

3. Demostrar que la afinidad de matriz

  1 0 0 0 −7 −9 0 6 8  

es una cizalladura y calcular un sistema de referencia en el que sus ecuaciones est´en en forma can ´onica.

Ejercicio 4.23(Junio 2011).Se considera la afinidadf deA2(R)dada por la matriz

M(f) =     1 0 0 0 2 −2 0 0 2 0 1 √3 2 0 −√3 1     .

Hallar los puntos y planos fijos def. Probar quef NO es un movimiento.

Probar quef es la composici ón de un movimientogy la homoteciahde centro(0,0,0) y raz ón2, de la formaf =hg(se recomienda demostrar esto hallando la matriz deg). Clasificar el movimientog, dando sus elementos geométricos.

Ejercicio 4.24(Segundo parcial 2012).Se considera la afinidad enA2(R)dada por

f(x, y) = (1 + 1 2x− √ 3 2 y,1 + √ 3 2 x+ 1 2y). 1. Dar la matriz asociada.

2. Probar que es un movimiento.

(29)

Ejercicio 4.25(Septiembre 2012).Estudiar los puntos fijos y subvariedades invariantes de la siguiente afinidad enR3: f(x, y, z) = (−2 + √ 2 2 x− √ 2 2 y, √ 2 2 x+ √ 2 2 y,3−z) ¿Es un movimiento? En caso afirmativo, clasificarlo y dar sus elementos.

Ejercicio 4.26.Se consideraF1, la figura Y formada por los segmentos de extremos

1 2,0 , 1 2, 1 2 , (0,1), (1,1) ;

yF2, la figura Y formada por los segmentos de extremos

9 2,1 , 9 2, 3 2 , (4,2), (5,2).

Probar que existen exactamente dos movimientos que llevanF1 enF2 y calcularlos, dando

sus elementos geom´etricos.

Ejercicio 4.27.Se considera el conjuntoG de todas las afinidades que dejan invariantes las rectasx = 1ey = 1. El conjuntoGcontiene homotecias. Calcular sus centros. ¿ContieneG otras dilataciones?

Ejercicio 4.28.Consideremos la figura N cuyos v´ertices son los puntos

{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)}

y la figura Z cuyos v´ertices son los puntos

{(3,2), (3,3),(4,2),(4,3)}.

Hallar, razonadamente, todos los movimientos que llevan la primera figura en la segunda.

Ejercicio 4.29.Hallar el conjunto de los movimientos del plano que dejan invariante: 1. Un triángulo equilátero. 2. Un triángulo is ósceles. 3. Un triángulo escaleno. 4. Un cuadrado. 5. Un rectángulo. 6. Una circunferencia.

Ejercicio 4.30.SeaM el conjunto de todos los movimientos del plano que dejan invariante la rectar :x= 0.

(30)

29 2. Seasla rectay= 0, yOel punto (0,0). Sifes un movimiento tal quef(s) =r, ¿es cierto

quef(O) = O? ¿Por qu´e?

3. Calcular todos los movimientosf tales quef(s) = ry adem´asf(O) =O(hay 4). 4. Calcular todos los movimientosf tales quef(s) = r.

Ejercicio 4.31.Clasificar y hallar los elementos invariantes de los movimientos cuyas matri-ces se dan a continuaci ´on

a)     1 0 0 0 1/3 2/3 2/3 −1/3 7/3 2/3 −1/3 2/3 1/3 −1/3 2/3 2/3     b)     1 0 0 0 20/9 4/9 4/9 7/9 5/9 −8/9 1/9 4/9 −4/9 1/9 −8/9 4/9     c)     1 0 0 0 2 −1 0 0 10 0 −1 0 −8 0 0 −1     d)     1 0 0 0 16/19 −18/19 1/19 6/19 92/19 1/19 −18/19 6/19 −18/19 6/19 6/19 17/19     e)     1 0 0 0 38/5 −11/15 2/15 −2/3 −1/5 2/15 −14/15 −1/3 −3 −2/3 −1/3 2/3     f)     1 0 0 0 −26/9 −4/9 −7/9 −4/9 16/9 −1/9 −4/9 8/9 −2/9 8/9 −4/9 −1/9    

Ejercicio 4.32(Septiembre 2015). 1. Determinar el valor m´ınimo denpara el cual existen dos planos enAn(R)que se cortan en un ´unico punto. Justificar la respuesta

adecuada-mente, es decir, probar por qu´e en dimensiones menores esto no puede ocurrir y dar un ejemplo expl´ıcito en la dimensi ´on m´ınima.

2. En el espacio eucl´ıdeoA3(R), hallar la distancia entre el punto(4,5,6)y la recta(7,8,9)+ h−−−−→(1,2,3)i.

Ejercicio 4.33(Segundo parcial 2010).Se considera la afinidadf deA3(R)dada, respecto de

un sistema de referenciaR, por la siguiente matriz

MR(f) =     1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 2    

Probar quef no tiene puntos fijos, pero que tiene infinitos planos fijos. Estudiar si existe alg ún plano fijo tal que la restricci ón def a él sea una traslaci ón.

Ejercicio 4.34(Septiembre 2010).Dados dos triángulos escalenos en el plano, demostrar que existe un movimiento que lleva uno en el otro si y s ólo si sus lados tienen las mismas longi-tudes y que, en caso de que as´ı sea, dicho movimiento es único (Idea: si tienen las mismas longitudes, se puede intentar dar el movimiento que lleva uno en otro, paso por paso).